Trasformazioni geometriche - VivoScuola

ANNA ALLERHAND DIDATTICA DELLA MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 2004/05
14.1 Il concetto di trasformazione
QUATTORDICESIMA LEZIONE
14. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Una trasformazione è in generale il passaggio da un particolare stato, detto stato iniziale, ad uno stato successivo, detto
finale. In generale:
⇒
azione nel tempo
La geometria è nata da esigenze pratiche. Euclide pose alla base della geometria alcune definizioni che introducono gli
enti geometrici e descrisse poi le proprietà delle figure in una visione statica.
A partire dal secolo scorso si cominciò a fissare l’attenzione sulle proprietà delle figure considerate nella possibilità di
trasformarsi l’una nell’altra.
Per fare questo si è modificato il concetto di uguaglianza, introducendo quello di congruenza: due figure si definiscono
congruenti quando l’una può essere ottenuta dall’altra attraverso una trasformazione. L’uguaglianza assoluta è possibile
soltanto in relazione all’identità (ogni figura è uguale solo a se stessa).
Nella scuola primaria è importante che i bambini sviluppino una attenta osservazione sperimentale e realizzino
esperienze riguardanti non solo le proprietà delle singole figure, ma anche il modo in cui le figure si trasformano.
14.2 Classificazione delle trasformazioni geometriche
ISOMETRICHE
Mantengono la forma e
l’estensione delle figure
trasformate
NON
Traslazione
Rotazione
Simmetria centrale
Simmetria assiale (ribaltamento)
INGRANDIMENTI E RIDUZIONI (mantengono forma ma non estensione)
PROIETTIVE (mantengono alcuni rapporti, per esempio il n. di lati di un poligono)
ISOMETRICHE TOPOLOGICHE (non mantengono alcun rapporto metrico)
14.3 La traslazione
14.4 La rotazione
Oggetto
iniziale
Ogni punto P del piano si trasforma in un punto P’ corrispondente. Risulta
costante la distanza tra coppie di punti corrispondenti e rette corrispondenti.
Ogni retta è trasformata in una retta parallela.
Ogni punto P si trasforma in un punto P’ che mantiene invariata la distanza dal centro.
Caratteristiche:
o Mantiene le distanze tra coppie di punti
o Avviene in uno dei due versi possibili (orario/antiorario)
Oggetto
trasformato
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14.5 La simmetria centrale
La simmetria centrale è una particolare rotazione di ampiezza 180°. Applicata due volte di seguito dà l’identità.
14.6 La simmetria assiale o ribaltamento
14.7 La simmetria nella didattica
QUATTORDICESIMA LEZIONE
La retta d di piegatura si chiama asse di simmetria. Le
distanze vengono mantenute.
Giochi con macchie di colori: da tubetti di colore ad olio o a tempera si spremono su un foglio di carta piccole quantità
di colori. Si ripiega il foglio su se stesso e si preme bene con le mani. Si riapre il foglio e la macchia di colori sul foglio
presenta una simmetria bilaterale. L’asse di simmetria coincide con la piegatura del foglio.
Giochi di ritagli: Si piega un foglio di carta su se stesso e si ritaglia la sagoma di una figura qualsiasi. Quando si riapre
la figura ritagliata essa è doppia e una delle due figure è inversamente congruente all’altra.
Se lungo la piegatura si ritaglia metà sagoma di una figura simmetrica (un albero, un cuore, dei bambini per mano) e si
fa coincidere l’asse di simmetria con la piegatura del foglio, a lavoro ultimato la figura ritagliata è una figura
simmetrica composta da due metà inversamente congruenti
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Ricerca di simmetrie:Possiamo ricercare simmetrie nel nostro corpo, in oggetti di uso comune, in forme naturali (foglie,
fiori, animali), in opere dell’uomo (edifici, giardini, decorazioni), nelle lettere dell’alfabeto, nelle cifre, nelle figure
geometriche.
Simmetrie nelle lettere dell’alfabeto: ribaltamento verticale
Ribaltamento orizzontale: traslazione: b ⇒ b
Rotazione: p
q
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b
p
b d
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Giochi con gli specchi: Possiamo prendere figure dotate di un asse di simmetria, appoggiare uno specchio lungo l’asse
di simmetria della figura e perpendicolarmente al suo piano. L’immagine riflessa è una figura inversamente congruente
alla metà di quella di partenza. Le due parti (quella che si riflette e quella riflessa) ricostruiscono la figura intera.
