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Pag.1<br />
<strong>Quinta</strong> <strong>Lezione</strong><br />
Delle quasi ellissi ovvero gli ovali<br />
Esistono altre famiglie di curve che assomigliano alle ellisse e che sono spesso usate per la loro<br />
simmetria. Tra queste c'è la famiglia degli ovali. Come le ellissi hanno due assi di simmetria<br />
ortogonali ma la loro costruzione è più semplice perché si ottengono raccordando quattro archi di<br />
circonferenza a due a due uguali sui lati opposti di un rettangolo (detto rettangolo dei raccordi) in<br />
modo che nei punti di giunzione gli archi abbiano la stessa tangente. I 4 centri dei 4 archi, data la<br />
presenza di due assi di simmetria, formano un rombo (detto rombo dei centri):<br />
Nella figura seguente l'ovale è ottenuto a partire dal rettangolo dei raccordi.<br />
Il punto T è scelto arbitrariamente sull'asse orizzontale. I centri dei 4 archi sono T,E,T',E'. Questi<br />
punti formano un rombo caratteristico del dato ovale. Al variare di T si descrive una famiglia di<br />
ovali tutti relativi allo stesso rettangolo dei raccordi.<br />
Eseguendo la costruzione passo passo nella figura geogebra allegata si ricostruisce i procedimento<br />
• Costruzione Ovale.ggb
L'ovale seguente è ottenuto a partire dall'asse minore AB. I centri dei 4 archi sono i punti ABTT'.<br />
Al variare del punto T sull'asse del segmento AB si trova una famiglia di ovali che hanno tutti il<br />
dato segmento AB come asse minore. E' interessante notare la figura che si forma se T si allontana<br />
troppo!<br />
Gli ovali costruiti in questo modo hanno la caratteristica di avere due vertici del rombo dei centri<br />
sull'ovale.<br />
Questo secondo ovale si può ottenere anche con la costruzione precedente muovendo T fino a<br />
quando il punto E (della costruzione precedente) appartiene alla curva. Il viceversa non è però vero.<br />
Ci sono ovali che non possono essere costruiti con questo secondo procedimento: sono quelli che<br />
hanno il rombo dei centri senza punti sulla curva.<br />
Eseguendo la costruzione passo passo nella figura geogebra allegata si ricostruisce il procedimento<br />
di costruzione dell'ovale.<br />
Pag.2<br />
• Ovale di dato asse.ggb<br />
Possiamo costruire l'ovale più generale possibile a partire dal rombo dei centri e da un ulteriore<br />
parametro che fissa la grandezza del rettangolo dei raccordi.<br />
Osservando che la curva è simmetrica rispetto a un punto O e due assi ortogonali possiamo<br />
dimostrare che i centri dei 4 archi sono i vertici di un rombo. A partire da due parametri p e q (le<br />
semi diagonali del rombo) e da un parametro t possiamo costruire ttti i possibili ovali.<br />
Dato P e Q, agendo col gruppo di simmetria della<br />
curva, che tecnicamente parlando è il gruppo di<br />
Klein, possiamo costruire i 4 vertici del rombo. Il<br />
vertice T del rettangolo dei raccordi deve allinearsi<br />
con i centri dei due archi che si raccordano in T per<br />
ottenere che questi archi abbiano la stessa tangente.<br />
Col gruppo di simmetria troviamo gli atri tre vertici<br />
del rettangolo dei raccordi e da questo è facile<br />
costruire i 4 archi.
