Quinta Lezione

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Quinta Lezione
Delle quasi ellissi ovvero gli ovali
Esistono altre famiglie di curve che assomigliano alle ellisse e che sono spesso usate per la loro
simmetria. Tra queste c'è la famiglia degli ovali. Come le ellissi hanno due assi di simmetria
ortogonali ma la loro costruzione è più semplice perché si ottengono raccordando quattro archi di
circonferenza a due a due uguali sui lati opposti di un rettangolo (detto rettangolo dei raccordi) in
modo che nei punti di giunzione gli archi abbiano la stessa tangente. I 4 centri dei 4 archi, data la
presenza di due assi di simmetria, formano un rombo (detto rombo dei centri):
Nella figura seguente l'ovale è ottenuto a partire dal rettangolo dei raccordi.
Il punto T è scelto arbitrariamente sull'asse orizzontale. I centri dei 4 archi sono T,E,T',E'. Questi
punti formano un rombo caratteristico del dato ovale. Al variare di T si descrive una famiglia di
ovali tutti relativi allo stesso rettangolo dei raccordi.
Eseguendo la costruzione passo passo nella figura geogebra allegata si ricostruisce i procedimento
• Costruzione Ovale.ggb

L'ovale seguente è ottenuto a partire dall'asse minore AB. I centri dei 4 archi sono i punti ABTT'.
Al variare del punto T sull'asse del segmento AB si trova una famiglia di ovali che hanno tutti il
dato segmento AB come asse minore. E' interessante notare la figura che si forma se T si allontana
troppo!
Gli ovali costruiti in questo modo hanno la caratteristica di avere due vertici del rombo dei centri
sull'ovale.
Questo secondo ovale si può ottenere anche con la costruzione precedente muovendo T fino a
quando il punto E (della costruzione precedente) appartiene alla curva. Il viceversa non è però vero.
Ci sono ovali che non possono essere costruiti con questo secondo procedimento: sono quelli che
hanno il rombo dei centri senza punti sulla curva.
Eseguendo la costruzione passo passo nella figura geogebra allegata si ricostruisce il procedimento
di costruzione dell'ovale.
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• Ovale di dato asse.ggb
Possiamo costruire l'ovale più generale possibile a partire dal rombo dei centri e da un ulteriore
parametro che fissa la grandezza del rettangolo dei raccordi.
Osservando che la curva è simmetrica rispetto a un punto O e due assi ortogonali possiamo
dimostrare che i centri dei 4 archi sono i vertici di un rombo. A partire da due parametri p e q (le
semi diagonali del rombo) e da un parametro t possiamo costruire ttti i possibili ovali.
Dato P e Q, agendo col gruppo di simmetria della
curva, che tecnicamente parlando è il gruppo di
Klein, possiamo costruire i 4 vertici del rombo. Il
vertice T del rettangolo dei raccordi deve allinearsi
con i centri dei due archi che si raccordano in T per
ottenere che questi archi abbiano la stessa tangente.
Col gruppo di simmetria troviamo gli atri tre vertici
del rettangolo dei raccordi e da questo è facile
costruire i 4 archi.

