Momento d'inerzia assiale

UNIVERSITA’ DEGLI STUDIO DI PADOVA
Facoltà di Agraria Collegio dei Geometri
CORSO DI AGGIORNAMENTO PROFESSIONALE
DI PROGETTAZIONE COSTRUTTIVA
GIORGIO SIMIONI INGEGNERE

Argomenti e idee da sviluppare
Caratteristiche geometriche di un corpo
Concetto di massa
Necessità di definire il baricentro di qualsiasi figura
piana
Concetto di momento di una forza
Determinazione dei momenti statici del primo ordine
Ricerca di baricentri: Teorema di Varignon, simmetrie,
composizione di figure piane
Determinazione dei momenti statici del secondo ordine:
momento di inerzia assiale, polare, centrifugo
Determinazione dell’ellisse centrale d’inerzia

Massa
Sistema discreto: costituito da masse
elementari concentrate in punti materiali
distinti.
Sistema continuo: la massa m è diffusa
in una certa regione del piano o dello
spazio.

Teorema di Varignon
E’ proprietà dei vettori.
Sia dato un sistema di vettori e un polo.
Il momento di un sistema di vettori
rispetto a un polo è uguale al momento
del vettore risultante riepetto allo stesso
polo.

Baricentro
Baricentro di un corpo è il punto in cui
può essere concentrata la massa del
corpo stesso.
Baricentro di una massa è invariante,
cioè gode della proprietà di essere fisso.
Se il corpo ha un peso, il baricentro si
definisce centro di gravità G.
Se il corpo ha un asse di simmetria, il
centro di gravità G (baricentro)
appartiene a tale asse.

Baricentro

Baricentro

Baricentro

Momento statico
E’ momento del 1° ordine
Sia dato un sistema di masse e un asse.
Si definisce momento statico del
sistema di masse la somma dei prodotti
delle masse per le rispettive distanze
dall’asse.
S r =Σm i d i

Momento statico

Ricerca del baricentro
Il momento statico di un sistema di
masse è nullo rispetto a tutti gli assi
passanti per il baricentro del sistema.
S x =Σm i y i =y G Σm i
y G =S x /Σm i
S y =Σm i x i =x G Σm i
x G =S y /Σm i

Ricerca del baricentro

Esempi e applicazioni
Baricentro di una spezzata.
Baricentro di un triangolo.
Baricentro di un rettangolo.
Baricentro di una sezione a T, U, L.
Baricentro di una sezione trapezia.

Baricentro di una spezzata

Baricentro di sezione a T

Momento d’inerzia assiale
E’ momento del 2° ordine
Sia dato un sistema discreto di masse e
un asse.
Si definisce momento d’inerzia assiale
del sistema di masse la somma dei
prodotti delle masse per le rispettive
distanze al quadrato dall’asse.
J x =Σm i y i 2

Momento d’inerzia assiale

Momento d’inerzia polare
E’ momento del 2° ordine
Sia dato un sistema discreto di masse e
un punto P.
Si definisce momento d’inerzia polare
del sistema di masse la somma dei
prodotti delle masse per le rispettive
distanze al quadrato dal punto.
J p =Σm i d i 2

Momento d’inerzia polare
E’ momento del 2° ordine
Sia dato un sistema discreto di masse,
un punto P e due assi ortogonali x, y
passanti per P.
Si definisce momento d’inerzia polare
del sistema di masse la somma dei
prodotti delle masse per le rispettive
distanze al quadrato dal punto.
J p =Σm i d i 2 =Jx +J y

Momento d’inerzia
centrifugo
E’ momento del 2° ordine
Sia dato un sistema discreto di masse, e
due assi x, y.
Si definisce momento d’inerzia
centrifugo del sistema di masse la
somma dei prodotti delle masse per le
rispettive distanze dai due assi.
J xy =Σm i x i y i

Il teorema di trasposizione
E’ proprietà dei momenti del 2° ordine
Sia dato un sistema discreto di masse, e
due assi paralleli x, xG a distanza d.
Il momento d’inerzia di un sistema di
masse rispetto ad un asse x è uguale al
momento d’inerzia dello stesso sistema
di masse rispetto all’asse parallelo
baricentrico xG , aumentato del prodotto
della somma delle masse per il quadrato
della distanza tra i due assi.
J x =J xG +d 2 Σm i

Esempi e applicazioni
Sistema di masse discrete distribuite
secondo due rette parallele.
Sezione IPE.