Eseguendo la costruzione passo passo nella figura geogebra allegata si ricostruisce il procedimento<br />
di costruzione dell'ovale generico.<br />
Pag.3<br />
• Ovale generico.ggb<br />
Muovendo i punti P, Q e T possiamo disegnate qualunque ovale.<br />
La famiglia degli ovali è una famiglia che dipende da tre parametri liberi, p=OP, q=OQ e t=PT.<br />
Fissati (entro un certo dominio per evitare situazioni degeneri) questi parametri, indipendenti l'uno<br />
dall'altro, abbiamo un ovale. La famiglia delle ellissi è meno numerosa dato che le ellissi, come<br />
abbiamo visto, dipendono da due parametri liberi p ed l.<br />
E' interessante notare come Keplero, per descrivere l'orbita di Marte, in modo da interpolare tutti i<br />
dati sperimentali e tutte le osservazioni che aveva, in modo esatto, tentò per molti anni di usare gli<br />
ovali quando alla fine si rese conto che sono delle ellissi le orbite descritte dai pianeti.<br />
Questa straordinaria scoperta avviene agli inizi del '600.<br />
Anche il grande architetto Bernini nel progettare la pianta di piazza San Pietro aveva il desiderio di<br />
utilizzare la forma ellittica, ma, per paura di essere perseguitato, come lo erano in quel periodo tutti<br />
i seguaci di Copernico, Keplero e Galileo, usò un ovale che approssimasse la curva ellittica. La cosa<br />
riuscì così bene che ancora oggi si dice (sbagliando) che la pianta della piazza ha forma ellittica<br />
come era nei propositi dell'architetto. Se, per una piazza, la sottile differenza tra queste due curve<br />
poteva passare inosservata ai più, in astronomia, viste le immense dimensioni delle orbite<br />
planetarie, queste "piccole differenze" possono invece far sballare tutte le previsioni.<br />
L'ovale utilizzato da Bernini è particolarmente armonioso: il rombo dei centri è formato da due<br />
triangoli equilateri e il rettangolo degli accordi da ulteriori triangoli equilateri come in figura.<br />
Ovale di Bernini<br />
Si propone agli studenti di disegnare l'ovale di Bernini con riga e compasso su un foglio<br />
• TavolaV.1<br />
Disegnare l'ovale di Bernini con riga e compasso su un foglio a partire da due punti F e F'.<br />
La soluzione si trova sulla seguente pagina di Geogebra.<br />
• Ovale Bernini.ggb<br />
• Tavola V.2<br />
Lo studio di Piazza San Pietro con geogebra
• Scheda V.1<br />
La storia della Basilica di San Pietro e della prospiciente piazza.<br />
Pag.4<br />
Analisi geometrica di alcuni edifici importanti<br />
Nella cartella Piante Architettoniche, che può essere scaricata, vi sono alcuni edifici che possono<br />
essere studiati geometricamente come è stato fatto nella tavola V.2 usando geogebra. Gli studenti<br />
possono essere divisi in gruppi e ogni gruppo può lavorare su un particolare edificio.<br />
Può essere utile, analizzando geometricamente le piante degli edifici proposti, soprattutto in Scuole<br />
d'Arte e Licei artistici, documentarsi, eventualmente in collaborazione con altri insegnati, sulla<br />
storia di questi edifici.<br />
La schede proposte, come quella su San Pietro, sono state realizzate con questo obiettivo.<br />
• Scheda V.2<br />
La storia della chiesa di Sant'Andrea al Quirinale del Bernini<br />
• Scheda V.3<br />
La storia della chiesa di San Carlo alle Quattro Fontane progettata Borromini.<br />
Sarebbe interessante organizzare delle visite guidate a queste chiese dopo aver visto la loro struttura<br />
geometrica.<br />
Una vera ellisse ovvero la curva del giardiniere<br />
Un'altra curva che ha tulle le simmetrie dell'ellisse e degli ovali è la curva del giardiniere. Questa<br />
curva si ottiene fissando due punti (due pali piantati nel giardino), legando ai due pali una corda più<br />
lunga della loro distanza e tenendo la corda tesa a girare intorno ai due pali. In termini più<br />
matematici abbiamo una grandezza l >0, due punti fissi F1 e F2 a una distanza minore di l e la curva<br />
è data dal luogo dei punti P del piano tali che<br />
