fondamenti di armoniche e sistemi di filtraggio - Università di ...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA 

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA ELETTRICA 

Corso Di Laurea Magistrale In Ingegneria Elettrica 

Corso di 

Progettazione Di Sistemi Elettrici Industriali 

(prof. Roberto Turri) 

FONDAMENTI DI ARMONICHE E SISTEMI DI 

FILTRAGGIO 

A.A. 2010/2011 

Bianconi Matti 

Scandola Francesco 

Tessari Matteo 

Zin Stefano

Sommario 

Introduzione ...................................................................................................................................... 1 

Capitolo 1 .......................................................................................................................................... 3 

Concetti fondamentali sui circuiti elettrici ........................................................................................ 3 

1.1 Potenza Media e Corrente Efficace ......................................................................................... 3 

1.2 Tensioni e Correnti Alternate Sinusoidali a Regime ................................................................ 4 

1.3 Onde Non Sinusoidali In Regime Stazionario ........................................................................... 7 

1.4 Effetti Delle Armoniche ......................................................................................................... 13 

1.5 Inter-armoniche ..................................................................................................................... 16 

1.5.1 Descrizione del fenomeno .............................................................................................. 16 

1.5.2 Sorgenti di inter-armoniche ........................................................................................... 16 

1.6 Propagazione in rete .............................................................................................................. 17 

Capitolo 2 ........................................................................................................................................ 19 

Generatori Di Armoniche ................................................................................................................ 19 

2.1 Alimentazioni Monofasi ......................................................................................................... 19 

2.2 Convertitori Statici In Reti Trifasi ........................................................................................... 21 

2.3 Illuminazione ......................................................................................................................... 25 

2.4 Forni Ad Arco ......................................................................................................................... 27 

2.5 Dispositivi Saturabili .............................................................................................................. 29 

2.6 Macchine Rotanti ................................................................................................................... 31 

2.7 Schema Riassuntivo Convertitori Alimentanti Carichi Distorcenti-Forma d’onda tipo ......... 32 

Capitolo 3 ........................................................................................................................................ 33 

La risposta del sistema .................................................................................................................... 33 

3.1 L’impedenza del sistema ....................................................................................................... 33 

3.2 Impedenza capacitiva ............................................................................................................ 35 

3.3 Risonanza parallelo ................................................................................................................ 36 

3.4 Risonanza serie ...................................................................................................................... 41 

3.5 Effetti della resistenza e di carichi resistivi ............................................................................ 43 

3.6 Esempio di una risonanza serie ............................................................................................. 44 

3.7 Esempio di risonanza parallelo .............................................................................................. 47 

3.8 Soluzioni per evitare le risonanze .......................................................................................... 49 

I

II 

3.8.1 Connessione condensatore-reattore: risonanza serie .................................................... 50 

3.8.2 Connessione condensatore-reattore: risonanza parallelo ............................................. 52 

3.9 Interazione filtro – sistema elettrico ..................................................................................... 54 

Capitolo 4 ......................................................................................................................................... 57 

Tipologie di filtro .............................................................................................................................. 57 

4.1 Composizione base di un filtro .............................................................................................. 57 

4.1.1 Condensatore ................................................................................................................. 57 

4.1.2 Reattore .......................................................................................................................... 57 

4.1.3 Interruttori ...................................................................................................................... 58 

4.1.4 Protezione contro i cortocircuiti ( fusibili ) ..................................................................... 58 

4.2 Filtri passivi ............................................................................................................................ 58 

4.2.1 Filtro accordato ............................................................................................................... 60 

4.2.2 Filtro non accordato ....................................................................................................... 64 

4.2.3 Filtro passa-alto .............................................................................................................. 65 

4.3 Condensatori di rifasamento ................................................................................................. 67 

4.4 Filtri attivi ............................................................................................................................... 68 

Capitolo 5 ......................................................................................................................................... 71 

Criteri di dimensionamento ............................................................................................................. 71 

5.1 Filtri passivi accordati ............................................................................................................ 71 

5.2 Filtri passa alto ....................................................................................................................... 75 

Capitolo 6 ......................................................................................................................................... 77 

Perturbazioni alle installazioni di telecomando ............................................................................... 77 

6.1 Installazioni in reti con tensione inferiore o uguale a 1000 V ............................................... 77 

6.1.1 Filtro accordato ............................................................................................................... 77 

6.1.2 Filtro non accordato ....................................................................................................... 77 

6.1.3 Condensatori di rifasamento .......................................................................................... 78 

6.2 Installazioni in reti con tensione superiore a 1000 V ............................................................. 80 

Capitolo 7 ......................................................................................................................................... 81 

Limiti accettabili da normativa ........................................................................................................ 81 

7.1 Limiti generali ........................................................................................................................ 81 

7.2 Limiti standardizzati ............................................................................................................... 81 

7.2.1 Veduta d'insieme degli standard IEC sulle armoniche ................................................... 81 

7.2.2 IEC 61000-2-2 .................................................................................................................. 83 

7.2.3 IEC 61000-3-2 ed IEC 61000-3-4 ..................................................................................... 83

7.2.4 IEC 61000-3-6 ................................................................................................................. 87 

7.2.5 EN 50160 ........................................................................................................................ 87 

Capitolo 8 ........................................................................................................................................ 89 

Esempi di calcolo ............................................................................................................................. 89 

8.1 Analisi armonica di una rete MT ............................................................................................ 89 

Bibliografia ..................................................................................................................................... 125 

III

Introduzione 

Introduzione 

Ciò che sempre si cerca di fare durante la produzione e poi trasmissione di energia elettrica, è 

di produrre la potenza voluta e poi trasportarla ad una tensione il più possibile simile ad una sinusoide. 

La tensione ha infatti, in generale, una distorsione inferiore all’1%, tuttavia essa aumenta 

via via che ci si avvicina al carico fintanto che ad un certo punto la forma d'onda di corrente assomiglia 

a malapena ad una sinusoide. 

È perciò facile capire che i sistemi elettrici per l’energia sono sempre più caratterizzati dalla 

presenza di carichi non lineari, ad esempio raddrizzatori per la conversione c.a.-c.c., lampade a 

scarica, azionamenti, ecc. Le reti di distribuzione sono perciò sempre più interessate da problemi 

di inquinamento armonico, con aumento delle perdite nel sistema di distribuzione e distorsione 

della tensione sui carichi; ciò può risultare dannoso per il corretto funzionamento e per la vita 

media dei carichi stessi. 

Mentre in alcuni casi la distorsione è casuale però, il più delle volte la distorsione è periodica 

o comunque un multiplo intero della frequenza del sistema di alimentazione. Questo fatto fa si 

che la forma d’onda di corrente resti sempre molto simile periodo dopo periodo, con soli alcuni 

piccoli cambiamenti. 

In una rete industriale di potenza, l’andamento della corrente e della tensione nel tempo, è 

quindi abbastanza diverso da un’onda sinusoidale “pura”. È da dire che per molti, la distorsione 

armonica rappresenta tuttora il più importante problema di qualità della potenza e ciò è legato 

soprattutto al fatto che molti dispositivi vengono pensati con riferimento alla sola frequenza fondamentale, 

tralasciando il problema della non idealità della forma d’onda. È comunque da notare 

come, nonostante il problema delle armoniche sia difficile da affrontare, non sono molto numerosi 

i sistemi che soffrono in maniera grave di tale problema perché, con un po’ di attenzione e gli 

accorgimenti che si vedranno più avanti, la distorsione armonica può essere limitata efficacemente. 

Se quindi il sistema viene dimensionato correttamente per la gestione della potenza, vi è una 

bassa probabilità che le armoniche possano comportare problemi al sistema di potenza stesso anche 

se, come vedremo, possono avere influenza sui sistemi di telecomunicazione. I problemi maggiori 

si hanno quando le capacità del sistema entrano in risonanza ad una certa frequenza critica il 

che può aumentare drasticamente la distorsione. 

Tra i carichi industriali disturbanti caratterizzati da un rilevante fabbisogno di potenza (indicativamente 

dell’ordine dei MVA o delle decine di MVA), particolare importanza hanno quelli che si 

distinguono non solo per il notevole scambio di potenza reattiva (caratterizzati quindi da un basso 

fattore di potenza), ma anche per una rapida e talvolta casuale variabilità delle condizioni di funzionamento. 

I carichi di questo tipo (caratterizzati oltre che da una fluttuazione di potenza assorbita 

nel tempo, anche da una non linearità della caratteristica tensione-corrente) sono ad esempio 

i forni ad arco, i laminatoi e gli impianti di conversione; impianti industriali tipicamente caratterizzati 

da questi carichi sono le acciaierie.

2 

Introduzione 

L’impatto di questi carichi sulla rete del distributore può essere, in assenza di provvedimenti 

adeguati di contenimento dei disturbi, molto pesante e tale da provocare problemi ad un’utenza 

diffusa. 

Con questo lavoro si analizzeranno i sistemi di filtraggio attivo e passivo dei disturbi mediante 

filtri accordati e non e filtri passa-alto. Verranno inoltre affrontate le caratteristiche di tali sistemi 

di compensazione, i criteri progettuali e le verifiche da svolgere per essere certi del corretto funzionamento 

di essi. 

Fig. 1.0.1 

Esempi di forma d'onda distorta 

Infine si evidenzierà, come la distorsione armonica sia principalmente causata da carichi non 

lineari e convertitori. Un tipico dispositivo non lineare è quello in cui la corrente non è proporzionale 

alla tensione applicata, come mostra la figura 1.0.2. 

Fig. 1.0.2 

Esempi di corrente distorta dovuta ad un carico non lineare

1.1 Potenza Media e Corrente Efficace 

Capitolo 1 

Concetti fondamentali sui circuiti elettrici 

Iniziamo ricordando che nei circuiti elettronici di potenza, diodi e interruttori a semiconduttore 

cambiano in continuazione il loro stato di apertura e di chiusura, pertanto in un circuito il regime 

viene raggiunto quando le forme d’onda si ripetono con un periodo T, che dipende dalla natura 

specifica di quel circuito. 

Fig. 1.1 

Flusso della potenza istantanea 

Considerando ora il circuito di figura 1.1, nel quale la potenza istantanea che fluisce dal sottocircuito 

1 al sottocircuito 2 è data da: 

p(t ) = v(t) i(t) (1.1) 

dove sia v che i variano in funzione del tempo. Se a regime le forme d’onda di v e i si ripetono 

con il periodo T, la potenza media può essere calcolata con la seguente equazione: 

Pav = = (1.2) 

A questo punto, se il sottocircuito 2 è costituito da un carico puramente resistivo, allora v = Ri 

e in base all’equazione 2.2 si ha: 

Pav = R (1.3) 

In termini di valore efficace della corrente I, la potenza media può essere espressa da: 

Pav = (1.4)

4 

Capitolo 1 

Un confronto delle equazioni 1.3 e 1.4 evidenzia che il valore efficace della corrente è: 

I = (1.5) 

Che chiarisce l’origine del termine rms (root mean square), cioè “radice quadratica della media 

dei quadrati”, con il quale si può anche indicare il valore efficace. 

1.2 Tensioni e Correnti Alternate Sinusoidali a Regime 

• RAPPRESENTAZIONE VETTORIALE 

Poiché v e i sono sinusoidali e variano nel tempo con la stessa frequenza, possono essere rappresentate 

in un piano complesso mediante la proiezione sull’asse reale orizzontale dei fasori rotanti. 

Fig. 1.2 

Regime sinusoidale 

Per convenzione questi fasori ruotano in senso antiorario con una frequenza angolare ω, e per 

rappresentarne l’ampiezza, sono usati i loro valori efficaci: 

= V e = I (1.6) 

Considerando che è possibile scrivere, in forma temporale: 

v(t) = Vcos(ωt) e i(t) = Icos(ωt- ) (1.7)


Il diagramma fasoriale visto poco fa (fig 1.2c) corrisponde all’istante in cui v assume il suo valore 

massimo positivo. 

Nell’equazione 2.6 e sono correlati mediante l’impedenza del carico = R + jωL = Z cal- 

colata alla pulsazione di lavoro ω, nel seguente modo: 

= = 

 

 

= I (1.8) 

• POTENZE, POTENZA REATTIVA E FATTORE DI POTENZA 

La potenza complessa è definita come: 

= * 1 = V · I = VI = S (1.9) 

Pertanto, l’ampiezza della potenza complessa, anche chiamata POTENZA APPARENTE, è espressa 

in volt-ampere, e vale: 

S=VI (1.10) 

Il valore della potenza attiva P reale è: 

P= Re[ ] = VIcos (1.11) 

Esso viene espresso come prodotto di V e della componente di corrente Ip = Icos , che è in fase 

con la tensione nel diagramma fasoriale della figura 1.2(c). La componente in quadratura è Iq = 

Isen . La componente in fase ip(t) e la componente in quadratura iq(t) possono essere espresse 

come: 

dove i(t) = ip(t) + iq(t). 

ip(t) = Ipcos(ωt) = ( Icos )cos(ωt) (1.12) 

iq(t) = Iqsin(ωt) = ( Isin )sin(ωt) (1.13) 

Le due correnti ip e iq sono presenti nelle componenti della potenza istantanea p1 = vip e p2 = viq 

, e formano p = p1 + p2. Sia p1 che p2 pulsano con una pulsazione 2ω, che è doppia di quella della 

sorgente. Qui p1 ha per valor medio il valore dato dalla 1.11 mentre p2 ha valor medio nullo. 

È quindi possibile dire che nel diagramma di figura 1.2(c), solo Ip è responsabile del trasferimento 

di potenza, e non Iq. Attraverso Iq si definisce una grandezza denominata POTENZA REAT- 

TIVA Q espressa in unità var (volt-ampere reattivi). 

Definendo = P + jQ e usando le equazioni 1.9 e 1.10 si ottiene: 

Q = VIsin = VIq = 

1 Con * si intende il complesso coniugato di 

 

(1.14) 

5

6 

Capitolo 1 

Fig. 1.3 

Relazioni tra le componenti della potenza apparente sul piano bidimensionale 

In accordo con tale equazione è possibile dedurre che un carico induttivo assorbe volt-amperereattivi 

positivi, detti anche var in ritardo. Al contrario, un carico capacitivo assorbe var negativi, 

detti anche var in anticipo, ovvero fornisce var positivi al sistema elettrico con cui comunica. 

È importante conoscere accuratamente il significato dei vari termini S, P e Q in quanto il costo 

di molti apparati elettrici come generatori, trasformatori, linee di trasmissione aumenta con S = 

VI, poiché il livello di isolamento e le dimensioni delle parti magnetiche dipendono da V, mentre la 

sezione dei conduttori dipende da I. La potenza P ha un significato fisico perché rappresenta la 

parte che è trasformata in lavoro più quella dissipata mentre Q, nella maggior parte dei casi, è desiderabile 

averla uguale a zero in quanto comporta uno scambio di energia senza “lavoro utile”. 

Si definisce infine un’altra grandezza ,denominata FATTORE DI POTENZA, che indica come effettivamente 

il carico assorbe la potenza reale 

Fattore Di Potenza = = = cos (1.15) 

Esso è una grandezza adimensionale. Il fattore di potenza nel caso ideale dovrebbe essere 1 (e 

quindi Q uguale a zero) per trasferire la potenza con il minimo valore di corrente e, quindi, rendere 

minime le perdite negli apparati elettrici e possibilmente anche nel carico. 

Inoltre è da notare con riferimento all’equazione 1.15 che se il numero di armoniche aumentasse, 

aumenta il valore efficace della corrente e di conseguenza anche il valore della potenza 

S; ciò non vale però per il termine di potenza attiva che resta uguale con una conseguente diminuzione 

del cos stesso. Nel piano tridimensionale è possibile vedere che la potenza apparente è 

scrivibile come somma di tre termini: 

= (1.16)

come se ci fosse un aumento delle 

1. 

a bassa frequenza sono ottenute mediante la sintesi 

alternata è del tipo: 

temente distorta, come mostra la seguente figura: 


1. 





1.3 




Dove D rappresenta l’asse de 


3 

• 

Nei circuiti elettronici di potenza, le forme d’onda della corrente continua o di quella alternata 


La tensione prodotta da un inverter di potenza in un azionamento per un motore in corrente 





Onde Non Sinusoidali In Regime Stazionario 

• 

























ANALISI DI FOURIER PER FORME D’ONDA PERIODICHE 





Generalmente 










Generalmente 










Generalmente 










Generalmente 










Generalmente 










Generalmente 










Generalmente 










Generalmente 


Relazioni tra le componenti della potenza apparente sul piano tridimensionale 









Generalmente 











Generalmente 











Forma d’onda non sinusoidale a regime: sintesi di una tensione prodotta 

Generalmente 












Generalmente 











Generalmente 











da un inverter di potenza in un azionamento per un motore in c.a. 

Generalmente 












Generalmente la corrente di linea assorbita da un apparato elettronico di potenza è fo 












la corrente di linea assorbita da un apparato elettronico di potenza è fo 























































































Dove D rappresenta l’asse delle distorsioni e quindi nella 1 












lle distorsioni e quindi nella 1 













come se ci fosse un aumento delle perdite. 












perdite. 




















































































































Fig 








Fig 





Fig 








Fig 





Fig. 








Fig. 





1.4 








1.5 





1.4 








1.5 





1.4 








1.5 









di segmenti dell’onda di ingresso. 












































































lle distorsioni e quindi nella 1.16 D è la 










.16 D è la 










.16 D è la 









.16 D è la 









.16 D è la 









.16 D è la 









.16 D è la 









.16 D è la 









.16 D è la 









.16 D è la POTENZA DISTORCENTE 









POTENZA DISTORCENTE 

















































































































































POTENZA DISTORCENTE: è 



la corrente di linea assorbita da un apparato elettronico di potenza è for- 

: è 



r- 

: è 



r- 

7

8 

Tale frequenza è chiamata fondamentale e, di solito, è rappresentata con un pedice 1. 

frequenze multiple di quella fondamentale. 

spressa nel modo seguente: 

dove F 

da queste ultime due equazioni è possible dire che il valor medio è definibile con la seguente 

spressione: 

essere rappresentata come un fasore in relazione al suo valore efficace 




dove F 


spressione: 


Capitolo 1 




dove F 


spressione: 


Capitolo 1 

A regime, queste forme d’onda si ripetono con un periodo T e una frequenza f(= 


O 


In generale, un’onda non sinusoidale f(t), che si ripete con una pulsazione 


dove F 


spressione: 

Nell’equazione 1 


Capitolo 1 



O 




dove F 


spressione: 



Capitolo 1 



Oltre alla componente dominante 




dove F 


spressione: 



Capitolo 1 



ltre alla componente dominante 




dove F0 


spressione: 



Capitolo 1 







0 = 


spressione: 



Capitolo 1 







= 


spressione: 



Capitolo 1 







= 


spressione: 



Capitolo 1 







a 


spressione: 



Capitolo 1 







a0 


spressione: 









0 










0 è il valore medio e 










è il valore medio e 










f(t) 


a 

b 


F 









f(t) 


ah 

bh 


F0 









f(t) 


h = 

h 


0 = 









= F 


= 

= 


= 



= 

Forma d’onda non sinusoidale a regime: 







= F 


= 

= 


Nell’equazione 1.16 ogni componente di frequenza hf [ 


= 








= F 



a 

.16 ogni componente di frequenza hf [ 


= 








= F0 



a0 










+ 



0 = 










+ 



= 












= 














 












 






















da un apparato elettronico è spesso distorta 


























































= 








si hanno 



= 








si hanno 



a 








si hanno 



a0 








si hanno 



0 








si hanno 



+ 








si hanno 



+ 








si hanno 



= = 







si hanno 



= = 



Fig 





si hanno frequenze non desiderate, che sono armoniche con 



= = 



Fig 





frequenze non desiderate, che sono armoniche con 



= = 



Fig. 










1.6 










1.6 










1.6 



















Forma d’onda non sinusoidale a regime: la corrente di linea assorbita 









la corrente di linea assorbita 















h = 0, …, 

h = 0, …, 










h = 0, …, 

h = 0, …, 










h = 0, …, 

h = 0, …, 










h = 0, …, 

h = 0, …, 










h = 0, …, 

h = 0, …, 










h = 0, …, 

h = 0, …, 










h = 0, …, 

h = 0, …, 









h = 0, …, 

h = 0, …, 









h = 0, …, ∞ 

h = 0, …, ∞ 









∞ 

∞ 









∞ 

∞ 

















































































In generale, un’onda non sinusoidale f(t), che si ripete con una pulsazione ω, 





ω, 





ω, 





può essere 


A regime, queste forme d’onda si ripetono con un periodo T e una frequenza f(= ω 



può essere 


ω 



può essere 


ω/2 


può essere 


/2 


può essere 


/2π 


può essere 


π) = 1/T. 


può essere 


) = 1/T. 


può essere 

(1 

(1 

(1 


(1 

(1 

) = 1/T. 


può essere 

(1 

(1 

(1 


(1 

(1 

) = 1/T. 


può essere 

(1.17) 

(1.18) 

(1.19) 


(1.20) 

]può 

(1.21) 

) = 1/T. 


può essere 

.17) 

.18) 

.19) 


.20) 

]può 

.21) 

) = 1/T. 


può essere e- 

.17) 

.18) 

.19) 

da queste ultime due equazioni è possible dire che il valor medio è definibile con la seguente e- 

.20) 

]può 

.21) 

) = 1/T. 


e- 

.17) 

.18) 

.19) 

e- 

.20) 

]può 

.21) 

) = 1/T. 


e- 

.17) 

.18) 

.19) 

e- 

.20) 

]può 

.21)

dove il valore efficace è: 

= 

e la fase è data da: 

 

tan( ) = 

 

 

 


(1.22) 

(1.23) 

Infine, come vedremo tra poco, il valore efficace della funzione f(t) può essere espresso in 

termini di valori efficaci delle componenti della sua serie di Fourier 

F = (1.24) 

Si può notare che molte forme d’onda della corrente alternata come quella della figura vista in 

precedenza hanno un valore medio uguale a zero ( = 0). 

Fig. 1.7 

Forma d’onda espressa come somma di sinusoidi secondo Fourier 

Tale figura mostra appunto che una forma d’onda distorta può essere scomposta come somma 

di sinusoidi. In questo modo ciascun’onda, seppur distorta, può essere studiata analizzando separatamente 

ciascuna sinusoide, o armonica, che ne forma la sua serie di Fourier. 

Sfruttando la simmetria della forma d’onda, sovente si semplifica il calcolo di e come esemplifica 

la tabella 1.1. Ad esempio, quando entrambi i semiperiodi positivi e negativi di una 

forma d’onda sono identici, la serie di Fourier contiene sole le armoniche dispari. Ciò può ad esempio 

essere da monito nel caso in cui si trovi la presenza di un armonica pari, dal momento che 

nei sistemi di alimentazione, normalmente, sono presenti le sole armoniche dispari. 

