Quinta Lezione

L'ovale seguente è ottenuto a partire dall'asse minore AB. I centri dei 4 archi sono i punti ABTT'.
Al variare del punto T sull'asse del segmento AB si trova una famiglia di ovali che hanno tutti il
dato segmento AB come asse minore. E' interessante notare la figura che si forma se T si allontana
troppo!
Gli ovali costruiti in questo modo hanno la caratteristica di avere due vertici del rombo dei centri
sull'ovale.
Questo secondo ovale si può ottenere anche con la costruzione precedente muovendo T fino a
quando il punto E (della costruzione precedente) appartiene alla curva. Il viceversa non è però vero.
Ci sono ovali che non possono essere costruiti con questo secondo procedimento: sono quelli che
hanno il rombo dei centri senza punti sulla curva.
Eseguendo la costruzione passo passo nella figura geogebra allegata si ricostruisce il procedimento
di costruzione dell'ovale.
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• Ovale di dato asse.ggb
Possiamo costruire l'ovale più generale possibile a partire dal rombo dei centri e da un ulteriore
parametro che fissa la grandezza del rettangolo dei raccordi.
Osservando che la curva è simmetrica rispetto a un punto O e due assi ortogonali possiamo
dimostrare che i centri dei 4 archi sono i vertici di un rombo. A partire da due parametri p e q (le
semi diagonali del rombo) e da un parametro t possiamo costruire ttti i possibili ovali.
Dato P e Q, agendo col gruppo di simmetria della
curva, che tecnicamente parlando è il gruppo di
Klein, possiamo costruire i 4 vertici del rombo. Il
vertice T del rettangolo dei raccordi deve allinearsi
con i centri dei due archi che si raccordano in T per
ottenere che questi archi abbiano la stessa tangente.
Col gruppo di simmetria troviamo gli atri tre vertici
del rettangolo dei raccordi e da questo è facile
costruire i 4 archi.