PF1 +PF2 = l.<br />
Con la seguente pagina animata si può tracciare questa curva<br />
• La curva del giardiniere.ggb<br />
La curva del giardiniere con Geogebra
Questa curva non solo ha una forma simile a quella di una ellisse ma è proprio una ellisse e, in più,<br />
ogni ellisse può essere ottenuta con la costruzione del giardiniere. Non sappiamo quando si arrivò a<br />
dimostrare questi fatti, ma abbiamo una nota di Cartesio che, nella sua Diottrica (1637), dice:<br />
L'ellisse è una linea curva che i matematici son soliti rappresentare tagliando obliquamente un cono<br />
o un cilindro e che talvolta ho visto servire ai giardinieri nella divisione delle aiuole ove questi la<br />
descrivono certamente in modo assai grossolano e impreciso, ma che tuttavia mi pare faccia<br />
comprendere la sua natura meglio della sezione di un cilindro o di un cono.<br />
Che la natura di queste due curve sia la stessa, cosa decisamente sorprendente, è ciò che vogliamo<br />
dimostrare nel seguito.<br />
Osserviamo intanto che, se A e B sono le<br />
intersezioni della retta che contiene i fuochi con<br />
la curva, Il segmento AB è un asse di simmetria<br />
infatti se P appartiene alla curva cioè se<br />
PF1 +PF2 = l<br />
anche il simmetrico P' appartiene alla curva dal<br />
momento che i due triangoli PF1F2 e P'F1F2<br />
sono uguali e pertanto<br />
P'F1 +P'F2 = PF1 +PF2 = l.<br />
Notiamo anche che, essendo A e B due punti della curva abbiamo AF1 + AF2 =2AF1 + F1F2 = l e<br />
BF1 + BF2 =2BF2 + F1F2 = l quindi<br />
AF1 = BF2 e AB = l.<br />
A questo punto per dimostrare che la curva del giardiniere è una ellisse dobbiamo verificare che<br />
esiste un numero positivo p tale che, per ogni punto P della curva risulta<br />
PT 2 = p<br />
AT " TB<br />
La dimostrazione si riduce a un semplice calcolo algebrico.<br />
Notazioni:<br />
AT = x ,<br />
PT = y , !<br />
AF1 = BF2 = f ,<br />
Pag.5<br />
PF1 =d1<br />
PF2 = d2.<br />
Applicando il teorema di Pitagora ai triangoli F1TP e F2TP abbiamo<br />
da cui, ricavando d1 troviamo<br />
Tornando al triangolo rettangolo F1TP<br />
!<br />
l<br />
d1 2 - (x - f ) 2 = (l - d1) 2 - (l - x - f ) 2<br />
d 1 = (x + f)" 2 xf<br />
l
!<br />
Pag.6<br />
y 2 2 #<br />
2 xf &<br />
= d1 " (x " f) = % (x + f)" 2 (<br />
$ l '<br />
= 4xf " 4(x + f) xf<br />
= 4f(l " f)<br />
l 2<br />
x(l " x)<br />
l + 4 x2 f 2<br />
2<br />
" (x " f) 2 = (x + f) 2 " 4(x + f) xf<br />
l + 4 x2 f 2<br />
l 2 " (x " f)2 =<br />
4xf<br />
=<br />
2<br />
l l 2<br />
l 2 ( " xl " fl + xf)<br />
= 4xf<br />
l 2 [ l(l " f)" x(l " f) ] =<br />
Si vede così che la curva del giardiniere è una ellisse di lato trasvero l e lato retto<br />
4f(l " f)<br />
p =<br />
l<br />
Questo stesso calcolo ci permette di dimostrare che, viceversa una ellisse di lato trasverso l e lato<br />
retto p (p < l) può essere tracciata ponendo due punti F1 e F2 che vengono chiamati fuochi<br />
dell'ellisse, a una distanza d data da<br />
!<br />
d = l " 2f = l(l " p)<br />
Infatti dalla relazione lp=4f(l-f), pensando p ed l come parametri e f come incognita e, tenendo<br />
conto che f < l , troviamo<br />
!<br />
f 2 " fl + lp<br />
l "<br />
= 0 da cui f =<br />
4<br />
l(l " p)<br />
2<br />
Abbiamo fino a questo punto trovato varie grandezze associate a una ellisse legate da delle relazioni<br />
che permettono date le une di ricavare le altre.<br />
!<br />
• Tavola V.4<br />
Il lato retto è la corda perpendicolare all'asse maggiore che contiene il fuoco<br />
Ricapitolando:<br />
l = asse maggior =lato trsverso=AB<br />
p = lato retto=PP'<br />
a = asse minore = CD<br />
d= distanza tra i due fuochi= F1F2<br />
f= distanza vertice-fuoco =AF1=BF2<br />
• Tavola V.5<br />
Come costruire una aiuola ellittica conoscendo le lunghezze degli assi.<br />
La retta tangente a una ellisse in un suo punto<br />
!<br />
!<br />
!<br />
!<br />
p =<br />
4f(l " f)<br />
l<br />
a = pl = l 2 " d 2<br />
d = l(l " p)<br />
l " d<br />
f =<br />
2<br />