Eseguendo la costruzione passo passo nella figura geogebra allegata si ricostruisce il procedimento
di costruzione dell'ovale generico.
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• Ovale generico.ggb
Muovendo i punti P, Q e T possiamo disegnate qualunque ovale.
La famiglia degli ovali è una famiglia che dipende da tre parametri liberi, p=OP, q=OQ e t=PT.
Fissati (entro un certo dominio per evitare situazioni degeneri) questi parametri, indipendenti l'uno
dall'altro, abbiamo un ovale. La famiglia delle ellissi è meno numerosa dato che le ellissi, come
abbiamo visto, dipendono da due parametri liberi p ed l.
E' interessante notare come Keplero, per descrivere l'orbita di Marte, in modo da interpolare tutti i
dati sperimentali e tutte le osservazioni che aveva, in modo esatto, tentò per molti anni di usare gli
ovali quando alla fine si rese conto che sono delle ellissi le orbite descritte dai pianeti.
Questa straordinaria scoperta avviene agli inizi del '600.
Anche il grande architetto Bernini nel progettare la pianta di piazza San Pietro aveva il desiderio di
utilizzare la forma ellittica, ma, per paura di essere perseguitato, come lo erano in quel periodo tutti
i seguaci di Copernico, Keplero e Galileo, usò un ovale che approssimasse la curva ellittica. La cosa
riuscì così bene che ancora oggi si dice (sbagliando) che la pianta della piazza ha forma ellittica
come era nei propositi dell'architetto. Se, per una piazza, la sottile differenza tra queste due curve
poteva passare inosservata ai più, in astronomia, viste le immense dimensioni delle orbite
planetarie, queste "piccole differenze" possono invece far sballare tutte le previsioni.
L'ovale utilizzato da Bernini è particolarmente armonioso: il rombo dei centri è formato da due
triangoli equilateri e il rettangolo degli accordi da ulteriori triangoli equilateri come in figura.
Ovale di Bernini
Si propone agli studenti di disegnare l'ovale di Bernini con riga e compasso su un foglio
• TavolaV.1
Disegnare l'ovale di Bernini con riga e compasso su un foglio a partire da due punti F e F'.
La soluzione si trova sulla seguente pagina di Geogebra.
• Ovale Bernini.ggb
• Tavola V.2
Lo studio di Piazza San Pietro con geogebra

• Scheda V.1
La storia della Basilica di San Pietro e della prospiciente piazza.
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Analisi geometrica di alcuni edifici importanti
Nella cartella Piante Architettoniche, che può essere scaricata, vi sono alcuni edifici che possono
essere studiati geometricamente come è stato fatto nella tavola V.2 usando geogebra. Gli studenti
possono essere divisi in gruppi e ogni gruppo può lavorare su un particolare edificio.
Può essere utile, analizzando geometricamente le piante degli edifici proposti, soprattutto in Scuole
d'Arte e Licei artistici, documentarsi, eventualmente in collaborazione con altri insegnati, sulla
storia di questi edifici.
La schede proposte, come quella su San Pietro, sono state realizzate con questo obiettivo.
• Scheda V.2
La storia della chiesa di Sant'Andrea al Quirinale del Bernini
• Scheda V.3
La storia della chiesa di San Carlo alle Quattro Fontane progettata Borromini.
Sarebbe interessante organizzare delle visite guidate a queste chiese dopo aver visto la loro struttura
geometrica.
Una vera ellisse ovvero la curva del giardiniere
Un'altra curva che ha tulle le simmetrie dell'ellisse e degli ovali è la curva del giardiniere. Questa
curva si ottiene fissando due punti (due pali piantati nel giardino), legando ai due pali una corda più
lunga della loro distanza e tenendo la corda tesa a girare intorno ai due pali. In termini più
matematici abbiamo una grandezza l >0, due punti fissi F1 e F2 a una distanza minore di l e la curva
è data dal luogo dei punti P del piano tali che
PF1 +PF2 = l.
Con la seguente pagina animata si può tracciare questa curva
• La curva del giardiniere.ggb
La curva del giardiniere con Geogebra