Disegnare su carta quadrettata le figure simmetriche di figure date, rispetto ad un particolare asse di simmetria.
Il caleidoscopio: Inventato probabilmente in Cina, fu perfezionato da Brewster a Edimburgo intorno al 1815. Si tratta di
un tubo cilindrico nel quale sono collocati due specchi paralleli all’asse del tubo, che possono formare angoli diversi. A
un estremo del tubo, fra due dischi di vetro, si trovano frammenti di vetro colorato. Guardando attraverso un foro
praticato all’altro estremo del tubo, per il fenomeno delle riflessioni multiple delle immagini, appaiono dei disegni, che
variano con la rotazione del tubo. Il nome deriva dal greco e significa “figura bella da vedere”. I piccoli frammenti
colorati, anche se disposti casualmente e quindi disordinatamente, producono immagini ordinate e simmetriche.
Simmetrie giochi di specchi: Possiamo, come è stato fatto dal dipartimento di Matematica dell’università di Milano,
realizzare delle “camere di specchi”.
Mettendo un oggetto nella camera, il nostro occhio vedrà, oltre all’oggetto, tutte le varie immagini riflesse; si produrrà
così un disegno nel quale sarà evidente una certa regolarità, una certa simmetria.
14.8 Le tassellazioni
Si chiama tassellazione del piano un ricoprimento fatto con elementi che non si sovrappongono e non lasciano buchi.
Mosaico è un disegno piano che si ripete periodicamente in più direzioni.
Consideriamo in particolare il problema antico e affascinante delle pavimentazioni di una superficie piana (il termine
tecnico è quello di tessellazione piana). Le tessere più usate a tal scopo sono alcuni dei poligoni regolari a noi più
familiari: triangoli equilateri, quadrati, ed esagoni. Ne risultano pavimentazioni semplici e molto simmetriche, e forse
per questo poco attraenti esteticamente, a meno che le tessere non vengano decorate in maniera particolare.
Realizzando tassellazioni con i bambini si lavora alla realizzazione di obiettivi geometrici significativi:
Orientamento e organizzazione spaziale
Riconoscimento di forme
Comprensione dei concetti di confine e regione
Riconoscimento di figure congruenti
Classificazione di figure piane
Riconoscimento dell’equiestensione di figure piane
Intuizione del concetto di perimetro
Intuizione del concetto di misura
Riconoscimento e costruzione di figure sottoposte a trasformazioni isometriche (rotazioni, simmetrie, traslazioni)
Intuizione dei concetti di punto, retta, angolo
Intuizione dei concetti di direzione e verso.
Inizialmente si realizzano pavimentazioni con forme in cartoncino utilizzando 2, 3, 4 colori, poi si realizzano disegni
con forme semplici, quindi tassellazioni realizzate a partire da composizioni di più figure piane e disegni periodici.
14.9 Il tangram
Il tangram è un rompicapo di origine cinese molto antico. E' conosciuto come "Le sette pietre della saggezza" perché si
diceva che la padronanza di questo gioco fosse la chiave per ottenere saggezza e talento. Poco o nulla si sa circa le
origini del gioco; persino l'etimologia del nome non è chiara. E’ costituito da sette pezzi di forma geometrica, che
possono essere accostati tra loro in un numero pressochè infinito di combinazioni per ottenere le più svariate figure.
Le regole del gioco sono sostanzialmente due:
non si possono sovrapporre né disporre verticalmente pezzi;
ogni figura deve essere costituita da tutti i sette pezzi che compongono il quadrato.
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Come costruirlo: Si consideri un quadrato, diviso in due triangoli rettangoli da una diagonale. Uno dei due triangoli
viene diviso esattamente in due, lungo l'altezza relativa all'ipotenusa, ottenendo così i primi due pezzi del Tangram.
Poi:
Mettiamo in ordine i pezzi:
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Costruiamo insieme:
il triangolo isoscele (e rettangolo nel vertice superiore)
Il rettangolo con il lato maggiore esattamente doppio del lato minore :
Un pentagono irregolare:
Una barchetta:
Una barchetta con due vele:
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