9

10 

10 

10 

10 

OSSERVAZIONE 

gnifica che i segnali sono simmetrici a semionda (simmetrici rispetto metà periodo). 

f 

un’equazione del tipo h = np ± 1 e dove l’ampiezza dell’armonica h 

estremità, per la nota legge di Kirchhoff, non troviamo neanche la 3 

3° in quanto non potrebbero annullarsi in corrispondenza del centrostella. 

componente sinusoidale la cui frequenza è multipla della fondamentale e l’ampiezza è invece, in 

genere, pochi percento della fondamentale stessa. 

quenza della fondamentale, cioè h = 

delle ampiezze delle varie armoniche in funzione dell’ordine di armonica. Un esempio lo si ha in 

f 

OSSERVAZIONE 


fondamentale), quindi se p è il numero di fasi le armoniche in rete sono le h che derivano da 








figura 

Capitolo 1 

OSSERVAZIONE 


ondamentale), quindi se p è il numero di fasi le armoniche in rete sono le h che derivano da 








igura 

Capitolo 1 

OSSERVAZIONE 


Ancora più specificatamente le armoniche che si trovano sono dispari e multiple di 3 (oltre alla 



Nel caso poi, che si abbia un sistema a tre fili con collegamento a ste 



Il termine componente armonica, o più in generale “armon 



L’ordine dell’armonica è quindi dato dal rapporto tra la frequenza 


A partire da ciò è possibile realizzare lo “spettro armonico” che rappresenta la distribuzione 


igura 

Capitolo 1 

OSSERVAZIONE 















igura 

Capitolo 1 

OSSERVAZIONE 















igura 

Capitolo 1 

OSSERVAZIONE 















igura 1 

Capitolo 1 

OSSERVAZIONE 















1.8 

Capitolo 1 

OSSERVAZIONE 















.8 

L’ampiezza delle armoniche è normalmente espressa in termini relativi rispetto la fondamentale 

Capitolo 1 

OSSERVAZIONE 















.8 


Capitolo 1 

OSSERVAZIONE 
















Capitolo 1 

OSSERVAZIONE 
















OSSERVAZIONE 
















OSSERVAZIONE 
















OSSERVAZIONE: 
















: 
















: Come de 
















Come de 
















Come de 
















Come de 
















Come de 
















Come de 
















Come de 
















Come de 
















Come detto, d 
















tto, d 
















tto, d 
















tto, d 
















Impiego della simmetria nell’analisi di Fourier 

tto, d 

















tto, di solito le armoniche che troviamo in rete sono dispari e quindi s 

















i solito le armoniche che troviamo in rete sono dispari e quindi s 

































































































 

 

















. 




















































































Tab. 

















Tab. 
















Fig.1.8 


Tab. 
















Fig.1.8 


Tab. 
















Fig.1.8 


Tab. 1.1 
















Fig.1.8 


1.1 
















Fig.1.8 


1.1 















Fig.1.8 


1.1 
























































































A partire da ciò è possibile realizzare lo “spe

discosta molto dalla forma sinusoidale. Questa corrente distorta induce una distorsione nella te 

sione della sorgente di alimentazione. Comunque, la distorsione indotta, di solito, è piccola. 

perfettamente sinusoidale e abbia la frequenza fondamentale ( 

ve si suppone che non ci sia la componente continua in i 

dove 

quenza di armonica h, 

d 

data nell’equazione 1 

(dove 

di tutti i prodotti misti (cioè il prodotto di due termini con frequenze differenti) sono singolarme 

te uguali a zero, si ha che: 





dove 


dove 


(dove 







dove 


ove 


(dove 



• 

La figura mostra una corrente di linea i 



Per semp 


L 


dove 



ove 

Il valore efficace 


(dove 



• 




Per semp 


La corrente d’ingresso a reg 


dove 



ove 



(dove 

Sostituendo nell’equazione 1 






Per semp 


a corrente d’ingresso a reg 


dove 



ove 



(dove 







Per semp 








(dove 




DISTORSIONE DELLA CORRENTE DI LINEA 




Per semp 















Per semp 




è la componente fondamentale( alla frequenza di rete 



è l’angolo di fase tra la tensione d’ingresso 



= 1/ 








Per semp 










= 1/ 








Per semp 










= 1/ 








Per semp 










= 1/ 








Per semplificare in modo significativo l’analisi, supponiamo che la tensione di alimentazione sia 










= 1/ 








lificare in modo significativo l’analisi, supponiamo che la tensione di alimentazione sia 



























= 2π/ 










v 









= 2π/ 










vs 






(t) = 




= 2π/ 










s = 



(t) = 




(t) = 




= 2π/ 

= 




= 







= 



(t) = 



Nell’equazione 1.25 queste componenti di corrente possono essere 

(t) = 




= 2π/ 

= 




= 









(t) = 



.25 queste componenti di corrente possono essere 

(t) = 




= 2π/ 












(t) = 




(t) = 


data nell’equazione 1.5 all’andamento della corrente 










V 



(t) = 





.5 all’andamento della corrente 

): 

 










V 






della corrente di linea può essere calcolato applicando la sua d 


): 

 










Vs 




. 





): 










s sin( 




. 














sin( 








 









sin( 








 









sin(ω 
















ω 
















1t) 

a corrente d’ingresso a regime è la somma delle sue componenti( armoniche) di Fourier ( d 















t) 

ime è la somma delle sue componenti( armoniche) di Fourier ( d 















t) 








Sostituendo nell’equazione 1.27 il valore di 



Distorsione della corrente di linea 













.27 il valore di 




































































































La figura mostra una corrente di linea is 
















s assorbita da un apparato elettronico di potenza che la 
















assorbita da un apparato elettronico di potenza che la 































Fig.1.9 

















Fig.1.9 

















Fig.1.9 

















Fig.1.9 















Fig.1.9 















Fig.1.9 














della 1 














della 1 












, supposta sinusoidale, e 



della 1 















, come mostrato nella seguente equazione 

della 1 










ve si suppone che non ci sia la componente continua in is), che può essere scritta come: 






della 1 










), che può essere scritta come: 






della 1 
















della 1.25 e tenendo presente che gli integr 
















.25 e tenendo presente che gli integr 























































perfettamente sinusoidale e abbia la frequenza fondamentale ( ω 















ω1 














1 



) e 












= 



) e 












= ω 



) e 












ω 



) e 












ω e f 














e f 



.25 queste componenti di corrente possono essere valutate 











e f 



è la componente alla fr 

valutate 











e f1 




valutate 











1 = f), per cui si ha: 




valutate 











= f), per cui si ha: 




valutate 















valutate 















valutate 















valutate 















valutate come 














come 

. 




di tutti i prodotti misti (cioè il prodotto di due termini con frequenze differen

12 

Capitolo 1 

L’entità della distorsione nella forma d’onda della tensione e della corrente è quantificato con 

un indice denominato DISTORSIONE ARMONICA TOTALE THD (Total Harmonic Distorsion). 

Dall’equazione 2.25 la componente di distorsione della corrente è: 

(t) = (t) - (1.30) 

Essa è rappresentata nella figura 1.7. In termini di valore efficace, tale corrente vale: 

= [ - ] 1/2 = ( ) 1/2 (1.31) 

Il THD della corrente è definito come: 

%THDi = 100 x 

= 100 x 

 

%THDv = 100 x 

= 100 x 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 100 x 

= 100 x 

 

 

 

 

(1.32) 

(1.33) 

dove chiaramente il pedice i indica il THD nella corrente mentre il pedice v indica il THD di tensione. 

OSSERVAZIONE: Siccome in realtà la tensione fondamentale non la misuriamo ma consideriamo la 

nominale, il peso di %THDv e %THDi è diverso in quanto la In non l’abbiamo e anzi,ci sono giorni in 

cui Ii è molto bassa. Da ciò si può desumere che il %THDi conta relativamente poco. 

Siccome questa distorsione armonica è tipicamente data da carichi non lineari, si parla usualmente 

di carichi distorcenti che “iniettano correnti armoniche”. 

• POTENZA E FATTORE DI POTENZA 

Partendo dalla definizione base di potenza media, nella figura 1.9 si ha: 

P = 

 

= 

 

(1.34) 

Usando dall’equazione 1.24 e dall’equazione 1.26, e ricordando ancora una volta che i 

termini degli integrali dei prodotti misti sono singolarmente uguali a zero, si ha: 

P = 

 

= (1.35) 

Si osserva come le componenti di corrente con frequenze oltre la fondamentale non contribuiscono 

all’assorbimento della Potenza media dalla sorgente di tensione sinusoidale . La 

potenza apparente S è il prodotto del valore efficace della tensione e della corrente , cioè: 

S = (1.36)


Il fattore di potenza (PF: Power Factor) è lo stesso dell’equazione 1.15 per grandezze sinusoidali: 

PF = (1.37) 

Usando l’equazione 1.33, mediante la 1.35 si ottiene: 

PF = 

 

 

= 

 

(1.38) 

Il fattore di potenza di sfasamento DPF (Displacement Power Factor), che è corrispondente al 

fattore di potenza in un circuito lineare con tensioni e correnti sinusoidali, è definito come coseno 

dell’angolo : 

DPF = (1.39) 

Pertanto è possibile scrivere 

PF = 

 

e quindi dalle equazioni 1.31 e 1.38, il fattore di potenza può essere espresso come 

PF = 

1.4 Effetti Delle Armoniche 

1.4.1 Effetti Istantanei 

 

(1.40) 

DPF (1.41) 

Le tensioni armoniche possono disturbare i controller utilizzati nei sistemi elettronici. 

Possono, per esempio, influenzare le condizioni di commutazione a tiristori spostando lo zerocrossing 

dell'onda di tensione. 

Le armoniche inoltre possono causare altri errori in alcuni strumenti. Per esempio, l'errore di 

uno strumento di classe 2 sarà aumentato dello 0,3% a causa di una 5° armonica di corrente e di 

tensione del 5%. 

Un’altra categoria di apparecchi che possono essere influenzati dalle al armoniche è quella 

dei dispositivi di controllo del ripple, quali ad esempio i relè utilizzati dalle società di servizi elettrici 

per i controlli telecomandati centralizzati. Essi possono essere disturbati dalle armoniche di tensione 

aventi frequenza nel range di quelle del controllo. 

13

14 

Capitolo 1 

• VIBRAZIONI E RUMORE 

Le forze elettrodinamiche prodotte dalle correnti istantanee associate alle correnti armoniche, 

causano vibrazioni e rumore, soprattutto nei dispositivi elettromagnetici quali trasformatori, 

reattori, ecc. 

Tali armoniche comportano poi una coppia meccanica pulsante (in quanto a causa delle correnti 

pulsano anche i campi rotanti) in grado di produrre vibrazioni nelle macchine rotanti. 

• INTERFERENZE SULLA COMUNICAZIONE E SU CONTROLLO DEI CIRCUITI 

Si sono osservati disturbi anche quando linee di comunicazione o controllo corrono lungo linee 

di distribuzione in cui circolano correnti distorte. In questo caso parametri che devono essere 

presi in considerazione sono: 

- La distanza tra i due circuiti 

- La lunghezza del parallelo 

- Le armoniche di frequenza in quanto in quest’ultimo caso aumenta l’accoppiamento 

all’aumentare della frequenza 

• PROBLEMI GENERATI DA INTERVENTI DI INTERRUTTORI AUTOMATICI 

Gli interruttori differenziali agiscono sommando la corrente che scorre nelle fasi e nel neutro e, 

se il risultato non è entro un certo limite stabilito, interrompono l’alimentazione al carico. Possono 

insorgere problemi relativi alla presenza di armoniche. Innanzitutto i differenziali elettromeccanici 

possono sommare non correttamente le componenti di frequenza più elevata e quindi 

comportarsi in modo errato. In secondo luogo un tipico carico distorcente viene filtrato. I filtri 

normalmente usati a questo scopo hanno un condensatore connesso tra la linea e neutro a terra, 

e così viene deviata a terra una piccola corrente. Questa corrente è limitata dalle norme a meno 

di 3,5 mA ed è di solito molto inferiore a questo limite, ma, quando l’apparecchiatura è connessa 

all’impianto, tale corrente può essere sufficiente a far scattare il differenziale. 

L’intervento intempestivo degli interruttori magnetotermici modulari (MCB) è generalmente 

dovuto ad una corrente maggiore di quella prevista dal calcolo o dalla semplice misurazione, a 

causa della presenza di armoniche di corrente. 

1.4.2 Effetti A Lungo Termine 

Al di là dello “stress” meccanico dovuto alle vibrazioni, il principale effetto a lungo termine 

conseguente alle armoniche è legato al riscaldamento. 

• RISCALDAMENTO DEI CONDENSATORI 

Le perdite che causano riscaldamento sono principalmente legate a due fenomeni: 

- Conduzione 

- Isteresi del dielettrico


In prima approssimazione esse sono proporzionali al quadrato del valore efficace della corrente, 

quindi i condensatori sono sensibili ai sovraccarichi, sia che essi siano legati ad un eccessivo valore 

della fondamentale, sia che siano dovuti alla presenza di armoniche di tensione. 

Tali perdite sono definite dalla perdita d’angolo del condensatore, ovvero l’angolo la cui tangente 

è il rapporto tra le perdite e la potenza reattiva prodotta. 

Fig.1.10 

Triangolo delle potenze di un condensatore 

• RISCALDAMENTO A CAUSA DI ULTERIORI PERDITE IN MACCHINE ROTANTI E TRASFORMA- 

TORI 

- Perdite addizionali nello statore (rame e ferro) e soprattutto nel rotore (circuiti magnetici e 

avvolgimenti smorzatori) delle macchine causate da una importante differenza di velocità tra 

il campo prodotto dalle armoniche e il rotore. 

- Perdite supplementari nei trasformatori a causa dell’effetto pelle (aumento della resistenza 

del rame al variare della frequenza), isteresi e correnti parassite (nel circuito magnetico). 

• RISCALDAMENTO DEI CAVI E DELLE ATTREZZATURE 

Le perdite sono maggiori nei cavi che trasportano correnti armoniche, con conseguente aumento 

della temperatura. Le cause di queste perdite aggiuntive sono: 

- Aumento del valore efficace della corrente a parità di potenza attiva consumata. 

- Aumento della resistenza equivalente del nucleo del cavo con la frequenza, a causa 

dell’effetto pelle. 

- Aumento con la frequenza delle perdite nel dielettrico di isolamento se il cavo viene sottoposto 

ad una non trascurabile distorsione di tensione. 

- Fenomeni che derivano dalla vicinanza dei conduttori al metallo di rivestimento, allo schermo 

collegato a terra alle sue estremità, ecc. 

In generale, tutte le apparecchiature elettriche sottoposte a tensioni armoniche o attraverso 

cui circolano correnti armoniche, presentano un aumento delle perdite di energia che dovrebbe 

essere ridotta se necessario. Ad esempio, un condensatore di linea deve essere pensato per una 

corrente pari a 1.3 volte la corrente reattiva di compensazione. Questo fattore di sicurezza non 

tiene tuttavia conto del riscaldamento dovuto all’effetto pelle nei conduttori. 

Per misurare la distorsione armonica di tensioni e correnti si usano degli strumenti noti col 

nome di analizzatori di spettro, i quali forniscono l’ampiezza di ogni componente. 

15

16 

Capitolo 1 

Per fare un’analisi di questo tipo è importante utilizzare sensori di corrente o tensione aventi 

una larghezza di banda sufficientemente grande per la misura delle frequenze. 

Il valore efficace della corrente (o tensione) distorta può essere valutato in tre modi: 

- Misura con strumento a vero valore efficace 

- Ricostruzione del valore sulla base dello spettro fornito dall’analisi spettrale 

- Stima attraverso un oscilloscopio 

1.5 Inter-armoniche 

1.5.1 Descrizione del fenomeno 

Le inter-armoniche sono tensioni o correnti sinusoidali con frequenza diversa da un multiplo 

intero della fondamentale la cui presenza determina una distorsione (modulazione) della 

forma d'onda della tensione di alimentazione. Nella stragrande maggioranza dei casi esse sono 

generate dai carichi come correnti inter-armoniche; le tensioni inter-armoniche si manifestano 

con lo stesso processo descritto per le armoniche. 

Concettualmente le inter-armoniche di corrente sono originate da due differenti processi e 

precisamente: 

• variazione ciclica di carico che origina correnti inter-armoniche vicine alla fondamentale 

e alle armoniche caratteristiche; queste inter-armoniche sono generalmente chiamate 

“bande laterali” e generalmente la loro misura si effettua assieme alla fondamentale o alle 

armoniche caratteristiche; 

• commutazione non sincrona di ponti convertitori di potenza; queste inter-armoniche 

possono essere spalmate in corrispondenza di tutte le frequenze esistenti fra due armoniche 

caratteristiche e pertanto possono essere misurate separatamente dalle grandezze 

fondamentali o di ordine armonico caratteristico. 

1.5.2 Sorgenti di inter-armoniche 

Le principali sorgenti di inter-armoniche nelle reti sono: 

• carichi commutati elettronicamente: convertitori, cascata subsincrona, cicloconvertitori, regolatori 

con controllo a pacchetti di cicli, ecc.; 

• carichi con caratteristiche non lineari e/o non stazionarie: forni ad arco, saldatrici ad arco, 

ecc..

1.6 Propagazione in rete 


La distorsione armonica della tensione in un punto della rete elettrica è principalmente la conseguenza 

delle cadute di tensione prodotte dalle armoniche di corrente nel percorrere le impedenze 

della rete. Va evidenziato che le armoniche si propagano dai livelli di tensione superiori 

verso quelli inferiori e viceversa. I meccanismi di diffusione delle armoniche di corrente, nell'ambito 

di un medesimo livello di tensione e fra livelli diversi, dipende dalle caratteristiche elettriche e 

strutturali del sistema in esame. In alcuni casi è necessario tenere in debito conto le componenti 

di sequenza delle armoniche (diretta/inversa e omopolare). 

Alcune armoniche possono subire un processo di amplificazione in determinati punti della rete 

elettrica, dove si manifesta una condizione di risonanza dovuta alla presenza di banchi di condensatori 

o cavi. Ciò può comportare amplificazioni della distorsione relativa ad un’armonica, di un 

fattore pari a circa 3-4 volte per le reti pubbliche e circa 5-10 volte per le reti industriali con basso 

carico ohmico. La propagazione delle armoniche di tensione in qualsiasi rete è governata dal rapporto 

fra l’impedenza di trasferimento del nodo monitorato rispetto al nodo iniettore e 

l’impedenza vista nel nodo iniettore; ovviamente le impedenze sono riferite all’ordine armonico 

considerato. 

17

18 

Capitolo 1

Capitolo 2 

Generatori Di Armoniche 

Strutture commerciali quali complessi di uffici, grandi magazzini, ospedali e data-centers sono 

caratterizzati da un gran numero di lampade fluorescenti ad alta efficienza funzionanti tramite reattori 

elettronici, variatori di velocità per il riscaldamento, sistemi di ventilazione e aria condizionata, 

unità ascensore e apparecchiature elettroniche (sensibili) alimentate da un circuito monofase. 

I carichi commerciali sono quindi caratterizzati da un elevato numero di piccoli carichi “generatori 

di armoniche”. A seconda della diversità dei tipi di carico, queste piccole correnti armoniche 

possono sommarsi (qualora siano in fase) o annullarsi a vicenda. 

I livelli di distorsione di tensione dipendono sia dalle impedenze del circuito, sia dalla distorsione 

armonica totale di corrente. Finché i condensatori di rifasamento non vengono installati nella 

struttura commerciale, l’impedenza del circuito è dominata dalle impendenze dei conduttori e 

da quella dei trasformatori. 

La distorsione di tensione può quindi essere stimata semplicemente moltiplicando la corrente 

per l’impedenza alla frequenza considerata. 

Nelle applicazioni industriali, i principali tipi di apparecchiature che generano armoniche sono: 

- Convertitori statici 

- Forni ad arco 

- Illuminazione 

- Reattori saturi 

- Altre attrezzature, come ad esempio macchine rotanti che generano armoniche 

2.1 Alimentazioni Monofasi 

I convertitori elettronici di potenza, con la loro “proprietà” di produrre correnti armoniche, sono 

attualmente i carichi non lineari più importanti presenti nel sistema elettrico. La cosa si “aggrava” 

se si pensa che l’elettronica di potenza sta diventando, anno dopo anno, sempre più importante, 

in quanto la si trova in dispositivi quali gli azionamenti di regolazione della velocità dei 

motori, alimentatori elettronici e molte alte apparecchiature funzionanti grazie ad inverter e raddrizzatori. 

Ci sono tipicamente due tipi di alimentazioni monofase. Quella più datata usa una regolazione 

della tensione lato alternata, tramite ad esempio trasformatori, per avere un controllo della tensione 

sul dc-bus. Il vantaggio in questo caso sta nel fatto che l’induttanza del trasformatore riduce 

il contenuto armonico lisciando la forma d’onda di corrente in ingresso. 

Quella più recente sfrutta i convertitori a commutazione che tramite una conversione dc-dc 

realizzano una regolazione direttamente lato corrente continua con componenti relativamente

20 

Capitolo 2 

piccoli e leggeri, inoltre il ponte di diodi è direttamente collegato alla linea a.c. con la conseguente 

eliminazione dell’ingombrante e costoso trasformatore. Il grosso svantaggio di questa seconda 

tecnica è però legato al fatto che ora la tensione continua è regolata approssimativamente sul 

condensatore. Questa corrente è poi riconvertita in alternata attraverso una commutazione in alta 

frequenza degli switch e quindi raddrizzata nuovamente. 

I vantaggi principali legati all’alimentazione attraverso commutazione sono la leggerezza, le 

dimensioni compatte, il funzionamento efficiente e, soprattutto, la mancanza del trasformatore. 

Con rifermento al circuito di figura 2.1, dal momento che lato alternata non è presente alcuna 

induttanza di livellamento, la corrente di ingresso all’alimentatore viene fornita con impulsi molto 

brevi. 

Fig.2.1 

Alimentazione attraverso commutatore 

La figura 2.2 mostra una tipica forma d’onda e il relativo spettro armonico fornito da un tipico 

circuito di alimentazione, con commutazione, di diverse apparecchiature elettroniche. 

Fig.2.2 

Esempio di corrente e spettro armonico 

Una caratteristica importante degli alimentatori a commutazione è la presenza di un elevato 

contenuto di terza armonica nella corrente. Poiché i componenti di terza armonica si sommano


nel neutro di un sistema a tre fasi ( figura 2.3 ), la continua e crescente domanda di alimentatori a 

commutazione sta portando notevole preoccupazione per il sovraccarico del conduttore di neutro, 

soprattutto in quegli edifici di vecchia data in cui il neutro potrebbe essere stato sottodimensionato. 

Inoltre si aggrava la situazione del trasformatore a causa del suo surriscaldamento dovuto 

ad una combinazione di contenuto armonico della corrente, flusso disperso, e correnti di neutro 

elevate. 

Fig. 2.3 

Comportamento della terza armonica in un sistema trifase con neutro 

2.2 Convertitori Statici In Reti Trifasi 

Si è visto che i moderni impianti industriali sono caratterizzati da una diffusa presenza di carichi 

non lineari che possono iniettare correnti armoniche nel sistema di potenza, causando la distorsione 

della tensione, problema che viene aggravato dal fatto che normalmente questa tipologia 

di carichi ha un fattore di potenza relativamente basso. 

Come vedremo in seguito, le utenze usano installare batterie di condensatori per migliorare il 

fattore di potenza per evitare di incorrere in multe. L’installazione di condensatori di rifasamento 

è però potenzialmente in grado di aumentare le correnti armoniche dovute ai carichi non lineari 

andando così incontro a possibili condizioni di risonanza. Siccome si usa installare i condensatori 

sul lato a tensione minore, le correnti di risonanza possono comportare anche un surriscaldamento 

di motori e trasformatori oltre ad un ovvio malfunzionamento delle apparecchiature elettroniche. 

In generale i carichi industriali non lineari possono essere divisi in tre categorie che noi affronteremo 

separatamente. Una è proprio quella dei convertitori trifasi, poi c’è quella dei forni ad 

arco ed infine quella dei dispositivi saturabili. 

