Quinta Lezione

Questa curva non solo ha una forma simile a quella di una ellisse ma è proprio una ellisse e, in più,
ogni ellisse può essere ottenuta con la costruzione del giardiniere. Non sappiamo quando si arrivò a
dimostrare questi fatti, ma abbiamo una nota di Cartesio che, nella sua Diottrica (1637), dice:
L'ellisse è una linea curva che i matematici son soliti rappresentare tagliando obliquamente un cono
o un cilindro e che talvolta ho visto servire ai giardinieri nella divisione delle aiuole ove questi la
descrivono certamente in modo assai grossolano e impreciso, ma che tuttavia mi pare faccia
comprendere la sua natura meglio della sezione di un cilindro o di un cono.
Che la natura di queste due curve sia la stessa, cosa decisamente sorprendente, è ciò che vogliamo
dimostrare nel seguito.
Osserviamo intanto che, se A e B sono le
intersezioni della retta che contiene i fuochi con
la curva, Il segmento AB è un asse di simmetria
infatti se P appartiene alla curva cioè se
PF1 +PF2 = l
anche il simmetrico P' appartiene alla curva dal
momento che i due triangoli PF1F2 e P'F1F2
sono uguali e pertanto
P'F1 +P'F2 = PF1 +PF2 = l.
Notiamo anche che, essendo A e B due punti della curva abbiamo AF1 + AF2 =2AF1 + F1F2 = l e
BF1 + BF2 =2BF2 + F1F2 = l quindi
AF1 = BF2 e AB = l.
A questo punto per dimostrare che la curva del giardiniere è una ellisse dobbiamo verificare che
esiste un numero positivo p tale che, per ogni punto P della curva risulta
PT 2 = p
AT " TB
La dimostrazione si riduce a un semplice calcolo algebrico.
Notazioni:
AT = x ,
PT = y , !
AF1 = BF2 = f ,
Pag.5
PF1 =d1
PF2 = d2.
Applicando il teorema di Pitagora ai triangoli F1TP e F2TP abbiamo
da cui, ricavando d1 troviamo
Tornando al triangolo rettangolo F1TP
!
l
d1 2 - (x - f ) 2 = (l - d1) 2 - (l - x - f ) 2
d 1 = (x + f)" 2 xf
l