Nuovo Ordinamento - Ingegneria - Università degli Studi di Trento
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PROGRAMMI DI INSEGNAMENTO a.a. 2002/2003<br />
pezi per il calcolo approssimato <strong>di</strong> un integrale definito.<br />
Funzione integrale. Le funzioni integrali sono funzioni continue.<br />
Calcolo <strong>di</strong>fferenziale<br />
Definizione <strong>di</strong> derivata. Significato geometrico e cinematico della derivata. Retta tangente al grafico<br />
<strong>di</strong> una funzione.<br />
Derivata destra e derivata sinistra.<br />
Le funzioni derivabili sono funzioni continue. Esempi <strong>di</strong> funzioni continue non derivabili.<br />
Algebra delle derivate: derivata della somma, del prodotto, del quoziente <strong>di</strong> due funzioni. Derivata<br />
della funzione inversa <strong>di</strong> una funzione derivabile e derivata della funzione composta <strong>di</strong> due funzioni<br />
derivabili.<br />
Derivate <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore al primo.<br />
Teoremi fondamentali del calcolo <strong>di</strong>fferenziale . Il teorema <strong>di</strong> Fermat sull’annullamento della<br />
derivata nei punti estremali. Il teorema <strong>di</strong> Rolle. Il teorema <strong>di</strong> Lagrange. Conseguenze del teorema<br />
<strong>di</strong> Lagrange: relazioni fra segno della derivata prima e monotonia <strong>di</strong> una funzione; relazioni fra<br />
segno della derivata seconda e convessità o concavità <strong>di</strong> una funzione.<br />
Definizione <strong>di</strong> primitiva <strong>di</strong> una funzione in un intervallo. Le funzioni con derivata nulla in un intervallo<br />
sono costanti.<br />
<strong>Stu<strong>di</strong></strong>o del grafico <strong>di</strong> una funzione . Riconoscimento <strong>di</strong> massimi, minimi e flessi per le funzioni<br />
derivabili. <strong>Stu<strong>di</strong></strong>o della concavità.<br />
Relazioni fra calcolo <strong>di</strong>fferenziale e calcolo integrale. I teoremi fondamentali del calcolo integrale:<br />
La funzione integrale <strong>di</strong> una funzione continua è una primitiva della funzione. Utilizzo delle primitive<br />
per il calcolo <strong>degli</strong> integrali definiti.<br />
Tecniche per il calcolo delle primitive <strong>di</strong> una funzione: Integrazione per parti e per sostituzione.<br />
Integrazione <strong>di</strong> funzioni razionali (con denominatore <strong>di</strong> grado minore o uguale a 2) per mezzo della<br />
decomposizione in frazioni semplici.<br />
Formula <strong>di</strong> Taylor. Approssimazione <strong>di</strong> una funzione per mezzo <strong>di</strong> polinomi. La retta tangente in un<br />
punto come retta <strong>di</strong> miglior approssimazione al grafico <strong>di</strong> f nell’intorno del punto.<br />
Funzioni con un contatto <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore a 1. Polinomi <strong>di</strong> Taylor: i polinomi <strong>di</strong> Taylor in x=0 <strong>di</strong><br />
alcune funzioni elementari: exp, log(1+x), sin, cos. Forma integrale del resto e stima del resto per<br />
la formula <strong>di</strong> Taylor <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 1. Forma integrale del resto e stima del resto per la formula <strong>di</strong> Taylor<br />
<strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore.<br />
Applicazioni della formula <strong>di</strong> Taylor al calcolo dei limiti. Formula <strong>di</strong> Taylor per funzioni composte.<br />
Formula <strong>di</strong> De l’Hôpital per il calcolo dei limiti.<br />
Approssimazione delle derivate: <strong>di</strong>fferenze finite in avanti, all’in<strong>di</strong>etro, centrate, <strong>di</strong>fferenze finite<br />
seconde.Equazioni <strong>di</strong>fferenziali<br />
Esempi <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali: deca<strong>di</strong>mento o crescita esponenziale. Equazioni <strong>di</strong>fferenziali<br />
lineari e nonlineari. Linearizzazione <strong>di</strong> una equazione <strong>di</strong>fferenziale. Nozione <strong>di</strong> soluzione <strong>di</strong> un’equazione<br />
<strong>di</strong>fferenziale. Con<strong>di</strong>zione iniziale e con<strong>di</strong>zioni ai limiti.<br />
Integrazione <strong>di</strong> equazioni lineari del primo or<strong>di</strong>ne omogenee e non omogenee (metodo <strong>di</strong> variazione<br />
della costante). Integrazione <strong>di</strong> equazioni a variabili separabili. Integrazione <strong>di</strong> equazioni<br />
lineari del secondo or<strong>di</strong>ne a coefficienti costanti: polinomio caratteristico.<br />
Serie numeriche<br />
Serie numeriche e definizione <strong>di</strong> somma <strong>di</strong> una serie. Esempi <strong>di</strong> serie convergenti, <strong>di</strong>vergenti e<br />
irregolari. La serie armonica, la serie geometrica. Con<strong>di</strong>zione necessaria per la convergenza.<br />
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