I ponti raddrizzatori e, più in generale, i convertitori statici costituiti da diodi e tiristori, generano 

armoniche ma a differenza dei convertitori monofase affrontati prima, hanno il grande vantaggio 

di non generare correnti di terza armonica. Per esempio, per fornire una corrente perfettamente 

continua, un ponte di Graetz richiede una corrente rettangolare ac quando il carico è fortemente 

induttivo, 

21

22 

22 

22 

22 

oppure “a punte” 

triangolo, hanno le stesse componenti armoniche caratteristiche. 

hanno ordine armonico h = n 

- 

- 

17, 19, ecc, mentre i ponti con p = 12 

Le armoniche caratteristiche sono tutte di ordine dispari e le loro correnti, quando ci si avvicina al 

caso ideale di figura 

l’ampie 




- 

- 




l’ampie 

Capitolo 2 







l’ampie 

Capitolo 2 


A dispetto delle loro diverse forme d’onda , le correnti a monte e valle del tr 


Le componenti armoniche caratteristiche degli impulsi di corrente forniti dal raddrizza 


Applicando la formula, i ponti con p = 6 sopra citati, generano armoniche di ordine 5, 7, 11, 13, 




l’ampie 

Capitolo 2 






n 

p è il numero di ra 





l’ampie 

Capitolo 2 






n 






l’ampie 

Capitolo 2 


Corrente alternata a monte di un ponte di Graetz che alimenta un carico preceduto da un condensatore 





= 1, 2, 3, 4, 5, … 






l’ampie 

Capitolo 2 







= 1, 2, 3, 4, 5, … 






l’ampiezza della fondamentale. Ciò significa che le armoniche più importanti, con ampiezza ma 

Capitolo 2 







= 1, 2, 3, 4, 5, … 






zza della fondamentale. Ciò significa che le armoniche più importanti, con ampiezza ma 

Capitolo 2 

Corrente alternata a monte di un ponte di Graetz che alimenta un carico fortemente induttivo 







= 1, 2, 3, 4, 5, … 







Capitolo 2 








= 1, 2, 3, 4, 5, … 







Capitolo 2 








= 1, 2, 3, 4, 5, … 














= 1, 2, 3, 4, 5, … 














= 1, 2, 3, 4, 5, … 














= 1, 2, 3, 4, 5, … 














= 1, 2, 3, 4, 5, … 














= 1, 2, 3, 4, 5, … 








oppure “a punte” qualora il ponte sia seguito da un condensatore di livellamento. 






= 1, 2, 3, 4, 5, … 








qualora il ponte sia seguito da un condensatore di livellamento. 






= 1, 2, 3, 4, 5, … 














= 1, 2, 3, 4, 5, … 














= 1, 2, 3, 4, 5, … 














p è il numero di rami del raddrizzatore, ad esempio: 




caso ideale di figura 2.4 









mi del raddrizzatore, ad esempio: 




2.4 













2.4 













2.4, rispettano in via generale il rapporto d’ampiezza 













, rispettano in via generale il rapporto d’ampiezza 





















hanno ordine armonico h = np ± 1, dove: 













p ± 1, dove: 













p ± 1, dove: 













p ± 1, dove: 













p ± 1, dove: 













p ± 1, dove: 













p ± 1, dove: 













p ± 1, dove: 













p ± 1, dove: 



17, 19, ecc, mentre i ponti con p = 12 generano armoniche di ordine 11, 13, 23, 25, ecc. 










p ± 1, dove: 



generano armoniche di ordine 11, 13, 23, 25, ecc. 










p ± 1, dove: 













p ± 1, dove: 























































Fig.2.4 



Fig.2.5 











Fig.2.4 



Fig.2.5 











Fig.2.4 



Fig.2.5 











Fig.2.4 



Fig.2.5 











Fig.2.4 



Fig.2.5 











Fig.2.4 



Fig.2.5 


































































































o 

o 

o 












o 

o 

o 


































ponte di graetz 

ponte a 6 impulsi 






































































































































































A dispetto delle loro diverse forme d’onda , le correnti a monte e valle del trasformatore stella 













asformatore stella 













asformatore stella 


ponte di graetz → p = 6; 







Corrente alte


giore, saranno la 5° e la 7° ma che abbiamo visto possono essere eliminate grazie all’utilizzo di un 

ponte a 12 impulsi. 

In realtà, lo spettro di corrente è leggermente diverso. Vengono create nuove armoniche pari e 

dispari (riferite alle armoniche non caratteristiche) di piccola ampiezza e le ampiezze delle armoniche 

caratteristiche viene modificata dai seguenti fattori: 

asimmetria 

- inesattezze nei tempi di cottura del tiristore 

- tempi di commutazione 

- imperfetto filtraggio 

Per i ponti a tiristori può poi essere osservato uno spostamento delle armoniche in funzione 

dell’angolo di fase del tiristore. Anche un ponte misto diodi-tiristori genera armoniche e visto che 

la 2° armonica può produrre seri danni a disturbi difficili da eliminare, sono usati solo a bassi livelli 

di tensione. 

Altri convertitori di potenza quali i ciclo convertitori, dimmer, ecc, sono caratterizzati da più 

ricchi e variabili spettri rispetto i ponti raddrizzatori. 

Molte volte tali convertitori sono sostituiti da convertitori utilizzanti la tecnica PWM che operano 

con frequenze di commutazione molto elevate (circa 20kHz) e sono in genere disegnati per 

generare bassi livelli di armoniche. 

Quando le correnti armoniche dei diversi convertitori si uniscono alle sbarre comuni, queste si 

combinano vettorialmente (a meno che non si stiano analizzando ponti a diodi, le loro fasi sono in 

genere sconosciute). È quindi possibile, se gli accoppiamenti dei trasformatori di due alimentatori 

sono scelti con cura, attenuare la 5° e 7° armonica di corrente con due ponti di diodi caricati ugualmente. 

Fig.2.6 

Circuito di attenuazione per I5 e I7 

Tuttavia, a causa di eventuali piccoli squilibri tra diversi rami, è possibile la presenza di subarmoniche 

alla frequenza di 50 Hz e/o suoi multipli. 

23

24 

Capitolo 2 

• UNITÀ IN C.C. 

Per i dispositivi e azionamenti in corrente continua è fondamentale il raddrizzamento della corrente 

di rete. I motori funzionanti in c.c. sappiamo avere una gamma di velocità di funzionamento 

ben più ampia dei corrispettivi motori alimentati in a.c. oltre ad avere una coppia di avviamento 

più alta, tuttavia sono caratterizzati da un costo di manutenzione e acquisto elevati cosa che va a 

grosso svantaggio di tali azionamenti dal momento che il costo dei dispositivi di conversione sta 

andando via via abbassandosi negli anni. La gran parte degli azionamenti in c.c. usano raddrizzatori 

a sei impulsi del tipo di figura 2.6 ma grandi unità possono usare anche raddrizzatori a 12 impulsi. 

Ciò riduce la corrente nei tiristori e riduce alcune delle armoniche più grandi della corrente a.c.: 

le due armoniche più importanti sono la 5° e la 7° che con un convertitore a dodici impulsi si può 

pensare di ridurre fino ad un 90%. I due svantaggi del convertitore a dodici impulsi sono il maggior 

numero e quindi costo dei componenti elettronici e la presenza di un trasformatore che di solito è 

resa necessaria. 

• UNITÀ IN A.C. 

Fig.2.7 

Convertitore a sei impulsi 

Negli azionamenti in a.c., l’uscita del convertitore è invertita per produrre una tensione alternata 

per il motore a frequenza variabile. Gli inverter sono di solito divisi in inverte generatori di 

tensione (VSI) o inverter generatori di corrente (CSI). Il primo richiede una tensione continua in 

ingresso con un basso ripple, il che si ottiene grazie ad un filtro LC; viceversa per un inverter CSI si 

necessita di una corrente continua ingresso che si ottiene inserendo un induttore in serie. 

Di solito i motori usati in questi casi sono motori asincroni a gabbia di scoiattolo che hanno un 

costo relativamente basso, sono robusti e richiedono poca manutenzione; i motori sincroni sono 

usati invece dove il controllo della velocità è più critico. Un esempio di schema di alimentazione di 

un motore a.c. attraverso un convertitore è riportato in figura 2.7.

Fig.2.8 

Controllo PWM per motore a.c. 


È molto importante notare che la distorsione armonica negli azionamenti per la regolazione 

della velocità, non è costante. Le forme d’onda cambiano infatti in modo significativo al variare 

della velocità e della coppia. Come mostra la figura 2.9, il valore delle armoniche cambia al variare 

della velocità. 

2.3 Illuminazione 

Fig.2.9 

Effetti della modulazione PWM per variazione della velocità sulle correnti armoniche 

L’illuminazione rappresenta il 40-60% del carico di un edificio e secondo uno studio condotto 

dalla U.S. Energy Information Administration, l’illuminazione con lampade a fluorescenza occupa il 

77% dell’illuminazione di un piano uffici mentre l’illuminazione con lampade ad incandescenza si 

limita ad un 14% e ciò si spiega anche col fatto che le lampade a fluorescenza sono un’ottima scelta 

di risparmio energetico per le persone. 

Le lampade a fluorescenza sono lampade a scarica che necessitano quindi di un alimentatore 

che permetta di fornire una tensione iniziale che crei una scarica di corrente che posso fluire tra i 

due elettrodi all’interno del tubo fluorescente. Una volta stabilita la scarica, la tensione diminuisce 

con l’aumentare della corrente d’arco. Si tratta quindi, semplicisticamente, di un cortocircuito 

25

26 

Capitolo 2 

tra i due elettrodi che viene regolato di modo da mantenere la corrente all’interno di un intervallo 

specificato per avere un certo quantitativo di lumen 2 . 

Ci sono due tipi di alimentatori: magnetici ed elettronici. Un alimentatore standard di tipo magnetico 

è costituito semplicemente da un trasformatore con nucleo in ferro e caratterizzato da 

una capacità legata al materiale isolante. I dispositivi di tipo magnetico sono in grado di pilotare 

anche due lampade, operando alla frequenza fondamentale di 50 o 60 Hz. Il grosso svantaggio per 

i dispositivi magnetici è legato alle perdite addizionali di calore che lo rendono inefficiente se confrontato 

con uno elettronico. 

Un alimentatore di tipo elettronico si avvale di un alimentatore a commutazione che converte la 

tensione in ingresso (alla frequenza industriale) in una tensione ad una frequenza molto elevata, 

normalmente tra 25 e 40kHz. L’alta frequenza usata porta due enormi vantaggi: 

- Un piccolo induttore è sufficiente per ridurre la corrente d’arco; 

- L’elevata frequenza elimina o riduce notevolmente il flicker che può essere associato ad 

un reattore magnetico; 

Infine un alimentatore di tipo elettronico può pilotare fino a quattro lampade invece di due 

come avveniva per quello di tipo magnetico. Al fine di confronto si riportano le figure 2.10 e 2.11 

che mostrano come gli alimentatori di tipo magnetico portino un notevole beneficio per quanto 

riguarda la riduzione del contenuto armonico. 

Fig.2.10 

Forma d’onda e spettro di corrente in un alimentazione con alimentatore magnetico 

2 Il lumen (simbolo: lm) è l'unità di misura del flusso luminoso. Equivale al flusso luminoso rilevabile in un angolo solido di 

1 steradiante emesso da una sorgente isotropica con intensità luminosa di 1 candela. Ne discende che la stessa sorgente 

isotropica con intensità luminosa di 1 candela emette un flusso luminoso totale di 4π lumen.

Fig.2.11 


Forma d’onda e spettro di corrente in un alimentazione con alimentatore elettronico 

Si nota come il THD dell’alimentatore magnetico è intorno al 15% mentre una lampada fluorescente 

alimentata con alimentatore elettronico ha un THD di corrente di 144. 

Altri alimentatori elettronici sono nati appositamente per ridurre al minimo le armoniche tanto 

da essere arrivati ad avere un THD di corrente tra il 10% e il 32%, ma comunque quasi tutti gli alimentatori 

di tipo elettronico sono dotati di un filtro passivo per ridurre la distorsione armonica di 

corrente di ingresso ad un valore inferiore al 20%. 

I sistemi di illuminazione costituiti da lampade a scarica o fluorescenti, sono generatori di correnti 

armoniche. Percentualmente la terza armonica potrebbe persino superare il 100% come nei 

casi delle moderne lampade Fluorocompact. 

Sul conduttore di neutro potrebbe quindi venire a circolare la somma delle correnti armoniche 

di ordine 3 delle tre fasi, e può pertanto essere sottoposto a surriscaldamento pericoloso se non 

viene adeguatamente dimensionato. Nel caso però che il sistema sia a tre fili senza neutro, il problema 

non si pone. Per evitare ogni dubbio si usa distribuire le diverse lampade fluorescenti tra le 

fasi di modo da avere un carico equilibrato. Con trasformatori collegati a triangolo, questo riduce 

le terze armoniche di corrente presenti nel sistema di alimentazione. 

2.4 Forni Ad Arco 

L’arco è definito da una caratteristica non lineare, asimmetrica ed è instabile. Come mostrato 

nella seguente figura, l’arco è fondamentalmente un morsetto di tensione in serie con una reattanza 

che ne limita la corrente ad un valore ragionevole. 

27

28 

Capitolo 2 

Fig.2.12 

Circuito equivalente per un dispositivo che crea l’arco 

In seguito all’innesco dell’arco, la tensione diminuisce all’aumentare della corrente d’arco che 

resta limitata dalla sola impedenza del sistema. Nel caso dei forni ad arco elettrico, ciò che limita 

la corrente è principalmente l’impedenza del cavo. L’arco elettrico è un importante fonte di armoniche 

di tensione tanto è vero che, se si potesse registrare la forma d’onda che passa attraverso 

l’arco, si osserverebbe una forma simil-trapezioidale. Fortunatamente l’impedenza del forno e 

dei conduttori porta un effetto benefico di attenuazione di modo che la tensione risulta solo moderatamente 

distorta. 

Il contenuto armonico di un carico quale un forno ad arco è simile a quello di figura 2.8 e dispositivi 

trifasi possono essere collegati di modo da eliminare le componenti di terza armonica. Il 

problema è che normalmente i carichi risultano sbilanciati durante la fase di fusione perciò tale 

cancellazione di armoniche non funziona. La cosa funziona meglio durante la fase di raffinazione 

durante la quale l’arco risulta più costante. 

I forni ad arco usati nell’industria siderurgica possono essere del tipo AC o DC. 

• FORNI AD ARCO AC 

Esso genera uno spettro che comprende armoniche di ordine pari e di ordine dispari e che viene 

per tale motivo definito come continuo. Si parla quindi di rumore di fondo a tutte le frequenze. 

Lo spettro dipende dal tipo di forno, dalla potenza e dal tipo di operazione (es. raffinazione, 

ecc.). con la misura si deve quindi determinare l’esatto spettro. 

Fig.2.13 

Forno ad arco alimentato da una sorgente alternata

• FORNI AD ARCO DC 

Fig.2.14 

Spettro della corrente per un forno ad arco alimentato in a.c. 


In questo caso l’arco è formato un raddrizzatore ed è più stabile rispetto ai forni ad arco in corrente 

alternata. 

La corrente nominale può essere suddivisa in: 

- Uno spettro simile a quello del raddrizzatore 

- Uno spettro continuo inferiore a quello di un forno ad arco del tipo AC 

2.5 Dispositivi Saturabili 

Fig.2.15 

Schema unifilare di un forno ad arco alimentato in corrente continua 

In questa categoria cadono i trasformatori, i motori e tutti quei dispositivi elettromagnetici con 

una parte centrale in acciaio. Essi possono essere infatti fonte di distorsione armonica a causa delle 

caratteristiche non lineari della curva di magnetizzazione dell’acciaio. 

29

30 

Capitolo 2 

Fig.2.16 

Caratteristica magnetica del trasformatore 

I trasformatori sono progettati per lavorare appena sotto il ginocchio della caratteristica di 

magnetizzazione. Anche se la corrente di eccitazione del trasformatore è caratterizzata da un gran 

numero di armoniche alla normale tensione di funzionamento, essa è di solito meno dell’un percento 

della corrente nominale a pieno carico. I trasformatori non sono quindi così preoccupanti 

come lo possono essere i convertitori che possono portare ad avere correnti armoniche per un 

20%, ma possono comunque comportare qualche malfunzionamento in quelle reti costituite da 

un gran numero di trasformatori. In particolare la corrente magnetizzante è più facile notarla durante 

le prime ore della giornata in cui pochi carichi sono allacciati alla rete, e quei pochi che ci 

sono non comportano lo stesso effetto attenuante che possono dare tutti i carichi collegati assieme. 

Fig.2.17 

Corrente magnetizzante di un trasformatore e rispettivo spettro 

Ci sono poi dei trasformatori che vengono fatti lavorare volutamente in zona di saturazione 

come accade per quelli usati nei circuiti dei forni ad induzione.


È quindi facile concludere che l’impedenza di un reattore saturabile è variabile con la corrente 

che scorre attraverso di esso, con conseguente notevole distorsione armonica. Questo è, ad esempio, 

il caso dei trasformatori a vuoto sottoposti ad una sovratensione continua. 

2.6 Macchine Rotanti 

Macchine rotanti generano armoniche di ordine alto quando sono sovraeccitati ma che hanno 

spesso ampiezza trascurabile. Ci sono però motori monofasi o di piccola potenza che hanno una 

forma d’onda pressoché triangolare, con conseguenti importanti terze armoniche. 

Le macchine sincrone piccole però possono generare terze armoniche di tensione che possono 

avere i seguenti effetti: 

- Continuo riscaldamento (senza guasti) dei resistori di messa a terra del centro stella 

- Malfunzionamento dei relè di corrente destinati a proteggere contro i guasti dell’isolamento 

31

32 

32 

Capitolo Capitolo Capitolo 2 

2 

2 

2.7 Schema Schema Schema Schema Rias 

Rias 

Rias 

Rias 

Riassunt Rias 

sunt 

sunt suntivo ivo ivo ivo ivo Convertitori Convertitori Convertitori Convertitori Convertitori Convertitori Convertitori Convertitori Alimentanti 

Alimentanti 

Alimentanti 

Alimentanti 

Alimentanti 

Alimentanti Alimentanti 

Alimentanti 

Alimentanti 

Carichi Carichi Carichi Carichi Distorcenti 

Distorcenti 

Distorcenti Distorcenti-Forma 

Distorcenti 

Distorcenti 

Distorcenti 

Forma 

Forma 

Forma 

d’onda d’onda d’onda tipo 

tipo 

Fig.2.18 

Fig.2.18 

Curve Curve Curve Curve Curve Curve di di di di di di di di di di corrente corrente corrente corrente corrente corrente corrente corrente corrente corrente assorbita assorbita assorbita assorbita assorbita assorbita assorbita assorbita assorbita assorbita da da da da da da da da da da da diversi diversi diversi diversi diversi diversi diversi diversi diversi diversi diversi tipi tipi tipi tipi tipi tipi tipi tipi tipi di di di di di di di di carico carico carico carico carico carico carico carico non non non non non non lineare 

lineare 

lineare 

lineare 

lineare 

lineare 

lineare 

lineare 

lineare

Capitolo 3 

La risposta del sistema 

In un sistema di potenza interessato da un disturbo la risposta del sistema è tanto importante 

quanto la sorgente del disturbo stesso. Infatti i sistemi di potenza tollerano abbastanza bene le 

correnti iniettate da carichi che producono armoniche a meno che non ci sia qualche interazione 

sfavorevole con l’impedenza del sistema. L’identificazione della sorgente del disturbo è quindi solo 

metà del lavoro da fare in un’analisi armonica. Ci sono 3 variabili primarie che influenzano la 

risposta di un sistema, i.e., l’impedenza del sistema, la presenza di banchi di condensatori e 

l’insieme dei carichi resistivi del sistema. 

3.1 L’impedenza del sistema 

Alla frequenza industriale i sistemi di potenza sono principalmente induttivi e l’impedenza equivalente 

viene solitamente chiamata reattanza di corto circuito. Gli effetti capacitivi vengono 

generalmente trascurati nei sistemi di distribuzione ed in quelli industriali di potenza. Una delle 

quantità più frequentemente usata nell’analisi armonica di un sistema elettrico è l’impedenza di 

corto circuito nel punto di collegamento del banco di condensatori con la rete. 

Se questa non è direttamente disponibile può essere calcolata dai risultati di uno studio del 

cortocircuito che mi dà o la potenza o la corrente di cortocircuito, dalla quale si ottiene: 

Dove: ZCC 

RCC 

XCC 

= impedenza di cortocircuito 

= resistenza di cortocircuito 

= reattanza di cortocircuito 

kV = tensione concatenata, [kV] 

MVACC = potenza trifase di cortocircuito, [MVA] 

ICC 

= corrente di cortocircuito, [A]

34 

Capitolo 3 

ZCC è una quantità fasoriale, formata da resistenza e reattanza ( comunque se i risultati 

dell’analisi di corto circuito non contengono informazioni di fase solitamente si usa assumere che 

l’impedenza sia puramente reattiva ). La parte induttiva dell’impedenza varia linearmente con la 

frequenza. Un errore comune è quello di dimenticarsi in un’analisi armonica di correggere tale valore 

all’aumentare della frequenza. La reattanza alla h-esima armonica è poi determinabile dalla 

reattanza X1 alla fondamentale, tramite: 

In molti sistemi elettrici si può generalmente assumere che la resistenza non vari significativamente 

finché si studiano gli effetti delle armoniche minori del 9° ordine. Nelle linee e nei cavi ( 

quando l’effetto pelle diventa significativo nel conduttore alle alte frequenze ) la resistenza varia 

con la radice quadrata della frequenza. L’eccezione a questa regola è data da alcuni trasformatori, 

in quanto a causa delle perdite per correnti parassite vaganti, la resistenza apparente dei grandi 

trasformatori può variare più che proporzionalmente con la frequenza. Questo può avere un effetto 

smorzante molto benefico nei confronti della risonanza, che verrà trattato in seguito. 

Nei trasformatori più piccoli, minori di 100 kVA, le resistenze degli avvolgimenti sono così elevate 

rispetto alle altre impedenze che annullano gli effetti delle correnti parassite, una piccola variazione 

della resistenza apparente la si può avere solo quando la frequenza supera i 500 Hz. Naturalmente 

questi piccoli trasformatori hanno un rapporto X/R cha varia tra 1.0 e 2.0 alla frequenza 

fondamentale, mentre i trasformatori più grandi hanno tipicamente rapporti da 20 a 30. Questo 

significa che se la linea che si sta studiando è “dominata” dall’impedenza del trasformatore 

piuttosto che da quella di linea, il modello dell’impedenza del sistema và trattato più attentamente. 

Un andamento dell’impedenza in funzione della frequenza per un sistema induttivo ( nessun 

condensatore installato ), si può valutare dalla Fig. 3.1. In questo semplice modello vengono trascurate 

le capacità, le quali peggiorano notevolmente l’analisi armonica. 

Fig. 3.1 

Impedenza in funzione della frequenza per un sistema induttivo.


Trascurando comunque gli effetti resistivi si ottiene una previsione più cautelativa ai fini 

della distorsione armonica. In un sistema elettrico industriale la reattanza equivalente è spesso 

approssimabile a quella del trasformatore di servizio, si può quindi fare l’approssimazione: 

Anche se non molto precisa, generalmente è più del 90% della totale impedenza, questa 

approssimazione è sufficiente per valutare la possibilità o meno di problemi di risonanza. 