Il baricentro dei momenti
statici o centro relativo
J x =Σ(m i y i )y i =y X Σm i y i
J x =y X y G Σm i
Il punto X si chiama centro relativo del
sistema di masse rispetto alla retta x.
ρ x 2 =yX y G
J x =ρ X 2 Σmi
ρ X si chiama raggio d’inerzia del
sistema di masse rispetto alla retta x

Il baricentro dei momenti
statici o centro relativo

Proprietà del raggio
d’inerzia e del centro
relativo.
ρX è medio proporzionale fra yX e yG .
ρX è individuato nella perpendicolare alla
retta che contiene yX e yG, come altezza
del triangoloABC inserito nella
semicirconferenza di diametro yX +yG .

Proprietà del raggio d’inerzia
e del centro relativo.

Proprietà del raggio d’inerzia
e del centro relativo.
Il centro relativo di rette baricentriche si
trova all’infinito (y G tende a 0).
Data una retta x, il suo centro relativo si
troverà sempre dalla parte opposta
rispetto a G.
Se una retta contiene il centro relativo
del sistema rispetto a un’altra retta,
questa deve contenere il centro relativo
del sistema rispetto alla prima retta; tali
rette si dicono rette coniugate.
J xy =Σm i y i x i =Σ(m i x i )y i = 0

Proprietà del raggio d’inerzia
e del centro relativo.

L’ellisse centrale d’inerzia.
L’ellisse centrale d’inerzia è il luogo
geometrico dei punti simmetrici dei centri
relativi rispetto alla retta x.
Coppie di rette coniugate baricentriche
intersecano l’ellisse secondo diametri
coniugati.
La coppia di rette coniugate
baricentriche, ortogonali tra loro,
definisce le rette principali dell’ellisse
centrale d’inerzia; i relativi diametri
coniugati sono chiamati diametri
principali.

L’ellisse centrale d’inerzia.

L’ellisse centrale d’inerzia.
I diametri principali sono caratterizzati dalla
massima e minima lunghezza.
Quando il sistema di masse presenta un
asse di simmetria, tale asse coincide con
una retta principale che contiene un
diametro principale, la seconda retta
principale sarà ad essa ortogonale e
conterrà il secondo diametro principale.
Se il sistema di masse presenta almeno tre
assi di simmetria, l’ellisse si riconduce ad un
cerchio.

L’ellisse centrale d’inerzia.

Momento d’inerzia assiale
di figure piane.
E’ momento del 2° ordine
Sia dato un sistema continuo di masse e
un asse.
Si definisce momento d’inerzia assiale
del sistema di masse la somma dei
prodotti delle masse per le rispettive
distanze al quadrato dall’asse.
J x =Σm i y i 2 =yG y X Σm i
J x =y G y X A= ρ xG 2 A

L’ellisse centrale d’inerzia
di figure piane.
Gli assi principali d’inerzia sono sempre
assi ortogonali baricentrici.
Se la figura ha un asse di simmetria
questo è anche uno degli assi principali
dell’ellisse.
Se la figura ha due assi di simmetria
questi coincidono con gli assi principali
d’inerzia.
Se la figura ha tre assi di simmetria
l’ellisse è un cerchio.

L’ellisse centrale d’inerzia
di figure piane.
J x =ρ xG 2 A
ρ xG 2 =Jx /A
ρ yG 2 =Jy /A

L’ellisse centrale
d’inerzia di
figure piane.

Il nocciolo centrale d’inerzia
di figure piane.
Il nocciolo centrale d’inerzia di una
figura piana è il luogo geometrico dei
centri relativi rispetto all’ellisse centrale
d’inerzia, delle rette che non tagliano la
figura data.
Il nocciolo centrale d’inerzia è una figura
piana.

Il nocciolo centrale d’inerzia
di figure piane.
Ogni retta esterna alla figura ha il suo
centro relativo interno al nocciolo; in
particolare, le rette all’infinito hanno il
centro relativo coincidente con il
baricentro.
Ogni retta tangente la figura ha il centro
relativo sul perimetro del nocciolo.
Ogni retta che taglia la figura ha il centro
relativo esterno al nocciolo.
Gli assi baricentrici hanno il centro
relativo all’infinito.

Il nocciolo centrale d’inerzia
di figure piane.
Il contorno del nocciolo è sempre
convesso, qualunque sia la figura data;
A ogni lato della figura corrisponde un
vertice del contorno del nocciolo e,
viceversa a ogni vertice della figura
corrisponde un tratto rettilineo del
perimetro del nocciolo.
Il centro relativo di un asse tangente
giace sul relativo asse coniugato.

Il nocciolo centrale d’inerzia
di figure piane.

Esempi e applicazioni
Rettangolo.
Triangolo.
Figure scomponibili in rettangoli.

Rettangolo

Rettangolo

Rettangolo

Triangolo

Figure scomponibili in
rettangoli.

Esempi e applicazioni