Vi sono due maniere per costruire la retta tangente a una ellissi e ognuna mette in luce aspetti<br />
diversi. La prima, più antica, si basa sul concetto di rapporto rmonico e con questo nuovo strumento
si riesce a generalizzare la dimostrazione che riporta Galileo nel caso della parabola. La seconda<br />
invece si basa sulla considerazione dei fuochi e ha diverse applicazioni di tipo tecnologico.<br />
Pag.7<br />
Rapporti armonici<br />
Consideriamo su una retta r un segmento AB e due punti C e D, il primo interno ad AB, e il<br />
secondo esterno in modo che che:<br />
CA DA<br />
=<br />
CB DB<br />
I due punti C e D si dicono coniugati armonici in rapporto ad A e B.<br />
É immediato che se C e D sono coniugati armonici in rapporto ad A e B, allora A e B sono<br />
coniugati armonici in rapporto a C e D. La quaterna di punti (ABCD) costituisce una divisione<br />
armonica.<br />
CA DA<br />
É chiaro che il valore comune dei due rapporti = non può essere 1, perché D deve essere<br />
CB DB<br />
esterno ad AB: se C è nel punto medio di AB non esiste alcun D tale che ABCD sia una divisione<br />
armonica. Poiché però all'avvicinarsi di C al punto medio di AB, D si allontana all'infinito, si usa<br />
dire che il punto all'infinito della retta r è il coniugato armonico del centro del segmento AB.<br />
Vi sono molti modi per costruire, dato il segmento AB e un punto C interno al segmento il quarto<br />
armonico. Ne suggeriamo una particolarmente semplice e che possiamo riprendere con geogebra .<br />
• Rapporto armonico.ggb<br />
Si costruisce dati i tre punti allineati A,B,C il quarto armonico D<br />
Si conduca una retta s per A, formante un qualunque<br />
angolo con la retta r (nel grafico è tracciata la<br />
perpendicolare), e su di essa si riportino C in C' e B<br />
in B'. Si costruisca, sempre su s, il simmetrico B'' di<br />
B' rispetto a C'.<br />
C'B'=C'B''<br />
Si congiunga B'' con B e si tiri la parallela da C' a<br />
B''B: essa interseca r nel punto D richiesto. Infatti per<br />
il teorema di Talete<br />
CA : CB = C'A: B''C' = DA : DB<br />
La tangente a una ellisse con i rapporti armonici
Il concetto di rapporto armonico è lo strumento essenziale per costruire la retta tangente a una<br />
ellisse in un suo punto P. Tale retta, per definizione, è quella retta che passa per P e non incontra<br />
l'ellisse in nessun altro punto cioè lascia l'ellisse tutta in uno stesso semipiano.<br />
Teorema<br />
La tangente all’ellisse in un suo punto P è la retta che congiunge P al punto U, quarto armonico dei<br />
punti A, T, B, essendo T la proiezione di P sull’asse AB.<br />
La dimostrazione che proponiamo ricalca essenzialmente quella di Galileo relativa alla parabola ma<br />
richiede calcoli più impegnativi e una buona dimestichezza con l'Algebra.<br />
Dimostrazione<br />
Consideriamo una qualunque ellisse di lato retto p e di asse maggiore l. Dato il punto P costruiamo<br />
la sua proiezione T sull'asse AB e troviamo il coniugato armonico di T rispetto ad AB. Sia U tale<br />
punto. Dobbiamo dimostrare che la retta UP lascia l'ellisse in uno stesso semipiano. Per questo<br />
basta dimostrare che, preso un qualunque punto Q sull'ellisse, esso è al di sotto della retta PU, cioè<br />
che, con le notazioni della figura, il segmento VQ è più piccolo del segmento VR.<br />
Pag.8<br />
AT=a , TB=b<br />
b 2 = p<br />
a(l " a)<br />
l<br />
AV=xQ , VQ= yQ , VR= yR<br />
2 p<br />
yQ =<br />
!<br />
l xQ(l " x Q)<br />
UA = u<br />
Dobbiamo dimostrare che yQ < yR<br />
!<br />
Sapendo che, per definizione di quarto armonico, risulta TA:TB = UA:UB. abbiamo<br />
!<br />
a u<br />
=<br />
l " a l + u<br />
e quindi u = al<br />
l - 2a<br />
I triangoli RVU e PTU sono simili, quindi RV: UV = PT: UT
!<br />
yR b<br />
=<br />
u + xQ a + u e quindi yR = b xQ + u<br />
a + u<br />
Essendo i numeri in gioco positivi<br />
p<br />
!<br />
l<br />
!<br />
xQ (l " x Q ) # b x $<br />
Q + u '<br />
& )<br />
% a + u (<br />
sostituiamo il valore di u<br />