L’impedenza del trasformatore, in ohm, può essere determinata dall’impedenza percentuale del 

trasformatore data nei dati di targa: 

 

∅ 

Per esempio un trasformatore da 1500 kVA, ZTr 6%, avrà un’impedenza equivalente a 480 V di: 

3.2 Impedenza capacitiva 

Ω 

(3.4) 

Gli shunt capacitivi, che possono essere installati da un consumatore per la correzione del fattore 

di potenza o nei sistemi di distribuzione per la correzione della tensione, alterano drasticamente 

l’impedenza del sistema al variare della frequenza. I condensatori non generano armoniche, 

ma importanti distorsioni armoniche possono talvolta essere attribuite alla loro presenza. 

Mentre la reattanza di un componente induttivo aumenta proporzionalmente con la frequenza, la 

reattanza capacitiva XC decresce proporzionalmente: 

dove C è la capacità in farad. 

Questa quantità è raramente disponibile direttamente per i condensatori di potenza, i quali 

vengono caratterizzati in termini di kvar o Mvar ad una determinata tensione. La reattanza capacitiva 

equivalente tra fase e neutro alla frequenza fondamentale per un banco di condensatori può 

essere determinata da: 

35

36 

Capitolo 3 

Per banchi trifasi basta inserire la tensione concatenata e la potenza reattiva trifase impegnata. 

Per esempio per un banco di condensatori trifasi da 1200 kvar a 13.8 kV si ottiene: 

3.3 Risonanza parallelo 

Tutti i circuiti hanno sia capacità che induttanze aventi una o più frequenze naturali 3 . Quando 

una di queste frequenze coincide con una frequenza prodotta dal sistema elettrico si può sviluppare 

una risonanza alla quale possono presentarsi tensioni e correnti con valori molto elevati. 

Questa è l’origine di molti problemi di distorsione armonica sui sistemi di potenza. La Fig. 3.2 mostra 

un sistema di distribuzione con potenziali problemi di risonanza parallelo. 

Fig. 3.2 

Sistema con potenziali problemi di risonanza parallelo. 

3 Frequenza naturale: si indica con f0 ed è la frequenza alla quale la reattanza capacitiva 1/ωC e la reattanza induttiva ωL sono di uguale 

modulo, costringendo l'energia ad oscillare tra il campo magnetico di una induttanza ed il campo elettrico di un condensatore. 

Ω


Nel caso si presenti una sorgente di armoniche i condensatori in derivazione risultano in parallelo 

all’induttanza equivalente del sistema ( sorgente e trasformatore ) alla frequenza armonica, 

come mostrato più semplicemente in Fig. 3.3. Inoltre finché il sistema di potenza viene rappresentato 

come un generatore di tensione alla sola frequenza fondamentale, la sorgente di tensione in 

figura appare cortocircuitata. La risonanza parallelo si manifesta nel momento in cui la reattanza 

capacitiva XC e quella del sistema di distribuzione si compensano a vicenda. La frequenza alla quale 

avviene questo fenomeno è detta frequenza di risonanza parallelo, che può essere espressa 

tramite: 

dove: Leq = induttanza equivalente della sorgente e del trasformatore 

C = capacità del banco di condensatori 

37

38 

Capitolo 3 

Fig. 3.3 

Alle frequenze armoniche i condensatori in parallelo risultano in parallelo all’induttanza del sistema. 

(a) Circuito di distribuzione semplificato. 

(b) Circuito risonante parallelo visto dalla sorgente armonica. 

Alla frequenza di risonanza l’impedenza risultante dal parallelo dell’induttanza e della capacità 

vista dalla sorgente armonica risulta molto grande, i.e:

dove: 

 

 


Ricordiamo che queste reattanze sono calcolate alla frequenza di risonanza. Q spesso è nota 

come fattore di qualità del circuito risonante e determina la forma della risposta in frequenza. 

Esso varia considerevolmente a seconda della posizione del sistema elettrico e può essere minore 

di 5 in linee di alimentazione di distribuzione e maggiore di 30 in linee secondarie di grandi trasformatori 

abbassatori. Dall’equazione precedente è chiaro che in condizione di risonanza parallelo 

anche una piccola armonica di corrente può causare elevate cadute di tensione sull’impedenza 

risultante, ovvero: 

La tensione vicino al banco di condensatori può essere molto elevata e fortemente distorta. 

Esaminiamo ora il comportamento della corrente durante la risonanza. La corrente che fluisce 

o attraverso il banco di condensatori o nel sistema elettrico è: 

o 

È chiaro quindi che la corrente che fluisce nei condensatori e nel sistema elettrico ( ovvero nel 

trasformatore ) viene incrementata Q volte. Questo può causare la messa fuori funzione del banco 

di condensatori, l’intervento dei fusibili e il surriscaldamento dei trasformatori. L’ampiezza 

dell’aumento di tensione o corrente è determinato dalla dimensione del banco dei condensatori. 

La Fig. 3.4 mostra gli effetti di vari valori di capacità in relazione all’impedenza del trasformatore 

vista dalla sorgente armonica, considerando anche il caso in cui non ci siano condensatori. 

39

40 

Capitolo 3 

Fig. 3.4 

Risposta in frequenza di un sistema con diversi valori di capacità in relazione al trasformatore. 

Gli analisti dei sistemi elettrici solitamente non hanno direttamente i valori di L e C, e preferiscono 

quindi usare delle altre relazioni. Essi calcolano l’armonica di risonanza hr basandosi 

sull’impedenza alla frequenza fondamentale usando una delle seguenti relazioni: 

dove: hr 

XC 

XCC 

= frequenza di risonanza 

= reattanza capacitiva 

= reattanza di cortocircuito del sistema 

MVACC = potenza di cortocircuito del sistema 

MVAcap = potenza reattiva del banco di condensatori 

kVATr = potenza del trasformatore abbassatore 

ZTr 

= impedenza del trasformatore abbassatore


Per esempio, per una linea di carico industriale dove l’impedenza del trasformatore è dominante, 

l’armonica di risonanza per un trasformatore da 150 kVA, impedenza 6%, ed un banco di 

condensatori da 500 kvar si ha approssimativamente: 

3.4 Risonanza serie 

Ci sono certi casi in cui un condensatore in derivazione e l’induttanza di un trasformatore o di 

una linea di distribuzione appaiono in serie ad una sorgente di armoniche di corrente. Se la frequenza 

di risonanza corrisponde alla frequenza armonica caratteristica del carico non lineare, il 

circuito LC drena gran parte della corrente circolante nel sistema elettrico. 

Un consumatore non ha carichi non lineari, ma spesso utilizza condensatori per la correzione 

del fattore di potenza, e questi possono essere sede di grandi distorsioni armoniche di tensione 

dovute alla loro vicinanza a sorgenti armoniche. Questa situazione è rappresentata in Fig. 3.5. 

Fig. 3.5 

Sistema con potenziali problemi di risonanza serie. 

Durante la risonanza, i condensatori di rifasamento formano un circuito serie con il trasformatore 

e la sorgente armonica. Il circuito semplificato è mostrato in Fig. 3.6. 

41

42 

Capitolo 3 

Fig. 3.6 

Risposta in frequenza di un circuito con risonanza serie. 

La sorgente armonica mostrata in figura rappresenta la totalità delle armoniche prodotte dagli 

altri carichi. La serie dell’induttanza del trasformatore con il banco di condensatori è molto piccola 

( teoricamente zero ) e limitata solo dalle loro resistenze. Così l’armonica di corrente corrispondente 

alla frequenza di risonanza può circolare liberamente nel circuito. La tensione sui condensatori 

è molto elevata e fortemente distorta, infatti: 

dove: Vh 

Vs 

= armonica di tensione corrispondente all’armonica di corrente Ih 

= tensione ai capi del banco di condensatori. 

La resistenza R del circuito risonante serie non è mostrata in Fig. 3.6, ma è molto piccola rispetto 

alla reattanza. La trascurabile impedenza del circuito risonante serie può essere sfruttata per 

assorbire determinate armoniche di corrente ( che è infatti il principio di funzionamento di un filtro 

). In molti sistemi con potenziali problemi di risonanza serie sorgono anche problemi di risonanza 

parallelo dovuti alla topologia del circuito.


Uno di questi è mostrato in Fig. 3.6 dove la risonanza parallelo è formata dal parallelo tra Xsource 

e la serie di XT e XC. Gli effetti della risonanza parallelo si mostrano sempre prima di quelli della risonanza 

serie, a causa del contributo dell’induttanza del sistema. La frequenza di risonanza parallelo 

può essere rappresentata dalla seguente equazione: 

3.5 Effetti della resistenza e di carichi resistivi 

Constatare che la frequenza di una sorgente armonica coincide con la frequenza di risonanza 

non è sempre allarmante. Lo smorzamento dovuto alle resistenze del sistema è spesso sufficiente 

per prevenire livelli critici di tensione e corrente. La Fig. 3.7 mostra l’impedenza di un circuito risonante 

parallelo per vari valori di carico resistivo in parallelo alla capacità. Un contributo anche 

piccolo, dell’ordine del 10%, da parte del carico resistivo ha benefici significativi sul picco 

dell’impedenza. Allo stesso modo se abbiamo linee di collegamento tra il banco di condensatori e 

il più vicino trasformatore sufficientemente lunghe, l’effetto della risonanza viene notevolmente 

smorzato. Linee e cavi possono quindi aggiungere significative porzioni di resistenza al circuito 

equivalente. Queste resistenze sono il motivo per cui si vedono raramente problemi catastrofici 

dovuti alle armoniche su condensatori e carichi. Questo non vuol dire che non abbiamo problemi 

di risonanza, ma i problemi generalmente con causano danni fisici ai componenti elettrici del sistema. 

I maggiori problemi di risonanza si hanno quando i condensatori sono installati sulle linee 

delle sottostazioni, sugli utilizzatori delle sottostazioni o sulle installazioni industriali. In questi casi, 

dove l’impedenza predominante è quella del trasformatore che ha un elevato rapporto X/R, la 

resistenza è piccola ed il picco della corrente risultante è molto alto e appuntito. Questo è spesso 

causa della rottura di condensatori, trasformatori ed altre apparecchiature. 

Fig. 3.7 

Effetto di carichi resistivi sulla risonanza parallelo. 

43

44 

Capitolo 3 

3.6 Esempio di una risonanza serie 

Nel seguente esempio di calcolo si analizza il collegamento in serie di un trasformatore ( induttanza 

XT e resistenza RT ) con un condensatore. La Fig. 3.8a mostra il relativo schema unifilare e la 

Fig. 3.8b mostra l’andamento dell’impedenza in funzione dell’ordine del’armonica. Questo andamento 

mostra una risonanza serie prossima alla 11° armonica. Nella Tab. 3.1 vengono indicati i 

risultati numerici dei valori delle impedenze, delle tensioni e delle correnti alle frequenze armoniche 

caratteristiche con una tensione di alimentazione distorta. 

(a) 

(b) 

LEGENDA: 

a Impedenza 

b Ordine 

armonico 

Fig. 3.8 

(a) Schema unifilare di un circuito risonante serie 

(b) Impedenza espressa in ohm del circuito sopra rappresentato in funzione 

dell’ordine dell’armonica.

dove: UN = tensione di riferimento (nell’esempio 400 V trifase) 

h = ordine dell’armonica 

XT = XT1 x h = reattanza di cortocircuito di un trasformatore da 1000 kVA 

avente una tensione di cortocircuito 6% 

QT = 8 = fattore di qualità del trasformatore 

XC = XC1 / h = reattanza di un condensatore da 160 kvar 

Z = impedenza equivalente ( vedi Fig. 3.8a ) 

UA = tensione alle sbarre di alimentazione. I valori sono stati 

ricavati da un rapporto CIGRE riguardante le armoniche e 

maggiorati del 60% 

UA(%) = ( UA / UN ) x 100 

IC = corrente nel condensatore 

ICN = corrente nominale del condensatore 

UB = tensione risultante sulle sbarre di carico 

UB(%) = ( UB / UN ) x 100 


h 

XT 

Ω 

XC 

Ω 

Z 

Ω 

UA 

V 

UA(%) 

% 

IC 

A 

UB 

V 

UB(%) 

% 

1 0.010 -1.000 0.990 400.0 100.0 233 404 101.0 

5 0.048 -0.200 0.152 12.0 3.0 46 16 3.9 

7 0.067 -0.143 0.076 9.6 2.4 73 18 4.5 

11 0.106 -0.091 0.020 6.0 1.5 175 28 6.9 

13 0.125 -0.077 0.050 4.8 1.2 55 7 1.8 

17 0.163 -0.059 0.106 2.4 0.6 13 1 0.3 

19 0.182 -0.053 0.132 1.9 0.5 8 1 0.2 

DF (A) % = 4.4 DF (B) % = 9.3 

ICeff. = 313A IC/ICN = 1.35 RT = XT / QT 

Tab. 3.1 

Risultati numerici relativi ai valori delle impedenze, tensioni e correnti corrispondenti 

agli ordini delle armoniche caratteristiche di un circuito risonante serie in una rete con 

una tensione di alimentazione distorta. 

45

46 

Capitolo 3 

Dall’esame della Tab. 3.1 si giunge alle seguenti conclusioni: 

• Se la frequenza è prossima alla frequenza di risonanza serie, una tensione relativamente 

bassa sulle sbarre di alimentazione può determinare una corrente elevata. Nell’esempio 

per h = 11 il condensatore è attraversato da una corrente di 175 A che corrisponde circa al 

75% della corrente fondamentale del condensatore; 

• L’elevato valore della corrente provoca un’elevata caduta di tensione sulle sbarre di carico, 

che determina una distorsione della tensione sinusoidale. Nell’esempio per h = 11, la 

distorsione della tensione risulta uguale a 6.9% sebbene la tensione armonica, sulle sbarre 

di alimentazione, sia soltanto 1.5%; 

• Il valore efficace della corrente che attraversa il condensatore risulta 1.35 volte il valore 

della corrente nominale del condensatore. Questa è una situazione di sovraccarico perché 

il limite normale è 1.3 volte la corrente nominale del condensatore. 

È possibile progettare un condensatore che sia in grado di sopportare una simile corrente. Tuttavia 

questa non rappresenta la soluzione del problema perché la distorsione di tensione sulle 

sbarre di carico è circa il 7% per una singola frequenza armonica ( h = 11 ) e quindi assai più elevata 

dei normali livelli ammessi. Inoltre, si può constatare che l’amplificazione non è ottenuta, soltanto 

quando la frequenza coincide con la frequenza di risonanza, ma anche quando la frequenza 

è prossima alla frequenza di risonanza.

3.7 Esempio di risonanza parallelo 


Nel seguente esempio di calcolo si analizza il collegamento in parallelo di un trasformatore ( 

induttanza XT e resistenza RT ) con un condensatore. La Fig. 3.9a mostra il relativo schema unifilare 

e la Fig. 3.9b mostra l’andamento dell’impedenza in funzione dell’ordine del’armonica. Nella Tab. 

3.2 vengono indicati i risultati numerici dei valori delle impedenze, delle tensioni e delle correnti 

alle frequenze armoniche. 

(a) 

(b) 

LEGENDA: 

a Impedenza 


armonico 

Fig. 3.9 

(a) Schema unifilare di un circuito risonante parallelo 


dell’ordine dell’armonica. 






47

48 

Capitolo 3 



I,I(%) = correnti sulle sbarre di carico. I valori sono i valori teorici di 

un variatore di 300 kVA 




UB(%) = ( UB / UN ) x 100 

h 

XT 

Ω 

XC 

Ω 

Z 

Ω 

I 

A 

I(%) 

% 

IC 

A 

UB 

V 

UB(%) 

% 

1 0.010 -1.000 0.010 433 100.0 231 - - 

5 0.048 -0.200 0.064 87 20.0 28 10 2.4 

7 0.067 -0.143 0.127 62 14.3 55 14 3.4 

11 0.106 -0.091 0.490 39 9.1 212 33 8.3 

13 0.125 -0.077 0.192 33 7.7 83 11 2.8 

17 0.163 -0.059 0.091 25 5.9 39 4 1.0 

19 0.182 -0.053 0.073 23 5.3 32 3 0.7 

DF (B) % = 9.8 

ICeff. = 334A IC/ICN = 1.45 RT = XT / QT 

Tab. 3.2 


agli ordini delle armoniche caratteristiche di un circuito risonante parallelo alimentato 

da una rete con presenza di armoniche di corrente. 


• Se la frequenza è prossima alla frequenza di risonanza parallelo, una corrente relativamente 

bassa sulle sbarre di alimentazione può determinare una elevata corrente nel condensatore. 

Nell’esempio per h = 11 il condensatore è attraversato da una corrente di 212 

A che risulta essere più del 90% della corrente fondamentale del condensatore, sebbene 

la corrente armonica sia soltanto 39 A sulle sbarre di carico; 

• L’elevato valore della corrente provoca un’elevata caduta di tensione sulle sbarre di carico, 

che determina una distorsione della tensione sinusoidale. Nell’esempio per h = 11, la 

distorsione risulta uguale a 8.3%; 

• Il valore efficace della corrente che attraversa il condensatore risulta 1,45 volte il valore 

della corrente nominale del condensatore. Questa è una situazione di sovraccarico perché 

il limite normale è 1.3 volte la corrente nominale de condensatore. 

È possibile progettare un condensatore che sia in grado di sopportare una simile corrente. Tuttavia 

questa non rappresenta la soluzione del problema perché la distorsione di tensione sulle sbar-


re di carico è circa l’8% per una singola frequenza armonica e quindi assai più elevata dei normali 

livelli ammessi. Inoltre, si può constatare che l’amplificazione non è ottenuta, soltanto quando la 

frequenza coincide con la frequenza di risonanza, ma anche quando la frequenza è prossima alla 

frequenza di risonanza. 

3.8 Soluzioni per evitare le risonanze 

Il metodo principale per evitare i problemi di risonanza è di mantenere la frequenza di risonanza 

il più distante possibile dalle frequenze armoniche che hanno ampiezze considerevoli. Questo 

può essere ottenuto cambiando l’induttanza o la capacità dei componenti della rete. Tuttavia, le 

possibilità sono limitate, se una particolare configurazione della rete è definita dalla potenza di 

alimentazione e dalla compensazione della potenza reattiva. In particolare, quando si deve utilizzare 

una batteria automatica di condensatori, devono essere prese in considerazione molte condizioni 

di risonanza. La soluzione più comune per evitare i problemi di risonanza è quella di collegare 

un reattore in serie col condensatore ed accordarli ad una frequenza di risonanza serie inferiore 

alla più bassa frequenza delle tensioni e delle correnti armoniche della rete. Sotto la frequenza 

di accordo, l’impedenza della connessione reattore-condensatore è capacità, sopra la frequenza 

di accordo risulta induttiva. L’interazione dell’induttanza della rete e dell’impedenza ( induttiva 

) della connessione reattore-condensatore non può più creare situazioni di risonanza, né 

risonanza serie né risonanza parallelo, alle frequenze delle tensioni e delle correnti armoniche 

presenti sulla rete. Il reattore può essere definito dalla sua impedenza relativa: 

L’ordine di accordo è uguale a: 

Nella maggioranza delle reti, la 5° armonica è la frequenza più bassa che presenti un’ampiezza 

considerevole. Per tali reti è opportuno scegliere una connessione condensatore-reattore con una 

frequenza di accordo inferiore a 5 . f1, cioè p > 4%. 

Se la rete presenta delle forti tensioni di 3° armonica tra le fasi, come avviene per esempio con 

raddrizzatori monofase e con trasformatori saturati, la frequenza di accordo deve essere inferiore 

a 3 . f1 cioè p > 11%. Negli esempi seguenti riguardanti le Figg. 3.10a, 3.10b, 3.11a, 3.11b e le Tab. 

3.3, 3.4 sono stati utilizzati gli stessi valori utilizzati in precedenza, ma con una connessione condensatore-reattore 

accordati sulla frequenza 3.78 . f1 con p = 7% e la potenza di compensazione alla 

frequenza industriale come in precedenza. 

49

50 

Capitolo 3 

3.8.1 Connessione condensatore-reattore: risonanza serie 

(a) 

(b) 

LEGENDA: 

a Impedenza 


armonico 

Fig. 3.10 

(a) Schema unifilare di un circuito risonante serie con una connessione 

condensatore-reattore 









XL + XC 


= reattanza di un condensatore con un reattore p = 7% per una 

potenza di compensazione di 160 kvar 

QL = 30 = fattore di qualità del reattore 


UA = tensione alle sbarre di alimentazione. I valori sono stati 

ricavati da un rapporto CIGRE riguardante le armoniche e 

maggiorati del 60% 

UA(%) = ( UA / UN ) x 100 




UB(%) = ( UB / UN ) x 100 

h 

XT 

Ω 

XC + XL 

Ω 

Z 

Ω 

UA 

V 

UA(%) 

% 

IC 

A 

UB 

V 

UB(%) 

% 

1 0.010 -1.000 0.990 400.0 100.0 233 404 101.0 

5 0.048 0.161 0.212 12.0 3.0 33 9 2.3 

7 0.067 0.373 0.443 9.6 2.4 13 8 2.0 

11 0.106 0.730 0.840 6.0 1.5 4 5 1.3 

13 0.125 0.896 1.026 4.8 1.2 3 4 1.0 

17 0.163 1.126 1.386 2.4 0.6 1 2 0.5 

19 0.182 1.374 1.563 1.9 0.5 1 2 0.4 

DF (A) % = 4.4 DF (B) % = 3.5 

ICeff. = 236 IC/ICN = 1.02 RT = XT / QT RL = XL / QL 

Tab. 3.3 


agli ordini delle armoniche caratteristiche di un circuito risonante serie con una 

connessione condensatore-reattore in una rete con tensione di alimentazione distorta. 

51

52 

Capitolo 3 


• Con l’utilizzazione di una connessione condensatore-reattore si evitano i problemi di risonanza 

con la conseguente amplificazione delle tensioni e delle correnti; 

• Il fattore di distorsione sulle sbarre di carico è 3.5% mentre quello dell’esempio della Tab. 

3.1 è 9.3%. la qualità della tensione della rete è quindi migliorata sotto questo aspetto. 

3.8.2 Connessione condensatore-reattore: risonanza parallelo 

(a) 

(b) 

LEGENDA: 

a Impedenza 


armonico 

Fig. 3.11 

(a) Schema unifilare di un circuito risonante parallelo con una connessione 

condensatore-reattore 

(c) Impedenza espressa in ohm del circuito sopra rappresentato in funzione 







XL + XC 


= reattanza di un condensatore con un reattore p = 7% per una 

potenza di compensazione di 160 kvar 

QL = 30 = fattore di qualità del reattore 


I,I(%) = correnti sulle sbarre di carico. I valori sono i valori teorici di 

un variatore di 300 kVA 




UB(%) = ( UB / UN ) x 100 

h 

XT 

Ω 

XC + XL 

Ω 

Z 

Ω 

I 

A 

I(%) 

% 

IC 

A 

UB 

V 

UB(%) 

% 

1 0.010 -1.000 0.010 433 100.0 231 - - 

5 0.048 0.161 0.037 87 20.0 20 6 1.4 

7 0.067 0.373 0.057 62 14.3 10 6 1.5 

11 0.106 0.730 0.093 39 9.1 5 6 1.6 

13 0.125 0.896 0.110 33 7.7 4 6 1.6 

17 0.163 1.216 0.145 25 5.9 3 6 1.6 

19 0.182 1.374 0.162 23 5.3 3 6 1.6 

DF (B) % = 3.8 

ICeff. = 232A IC/ICN = 1.01 RT = XT / QT RL = XL / QL 

Tab. 3.4 


agli ordini delle armoniche caratteristiche di un circuito risonante parallelo con una 

connessione condensatore-reattore in una rete con presenza di armoniche di corrente. 

