Nuovo Ordinamento - Ingegneria - Università degli Studi di Trento

PROGRAMMI DI INSEGNAMENTO a.a. 2002/2003
pezi per il calcolo approssimato di un integrale definito.
Funzione integrale. Le funzioni integrali sono funzioni continue.
Calcolo differenziale
Definizione di derivata. Significato geometrico e cinematico della derivata. Retta tangente al grafico
di una funzione.
Derivata destra e derivata sinistra.
Le funzioni derivabili sono funzioni continue. Esempi di funzioni continue non derivabili.
Algebra delle derivate: derivata della somma, del prodotto, del quoziente di due funzioni. Derivata
della funzione inversa di una funzione derivabile e derivata della funzione composta di due funzioni
derivabili.
Derivate di ordine superiore al primo.
Teoremi fondamentali del calcolo differenziale . Il teorema di Fermat sull’annullamento della
derivata nei punti estremali. Il teorema di Rolle. Il teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema
di Lagrange: relazioni fra segno della derivata prima e monotonia di una funzione; relazioni fra
segno della derivata seconda e convessità o concavità di una funzione.
Definizione di primitiva di una funzione in un intervallo. Le funzioni con derivata nulla in un intervallo
sono costanti.
Studio del grafico di una funzione . Riconoscimento di massimi, minimi e flessi per le funzioni
derivabili. Studio della concavità.
Relazioni fra calcolo differenziale e calcolo integrale. I teoremi fondamentali del calcolo integrale:
La funzione integrale di una funzione continua è una primitiva della funzione. Utilizzo delle primitive
per il calcolo degli integrali definiti.
Tecniche per il calcolo delle primitive di una funzione: Integrazione per parti e per sostituzione.
Integrazione di funzioni razionali (con denominatore di grado minore o uguale a 2) per mezzo della
decomposizione in frazioni semplici.
Formula di Taylor. Approssimazione di una funzione per mezzo di polinomi. La retta tangente in un
punto come retta di miglior approssimazione al grafico di f nell’intorno del punto.
Funzioni con un contatto di ordine superiore a 1. Polinomi di Taylor: i polinomi di Taylor in x=0 di
alcune funzioni elementari: exp, log(1+x), sin, cos. Forma integrale del resto e stima del resto per
la formula di Taylor di ordine 1. Forma integrale del resto e stima del resto per la formula di Taylor
di ordine superiore.
Applicazioni della formula di Taylor al calcolo dei limiti. Formula di Taylor per funzioni composte.
Formula di De l’Hôpital per il calcolo dei limiti.
Approssimazione delle derivate: differenze finite in avanti, all’indietro, centrate, differenze finite
seconde.Equazioni differenziali
Esempi di equazioni differenziali: decadimento o crescita esponenziale. Equazioni differenziali
lineari e nonlineari. Linearizzazione di una equazione differenziale. Nozione di soluzione di un’equazione
differenziale. Condizione iniziale e condizioni ai limiti.
Integrazione di equazioni lineari del primo ordine omogenee e non omogenee (metodo di variazione
della costante). Integrazione di equazioni a variabili separabili. Integrazione di equazioni
lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: polinomio caratteristico.
Serie numeriche
Serie numeriche e definizione di somma di una serie. Esempi di serie convergenti, divergenti e
irregolari. La serie armonica, la serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza.
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