Quinta Lezione

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L'ovale seguente è ottenuto a partire dall'asse minore AB. I centri dei 4 archi sono i punti ABTT'. Al variare del punto T sull'asse del segmento AB si trova una famiglia di ovali che hanno tutti il dato segmento AB come asse minore. E' interessante notare la figura che si forma se T si allontana troppo! Gli ovali costruiti in questo modo hanno la caratteristica di avere due vertici del rombo dei centri sull'ovale. Questo secondo ovale si può ottenere anche con la costruzione precedente muovendo T fino a quando il punto E (della costruzione precedente) appartiene alla curva. Il viceversa non è però vero. Ci sono ovali che non possono essere costruiti con questo secondo procedimento: sono quelli che hanno il rombo dei centri senza punti sulla curva. Eseguendo la costruzione passo passo nella figura geogebra allegata si ricostruisce il procedimento di costruzione dell'ovale. Pag.2 • Ovale di dato asse.ggb Possiamo costruire l'ovale più generale possibile a partire dal rombo dei centri e da un ulteriore parametro che fissa la grandezza del rettangolo dei raccordi. Osservando che la curva è simmetrica rispetto a un punto O e due assi ortogonali possiamo dimostrare che i centri dei 4 archi sono i vertici di un rombo. A partire da due parametri p e q (le semi diagonali del rombo) e da un parametro t possiamo costruire ttti i possibili ovali. Dato P e Q, agendo col gruppo di simmetria della curva, che tecnicamente parlando è il gruppo di Klein, possiamo costruire i 4 vertici del rombo. Il vertice T del rettangolo dei raccordi deve allinearsi con i centri dei due archi che si raccordano in T per ottenere che questi archi abbiano la stessa tangente. Col gruppo di simmetria troviamo gli atri tre vertici del rettangolo dei raccordi e da questo è facile costruire i 4 archi.
Eseguendo la costruzione passo passo nella figura geogebra allegata si ricostruisce il procedimento di costruzione dell'ovale generico. Pag.3 • Ovale generico.ggb Muovendo i punti P, Q e T possiamo disegnate qualunque ovale. La famiglia degli ovali è una famiglia che dipende da tre parametri liberi, p=OP, q=OQ e t=PT. Fissati (entro un certo dominio per evitare situazioni degeneri) questi parametri, indipendenti l'uno dall'altro, abbiamo un ovale. La famiglia delle ellissi è meno numerosa dato che le ellissi, come abbiamo visto, dipendono da due parametri liberi p ed l. E' interessante notare come Keplero, per descrivere l'orbita di Marte, in modo da interpolare tutti i dati sperimentali e tutte le osservazioni che aveva, in modo esatto, tentò per molti anni di usare gli ovali quando alla fine si rese conto che sono delle ellissi le orbite descritte dai pianeti. Questa straordinaria scoperta avviene agli inizi del '600. Anche il grande architetto Bernini nel progettare la pianta di piazza San Pietro aveva il desiderio di utilizzare la forma ellittica, ma, per paura di essere perseguitato, come lo erano in quel periodo tutti i seguaci di Copernico, Keplero e Galileo, usò un ovale che approssimasse la curva ellittica. La cosa riuscì così bene che ancora oggi si dice (sbagliando) che la pianta della piazza ha forma ellittica come era nei propositi dell'architetto. Se, per una piazza, la sottile differenza tra queste due curve poteva passare inosservata ai più, in astronomia, viste le immense dimensioni delle orbite planetarie, queste "piccole differenze" possono invece far sballare tutte le previsioni. L'ovale utilizzato da Bernini è particolarmente armonioso: il rombo dei centri è formato da due triangoli equilateri e il rettangolo degli accordi da ulteriori triangoli equilateri come in figura. Ovale di Bernini Si propone agli studenti di disegnare l'ovale di Bernini con riga e compasso su un foglio • TavolaV.1 Disegnare l'ovale di Bernini con riga e compasso su un foglio a partire da due punti F e F'. La soluzione si trova sulla seguente pagina di Geogebra. • Ovale Bernini.ggb • Tavola V.2 Lo studio di Piazza San Pietro con geogebra
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