53

54 

Capitolo 3 


• Con l’utilizzazione di una connessione condensatore-reattore si evitano i problemi di risonanza 

con la conseguente amplificazione delle tensioni e delle correnti; 

• Il fattore di distorsione sulle sbarre di carico è 3.8% mentre quello dell’esempio della Tab. 

3.2 è 9.8%. la qualità della tensione della rete è quindi migliorata sotto questo aspetto. 

3.9 Interazione filtro – sistema elettrico 

Per una progettazione corretta di un sistema di filtraggio, è necessario analizzare quali possono 

essere le conseguenze dell’inserimento del filtro nella rete: data la complessità del problema, ciò 

avviene generalmente tramite una serie di simulazioni al calcolatore utilizzando programmi di 

load-flow armonico esistenti in commercio. Le simulazioni permettono di stabilire con buona affidabilità 

la qualità di una soluzione progettuale di filtraggio: solitamente essa viene studiata per i 

valori nominali di capacità, induttanza e resistenza; poi bisogna verificare la risposta della rete a 

una o più variazioni delle grandezze caratteristiche del filtro entro le tolleranze prefissate per i 

singoli elementi. Tipicamente la capacità possono subire variazioni nel tempo del ±10% e le induttanze 

del ±5%. L’inserzione del filtro nella rete può spesso creare problemi che precedentemente 

erano trascurabili o inesistenti. La situazione di risonanza parallelo è particolarmente pericolosa, 

perché si presenta con facilità quando si debba progettare un sistema di filtraggio. Come esempio 

si supponga che un’utenza industriale abbia un banco di condensatori di rifasamento che crea fenomeni 

di risonanza alla 7° armonica. Il progettista può allora stabilire di convertire il banco di 

condensatori in un banco di filtri accordati sulla stessa armonica. Questa decisione ( Fig. 3.12 ) 

può dar luogo, a causa delle relazioni tra le impedenze dei filtri e della rete, a uno spostamento 

della frequenza di risonanza parallelo dalla 7° alla 5° armonica; poiché generalmente correnti di 5° 

armonica sono significativamente presenti nelle reti elettriche ( si pensi ai convertitori a sei impulsi 

), ciò può dar luogo ad una distorsione inaccettabile della tensione proprio a causa della componenti 

di 5° armonica. 

Fig. 3.12 

Esempio di risposte in frequenza per evidenziare l’interazione filtro-sistema elettrico


La soluzione allora consiste nel prevedere la presenza di un filtro anche per la 5° armonica che, 

oltre a filtrare la 5° armonica, abbassa ulteriormente la frequenza di risonanza. 

Le considerazioni svolte indicano anche che, in generale, l’inserzione dei filtri deve avvenire a 

partire da quelli relativi alle armoniche più basse, per evitare che la frequenza di risonanza parallelo 

vada a coincidere con una frequenza inferiore in corrispondenza della quale esiste un disturbo 

in rete. Se viceversa tale disturbo è già stato eliminato la presenza di una risonanza alla corrispondente 

frequenza non dà problemi. Ovviamente, per gli stessi motivi, al momento della disinserzione 

dei filtri, si dovrà procedere a partire dai filtri per le armoniche più elevate. Capita spesso 

che la presenza di armoniche in rete sia dovuta a risonanza causate dall’induttanza prevalentemente 

induttiva della rete con i condensatori di rifasamento. Si può ovviare a questo problema 

semplicemente ricordando che la taglia o la localizzazione dei condensatori possono essere cambiate, 

eliminando perciò il problema. In particolare si è osservato che i condensatori utilizzati nei 

sistemi industriali per migliorare il fattore di potenza causano risonanze sulla 5° armonica. Questo 

avviene quando la potenza di cortocircuito del nodo è circa 23-30 volte più grande della generazione 

di potenza reattiva richiesta al sistema di rifasamento. Problemi con la 3° armonica, invece, 

si possono avere frequentemente in presenza di grossi carichi monofase ( fino al 50% della corrente 

assorbita da questi carichi può essere di terza armonica ), che sono spesso presenti nella distribuzione; 

la 3° armonica, invece, non dà generalmente problemi con i carichi trifase non lineari. 

Se non si vuole ricorrere, per esempio per motivi economici, all’impiego di più filtri per evitare 

l’insorgere delle risonanze, si può semplicemente aggiungere in serie al condensatore di rifasamento 

una reattanza; questa volta lo scopo non è di creare un filtro accordato, ma di spostare soltanto 

la frequenza di risonanza e non farla più coincidere con la frequenza armonica di un disturbo 

presente in rete. Questo non crea particolari difficoltà nel progetto, ma bisogna sempre ricordare 

che il ramo LC così creato produrrà più potenza reattiva di quanta ne produceva prima il solo 

condensatore di rifasamento ( a causa della diminuita impedenza ). 

55

56 

Capitolo 3

4.1 Composizione base di un filtro 

Un impianto di filtraggio è generalmente costituito da: 

• Condensatori; 

• Reattori; 

• Interruttori; 

• Sistemi di protezione; 

Capitolo 4 

Tipologie di filtro 

Il dimensionamento di questi componenti è generalmente basato sulle sollecitazioni calcolate 

nella situazione di esercizio più onerose, è perciò necessario prendere in considerazione le correnti 

armoniche prodotte dai carichi e tutte le correnti e tensioni armoniche esistenti nella rete. 

Si deve controllare che non causino inaccettabili ripercussioni negative sul funzionamento del 

filtro: le tolleranze di fabbricazione, l’influenza della temperatura e dell’invecchiamento, 

l’intervento di eventuali fusibili interni oppure esterni, la possibile non linearità dei componenti 

del filtro cosi come la variazione della frequenza di rete. 

4.1.1 Condensatore 

Le unità capacitive o le batterie costituiscono una parte fondamentale dell’impianto di filtraggio, 

pertanto deve esserne compiuto uno studio accurato per ottenere una realizzazione ottimale. 

La corrente nel condensatore è costituita da una componente fondamentale e da componenti 

alle frequenze armoniche. Siccome l’ampiezza delle componenti armoniche può essere elevata, 

specialmente in un filtro accordato, è necessario tenerne conto quando vengono stabiliti i valori 

nominali dei condensatori. Naturalmente deve essere anche considerato l’aumento della tensione 

sul condensatore dovuto al collegamento in serie con il reattore. 

4.1.2 Reattore 

La corrente nel reattore è costituita da una componente fondamentale e dalle sue armoniche. 

Deve essere progettato per poter sopportare le temperature determinate dai valori massimi di 

corrente della componente fondamentale e dalle sue armoniche. Nel progetto di un filtro si devono 

considerare le tolleranze di fabbricazione dell’induttanza del reattore; una tolleranza del 3% è 

generalmente accettabile per la maggior parte delle applicazioni dei filtri.

58 

Capitolo 4 

Il reattore deve essere in grado di poter sopportare le correnti di cortocircuito che possono verificarsi 

in caso di guasto e cosi pure le correnti e le tensioni di manovra. Il valore dell’induttanza 

del reattore non deve presentare una variazione superiore al 5% fra il suo valore che alla corrente 

nominale e quello nelle condizioni di massimo carico determinato dal valore di picco della corrente 

o della tensione (induzione causata dalla somma aritmetica dei valori massimi delle correnti o 

delle tensioni fondamentali e armoniche). Quando si utilizzano dei reattori col nucleo in ferro (caso 

normale di filtri in bassa tensione) si devono adottare misure precauzionali per evitare problemi 

di saturazione. 

4.1.3 Interruttori 

La commutazione di questi impianti richiede un apparecchio di manovra con alcune caratteristiche 

speciali. Devono essere presi in considerazione i seguenti requisiti: 

• Il contattore non deve dar luogo al riadescamento dell’arco e devono essere adatti alla 

manovra dei condensatori; 

• La sua tensione nominale deve essere uguale o superiore alla tensione massima della rete 

con il filtro di servizio; 

• Deve essere progettato per una corrente permanente (incluse le armoniche) che può attraversare 

il filtro alla massima tensione di alimentazione, alla massima frequenza e considerando 

le tolleranze dei componenti; 

• Il potere di interruzione deve essere uguale o superiore alla corrente di cortocircuito che 

si può verificare nel filtro; 

4.1.4 Protezione contro i cortocircuiti ( fusibili ) 

La tensione nominale della protezione contro i cortocircuiti deve essere uguale o maggiore della 

massima tensione della rete con l’impianto di rifasamento e/o filtro in servizio. La protezione 

contro i cortocircuiti deve essere prevista per una corrente permanente (incluse le armoniche) 

che può attraversare l’impianto di rifasamento e/o il filtro alla massima tensione di alimentazione, 

alla massima frequenza e ai valori estremi di tolleranza dei componenti, in special modo del condensatore 

e del reattore. La protezione di cortocircuito deve avere una tenuta di breve durata sufficiente 

per resistere alle correnti di cortocircuito e alle correnti di inserzione che si possono verificare 

alla messa in tensione. 

4.2 Filtri passivi 

Il metodo generalmente più usato per limitare la presenza nella rete di tensioni armoniche è 

quello di utilizzare un sistema di filtraggio passivo. 

Un filtro passivo deve poter: 

• Ridurre il contenuto armonico di correnti o tensioni entro i limiti stabiliti dalla normativa; 

• Produrre potenza reattiva utile per rifasare il carico;

• Non risentire di disturbi della rete e non deve crearne di nuovi; 


Sono principalmente costituiti da induttori e condensatori opportunamente collegati allo scopo 

di: 

• Creare un’elevata impedenza in serie al carico per fare in modo che le armoniche di corrente 

siano le più basse possibili. Naturalmente questo tipo di filtro, data la natura del collegamento 

con il carico deve essere dimensionato per sopportare la massima tensione di 

linea e per la massima corrente di carico. Non è adatto nel caso si abbiano molti carichi distorcenti 

in quanto di fatto impedirebbe alle correnti armoniche di fluire in vie a bassa 

impedenza verso la rete, e provoca quindi una distorsione della tensione 

• Creare una via a bassa impedenza che cortocircuiti a terra le componenti armoniche indesiderate. 

Tali filtri vengono posti in parallelo al carico e devono essere dimensionati per le 

correnti armoniche che deriveranno. Per questo motivo generalmente i filtri parallelo sono 

meno costosi di quelli serie, ed inoltre tali filtri permettono di fornire potenza reattiva 

alla frequenza fondamentale utile al rifasamento (mentre i filtri serie assorbono potenza 

reattiva alla frequenza fondamentale). 

Sono classificati in base alla loro banda passante, perciò si può avere: 

• Filtri accordati (tuned); 

• Filtri non accordati; 

• Filtri passa-alto (damped o high-pass); 

59

60 

Capitolo 4 

Fig 4.1 

Schemi di diverse tipologie di filtri accordati e passa-alto: a)filtro accordato 

4.2.1 Filtro accordato 

b)filtro passa-alto del I° ordine 

c) filtro passa-alto del II° ordine 

d) filtro passa-alto del III° ordine 

Questi tipi di filtro generalmente sono costituiti dalla serie di una capacità, un’induttanza e la 

resistenza interna dei due componenti (fig.4.1) la cui frequenza di risonanza è: 

Alla frequenza di accordo fr il filtro presenta una impedenza minima in quanto la reattanza induttiva 

e quella capacitiva si equivalgono, perciò l’impedenza complessiva sarà data dalla sola 

componente resistiva. In questo modo quindi assorbe buona parte della corrente iniettata alla 

frequenza fr riuscendo quindi a limitare le armoniche di tensione (essendo queste proporzionali al 

prodotto tra la corrente e la resistenza in cui fluisce). 

Normalmente questo tipo di filtro è efficace solamente nell’intorno della frequenza fr, perciò 

nel caso si debba eliminare più armoniche bisogna prevedere un sistema di filtri in cui ciascuno di 

essi sia accordato per una frequenza specifica.

Fig.4.2 

A) filtro passivo accordato ad una singola frequenza fn 

B) Impedenza del filtro in funzione della frequenza 

Per questi tipi di filtro si definisce il fattore di qualità Q dato da: 


dove Xo è la reattanza dell’induttore (o del capacitore) alla frequenza di accordo fr del filtro, e R è 

la resistenza del filtro. 

Tale fattore di merito o di qualità definisce la selettività del filtro perciò si possono avere filtri a 

basso Q (20÷40), oppure ad alto Q (fino a 100). Altro parametro fondamentale è la banda passante 

(PB) ed è definita come il campo di frequenza che a come limiti i valori di frequenza per cui la 

reattanza del filtro è uguale alla sola resistenza R (cioè quelle due frequenze per cui l’impedenza 

ha un angolo caratteristico di e modulo pari a ) come mostrato figura 4.3. 

61

62 

Capitolo 4 

Fig. 4.3 

Definizione della banda passante. 

Il fattore di qualità e la banda passante sono legate dall’espressione: 

dove ωr= 2πfr. 

Si può notare che all’aumentare di Q, diminuisce la PB, cioè più diventa stretta la banda di frequenze 

nell’intorno di fr per cui l’impedenza del filtro rimane limitata alla sola componente resistiva 

e più il filtro diventa selettivo. 

Si può definire lo spostamento dalla frequenza di accordo (de-tuning) rappresentato da: 

dove f è la frequenza del disturbo ed fa è l’effettiva frequenza di accordo del filtro. 

Questo scostamento può verificarsi principalmente per tre motivi: 

• Variazione della frequenza fondamentale del sistema di alimentazione che da luogo ad 

una variazione della frequenza del disturbo f rispetto a fr; 

• Variazione del valore della capacità e dell’induttanza a causa della temperature o per invecchiamento; 

• Tolleranze nella costruzione dell’induttore e della capacità (2÷3% del valore nominale); 

Perciò l’espressione del de-tuning può essere più specificamente definita come:


dove Ln e Cn sono rispettivamente l’induttanza e la capacità che danno luogo alla frequenza di accordo 

fr mentre ∆L e ∆C sono le loro variazioni. 

Il fenomeno del de-tuning è particolarmente critico per filtri molto selettivi che presentando 

un valore di impedenza molto più alto, a seguito dello scostamento δ, vedrebbero ridotta la loro 

capacità di assorbire i disturbi e darebbero luogo invece a distorsioni della tensione. 

I filtri accordati su una sola frequenza, hanno il vantaggio che le perdite non sono eccessivamente 

elevate (se non sono state intenzionalmente aggiunte resistenze per allargare la banda 

passante) ed i filtri sono molto efficaci. Il maggiore problemi di questi dispositivi consiste nel fatto 

che essi sono molto sensibili alle variazioni dei parametri se la loro banda passante è stretta. Questo 

problema può essere risolto aumentando la taglia del condensatore oppure aumentando la 

resistenza. 

Quando ci sono due frequenze di disturbo particolarmente distorcenti è anche possibile utilizzare 

filtri accordati su due frequenze come mostrato in figura 4.4. Questi filtri hanno il vantaggio, 

rispetto alla soluzione di due filtri in parallelo, che le perdite alla frequenza fondamentale sono 

più basse e che il dimensionamento degli induttori è meno oneroso. 

Fig. 4.4 

Filtro accordato su due frequenze e relativa risposta in frequenza 

63

64 

Capitolo 4 

La figura 4.5 mostra l’impedenza di un sistema di quattro filtri dimensionati per ridurre le armoniche 

di quinto, settimo, undicesimo e tredicesimo ordine rispetto alla fondamentale. Come si 

può notare si creano delle anti-risonanze per range di frequenza inferiori alle frequenze di risonanza 

di ciascun filtro, per cercare di limitare questo si può prevedere un secondo sistema di filtri 

che agisca nell’intorno della frequenza in cui il sistema instaura una situazione di anti-parallelo. 

Fig. 4.5 

Andamento del modulo dell’impedenza in un sistema a quattro filtri accordati dimensionati 

per ridurre la 5°,7°,11° e 13° ordine 

4.2.2 Filtro non accordato 

Un sistema efficace dal punto di vista tecnico ed economico per prevenire i problemi di risonanza 

armonica è quello di collegare un reattore in serie con ciascuna fase di ciascun gradino 

dell’impianto di rifasamento. Questo tipo di impianto di rifasamento fornisce anche il vantaggio di 

ridurre le tensioni armoniche nella rete assorbendo parte delle correnti armoniche con un ordine 

più elevato di quello della frequenza di accordo del complesso reattore – condensatore. 

La scelta della frequenza di accordo dipende dalle ampiezze e dalle frequenze delle correnti 

armoniche che circolano nella rete. In genere i reattori non possono essere aggiunti ai condensatori 

esistenti per formare un filtro non accordato, in quanto non possono risultare già dimensionati 

per le sollecitazioni addizionali dovute alle tensioni e alle correnti risultanti dall’aggiunta dei reattori 

in serie. 

Normalmente, un impianto di rifasamento con in serie dei reattori non può essere associato ad 

un impianto senza reattori in serie. Si deve anche fare attenzione quando un filtro non accordato 

viene aggiunto ad un impianto avente una diversa frequenza di accordata. In entrambi i casi possono 

sorgere problemi a causa della diseguale ripartizione del carico armonico e del possibile sovraccarico 

del filtro o di una parte di esso.

4.2.3 Filtro passa-alto 


I filtri passa alto possono essere del primo, del secondo o del terzo ordine, secondo il numero 

degli elementi conservativi presenti; i più frequentemente utilizzati sono quelli del secondo e del 

terzo ordine, perchè quelli del primo ordine hanno perdite elevate alla frequenza fondamentale. 

In particolare il filtro del terzo ordine presenta un condensatore in serie con il resistore per diminuire 

le perdite alla frequenza fondamentale(fig.4.1 d). La scelta del fattore di qualità, per un filtro 

passa alto, è meno problematica rispetto ai filtri accordati; essa infatti avviene in modo da avere 

la migliore caratteristica sulla banda di frequenze per cui non è previsto alcun filtro accordato, 

cioè la banda di utilizzazione del filtro passa alto. 

La figura 4.7 mostra lo schema circuitale di uno di questi tipi di filtri, mentre la figura 4.8 riporta 

la corrispondente variazione del modulo dell’impedenza complessiva in funzione della frequenza. 

Come si può notare il comportamento del filtro alle frequenze più elevate dipende sostanzialmente 

solo dalla resistenza R, mentre alle frequenze inferiori a quella di accordo essa agisce solo 

come un’impedenza ohmico-capacitiva. 

Per i filtri passa-alto il fattore di qualità è espresso come: 

dove X * è la reattanza equivalente dell’induttore o del condensatore valutata alla frequenza al di 

sopra della quale si ha che il modulo dell’impedenza tende al valore della sola componente R. 

Valori di Q per applicazioni pratiche di questi filtri sono compresi tra 0.5 e 2. Quando Q assume 

valori più elevati, la caratteristica si avvicina a quella dei filtri accordati. 

In situazioni di generazioni significative di correnti armoniche, come per esempio quando ci 

siano raddrizzatori a sei impulsi, è pratica comune progettare filtri accordati per la quinta e la settima 

armonica ed un filtro passa alto per l’undicesima e per le armoniche superiori. In generale 

non è economicamente conveniente utilizzare filtri passa-alto per le armoniche di ordine inferiore 

a causa della diminuzione di rendimento del filtro in queste condizioni. Infatti alle basse frequenze 

le correnti hanno un’intensità maggiore e perciò richiedono filtri con impedenze basse per limitare 

le perdite. 

65

66 

Capitolo 4 

Fig. 4.7 

A) filtro passivo passa-alto del second’ordine 

B)Impedenza del filtro in funzione della frequenza. 

Fig. 4.8 

Caratteristica di un filtro passa-alto del secondo ordine in funzione della frequenza. 

In figura 4.9 è rappresentato una classica combinazione di filtro passa-alto con filtri accordati 

sulla 11° e 13° armonica. La potenza reattiva fornita dai filtri sarà data da: 

con :


Naturalmente al momento del rifasamento bisognerà tenere conto di questa potenza reattiva. 

Fig. 4.9 

Circuito equivalente di un sistema di filtraggio posto sul lato ac e condensatori per la correzione 

del fattore di potenza, e relativo andamento dell’impedenza complessiva di una singola fase 

in funzione della frequenza 

4.3 Condensatori di rifasamento 

Questo tipo di installazione per la correzione del fattore di potenza può essere utilizzato quando 

non è necessario ricorrere a particolari provvedimenti per evitare i problemi dovuti alla risonanza 

o per ridurre le armoniche. Questo avviene generalmente quando la frequenza di risonanza 

determinata dall’induttanza della rete e dalla capacità dell’impianto di rifasamento è relativamente 

alta e il contenuto armonico della rete è basso (cioè tensioni e correnti armoniche nella rete 

generate dal carico). 

Si deve tuttavia tenere presente che la capacità totale risultante di tutti gli impianti di rifasamento 

collegati al lato bassa tensione di un trasformatore di distribuzione determina la possibilità 

di avere problemi di risonanza armonica. Risolvere tali problemi, quando l’impianto di rifasamento 

è già in servizio, può risultare assai più difficoltoso che non provvedere al momento 

dell’installazione iniziale, infatti spesso non è possibile riutilizzare i condensatori, i telai di sostegno 

ecc. , già esistenti. 

67

68 

Capitolo 4 

4.4 Filtri attivi 

Lo schema in Figura 4.10 mostra il diagramma unifilare relativo al funzionamento di un filtro 

attivo. La corrente assorbita da un carico non lineare è composta da una componente alla frequenza 

fondamentale iL1 e da una componente di distorsione iL,distorsione. La corrente nel carico viene 

misurata e filtrata in modo da fornire un segnale proporzionale alla componente di distorsione 

iL,distorsione. Con un controllo in corrente un inverter è fatto funzionare per fornire al sistema la corrente 

iL,distorsione. Quindi, con riferimento a un caso ideale, le armoniche presenti nella corrente di 

rete vengono eliminate. Sul lato DC del convertitore è necessario solo un condensatore in grado di 

immagazzinare una minima energia, poiché la tensione su di esso è mantenuta dall’inverter che 

trasferisce dalla rete elettrica solo la potenza attiva necessaria a compensare le proprie perdite, 

attraverso una piccola corrente iL,perdita. 

Fig. 4.10 

Schema unifilare della connessione di un filtro attivo e relativa analisi delle correnti nel circuito 

stesso. 

Il convertitore è chiamato a erogare la componente di distorsione iL,distorsione . Si può utilizzare lo 

schema del compensatore statico di potenza reattiva di figura 4.11, dove il sistema di controllo 

elabora le correnti necessarie per compensare la componente reattiva (eventualmente anche il 

contenuto armonico) della corrente assorbita dal carico. Viene richiesta una minima potenza attiva, 

necessaria a mantenere il condensatore lato DC carico alla tensione Vd. Dato il meccanismo di 

funzionamento del filtro attivo e le alte prestazioni dinamiche che presenta, la compensazione 

della corrente distorta si manifesta senza ritardi e la si può considerare istantanea. Inoltre con i 

moderni filtri armonici si riescono a compensare fino al 50° ordine circa e con i modelli di filtri a 4 

conduttori si riescono ad eliminare anche le correnti di neutro. Inoltre, date le caratteristiche di 

funzionamento del filtro attivo, lo stesso risulta indipendente dal cos φ della rete, dalla direzione 

della potenza e dal tipo di carico, oltre che dall’impedenza della rete, caratteristiche che lo rendono 

facilmente utilizzabile senza particolari precauzioni. 