Questa curva non solo ha una forma simile a quella di una ellisse ma è proprio una ellisse e, in più,
ogni ellisse può essere ottenuta con la costruzione del giardiniere. Non sappiamo quando si arrivò a
dimostrare questi fatti, ma abbiamo una nota di Cartesio che, nella sua Diottrica (1637), dice:
L'ellisse è una linea curva che i matematici son soliti rappresentare tagliando obliquamente un cono
o un cilindro e che talvolta ho visto servire ai giardinieri nella divisione delle aiuole ove questi la
descrivono certamente in modo assai grossolano e impreciso, ma che tuttavia mi pare faccia
comprendere la sua natura meglio della sezione di un cilindro o di un cono.
Che la natura di queste due curve sia la stessa, cosa decisamente sorprendente, è ciò che vogliamo
dimostrare nel seguito.
Osserviamo intanto che, se A e B sono le
intersezioni della retta che contiene i fuochi con
la curva, Il segmento AB è un asse di simmetria
infatti se P appartiene alla curva cioè se
PF1 +PF2 = l
anche il simmetrico P' appartiene alla curva dal
momento che i due triangoli PF1F2 e P'F1F2
sono uguali e pertanto
P'F1 +P'F2 = PF1 +PF2 = l.
Notiamo anche che, essendo A e B due punti della curva abbiamo AF1 + AF2 =2AF1 + F1F2 = l e
BF1 + BF2 =2BF2 + F1F2 = l quindi
AF1 = BF2 e AB = l.
A questo punto per dimostrare che la curva del giardiniere è una ellisse dobbiamo verificare che
esiste un numero positivo p tale che, per ogni punto P della curva risulta
PT 2 = p
AT " TB
La dimostrazione si riduce a un semplice calcolo algebrico.
Notazioni:
AT = x ,
PT = y , !
AF1 = BF2 = f ,
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PF1 =d1
PF2 = d2.
Applicando il teorema di Pitagora ai triangoli F1TP e F2TP abbiamo
da cui, ricavando d1 troviamo
Tornando al triangolo rettangolo F1TP
!
l
d1 2 - (x - f ) 2 = (l - d1) 2 - (l - x - f ) 2
d 1 = (x + f)" 2 xf
l

!
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y 2 2 #
2 xf &
= d1 " (x " f) = % (x + f)" 2 (
$ l '
= 4xf " 4(x + f) xf
= 4f(l " f)
l 2
x(l " x)
l + 4 x2 f 2
2
" (x " f) 2 = (x + f) 2 " 4(x + f) xf
l + 4 x2 f 2
l 2 " (x " f)2 =
4xf
=
2
l l 2
l 2 ( " xl " fl + xf)
= 4xf
l 2 [ l(l " f)" x(l " f) ] =
Si vede così che la curva del giardiniere è una ellisse di lato trasvero l e lato retto
4f(l " f)
p =
l
Questo stesso calcolo ci permette di dimostrare che, viceversa una ellisse di lato trasverso l e lato
retto p (p < l) può essere tracciata ponendo due punti F1 e F2 che vengono chiamati fuochi
dell'ellisse, a una distanza d data da
!
d = l " 2f = l(l " p)
Infatti dalla relazione lp=4f(l-f), pensando p ed l come parametri e f come incognita e, tenendo
conto che f < l , troviamo
!
f 2 " fl + lp
l "
= 0 da cui f =
4
l(l " p)
2
Abbiamo fino a questo punto trovato varie grandezze associate a una ellisse legate da delle relazioni
che permettono date le une di ricavare le altre.
!
• Tavola V.4
Il lato retto è la corda perpendicolare all'asse maggiore che contiene il fuoco
Ricapitolando:
l = asse maggior =lato trsverso=AB
p = lato retto=PP'
a = asse minore = CD
d= distanza tra i due fuochi= F1F2
f= distanza vertice-fuoco =AF1=BF2
• Tavola V.5
Come costruire una aiuola ellittica conoscendo le lunghezze degli assi.
La retta tangente a una ellisse in un suo punto
!
!
!
!
p =
4f(l " f)
l
a = pl = l 2 " d 2
d = l(l " p)
l " d
f =
2
Vi sono due maniere per costruire la retta tangente a una ellissi e ognuna mette in luce aspetti
diversi. La prima, più antica, si basa sul concetto di rapporto rmonico e con questo nuovo strumento