Pag.9<br />
2<br />
2 2<br />
" yR<br />
yQ " yR se e solo se yQ * p<br />
l x Q (l " x p<br />
Q ) #<br />
l a(l " a) x $<br />
Q + u '<br />
& )<br />
% a + u (<br />
x Q(l " x Q)<br />
a(l " a)<br />
!<br />
#<br />
xQ + al<br />
l - 2a<br />
a + al<br />
$ '<br />
& )<br />
& ) =<br />
& )<br />
% l - 2a (<br />
lx Q " 2ax Q + al<br />
2al " 2a 2<br />
$<br />
'<br />
&<br />
)<br />
%<br />
(<br />
la disuguaglianza è verificata se e solo se<br />
xQ(l " x Q)<br />
a(l " a)<br />
!<br />
" lx Q " 2axQ + al<br />
2al " 2a 2<br />
2<br />
#<br />
&<br />
%<br />
( ) 0<br />
$<br />
'<br />
cioè<br />
( lx Q " 2ax Q + al)<br />
2<br />
" 4x Q (l " xQ ) al " a 2 ( )<br />
4 al " a 2<br />
# 0<br />
2<br />
( ) 2<br />
ed essendo il denominatore positivo questa disuguaglianza equivale alla<br />
( ) 2<br />
2<br />
( ) # 0<br />
* x Q(l " x Q)<br />
a(l " a) # x $<br />
Q + u '<br />
& )<br />
% a + u (<br />
lx Q " 2ax Q + al " 4x Q (l " xQ ) al " a<br />
!<br />
!<br />
2<br />
Non ci resta che fare i calcoli. Si trova<br />
( lx Q " 2ax Q + al)<br />
!<br />
2<br />
" 4x Q (l " xQ ) al " a 2 ( ) = l 2 2<br />
(x Q " 2axQ + a 2 ) = l 2( xQ " a)<br />
2<br />
Questo numero è sempre positivo tranne quando xQ=a nel qual caso P=Q. Quindi ogni punto Q<br />
dell'ellisse si trova nel semipiano inferiore definito dalla retta UP.<br />
• Tavola V.6<br />
Si chiede di tracciare la tangente a una data ellisse in un suo punto<br />
• Tavola V.7<br />
Dato la direzione dell'asse maggiore e la tangente in un punto si chiede di trovare l'ellisse con quella<br />
tangente.<br />
• Tavola V.8<br />
Si chiede di costruire i quarto armonico e la tangente a una data ellisse con riga e compasso<br />
La tangente a una ellisse usando i fuochi<br />
2<br />
2
Questo secondo approcci parte dal fatto che una ellisse possiamo riguardarla come il luogo dei<br />
punto P per i quali la somma delle distanze da due punti fissi (i fuochi) si mantiene costante:<br />
PF1 +PF2 = l<br />
se e solo se P appartiene alla curva. E' facile vedere che se T è un punto interno allora la somma è<br />
più piccola di l, più grande se P è un punto esterno.<br />
Pag.10<br />
TF1 +TF2 < TF1+(TP+PF2) = l<br />
TF1 +TF2 = PF1+(PT+TF2) > PF1 +PF2 = l<br />
Per costruire la retta tangente all'ellisse in un suo punto P usiamo una nuova costruzione dell'ellisse<br />
che può essere facilmente riprodotta con geogebra.<br />
• Con centro in uno dei due fuochi F1<br />
tracciamo una circonferenza di raggio<br />
l.<br />
• Prendiamo un punto variabile T su<br />
questa circonferenza.<br />
• Tracciamo l'asse del segmento F2T e<br />
sia P il punto dove questo asse<br />
incontra il raggio F1T.<br />
•<br />
Il luogo dei punti P al variare di T è l'ellisse<br />
di fuochi F1 e F2 e asse maggiore l.<br />
Infatti abbiamo<br />
PF1 +PF2 = PF1 +PT = F1T= l<br />
per tutti i punti T della circonferenza.<br />
Si vede facilmente che questo asse è la tangente all'ellisse nel punto P dato che ogni punto dell'asse<br />
diverso da P, non appartiene alla curva e dunque l'asse contiene un solo punto della curva e la<br />
curva è tutta in uno stesso semipiano.<br />
• Ellisse dai fuochi.ggb<br />
Sia H un qualunque punto dell'asse diverso da P<br />
Abbiamo F2H=HT e quindi<br />
F1H + HF2 = F1H + HT > F1T = l.
Ancora, per la proprietà dell'asse, abbiamo che gli angoli che formano con la tangente i raggi focali<br />
sono uguali e quindi un raggio di luce che nasca in uno dei due fuochi e si rifletta sulla superficie<br />
dell'ellisse va sempre a colpire il secondo fuoco!<br />
Pag.11<br />
• Formulario per le ellissi<br />
Sitografia<br />
http://www.dm.unipi.it/pages/maurolic/edizioni/conica/apolloni/apo5-6/intro.htm<br />
http://www.dm.unipi.it/pages/maurolic/edizioni/conica/apolloni/apo1-4/intro.htm<br />
http://www.ottobrescienza.it/docs/sintesiconiche.doc<br />
http://www.iuav.it/Didattica1/pagine-web/facolt--di/Fabrizio-G/pdf-pubbli/016_03-curveantiche.pdf<br />
http://nolli.uoregon.edu/