Il costo dei filtri attivi è funzione della corrente efficace presente.

Fig. 4.11 

Schema di un compensatore statico di porenza reattiva. 


I filtri attivi sono stati studiati da tanto tempo ed ora, grazie alle migliorate caratteristiche dei 

dispositivi a semiconduttore di potenza, essi incominciano ad essere presi in considerazione seriamente 

in nuove tecnologie di filtri attivi di tipo ibrido. 

69

70 

Capitolo 4

5.1 Filtri passivi accordati 

Capitolo 5 

Criteri di dimensionamento 

Per la progettazione, al fine di eliminare le armoniche, in un filtro è necessario determinare solamente 

due parametri: la resistenza R e la capacità C o l’induttanza L. Infatti la C e la L sono legate 

dalla relazione: 

L’inserimento di un filtro comporta una modifica della risposta in frequenza della rete, per cui 

potrebbero essere amplificate armoniche vicine a quella che si vuole eliminare. Questo fenomeno 

è strettamente legato al fattore di qualità Q, infatti al variare di Q cambia il comportamento 

dell’impedenza equivalente del filtro. Bisogna quindi ricercare, tra le infinite combinazioni, il valore 

di C che consenta l’attenuazione delle armoniche generate dai carichi distorcenti evitando 

l’amplificazione di armoiche di tensione e corrente a causa di fenomeni risonanza. 

Il fattore di qualità va scelto inizialmente volto a minimizzare l’impedenza equivalente di filtro 

e rete. 

dove: - = angolo impedenza della rete senza filtro; 

- = valore di de-tuning 4 ipotizzato; 

Una volta trovato il fattore di merito ottimale si può valutare la capacità in base a considerazioni 

di tipo economico, tecnico o in base al grado di rifasamento. 

Prima di calcolare C bisogna dare alcune definizioni: 

- Potenza convenzionale di dimensionamento (rating), è la somma delle potenze armoniche 

associate alla frequenza fondamentale e alla frequenza di accordo del filtro. 

- Taglia del filtro (size), è la potenza reattiva che il filtro può fornire alla frequenza fondamentale. 

E’ lecito ipotizzare che la tensione ai capi del condensatore sia uguale a quella di alimen- 

4 De-tuning, fenomeno espresso come scostamento relativo alla frequenza di accordo

72 

Capitolo 5 

tazione quindi la taglia del filtro è uguale alla potenza reattiva fornita dal solo condensatore: 

 

 

• Un primo criterio di dimensionamento è quello che ne minimizza i costi. Si tenga presente che nel 

costo complessivo i condensatori incidono per circa il 60%. 

Il costo di un filtro dipende principalmente dal rating, supponendo che la potenza reattiva alle 

armoniche fornita alla rete sia legata solamente alla h-esima armonica di accordo. Bisogna fare 

due ipotesi, la prima che la sorgente di energia alla frequenza fondamentale sia a tensione costante, 

la seconda che la sorgente armonica sia a frequenza costante, quindi si ha: 

dove: - = reattanza della capacità alla frequenza fondamentale; 

- = tensione di alimentazione; 

- = valore efficace corrente armonica di ordine h. 

Per quanto riguarda l’induttore la sua reattanza è uguale a quella del condensatore, quindi: 

Perciò: 

Il rating dell’induttore risulta: 

Il costo complessivo del filtro: 

Posto 

Si ha che: 

 

 

Il valore di che minimizza la funzione è:


Una volta noto si calcola del filtro, da cui si possono ricavare i parametri e . Il valore 

della resistenza è infine ricavato dalla relazione che lega reattanza (alla frequenza di accordo) 

e resistenza tramite il fattore di qualità sopra definito. 

• Un altro criterio di dimensionamento dei condensatori del filtro consiste nel minimizzare le 

armoniche di tensione, indipendentemente dal costo del filtro. E’ necessario fissare i valori massimi 

di tensione armonica tollerabili e in base a quelli si potrà stabilire il dimensionamento del filtro. 

Si supponga che la rete abbia l’argomento dell’impedenza di valore limitato tra e ci si 

ponga nelle condizioni più gravose per quanto riguarda e sopra definiti. Noto , fattore 

che minimizza la tensione armonica h-esima, quest’ultima è pari a: 

dove è la corrente iniettata dal convertitore. 

Se si impone il valore di , si può ricavare e di conseguenza tutti gli altri paramentri del filtro. 

• L’ultimo criterio di dimensionamento consente di progettare il filtro, che alla frequenza fondamentale 

ha un comportamento capacitivo, in base alla potenza reattiva che si vuole fornire alla 

rete. Avendo il sistema di compensazione lo scopo sia di ridurre le correnti armoniche sia di portare 

il fattore di potenza al valore richiesto dall’ente distributore, risulta naturale assegnare ai filtri 

selettivi una quota parte dell’energia reattiva da compensare. La suddivisione dell’energia reattiva 

fra i filtri presenti nell’impianto è uno dei parametri liberi su cui si basa il progetto. Assegnata 

questa e le frequenze di accordo, tutti i paramentri induttivi risultano determinati. Il valore della R 

è ottenuto conoscendo il fattorre di qualità Q. 

In ogni caso andranno tenuti presente alcuni requisiti essenziale del condensatore per il buon 

funzionamento del filtro. In particolare andranno rispettati i seguenti limiti superiori: 

- Corrente rms 135% 

- Tensione di picco 120% 

- Tensione rms 110% 

- Potenza reattiva 135% 

Per effettuare le verifiche si può procedere nel seguente modo: 

a) Correnti: si può ritenere che le uniche correnti che attraversano il condensatore siano 

quelle alla fondamentale e alla frequenza di accordo del filtro: 

73

74 

Capitolo 5 

dove: - = corrente che attraversa il filtro alla frequenza fondamentale (rms); 

- = tensione di fase; 

- = reattanze alla frequenza fondamentale del condensatore e dell’induttore; 

Se è la corrente armonica (in valore efficace) alla frequenza di accordo h, che si suppone 

nota dallo studio della sorgente dell’inquinamento, una accettabile approssimazione del valore 

efficace della corrente totale è: 

b) Tensioni: una ragionevole stima della tensione sul condensatore può essere fatta calcolando 

soltanto la tensione alla frequenza fondamentale e quella alla frequenza di accordo 

del filtro: 

e 

dove: - = valore efficace della tensione alla frequenza fondamentale 

- = valore efficace della tensione alla frequenza di accordo; 

- ; 

La stima del valore di picco è conservativa, perchè è valutata nell’ipotesi peggiore, ovvero che 

la prima e la h-esima armonica di tensione siano in fase tra loro. 

c) L’ultima verifica che deve essere effettuata, sulla potenza reattiva generata dal condensatore, 

riguarda la potenza che può essere semplicemente calcolata come: 

In generale è buona norma installare condensatori con tensioni nominali superiori a quelle 

dell’impianto (circa 10%) per tenere conto di eventuali sovratensioni che si possono verificare nel 

sistema alla frequenza fondamentale. Per quanto riguarda il de-tuning, nel dimensionamento del 

condensatore si suppone solitamente che esso sia leggermente maggiore (±5%) rispetto a quello 

ipotizzato per il dimensionamento del filtro. Inoltre è utile cautelarsi anche per quanto riguarda le 

correnti, perchè non è detto che il filtro durante il suo funzionamento assorbirà solamente la corrente 

armonica prodotta dal carico non lineare per il quale è stato dimensionato; ad esempio altri 

carichi potrebbero produrre correnti dello stesso ordine di armonicità per cui il filtro si comporterebbe 

come un corto circuito per tali correnti, oltrepassando i limiti ammissibili di corrente. 

Per ovviare a questo inconveniente si può accordare il filtro ad una frequenza leggermente inferiore 

a quella del disturbo che si vuole filtrare (generalmente 3 10%). In questo modo il filtro non


si comporta esattamente come un corto circuito ma presenta un’impedenza armonica diversa da 

zero, perciò parte delle correnti armoniche sarano iniettate in rete. Un secondo motivo per cui si 

usa accordare il filtro a frequenza minore di quella di disturbo è il fatto che la capacità di un condensatore 

tende a diminuire nel tempo, traslando la risposta in frequenza del sistema filtro-rete a 

destra (verso f maggiori quindi). Ciò potrebbe portare il sistema in risonanze non accettabili poichè 

un’iniezione di una corrrente armonica di bassa intensità potrebbe causare un’elevata distorsione 

della tensione. Viceversa, se il filtro è “sottoaccordato”, lo spostamento verso destra non ne 

pregiudica il comportamento, nel senso che le prestazioni di esso diminuiscono, ma non si hanno 

condizioni di funzionamento inaccettabili. 

5.2 Filtri passa alto 

Il procedimento per determinare i parametri del filtro passa alto di minimo costo non differisce 

concettualmente da quanto visto per i filtri accordati: si ricava l’espressione del costo complessivo 

dei filtri ( ) in funzione della taglia St: 

E si ricava il valore per cui si ha un minimo nel costo totale: 

Questa conclusione è valida per filtri del secondo ordine e per filtri del terzo ordine in cui le 

due capacità sono uguali, altrimenti l’espressione di e quindi di è più complicata. Una 

volta ricavato è nota la capacità del filtro e l’indutanza viene calcolata a partire dalla conoscenza 

della frequenza di accordo. Il fattore di qualità, a partire dal quale si può calcolare la resistenza 

R, assume tipicamente valori compresi tra 0.7 e 1.4. Si può anche stabilire la taglia del filtro 

passa alto in base alla potenza reattiva Q da fornire alla rete alla frequenza fondamentale. Le relazioni 

che si utilizzano sono le seguenti: 

dove h0 è l’armonica di accordo, spesso coincidente con la prima armonica non coperta dai filtri 

accordati. Scelto il fattore di qualità è possibile allora calcolare la R. 

75

76 

Capitolo 5

Capitolo 6 

Perturbazioni alle installazioni di telecomando 

6.1 Installazioni in reti con tensione inferiore o uguale a 1000 V 

6.1.1 Filtro accordato 

I filtri accordati possono influenzare il segnale delle installazioni di telecomando. L’impedenza 

di un filtro accordato unitario è capacitiva per tutte le frequenze inferiori alla frequenza di risonanza 

e induttiva per le frequenze superiori. L’impedenza del trasformatore di distribuzione contribuisce, 

nel primo caso, a ridurre l’impedenza alla frequenza del segnale del telecomando nella 

rete ad alta tensione e, nel secondo caso, a ridurre la tensione del segnale del segnale del telecomando 

nella rete a bassa tensione. In entrambi i casi, l’installazione di telecomando può essere 

disturbata. 

Se la frequenza di segnale del telecomando si trova fra le fequenze di risonanza di due filtri unitari 

accordati, la totale o parziale compensazione dell’impedenza induttiva, con riferimento 

all’impedenza capacitiva dei due filtri, può determinare un’impedenza relativamente elevata alla 

frequenza del segnale del telecomando. Le perturbazioi possono anche essere evitate, per esempio, 

mediante un’accurata scelta delle frequenze di accordo e/o i valori della capacità e 

dell’induttanza dei filtri accordati unitari. 

6.1.2 Filtro non accordato 

I reattori collegati in serie con i condensatori degli impianti di rifasamento impediscono le perturbazioni 

delle installazioni di telecomando se la frequenza di risonanza dell’insieme reattorecondensatore 

è inferiore ed abbastanza distante dalla frequenza del segnale di telecomando. Dalla 

figura 6.1, per esempio, si può rilevare come, per un rapporto di frequenza h, tra la frequenza 

del segnale del telecomando e la frequenza della rete, uguale circa a 10 (per una frequenza del 

segnale di 492 Hz in una rete a 50 Hz), l’impedenza alla frequenza del segnale non è molto diversa 

dall’impedenza alla frequenza fondamentale. Così può non esserci praticamente alcuna influenza 

sull’installazione di telecomando. Per un rapporto di frequenza h da circa 2 a 6, l’impedenza è relativamente 

bassa. Conseguentemente la tensione del segnale nella rete a bassa tensione e 

l’impedenza nella rete ad alta tensione alla frequenza del telecomando vengono ridotte. Cosa che 

può perturbare il funzionamento del telecomando centralizzato.

78 

Capitolo 6 

Fig. 6.1 

Impedenza espressa in ohm del circuito sopra rappresentato in funzione 

dell’ordine dell’armonica. 

LEGENDA: 

a Impedenza 


armonico 

Se la frequenza di risonanza dell’insieme reattore-condensatore è maggiore della frequenza 

del segnale di telecomando, l’impedenza, alla frequenza del segnale, è capacitiva. Ciò può condurre 

ad una risonanza con l’impedenza induttiva del trasformatore di distribuzione e disturbare così 

l’installazione di telecomando in un modo simile all’installazione di condensatori senza reattori. 

6.1.3 Condensatori di rifasamento 

Per i segnali a frequenza musicale iniettati nelle reti ad alta tensione dalle installazioni di telecomando 

la capacità degli impianti di rifasamento forma un circuito risonante serie con 

l’induttanza del trasformatore di distribuzione. Quando la frequenza di risonanza di questo circuito 

è la medesima o prossima alla frequenza del segnale possono presentarsi dei problemi. La tensione 

del segnale nella rete a bassa tensione può essere aumentata fino ad un inaccettabile livello, 

e l’impedenza, a questa frequenza, nella rete ad alta tensione può essere ridotta determinando 

un carico supplementare del generatore del segnale del telecomado. Quando la frequenza di 

risonanza è molto minore di quella del segnale del telecomando, la tensione di questo segnale 

può essere ridotta ad un livello inaccettabile. 

Un esempio di questo caso è illustrato nelle figure 6.3 e 6.4 per un circuito formato da un condensatore 

ed un trasformatore, corrispondente alla figura 6.2, per quattro diversi valori di frequenza 

del segnale del telecomando. In prossimità della frequenza di risonanza del circuito è molto 

minore dell’impedenza nominale di carico, il che può determinare un sovraccarico del generatore 

del segnale del telecomando. D’altra parte la tensione del segnale può essere aumentata o 

ridotta a livelli che possono disturbare i ricevitori del telecomando.

Perturbazioni alle installazioni di telecomando 

Fig. 6.2 

Schema unifilare del circuito trasformatore-condensatore 

Fig. 6.3 

Impedenza relativa ZRC/Z1 

Fig. 6.4 

Tenzione relativa VRC/VRC0 

79

80 

Capitolo 6 

Dove: ZRC 

= impedenza alla frequenza del telecomando dell’insieme trasformatore- 

Condensatore 

Z1 = impedenza nominale del carico alla frequenza di rete 

S = potenza del trasformatore 

eK = tensione di cortocircuito del trasformatore espressa in percento 

Q = potenza del condensatore di rifasamento 

URC = tensione del segnale del telecomando nella rete a bassa tensione 

URCO = tensione del segnale del telecomando quando nessun condensatore di rifasa 

mento è collegato 

fRC = frequenza del segnale del telecomando 

QRC = fattore di qualità del trasformatore alla frequenza del segnale del telecomando 

6.2 Installazioni in reti con tensione superiore a 1000 V 

L’influenza degli impianti di rifasamento e dei filtri sulle installazioni di telecomando devono 

essere analizzate per assicurarsi del corretto funzionamento del complesso. 

Le frequenze di accordo degli impianti di rifasamento non devono essere uguali alla frequenza 

del segnale del telecomando, ma invece sufficientemente lontane da questa. A causa 

dell’impedenza induttiva del tratto di linea tra il punto di iniezione del segnale ed il punto di installazione 

dell’impianto di rifasamento, la tensione del segnale del telecomando può essere ridotta 

o aumentata. Se l’impedenza dell’impianto è induttiva, alla frequenza del segnale, la tensione 

del segnale viene ridotta, mentre viene aumentata se l’impedenza è capacitiva. Ci si deve assicurare 

che l’influenza sulla tensione del segnale del telecomando sia contenuta entro limiti accettabili, 

in riferimento alle prescrizioni generali imposte dalle norme.

7.1 Limiti generali 

Capitolo 7 

Limiti accettabili da normativa 

- Macchine sincrone: distorsione permessa della corrente statorica = ; 

- Macchine asincrone: distorsione permessa della corrente statorica = ; 

- Cavi: distorsione permessa della tensione di schermatura del nucleo = ; 

- Condensatori di potenza: distorsione della corrente = , corrispondente ad un sovraccarico 

del (1.3 volte la corrente nominale); le sovratensioni possono raggiungere 

il ; 

- Elettronica sensibile: distorsione della tensione del con una massima percentuale della 

singola armonica del , a seconda dell’apparecchiatura. 

7.2 Limiti standardizzati 

Ci sono le varie organizzazioni a livello nazionali ed internazionale che lavorano in collaborazione 

con ingegneri, fabbricanti di apparecchiature, ed organizzazioni di ricerca per redigere degli 

standard orientati alle linee-guida, alle installazioni ed ai limiti armonici. L'obiettivo primario degli 

standard è offrire una base comune per tutte le parti coinvolte, in modo da lavorare insieme ed 

assicurare la compatibilità fra attrezzatura degli usi finali e l'attrezzatura del sistema a cui sono 

collegate. Questa sezione si concentra sugli standard che governano i limiti armonici, inparticolare, 

IEC 61000-2-2, IEC 61000-3-2, IEC 61000-3-4, IEC 61000-3-6 e EN50160. 

7.2.1 Veduta d'insieme degli standard IEC sulle armoniche 

La Commissione Elettrotecnica Internazionale ( IEC ), attualmente con sede centrale a Ginevra, 

Svizzera, ha definito una categoria di standard di compatibilità elettromagnetica (EMC) che trattano 

i problemi della qualità dell'energia. Il termine compatibilità elettromagnetica interessa le 

interferenze sia irradiate che condotte con le apparecchiature degli usi-finali. 

Gli standard IEC sono divisi in sei parti: 

Parte 1: Generale. Questi standard trattano considerazioni generali come introduzione, principi 

fondamentali, definizioni e terminologie. Possono descrivere anche l'applicazione e l'interpretazione 

delle definizioni fondamentali e dei termini. Il loro numero di designazione è IEC 61000-1-x.

82 

Capitolo 7 

Parte 2: Ambiente. Questi standard definiscono le caratteristiche dell'ambiente dove sarà installata 

l'apparecchiatura, la classificazione di tale ambiente, ed i suoi livelli di compatibilità. Il loro 

numero di designazione è IEC 61000-2-x. 

Parte 3: Limiti. Questi standard definiscono i livelli di emissione che possono essere generate da 

apparecchiature connesse all'ambiente. Sono stati imposti limiti numerici sulle emissioni e 

sull'immunità. Il loro numero di designazione è IEC 61000-3-x. 

Parte 4: Tecniche di misurazione. Questi standard impongono linee-guida particolareggiat per 

l'attrezzatura di misurazione e sulle procedure di prova. Il loro numero di designazione è IEC 

61000-4-x. 

Parte 5: Linee-guida sull'installazione e la mitigazione. Questi standard offrono linee-guida 

sull'applicazione delle apparecchiature, come la messa a terra il cablaggio di sistemi elettrici ed 

elettronici per assicurare la compatibilità elettromagnetico fra gli apparati elettrici ed elettronici o 

con i sistemi. Descrivono anche concetti di protezione per le installazioni civili contro gli impulsi 

elettromagnetici di elevata ampiezza ( HEMP ). Il loro numero di designazione è 

IEC 61000-5-x. 

Parte 6: Varie. Questi standard sono standard generici che definiscono i livelli di immunità ed emissione 

richiesti per le apparecchiature. Il loro numero di designazione è IEC 61000-6-x. 

Gli standard IEC relativi alle armoniche a cui si fa solitamente riferimento sono generalmente il 

2 e il 3. Diversamente dagli standard IEEE sulle armoniche dove c'è una singola pubblicazione che 

copre tutti i problemi riferti alle armoniche, gli standard IEC sono divisi in molte pubblicazioni. Gli 

standard chiave sono i seguenti: 

- IEC 61000-2-2 (1993): Compatibilità elettromagnetica (EMC). Parte 2: Ambiente. Sezione 

2: livelli di compatibilità delle armoniche di tensione nei sistemi di alimentazione pubblica 

in BT. 

- IEC 61000-2-4: definisce i livelli di compatibilità nelle reti industriali. Questi livelli non definiscono 

limiti assoluti, resta qualche possibilità di essere leggermente oltre il livello fissato. 

- IEC 61000-3-2 (2000): Compatibilità elettromagnetica (EMC). Parte 3: Limiti. Sezione 2: - 

definisce i limiti dell’emissione di armoniche per apparecchiature che assorbono meno di 

16 A per fase (eccetto alcune categorie indicate negli standards). Il caso di apparecchiature 

che assorbono più di 16 A per fase è trattato nella specifica tecnica IEC/TS 61000-3-4 e 

deve infine essere determinato dagli standards previsti dalla IEC 61000-3-12. 

- IEC 61000-3-4 (1998): Compatibilità elettromagnetica (EMC). Parte 3: Limiti. Sezione 4: 

definisce i limiti dell’emissione di armoniche per apparecchiature che assorbono più di 16 

A per fase . 

- IEC 61000-3-6 (1996): Compatibilità elettromagnetica (EMC). Parte 3: Limiti. Sezione 6: 

Accertamento dei limiti di emissione per carichi distorcenti in sistemi di potenza a MT e 

AT.


Questi standard sulle armoniche sono adottati generalmente anche dalla Comunità Europea( 

CENELEC ); sono designati quindi con la serie EN 61000. Per esempio, la IEC 61000-3-2 è conosciuta 

anche come EN 61000-3-2. 

7.2.2 IEC 61000-2-2 

La IEC 61000-2-2 definisce livelli di compatibilità per disturbi e segnali condotti per sistemi di 

alimentazione pubblica a bassa frequenza come 50 - o 60 Hz, monofase o trifase con tensione 

nominale fino a, rispettivamente, 240 e 415 V. I livelli di compatibilità sono definiti empiricamente, 

inoltre non sono rigidi e possono essere oltrepassati in alcune particolari condizioni. I livelli di 

compatibilità per ciascuna delle armoniche di tensione sono mostrati in tabella.7.1. I valori sono in 

percentuale della tensione fondamentale. 

Tabella 7.1 

Livelli di compatibilità per le singole armoniche di tensione nelle reti di distribuzione in BT 

[ECT152] 

7.2.3 IEC 61000-3-2 ed IEC 61000-3-4 

Le IEC 61000-3-2 e 61000-3-4 definiscono i limiti per le armoniche di corrente emesse da apparecchiature 

che assorbono, rispettivamente, meno e più di 16A per fase. Lo standard classifica le 

apparecchiature in quattro categorie: 

- Classe A: Carichi trifasi equilibrati ed ogni altro carico non appartenente alle classi B, C, e 

D; 

- Classe B: Carichi portatili; 

- Classe C: Carichi luminescenti, compresi quelli dimmerabili; 

- Classe D: Carichi con forme d'onda "speciali" o carichi attivi che immettono fino a 600W; 

83

84 

Capitolo 7 

La figura 7.1 può essere utilizzata per classificare i vari carichi nella IEC 61000-3-2. 

Fig. 7.1 

Diagramma di flusso per la classificazione dei carichi 

Si noti che i carichi classificati come B e C e provvisoraimente i carichi per il controllo dei motori 

non sono classificati in cladde D, nonostante la loro forma d'onda possa essere non sinusoidale.