si riesce a generalizzare la dimostrazione che riporta Galileo nel caso della parabola. La seconda
invece si basa sulla considerazione dei fuochi e ha diverse applicazioni di tipo tecnologico.
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Rapporti armonici
Consideriamo su una retta r un segmento AB e due punti C e D, il primo interno ad AB, e il
secondo esterno in modo che che:
CA DA
=
CB DB
I due punti C e D si dicono coniugati armonici in rapporto ad A e B.
É immediato che se C e D sono coniugati armonici in rapporto ad A e B, allora A e B sono
coniugati armonici in rapporto a C e D. La quaterna di punti (ABCD) costituisce una divisione
armonica.
CA DA
É chiaro che il valore comune dei due rapporti = non può essere 1, perché D deve essere
CB DB
esterno ad AB: se C è nel punto medio di AB non esiste alcun D tale che ABCD sia una divisione
armonica. Poiché però all'avvicinarsi di C al punto medio di AB, D si allontana all'infinito, si usa
dire che il punto all'infinito della retta r è il coniugato armonico del centro del segmento AB.
Vi sono molti modi per costruire, dato il segmento AB e un punto C interno al segmento il quarto
armonico. Ne suggeriamo una particolarmente semplice e che possiamo riprendere con geogebra .
• Rapporto armonico.ggb
Si costruisce dati i tre punti allineati A,B,C il quarto armonico D
Si conduca una retta s per A, formante un qualunque
angolo con la retta r (nel grafico è tracciata la
perpendicolare), e su di essa si riportino C in C' e B
in B'. Si costruisca, sempre su s, il simmetrico B'' di
B' rispetto a C'.
C'B'=C'B''
Si congiunga B'' con B e si tiri la parallela da C' a
B''B: essa interseca r nel punto D richiesto. Infatti per
il teorema di Talete
CA : CB = C'A: B''C' = DA : DB
La tangente a una ellisse con i rapporti armonici

Il concetto di rapporto armonico è lo strumento essenziale per costruire la retta tangente a una
ellisse in un suo punto P. Tale retta, per definizione, è quella retta che passa per P e non incontra
l'ellisse in nessun altro punto cioè lascia l'ellisse tutta in uno stesso semipiano.
Teorema
La tangente all’ellisse in un suo punto P è la retta che congiunge P al punto U, quarto armonico dei
punti A, T, B, essendo T la proiezione di P sull’asse AB.
La dimostrazione che proponiamo ricalca essenzialmente quella di Galileo relativa alla parabola ma
richiede calcoli più impegnativi e una buona dimestichezza con l'Algebra.
Dimostrazione
Consideriamo una qualunque ellisse di lato retto p e di asse maggiore l. Dato il punto P costruiamo
la sua proiezione T sull'asse AB e troviamo il coniugato armonico di T rispetto ad AB. Sia U tale
punto. Dobbiamo dimostrare che la retta UP lascia l'ellisse in uno stesso semipiano. Per questo
basta dimostrare che, preso un qualunque punto Q sull'ellisse, esso è al di sotto della retta PU, cioè
che, con le notazioni della figura, il segmento VQ è più piccolo del segmento VR.
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AT=a , TB=b
b 2 = p
a(l " a)
l
AV=xQ , VQ= yQ , VR= yR
2 p
yQ =
!
l xQ(l " x Q)
UA = u
Dobbiamo dimostrare che yQ < yR
!
Sapendo che, per definizione di quarto armonico, risulta TA:TB = UA:UB. abbiamo
!
a u
=
l " a l + u
e quindi u = al
l - 2a
I triangoli RVU e PTU sono simili, quindi RV: UV = PT: UT