I limiti conecssi per le armoniche di corrente dalla IEC 61000-3-2 sono mostrati nelle tabelle 

7.2, 7.3 e 7.4. 

Tabella 7.2 

Limiti per le armoniche di corrente per apparecchiature di classe A 

Tabella 7.3 

Limiti per le armoniche di corrente per apparecchiature di classe C 

85

86 

Capitolo 7 

Tabella 7.4 

Limiti per le armoniche di corrente per apparecchiature di classe D 

I limiti delle emissioni in accordo con la IEC 61000-3-4 per carichi con correnti da 16 A a 75 A 

sono riportati in tabella .7.5 

Tabella 7.5 

Limiti per le armoniche di corrente secondo la IEC-61000-3-4

7.2.4 IEC 61000-3-6 


La IEC 61000-3-6 specifica i limiti di emissione di armoniche corrente per apparecchiature connesse 

in sistemi MT e AT, ovvero rispettivamente da 1 a 35 kV e da 35 a 230 kV. Oltre i 230 kV si 

parla di AAT e sotto 1 kV di BT. Il livello di compatibilità è solitamente stabilto empiricamente cosìcche 

l'apparecchiatura è compatibile con l'ambiente la maggior parte del tempo. I livelli di compatibilità 

generalmente sono basati sul livello di probabilità del 95%, i.e., la compatibilità è verificata 

per il 95% percento del tempo. 

La tabella 7.6 mostra i livelli di compatibilità delle armoniche di tensione in percentuale rispetto 

alla tensione fondamentale sia in BT che in AT. La IEC 61000-3-6 offre linee-guida per la determinazione 

della conformità delle apparecchiature connesse ai sistemi MT e AT. 

7.2.5 EN 50160 

Tabella 7.6 

Livelli di compatibilità per le armoniche di tensione per sistemi BT e MT 

L' EN 50160 è un standard europeo che tratta la qualità del servizio per le utenze europee. Lo 

standard definisce gli specifici livelli di caratteristiche di tensione che devono essere rispettati ( 

Fig. ....). L'EN 50160 fu approvato dal Comitato Europeo per la standardizzazione elettrotecnica 

(CENELEC) nel 1994. 

La EN 50160 specifica le caratteristiche di tensione al punto di consegna del cliente nei sistemi 

di distribuzione pubblica BT o MT in condizioni di normale funzionamento. La distorsione armonica 

totale della tensione incluse tutte le armoniche fino alla 40-esima non dovrebbe superare l'8%. 

87

88 

Capitolo 7 

Fig. 7.2 

Confronto tra i requisiti della tensione di aimentazione in accordo con la EN 50160 e gli standards 

di EMC IEC 61000

8.1 Analisi armonica di una rete MT 

Capitolo 8 

Esempi di calcolo 

Nelle pagine seguenti viene riportata un’esercitazione del corso di sistemi elettrici industriali 

eseguita da uno studente del Corso di Laurea in Ingegneria Elettrotecnica. Per sviluppare e risolvere 

le varie casistiche è stato utilizzato il programma di simulazione Neplan.

Analisi armonica di una rete MT 

Con questa esercitazione si vuole analizzare il comportamento in frequenza di una rete in media tensione in due 

casi distinti: 

- distribuzione mediante linee aeree a 20 kV ( 

- distribuzione mediante linee in cavo a 20 kV ( 

Corso di Sistemi Elettrici Industriali 

Laboratorio Informatico 

-1- 

Ω 

Ω 

r = 0 , 268 ; x = 0 , 345 ; c 

km km 

Ω 

Ω 

r = 0 , 268 ; x = 0 , 345 ; c 

km km 

μF 

0, 

01 

km 

μF 

0, 

198 

km 

= ) 

= ). 

Al nodo K3 risulta connesso un carico (HCS: Harmonic Current Source) che mette in gioco correnti di 5 a , 7 a , 11 a e 

13 a armonica. 

50.00 A 

Ir 

I5 

I7 

I11 

I13 

20% Ir 

14% Ir 

5% Ir 

0.90% Ir 

Questo può tipicamente essere un convertitore esafase che, come noto, mette in gioco correnti il cui ordine di 

armonica è: 

n = 6 k ± 1 con k = 1,..., 

+∞ 

Ciò che si vuole analizzare è il valore di Z ( f ) , cioè come si comporta l’impedenza al variare della frequenza, ai 

nodi K2 e K4 e il THD nei nodi di media tensione, che deve essere inferiore al 4%. 

Alessandro Sacco

I casi analizzati sono i seguenti: 

Distribuzione in MT mediante linee aeree 

01. carichi non rifasati 

02. inseriti soltanto RIF5 + RIF6 

03. tutti carichi rifasati 

04. tutti carichi rifasati filtro accordato 5 a 

05. tutti carichi rifasati filtri accordati 5 a , 7 a 

06. tutti carichi rifasati filtri accordati 5 a , 7 a , 11 a 

Distribuzione in MT mediante linee in cavo 

07. carichi non rifasati 

08. inseriti soltanto RIF5 + RIF6 

09. tutti carichi rifasati 

10. tutti carichi rifasati filtro accordato 5 a 

11. tutti carichi rifasati filtri accordati 5 a , 7 a 

12. tutti carichi rifasati filtri accordati 5 a , 7 a , 11 a 

13. tutti carichi rifasati filtri accordati 5 a , 7 a + filtro passa-alto con fT = 500Hz 

Linea di trasmissione di lunghezza incrementata: 200 km anziché gli originali 80 km 

14. linee MT in cavo tutti carichi rifasati senza filtri 

15. linee MT in cavo tutti carichi rifasati filtri acc. 5 a , 7 a + filtro PA con fT = 500Hz 

Potenza di cortocircuito della rete a monte 

Nella realtà, un’analisi come quella che si sta per svolgere richiederebbe la precisa conoscenza di tutti i dati 

relativi al nodo di alta tensione (220 kV) a cui si è connessi; se, come nel caso in esame, questi dati non sono noti 

si procede con l’ipotizzare che la potenza di cortocircuito al nodo di alimentazione sia infinita ( S cc = ∞ ). 

In sostanza si vuole analizzare il comportamento della rete svincolandola dalle caratteristiche della rete di 

alimentazione che sta a monte; per fare ciò in NEPLAN occorre impostare un feeder con potenza di cortocircuito 

“sufficientemente alta”. 

Per stabilire da che valore si possa ritenere adeguata questa approssimazione, si prova a valutare il 

comportamento di Z ( f ) con carichi non rifasati, ad esempio dal nodo K4 (ma analogamente risulta da qualsiasi 

altro nodo), e si vede che quando Scc inizia a superare i ( 10 ÷ 100) 

GVA l’andamento della Z ( f ) resta 

6 

pressochè immutato. Nelle simulazioni è stata scelta Scc = 10 MVA . 

Scc [MVA] 0 1000 5000 10000 100000 1.00E+06 1.00E+07 

[Hz] n [Hz] n [Hz] n [Hz] n [Hz] n [Hz] n [Hz] n 

antirisonanza 1 1910 38 528 11 640 13 660 13 676 14 680 14 680 14 

antirisonanza 2 2040 41 2110 42 2124 42 2136 43 2136 43 2136 43 



-2- 

Alessandro Sacco

01. Linee aeree, carichi non rifasati 

La rete, con carichi non rifasati, presenta antirisonanze in corrispondenza della 14 a , 43 a e 49 a armonica; nei 

diagrammi seguenti sono riportati modulo e fase dell’impedenza vista dai nodi K2 e K4. 



-3- 

Alessandro Sacco

Non essendo presenti in rete correnti armoniche dello stesso ordine a cui si manifestano le antirisonanze ed 

essendo comunque la corrente di 13 a armonica percentualmente piccola, il THD assume valori accettabili in tutti i 

nodi in media tensione, fatto salvo per il nodo a cui è direttamente connesso il carico distorcente. 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|Node | Un /kV | | THD /% | f /Hz | U /V u /% phi /D| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K2 | | 2.63| 250.0| 184.2 1.595 85.3| 

| | 20.00| | | 350.0| 187.6 1.624 86.3| 

| | | | | 550.0| 138.0 1.195 86.5| 

| | | | | 650.0| 65.80 0.570 81.0| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K3 | | 5.33| 250.0| 393.2 3.405 82.4| 

| | 20.00| | | 350.0| 390.9 3.385 84.4| 

| | | | | 550.0| 251.3 2.176 85.9| 

| | | | | 650.0| 88.76 0.769 82.3| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K4 | | 2.40| 250.0| 167.1 1.447 83.9| 

| | 20.00| | | 350.0| 170.2 1.474 85.2| 

| | | | | 550.0| 126.7 1.097 85.7| 

| | | | | 650.0| 60.98 0.528 80.3| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K5 | | 2.61| 250.0| 182.6 1.582 85.2| 

| | 20.00| | | 350.0| 185.9 1.610 86.2| 

| | | | | 550.0| 136.9 1.185 86.4| 

| | | | | 650.0| 65.32 0.566 80.9| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K6 | | 2.56| 250.0| 179.2 1.552 85.0| 

| | 20.00| | | 350.0| 182.4 1.579 86.0| 

| | | | | 550.0| 134.4 1.164 86.3| 

| | | | | 650.0| 64.18 0.556 80.8| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 



-4- 

Alessandro Sacco

02. Linee aeree, con soltanto carichi 5 e 6 rifasati 

In questa situazione si vede che le antirisonanze iniziano a spostarsi verso frequenze più basse, in particolare si 

trovano in corrispondenza della 12 a , 17 a e 34 a armonica. 

Già in questo momento è prevedibile che il THD risulti peggiore in questo caso rispetto al precedente; infatti le 

correnti di 11 a e 13 a armonica, che sappiamo essere presenti in rete, troveranno un’impedenza abbastanza 

elevata, come si può vedere dagli andamenti di Z in funzione della frequenza. 



-5- 

Alessandro Sacco

Come precedentemente annuncianto, l’inserzione dei banchi di rifasamento nei nodi K5 e K6, rispettivamente da 

0,12 Mvar e 0,25 Mvar, contribuisce ad incrementare sensibilmente il THD, portandolo oltre al valore consentito in 

tutti i nodi in media tensione. 

+-----------------------------------------------------------------------+ 


+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K2 | | 4.44| 250.0| 201.9 1.749 84.9| 

| | 20.00| | | 350.0| 230.1 1.992 85.3| 

| | | | | 550.0| 408.0 3.533 77.9| 

| | | | | 650.0| 50.75 0.439 -81.1| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K3 | | 6.79| 250.0| 410.2 3.553 82.3| 

| | 20.00| | | 350.0| 431.7 3.738 84.0| 

| | | | | 550.0| 510.3 4.419 79.4| 

| | | | | 650.0| 24.93 0.216 -69.0| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K4 | | 4.06| 250.0| 183.1 1.586 83.5| 

| | 20.00| | | 350.0| 208.8 1.808 84.2| 

| | | | | 550.0| 374.6 3.244 77.1| 

| | | | | 650.0| 47.02 0.407 -81.9| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K5 | | 4.62| 250.0| 202.8 1.756 84.6| 

| | 20.00| | | 350.0| 233.9 2.026 85.1| 

| | | | | 550.0| 431.5 3.737 77.6| 

| | | | | 650.0| 55.15 0.478 -81.5| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K6 | | 5.16| 250.0| 205.0 1.776 84.1| 

| | 20.00| | | 350.0| 243.7 2.111 84.4| 

| | | | | 550.0| 498.5 4.317 76.6| 

| | | | | 650.0| 69.08 0.598 -82.7| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 



-6- 

Alessandro Sacco

03. Linee aeree, con tutti i carichi rifasati 

Svolgendo l’analisi dopo aver inserito anche i banchi di rifasamento connessi ai nodi K2 e K4, rispettivamente da 

0,25 Mvar e 0,35 Mvar, si osserva che compaiono antirisonanze ad ordini di armonica ancora inferiori rispetto al 

caso precedente. 

Si trovano così antirisonanze in corrispondenza della 9 a , 14 a e 16 a armonica; come prevedibile queste assumono 

una notevole importanza in relazione alle correnti di 5 a , 7 a , 11 a e 13 a presenti in rete, il tutto sarà dunque 

riscontrabile in termini di THD. 



-7- 

Alessandro Sacco

+-----------------------------------------------------------------------+ 


+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K2 | | 4.49| 250.0| 254.8 2.207 82.8| 

| | 20.00| | | 350.0| 432.6 3.747 79.2| 

| | | | | 550.0| 128.4 1.112 -79.5| 

| | | | | 650.0| 6.57 0.057 -53.9| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K3 | | 7.58| 250.0| 494.1 4.279 80.7| 

| | 20.00| | | 350.0| 719.5 6.231 79.2| 

| | | | | 550.0| 45.90 0.397 -8.5| 

| | | | | 650.0| 38.07 0.330 71.9| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K4 | | 6.01| 250.0| 267.4 2.316 79.8| 

| | 20.00| | | 350.0| 534.9 4.633 75.4| 

| | | | | 550.0| 346.3 2.999 -89.7| 

| | | | | 650.0| 64.44 0.558 260.4| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K5 | | 4.56| 250.0| 255.9 2.216 82.5| 

| | 20.00| | | 350.0| 439.9 3.810 79.0| 

| | | | | 550.0| 135.8 1.176 -79.8| 

| | | | | 650.0| 7.14 0.062 -54.2| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K6 | | 4.76| 250.0| 258.7 2.241 82.0| 

| | 20.00| | | 350.0| 458.3 3.969 78.3| 

| | | | | 550.0| 156.9 1.358 -80.8| 

| | | | | 650.0| 8.94 0.077 -55.5| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

I valori di THD che si ottengono in questa configurazione non sono accettabili; per poter esercire l’impianto, 

garantendo livelli accettabili di THD, si deve pensare a soluzioni adeguate. La soluzione che si considera prevede 

dunque l’installazione di filtri passivi nel nodo K2, che si trova in posizione baricentrica rispetto al resto della rete 

e consente di ottenere i risultati più consoni. 

Spesso infatti, anche nell’eventualità di avere più carichi distorcenti, il filtraggio concentrato risulta preferibile a 

quello distribuito: i filtri che si devono installare così saranno di potenza inferiore, principalmente ciò è dovuto al 



-8- 

Alessandro Sacco

fattore di contemporaneità dei carichi distorcenti e all’effetto di cancellazione vettoriale che si può verificare tra 

correnti dello stesso ordine di armonica. 

Nel nostro caso, pur essendo presente un solo carico distorcente, la collocazione dei filtri in K2 si rivela una 

scelta strategica. 

Filtri accordati (tuned) 

Questi filtri, costituiti da una serie R-L-C, servono per cortocircuitare a terra una particolare corrente armonica; 

essi infatti costituiscono un ramo di impedenza sufficientemente bassa in corrispondenza della frequenza di 

accordo (f0 in NEPLAN): 

1 

f n = . 

2π 

LC 

A questa frequenza l’impedenza reattiva e capacitiva sono uguali ed opposte, pertanto l’impedenza del ramo 

viene ad essere pari alla resistenza R. 

Si definisce inoltre il fattore di merito Q (G in NEPLAN) che esprime in sostanza la selettività del filtro: 

X 0 

Q = . 

R 

Dove per X0 si intende la reattanza (induttiva o capacitiva) alla frequenza di accordo; quanto più è piccola R tanto 

più sarà elevato il fattore di merito Q, che a sua volta è inversamente proporzionale alla banda passante: 

ωn 

PB = . 

Q 

Quindi quando il fattore di merito Q è più elevato il filtro risulta più selettivo, cioè la banda passante è minore. 

Come potenza reattiva Qr si è scelto arbitrariamente un valore (250 kvar) che è la media della potenza rifasante 

installata; nella pratica la taglia del filtro verrà stabilita in base alle reali esigenze della rete. 

Va infine detto che nella pratica i filtri vengono accordati per frequenze che sono del (3÷10)% inferiori a quella 

dell’ordine di armonica che si vuole filtrare, sia per tener conto delle nuove antirisonanze che nascono a 

frequenze inferiori a quella di accordo, ma anche per il semplice fatto che un filtraggio preciso è difficilmente 

realizzabile, anche perché i parametri stessi del filtro sono soggetti a delle variazioni nel tempo. 

Nell’analisi che noi facciamo scegliamo comunque di accordare il filtro proprio sull’esatta frequenza che si vuole 

filtrare (es. per la 5 a armonica lo accordiamo a 250 Hz). 



-9- 

Alessandro Sacco

04. Linee aeree, con tutti i carichi rifasati, filtro accordato su 5 a armonica 

Come detto poco sopra, aver installato un filtro accordato sui 250 Hz determina la comparsa di un’antirisonanza a 

240 Hz, che comunque non crea grossi problemi, vista anche la modesta entità del valore del modulo 

dell’impedenza; si nota poi un altro picco del modulo dell’impedenza in prossimità della 9 a armonica. 

I valori del THD nei nodi in media tensione iniziano a diminuire e a rientrare nei limiti desiderati (4%) tranne che 

per i nodi K3 e K4; si delinea pertanto la necessità di installare un altro filtro, accordato ora sulla 7 a armonica, 

perché, come si vede evidenziato in blu nel listato sottostante, le tensioni di 7 a armonica sono ancora 

percentualmente rilevanti. 



-10- 

Alessandro Sacco

+-----------------------------------------------------------------------+ 


+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K2 | | 3.27| 250.0| 54.40 0.471 11.2| 

| | 20.00| | | 350.0| 347.9 3.013 80.8| 

| | | | | 550.0| 136.6 1.183 -78.6| 

| | | | | 650.0| 6.63 0.057 -53.4| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K3 | | 5.89| 250.0| 257.2 2.227 68.1| 

| | 20.00| | | 350.0| 626.5 5.426 80.4| 

| | | | | 550.0| 53.10 0.460 -19.7| 

| | | | | 650.0| 38.07 0.330 71.7| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K4 | | 4.96| 250.0| 57.08 0.494 8.2| 

| | 20.00| | | 350.0| 430.2 3.726 76.9| 

| | | | | 550.0| 368.4 3.191 -88.9| 

| | | | | 650.0| 65.00 0.563 260.8| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K5 | | 3.34| 250.0| 54.63 0.473 10.9| 

| | 20.00| | | 350.0| 353.8 3.064 80.5| 

| | | | | 550.0| 144.5 1.251 -79.0| 

| | | | | 650.0| 7.20 0.062 -53.8| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K6 | | 3.54| 250.0| 55.23 0.478 10.4| 

| | 20.00| | | 350.0| 368.6 3.192 79.9| 

| | | | | 550.0| 166.9 1.445 -79.9| 

| | | | | 650.0| 9.02 0.078 -55.1| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 



-11- 

Alessandro Sacco

05. Linee aeree, con tutti i carichi rifasati, filtri accordati su 5 a e 7 a armonica 

Avendo installato anche un filtro accordato sulla 7 a armonica troviamo, oltre all’antirisonanza a 240 Hz dovuta al 

filtro di 5 a , un’antirisonanza a 320 Hz e una in prossimità della 10 a armonica. 

Per tutti i nodi in media tensione il THD rientra nei limiti prefissati, si nota comunque che ora ad avere un peso 

percentuale abbastanza importante sono le tensioni di 11 a armonica, ecco che volendo si potrebbe procedere poi 

installando un terzo filtro accordato proprio su questa armonica. 



-12- 

Alessandro Sacco

+-----------------------------------------------------------------------+ 


+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K2 | | 1.52| 250.0| 54.72 0.474 9.3| 

| | 20.00| | | 350.0| 29.54 0.256 3.6| 

| | | | | 550.0| 164.3 1.423 -75.5| 

| | | | | 650.0| 6.76 0.059 -52.4| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K3 | | 3.21| 250.0| 255.8 2.215 67.8| 

| | 20.00| | | 350.0| 250.9 2.173 74.8| 

| | | | | 550.0| 87.67 0.759 -38.5| 

| | | | | 650.0| 38.09 0.330 71.3| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K4 | | 3.93| 250.0| 57.42 0.497 6.3| 

| | 20.00| | | 350.0| 36.52 0.316 -0.3| 

| | | | | 550.0| 443.2 3.838 -85.7| 

| | | | | 650.0| 66.34 0.575 261.8| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K5 | | 1.60| 250.0| 54.96 0.476 9.1| 

| | 20.00| | | 350.0| 30.04 0.260 3.3| 

| | | | | 550.0| 173.8 1.505 -75.9| 

| | | | | 650.0| 7.35 0.064 -52.8| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K6 | | 1.83| 250.0| 55.56 0.481 8.5| 

| | 20.00| | | 350.0| 31.29 0.271 2.7| 

| | | | | 550.0| 200.7 1.738 -76.8| 

| | | | | 650.0| 9.21 0.080 -54.0| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 



-13- 

Alessandro Sacco

06. Linee aeree, con tutti i carichi rifasati, filtri accordati su 5 a , 7 a e 11 a armonica 

Ora i fenomeni di antirisonanza si manifestano per frequenze prossime a 240, 320 e 430 Hz e in prossimità della 

12 a armonica; sono tutti valori che non destano particolari preoccupazioni perché diversi dalle frequenze delle 

correnti armoniche presenti in rete. 

I valori di THD rispettano il limite prestabilito in tutti i nodi in media tensione, anzi per tutti i nodi tranne K3 il THD 

risulta notevolmente contenuto. 



-14- 

Alessandro Sacco

+-----------------------------------------------------------------------+ 


+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K2 | | 0.55| 250.0| 54.91 0.476 8.1| 

| | 20.00| | | 350.0| 29.59 0.256 2.0| 

| | | | | 550.0| 8.56 0.074 -5.4| 

| | | | | 650.0| 7.65 0.066 -44.7| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K3 | | 3.46| 250.0| 254.9 2.207 67.6| 

| | 20.00| | | 350.0| 250.1 2.166 74.7| 

| | | | | 550.0| 175.7 1.521 79.5| 

| | | | | 650.0| 38.74 0.335 67.9| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K4 | | 0.90| 250.0| 57.62 0.499 5.1| 

| | 20.00| | | 350.0| 36.58 0.317 -1.9| 

| | | | | 550.0| 23.09 0.200 -15.6| 

| | | | | 650.0| 75.05 0.650 269.6| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K5 | | 0.55| 250.0| 55.14 0.478 7.9| 

| | 20.00| | | 350.0| 30.09 0.261 1.7| 

| | | | | 550.0| 9.06 0.078 -5.7| 

| | | | | 650.0| 8.31 0.072 -45.0| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K6 | | 0.57| 250.0| 55.75 0.483 7.3| 

| | 20.00| | | 350.0| 31.34 0.271 1.1| 

| | | | | 550.0| 10.46 0.091 -6.7| 

| | | | | 650.0| 10.41 0.090 -46.3| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 



-15- 

Alessandro Sacco

07. Linee in cavo, carichi non rifasati 

La rete, con carichi non rifasati, presenta antirisonanze in corrispondenza della 9 a , 16 a e 21 a armonica; a 

differenza del caso di linee aeree (14 a , 43 a e 49 a armonica) si vede che ora si hanno risonanze per frequenze più 

basse e già così, senza alcun condensatore inserito, si nota come il THD di tutti i nodi in media tensione sia oltre i 

limiti desiderati. 