!
yR b
=
u + xQ a + u e quindi yR = b xQ + u
a + u
Essendo i numeri in gioco positivi
p
!
l
!
xQ (l " x Q ) # b x $
Q + u '
& )
% a + u (
sostituiamo il valore di u
Pag.9
2
2 2
" yR
yQ " yR se e solo se yQ * p
l x Q (l " x p
Q ) #
l a(l " a) x $
Q + u '
& )
% a + u (
x Q(l " x Q)
a(l " a)
!
#
xQ + al
l - 2a
a + al
$ '
& )
& ) =
& )
% l - 2a (
lx Q " 2ax Q + al
2al " 2a 2
$
'
&
)
%
(
la disuguaglianza è verificata se e solo se
xQ(l " x Q)
a(l " a)
!
" lx Q " 2axQ + al
2al " 2a 2
2
#
&
%
( ) 0
$
'
cioè
( lx Q " 2ax Q + al)
2
" 4x Q (l " xQ ) al " a 2 ( )
4 al " a 2
# 0
2
( ) 2
ed essendo il denominatore positivo questa disuguaglianza equivale alla
( ) 2
2
( ) # 0
* x Q(l " x Q)
a(l " a) # x $
Q + u '
& )
% a + u (
lx Q " 2ax Q + al " 4x Q (l " xQ ) al " a
!
!
2
Non ci resta che fare i calcoli. Si trova
( lx Q " 2ax Q + al)
!
2
" 4x Q (l " xQ ) al " a 2 ( ) = l 2 2
(x Q " 2axQ + a 2 ) = l 2( xQ " a)
2
Questo numero è sempre positivo tranne quando xQ=a nel qual caso P=Q. Quindi ogni punto Q
dell'ellisse si trova nel semipiano inferiore definito dalla retta UP.
• Tavola V.6
Si chiede di tracciare la tangente a una data ellisse in un suo punto
• Tavola V.7
Dato la direzione dell'asse maggiore e la tangente in un punto si chiede di trovare l'ellisse con quella
tangente.
• Tavola V.8
Si chiede di costruire i quarto armonico e la tangente a una data ellisse con riga e compasso
La tangente a una ellisse usando i fuochi
2
2

Questo secondo approcci parte dal fatto che una ellisse possiamo riguardarla come il luogo dei
punto P per i quali la somma delle distanze da due punti fissi (i fuochi) si mantiene costante:
PF1 +PF2 = l
se e solo se P appartiene alla curva. E' facile vedere che se T è un punto interno allora la somma è
più piccola di l, più grande se P è un punto esterno.
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TF1 +TF2 < TF1+(TP+PF2) = l
TF1 +TF2 = PF1+(PT+TF2) > PF1 +PF2 = l
Per costruire la retta tangente all'ellisse in un suo punto P usiamo una nuova costruzione dell'ellisse
che può essere facilmente riprodotta con geogebra.
• Con centro in uno dei due fuochi F1
tracciamo una circonferenza di raggio
l.
• Prendiamo un punto variabile T su
questa circonferenza.
• Tracciamo l'asse del segmento F2T e
sia P il punto dove questo asse
incontra il raggio F1T.
•
Il luogo dei punti P al variare di T è l'ellisse
di fuochi F1 e F2 e asse maggiore l.
Infatti abbiamo
PF1 +PF2 = PF1 +PT = F1T= l
per tutti i punti T della circonferenza.
Si vede facilmente che questo asse è la tangente all'ellisse nel punto P dato che ogni punto dell'asse
diverso da P, non appartiene alla curva e dunque l'asse contiene un solo punto della curva e la
curva è tutta in uno stesso semipiano.
• Ellisse dai fuochi.ggb
Sia H un qualunque punto dell'asse diverso da P
Abbiamo F2H=HT e quindi
F1H + HF2 = F1H + HT > F1T = l.

Ancora, per la proprietà dell'asse, abbiamo che gli angoli che formano con la tangente i raggi focali
sono uguali e quindi un raggio di luce che nasca in uno dei due fuochi e si rifletta sulla superficie
dell'ellisse va sempre a colpire il secondo fuoco!
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• Formulario per le ellissi
Sitografia
http://www.dm.unipi.it/pages/maurolic/edizioni/conica/apolloni/apo5-6/intro.htm
http://www.dm.unipi.it/pages/maurolic/edizioni/conica/apolloni/apo1-4/intro.htm
http://www.ottobrescienza.it/docs/sintesiconiche.doc
http://www.iuav.it/Didattica1/pagine-web/facolt--di/Fabrizio-G/pdf-pubbli/016_03-curveantiche.pdf
http://nolli.uoregon.edu/