-16- 

Alessandro Sacco

+-----------------------------------------------------------------------+ 


+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K2 | | 4.66| 250.0| 257.9 2.233 83.1| 

| | 20.00| | | 350.0| 443.5 3.841 80.4| 

| | | | | 550.0| 160.8 1.392 -84.6| 

| | | | | 650.0| 13.81 0.120 -86.9| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K3 | | 7.27| 250.0| 480.8 4.163 81.2| 

| | 20.00| | | 350.0| 685.3 5.934 80.4| 

| | | | | 550.0| 60.85 0.527 -64.9| 

| | | | | 650.0| 13.33 0.115 76.8| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K4 | | 5.31| 250.0| 258.0 2.235 80.7| 

| | 20.00| | | 350.0| 491.3 4.255 77.8| 

| | | | | 550.0| 258.4 2.237 -88.6| 

| | | | | 650.0| 30.65 0.265 267.5| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K5 | | 4.68| 250.0| 257.3 2.228 83.0| 

| | 20.00| | | 350.0| 445.2 3.855 80.2| 

| | | | | 550.0| 164.5 1.425 -84.8| 

| | | | | 650.0| 14.32 0.124 -87.1| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K6 | | 4.68| 250.0| 254.9 2.208 82.6| 

| | 20.00| | | 350.0| 445.1 3.855 79.9| 

| | | | | 550.0| 169.6 1.468 -85.1| 

| | | | | 650.0| 15.07 0.131 -87.5| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 



-17- 

Alessandro Sacco

08. Linee in cavo, con soltanto carichi 5 e 6 rifasati 

La rete, con carichi 5 e 6 rifasati, presenta antirisonanze in corrispondenza della 8 a , 15 a e 19 a armonica; a 

differenza del caso di linee aeree (12 a , 17 a e 34 a armonica) si vede che ora si hanno risonanze per frequenze più 

basse. 

A differenza del caso precedente (antirisonanze alla 9 a , 16 a e 21 a armonica) si nota ancora una volta come 

l’inserzione dei condensatori modifichi la risposta della rete portando le antirisonanze ad ordini di armonica più 

bassi e prossimi a quelli delle armoniche presenti in rete. 

In nessuno dei nodi in media tensione il THD assume valori accettabili, anzi è abbastanza elevato un po’ ovunque 

e come si può notare il contributo principale al contenuto armonico è dato dalla 5 a e dalla 7 a presenti in rete. 



-18- 

Alessandro Sacco

+-----------------------------------------------------------------------+ 


+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K2 | | 7.07| 250.0| 293.1 2.539 82.2| 

| | 20.00| | | 350.0| 756.6 6.553 73.3| 

| | | | | 550.0| 93.53 0.810 -86.6| 

| | | | | 650.0| 9.66 0.084 -87.6| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K3 | | 9.82| 250.0| 516.0 4.469 80.8| 

| | 20.00| | | 350.0| 1008.7 8.736 74.5| 

| | | | | 550.0| 29.73 0.258 57.2| 

| | | | | 650.0| 18.67 0.162 81.6| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K4 | | 7.80| 250.0| 293.3 2.540 79.8| 

| | 20.00| | | 350.0| 838.2 7.259 70.7| 

| | | | | 550.0| 150.3 1.302 269.4| 

| | | | | 650.0| 21.45 0.186 266.8| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K5 | | 7.27| 250.0| 296.3 2.566 81.9| 

| | 20.00| | | 350.0| 779.2 6.748 72.9| 

| | | | | 550.0| 102.2 0.885 -87.1| 

| | | | | 650.0| 11.00 0.095 -88.1| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K6 | | 7.72| 250.0| 302.6 2.621 81.2| 

| | 20.00| | | 350.0| 828.9 7.178 72.1| 

| | | | | 550.0| 125.5 1.086 -88.4| 

| | | | | 650.0| 15.19 0.132 -89.9| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 



-19- 

Alessandro Sacco

09. Linee in cavo, con tutti i carichi rifasati 

Svolgendo l’analisi dopo aver inserito anche i banchi di rifasamento connessi ai nodi K3 e K4 si osserva che: 

- nascono antirisonanze a 330 Hz (6 a -7 a ), 630 Hz (12 a -13 a ) e 930 Hz (18 a -19 a ) 

- rispetto al caso di linea aerea con tutti i carichi rifasati (antirisonanze 9 a , 14 a e 16 a armonica) si nota 

che abbiamo fenomeni di antirisonanza anche a frequenze più basse 

- rispetto al caso con rifasamento nei soli nodi K5 e K6 (antirisonanze 8 a , 15 a e 19 a armonica) si nota 

che ora la situazione è ulteriormente peggiorata e ciò andrà a ripercuotersi sui valori del THD 

In tutti i nodi in media tensione il THD assume valori elevati, certamente superiori a quelli desiderati. Risulta 

pertanto necessario procedere all’installazione di uno o più filtri passivi. 



-20- 

Alessandro Sacco

+-----------------------------------------------------------------------+ 


+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K2 | | 9.58| 250.0| 414.9 3.593 77.6| 

| | 20.00| | | 350.0| 1024.6 8.873 -58.4| 

| | | | | 550.0| 22.98 0.199 -20.7| 

| | | | | 650.0| 46.46 0.402 -58.0| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K3 | | 11.00| 250.0| 684.3 5.926 77.1| 

| | 20.00| | | 350.0| 1045.7 9.056 -51.9| 

| | | | | 550.0| 211.4 1.831 70.3| 

| | | | | 650.0| 91.67 0.794 -39.0| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K4 | | 14.96| 250.0| 485.1 4.201 73.3| 

| | 20.00| | | 350.0| 1626.8 14.09 -64.8| 

| | | | | 550.0| 291.5 2.525 256.4| 

| | | | | 650.0| 132.0 1.143 134.8| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K5 | | 9.85| 250.0| 419.3 3.631 77.3| 

| | 20.00| | | 350.0| 1055.2 9.138 -58.8| 

| | | | | 550.0| 25.11 0.217 -21.2| 

| | | | | 650.0| 52.89 0.458 -58.6| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K6 | | 10.43| 250.0| 428.2 3.709 76.6| 

| | 20.00| | | 350.0| 1122.4 9.721 -59.6| 

| | | | | 550.0| 30.83 0.267 -22.5| 

| | | | | 650.0| 73.03 0.632 -60.4| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 



-21- 

Alessandro Sacco

10. Linee in cavo, con tutti i carichi rifasati, filtro accordato su 5 a armonica 

L’installazione di un filtro accordato sui 250 Hz determina la comparsa di un’antirisonanza a circa 236 Hz, che 

comunque non crea grossi problemi poiché in rete non abbiamo interarmoniche a quelle frequenze. 

Nascono però anche delle antirisonanze a 342.5 Hz (praticamente in piena 7 a armonica) e a 630 Hz (tra 12 a e 

13 a ). 

A causa proprio del comportamento antirisonante della rete alla 7 a armonica si vede che l’introduzione del filtro 

accordato sulla 5 a armonica peggiora, e sensibilmente, il THD in tutti i nodi in media tensione. 

Come si può ben vedere nel listato seguente il contributo percentualmente molto rilevante è dato proprio dalle 

tensioni di 7 a armonica. 



-22- 

Alessandro Sacco

+-----------------------------------------------------------------------+ 


+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K2 | | 13.79| 250.0| 57.47 0.498 6.3| 

| | 20.00| | | 350.0| 1590.0 13.77 -30.1| 

| | | | | 550.0| 23.03 0.199 -20.3| 

| | | | | 650.0| 48.14 0.417 -56.3| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K3 | | 16.16| 250.0| 262.5 2.274 66.4| 

| | 20.00| | | 350.0| 1832.2 15.87 -25.0| 

| | | | | 550.0| 211.7 1.834 70.3| 

| | | | | 650.0| 98.18 0.850 -38.0| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K4 | | 22.05| 250.0| 67.20 0.582 2.0| 

| | 20.00| | | 350.0| 2524.3 21.86 -36.5| 

| | | | | 550.0| 292.2 2.530 256.9| 

| | | | | 650.0| 136.7 1.184 136.6| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K5 | | 14.20| 250.0| 58.09 0.503 6.0| 

| | 20.00| | | 350.0| 1637.4 14.18 -30.5| 

| | | | | 550.0| 25.16 0.218 -20.8| 

| | | | | 650.0| 54.80 0.475 -56.8| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K6 | | 15.11| 250.0| 59.33 0.514 5.4| 

| | 20.00| | | 350.0| 1741.7 15.08 -31.3| 

| | | | | 550.0| 30.89 0.268 -22.1| 

| | | | | 650.0| 75.67 0.655 -58.6| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 



-23- 

Alessandro Sacco

11. Linee in cavo, con tutti i carichi rifasati, filtri accordati su 5 a e 7 a armonica 

Avendo installato anche un filtro accordato sulla 7 a armonica troviamo, oltre all’antirisonanza a 234 Hz dovuta al 

filtro di 5 a , un’antirisonanza a 304 Hz dovuta al filtro di 7 a e altre in prossimità della 8 a e della 13 a armonica. 

Ora la 5 a e la 7 a armonica, presenti in rete, vengono filtrate e le restanti non danno particolari problemi; si 

ottengono così valori di THD che rispettano i limiti imposti in tutti i nodi in media tensione. 

Si nota come ora diano contributi significativi, specialmente al nodo K4, le tensioni di 11 a e 13 a armonica, in 

seguito si analizzerà dunque il comportamento della rete qualora si decida di installare un filtro accordato sull’11 a 

armonica o, eventualmente, un filtro passa-alto. 



-24- 

Alessandro Sacco

+-----------------------------------------------------------------------+ 


+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K2 | | 0.76| 250.0| 57.66 0.499 4.4| 

| | 20.00| | | 350.0| 32.32 0.280 -2.5| 

| | | | | 550.0| 23.16 0.201 -19.1| 

| | | | | 650.0| 52.44 0.454 -51.5| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K3 | | 3.84| 250.0| 260.8 2.258 66.2| 

| | 20.00| | | 350.0| 264.8 2.294 73.1| 

| | | | | 550.0| 212.7 1.842 70.2| 

| | | | | 650.0| 115.4 0.999 -34.8| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K4 | | 2.95| 250.0| 67.43 0.584 0.1| 

| | 20.00| | | 350.0| 51.32 0.444 -8.9| 

| | | | | 550.0| 293.8 2.544 258.1| 

| | | | | 650.0| 148.9 1.290 141.4| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K5 | | 0.81| 250.0| 58.28 0.505 4.1| 

| | 20.00| | | 350.0| 33.29 0.288 -2.9| 

| | | | | 550.0| 25.30 0.219 -19.5| 

| | | | | 650.0| 59.70 0.517 -52.0| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K6 | | 0.97| 250.0| 59.52 0.515 3.4| 

| | 20.00| | | 350.0| 35.41 0.307 -3.7| 

| | | | | 550.0| 31.06 0.269 -20.8| 

| | | | | 650.0| 82.42 0.714 -53.8| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 



-25- 

Alessandro Sacco

12. Linee in cavo, con tutti i carichi rifasati, filtri accordati su 5 a , 7 a e 11 a armonica 


13 a armonica; dal nodo K4 si nota un picco anche in prossimità ai 550 Hz (11 a armonica). 

Aver installato un filtro accordato sull’11 a armonica consente di migliorare il THD nel nodo K4 ma, come si vede 

dal listato seguente, la situazione peggiora in tutti gli altri nodi. In particolare nel nodo K3 si ritorna sopra al limite 

consentito. 



-26- 

Alessandro Sacco

+-----------------------------------------------------------------------+ 


+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K2 | | 0.83| 250.0| 57.77 0.500 3.2| 

| | 20.00| | | 350.0| 32.29 0.280 -4.1| 

| | | | | 550.0| 7.83 0.068 -9.4| 

| | | | | 650.0| 68.49 0.593 -1.0| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K3 | | 4.19| 250.0| 259.7 2.249 66.0| 

| | 20.00| | | 350.0| 263.8 2.284 73.1| 

| | | | | 550.0| 219.1 1.897 77.9| 

| | | | | 650.0| 221.7 1.920 10.1| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K4 | | 2.03| 250.0| 67.55 0.585 -1.1| 

| | 20.00| | | 350.0| 51.26 0.444 -10.5| 

| | | | | 550.0| 99.39 0.861 267.8| 

| | | | | 650.0| 194.5 1.685 191.8| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K5 | | 0.89| 250.0| 58.39 0.506 2.9| 

| | 20.00| | | 350.0| 33.25 0.288 -4.5| 

| | | | | 550.0| 8.56 0.074 -9.8| 

| | | | | 650.0| 77.96 0.675 -1.6| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K6 | | 1.11| 250.0| 59.63 0.516 2.2| 

| | 20.00| | | 350.0| 35.37 0.306 -5.3| 

| | | | | 550.0| 10.51 0.091 -11.1| 

| | | | | 650.0| 107.6 0.932 -3.4| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 



-27- 

Alessandro Sacco

Osservando cosa accade al nodo K3 si nota che una situazione, che senza filtro accordato su 11 a , era 

accettabile, ora non lo è più. 

I contributi delle tensioni di 11 a e 13 a (soprattutto) armonica erano infatti sensibilmente inferiori prima di installare 

quest’ultimo filtro. 

Nodo K3 con filtro accordato su 11 a 

Filtro passa-alto (damped o high-pass) 

Dopo aver osservato che un filtro accordato sulla 11 a non è una 

buona soluzione, si pensa di agire in maniera diversa: quando si è in 

presenza di significative correnti armoniche, come nel caso di 

raddrizzatori esafase, è usuale pensare di installare due filtri accordati 

rispettivamente per la 5 a e per la 7 a armonica e poi un filtro passa-alto 

che svolga il suo ruolo a partire dall’11 a armonica in poi. 

Quindi si demanda il filtraggio di quelle correnti armoniche di piccola 

ampiezza al filtro passa-alto, mentre si continuano ad utilizzare filtri 

accordati, che garantiscono un migliore rendimento, per le correnti 

armoniche di maggiore ampiezza. 

In NEPLAN il filtro passa-alto viene modellizzato come mostrato in 

figura b). 



-28- 

Nodo K3 senza filtro accordato su 11 a 

Alessandro Sacco

Il filtro che decidiamo di dimensionare ora sarà dato dalla serie di C con il parallelo di L e Rd. Quindi i valori da 

inserire nella maschera relativa al componente sono: 

R = 0 . 

v 

In base alla taglia del filtro, ovvero alla potenza reattiva che esso deve fornire alla rete alla frequenza 

fondamentale, si va a calcolare il valore della capacità: 

3 

Q 250 ⋅10 

C = = 

= 1. 

9895μF 

. 

2 

3 2 

2πfU 

2π 

⋅50 

⋅ ( 20 ⋅10 

) 

Si stabilisce poi la frequenza di taglio, ovvero la frequenza dalla quale il filtro inizia a cortocircuitare a terra le 

correnti di armonica superiore; 

f T 

1 

1 

1 

= e quindi L = = 

= 50. 

931mH 

. 

2 

2 

−6 

2π 

LC 

( 2πf 

) ⋅C 

( 2π 

⋅500) 

⋅1. 

9895⋅10 



T 

Per stabilire, infine, il valore della resistenza Rd occorre fissare il fattore di qualità Q che tipicamente va da 0.5 a 

2; scelto Q=1 si ha che: 

R d 

Q = dove X * è la reattanza dell’induttore o del condensatore alla frequenza f T e pertanto: 

X * 

Rd T 

T 

= Q ⋅ X* 

= 1⋅ω 

L = 2πf 

L = 2π 

⋅500 

⋅50. 

931⋅10 

−3 

-29- 

= 160Ω 

Alessandro Sacco

13. Linee in cavo, con tutti i carichi rifasati, filtri accordati su 5 a e 7 a , filtro passa-alto con fT=500 Hz 


13 a armonica; a differenza del caso precedente, con filtro accordato, ora non c’è più l’antirisonanza in 

corrispondenza dell’11 a armonica nel nodo K4. 

Nel complesso, valutando i valori del THD in tutti i nodi di media tensione, questa è la soluzione più adeguata a 

risolvere il nostro problema. 



-30- 

Alessandro Sacco

+-----------------------------------------------------------------------+ 


+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K2 | | 0.69| 250.0| 57.63 0.499 3.2| 

| | 20.00| | | 350.0| 32.07 0.278 -3.8| 

| | | | | 550.0| 22.25 0.193 -20.0| 

| | | | | 650.0| 39.31 0.340 -46.5| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K3 | | 3.77| 250.0| 259.6 2.248 66.1| 

| | 20.00| | | 350.0| 263.9 2.286 73.2| 

| | | | | 550.0| 212.1 1.837 70.7| 

| | | | | 650.0| 86.98 0.753 -17.4| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K4 | | 2.73| 250.0| 67.39 0.584 -1.1| 

| | 20.00| | | 350.0| 50.91 0.441 -10.1| 

| | | | | 550.0| 282.2 2.444 257.2| 

| | | | | 650.0| 111.6 0.967 146.4| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K5 | | 0.73| 250.0| 58.25 0.504 2.9| 

| | 20.00| | | 350.0| 33.02 0.286 -4.1| 

| | | | | 550.0| 24.30 0.210 -20.5| 

| | | | | 650.0| 44.75 0.388 -47.1| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K6 | | 0.84| 250.0| 59.49 0.515 2.2| 

| | 20.00| | | 350.0| 35.13 0.304 -4.9| 

| | | | | 550.0| 29.84 0.258 -21.8| 

| | | | | 650.0| 61.79 0.535 -48.8| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 



-31- 

Alessandro Sacco

14. Linee in cavo, con tutti i carichi rifasati, linea di trasmissione da 200 km, senza filtri 

Svolgendo l’analisi con linea di trasmissione lunga 200 km anziché 80 km si osserva che: 

- nascono antirisonanze a 265 Hz (5 a -6 a ), 445 Hz (circa 9 a ), 650 Hz (13 a )e 930 Hz (18 a -19 a ) 

- rispetto al caso con linea di trasmissione di 80 km, in cui avevamo antirisonanze a 330 Hz (6 a -7 a ), 

630 Hz (12 a -13 a ) e 930 Hz (18 a -19 a ), in sostanza si è aggiunta l’antirisonanza relativa alla 9 a 

armonica. 



-32- 

con linea da 80 km 


I valori del THD ai nodi in media tensione sono ben al di sopra dei limiti stabiliti, sarà pertanto necessario, 

ovviamente, installare dei filtri passivi anche in questo caso, come già fatto in precedenza. 

Alessandro Sacco

+-----------------------------------------------------------------------+ 


+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K2 | | 11.22| 250.0| 1283.5 11.12 48.4| 

| | 20.00| | | 350.0| 160.4 1.389 -83.7| 

| | | | | 550.0| 23.45 0.203 -16.0| 

| | | | | 650.0| 72.74 0.630 -18.7| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K3 | | 13.98| 250.0| 1583.2 13.71 51.4| 

| | 20.00| | | 350.0| 81.56 0.706 50.9| 

| | | | | 550.0| 215.0 1.862 70.0| 

| | | | | 650.0| 212.3 1.839 -7.4| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K4 | | 13.55| 250.0| 1500.9 13.00 44.2| 

| | 20.00| | | 350.0| 254.6 2.205 269.9| 

| | | | | 550.0| 297.5 2.577 261.2| 

| | | | | 650.0| 206.6 1.789 174.2| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K5 | | 11.35| 250.0| 1297.3 11.23 48.1| 

| | 20.00| | | 350.0| 165.2 1.430 -84.1| 

| | | | | 550.0| 25.62 0.222 -16.5| 

| | | | | 650.0| 82.80 0.717 -19.3| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K6 | | 11.62| 250.0| 1324.9 11.47 47.5| 

| | 20.00| | | 350.0| 175.7 1.522 -84.9| 

| | | | | 550.0| 31.46 0.272 -17.8| 

| | | | | 650.0| 114.3 0.990 -21.0| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 




-33- 

Alessandro Sacco

15. Linee in cavo, linea di trasmissione da 200 km, filtri accordati su 5 a e 7 a , filtro passa-alto con fT=500 Hz 

Svolgendo l’analisi con linea di trasmissione lunga 200 km anziché 80 km e con installati i filtri si osserva che: 

- nascono antirisonanze a 220 Hz (4 a -5 a ), 274 Hz (5 a -6 a ), 360 Hz (circa 7 a )e 450 Hz (9 a ) 

- rispetto al caso con linea di trasmissione di 80 km, in cui avevamo antirisonanze a 234 Hz (4 a -5 a ), 

300 Hz (6 a ) e 385 Hz (7 a -8 a ), in sostanza si è aggiunta l’antirisonanza relativa alla 9 a armonica. 

In definitiva si può concludere che l’allungamento della linea di AT porta come eredità l’instaurarsi di un 

comportamento antirisonante della rete anche alla 9 a armonica; ciò non crea particolari problemi in termine di 

contenuto armonico perché in rete non sono circolanti correnti di quest’ordine di armonica. 





La scelta effettuata precedentemente per il filtraggio (2 filtri accordati + 1 filtro passa-alto) risulta applicabile e 

adeguata anche in questo frangente. 

I valori del THD nei nodi in media tensione sono tutti al di sotto del limite prefissato. 

-34- 

Alessandro Sacco




+-----------------------------------------------------------------------+ 


+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K2 | | 0.74| 250.0| 57.66 0.499 -2.6| 

| | 20.00| | | 350.0| 31.10 0.269 -13.4| 

| | | | | 550.0| 22.66 0.196 -15.4| 

| | | | | 650.0| 50.80 0.440 -13.5| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K3 | | 3.89| 250.0| 253.8 2.198 65.5| 

| | 20.00| | | 350.0| 257.5 2.230 73.3| 

| | | | | 550.0| 215.5 1.867 70.4| 

| | | | | 650.0| 157.4 1.363 5.4| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K4 | | 2.88| 250.0| 67.43 0.584 -6.9| 

| | 20.00| | | 350.0| 49.37 0.428 -19.7| 

| | | | | 550.0| 287.5 2.490 261.8| 

| | | | | 650.0| 144.3 1.250 179.4| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K5 | | 0.79| 250.0| 58.28 0.505 -2.9| 

| | 20.00| | | 350.0| 32.03 0.277 -13.7| 

| | | | | 550.0| 24.76 0.214 -15.8| 

| | | | | 650.0| 57.83 0.501 -14.1| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

|K6 | | 0.95| 250.0| 59.52 0.515 -3.6| 

| | 20.00| | | 350.0| 34.07 0.295 -14.5| 

| | | | | 550.0| 30.40 0.263 -17.1| 

| | | | | 650.0| 79.85 0.691 -15.9| 

+-----------------------------------------------------------------------+ 

-35- 

Alessandro Sacco

Bibliografia 

A.Bertizzi :”Criteri E Dispositivi Per Il Contenimento Dei Disturbi Condotti: Filtri Passivi”; 

N.Mohan, T.M Undeland, W.P. Robbins: “Elettronica Di Potenza: convertitori e applicazioni”, Ed. 

Hoepli, 2009; 

C.Collombet, J.M. Lupin, J. Schoneck:”Cahier Technique no.152: Harmonic Disturbances In Networks, 

And Their Treatment”, Schneider Electric; 

E. Bettega, J.N.Fiorina:”Cahier Technique no.183: Active harmonic conditioners and unity power 

factor rectifiers”, Schneider Electric; 

“Electrical Power System Quality”, Ed. McGraw-Hill, 2004; 

Norma CEI EN 61642 Fascicolo 4909 Classificazione 33-19 : “Reti industriali in corrente alternata 

affette da armoniche – Applicazione di filtri e di condensatori statici di rifasamento”, 12-1998; 

Appunti lezione e dispense a disposizione;

fondamenti di armoniche e sistemi di filtraggio - Università di ...

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