Nuovo Ordinamento - Ingegneria - Università degli Studi di Trento
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FACOLTA’ DI INGEGNERIA<br />
ANALISI MATEMATICA I<br />
10 cre<strong>di</strong>ti<br />
Docente: Prof. Luca Bonaventura e Raul Serapioni<br />
Ore settimanali: 5 ore lezione, 3 ore esercitazione, 1 ora laboratorio informatico<br />
Obiettivi<br />
Elementi <strong>di</strong> analisi per funzioni <strong>di</strong> una variabile reale.<br />
Programma<br />
Sistemi numerici<br />
L’insieme N dei numeri naturali ed il principio <strong>di</strong> induzione. Il campo Q dei numeri razionali. Il campo<br />
R: allineamenti <strong>di</strong> decimali. La ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong>di</strong> 2 è irrazionale. Il valore assoluto e la <strong>di</strong>suguaglianza<br />
triangolare. Definizione <strong>di</strong> maggiorante, minorante, estremo superiore, estremo inferiore,<br />
massimo e minimo <strong>di</strong> un insieme <strong>di</strong> numeri reali. Assioma <strong>di</strong> completezza <strong>di</strong> R .<br />
Il campo C: rappresentazione algebrica, trigonometrica ed esponenziale <strong>di</strong> un numero complesso,<br />
formula <strong>di</strong> De Moivre. Operazioni con numeri complessi e loro interpretazione geometrica. Ra<strong>di</strong>ci<br />
n-esime <strong>di</strong> un numero complesso.<br />
Funzioni ed insiemi<br />
Nozione <strong>di</strong> funzione: dominio, codominio, immagine.<br />
Funzioni composte. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzione inversa. Prodotto cartesiano<br />
<strong>di</strong> insiemi e grafico <strong>di</strong> una funzione.<br />
Funzioni reali <strong>di</strong> variabile reale: funzioni limitate, funzioni monotòne. Funzioni pari e <strong>di</strong>spari. Estremi<br />
assoluti ed estremi locali <strong>di</strong> una funzione. Funzioni concave o convesse.<br />
Alcune funzioni elementari ed i loro grafici: polinomi e funzioni razionali; esponenziali e logaritmi;<br />
funzioni trigonometriche e loro inverse; funzioni iperboliche e loro inverse.<br />
L’operazione <strong>di</strong> limite<br />
Le successioni come funzioni definite su N. Limiti <strong>di</strong> successioni, limiti finiti e limiti infiniti. Algebra dei<br />
limiti : limite della somma, del prodotto, del quoziente <strong>di</strong> due successioni.<br />
Limiti <strong>di</strong> funzioni da R in R. Definizione <strong>di</strong> limite: limiti finiti e limiti infiniti. Limite destro, limite sinistro.<br />
Algebra dei limiti : limite della somma, del prodotto, del quoziente <strong>di</strong> due funzioni. Limite <strong>di</strong> una<br />
funzione composta. Teoremi sui limiti: teorema del confronto. Limiti notevoli: sin(x)/x.<br />
Or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> infinito e <strong>di</strong> infinitesimo <strong>di</strong> una funzione. Il simbolo “o piccolo” e il simbolo “O grande”.<br />
Funzioni continue<br />
Definizione <strong>di</strong> funzione continua. I polinomi e le funzioni trigonometriche sono continue. Le funzioni<br />
composte <strong>di</strong> funzioni continue sono continue. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue : Il<br />
teorema <strong>di</strong> esistenza <strong>degli</strong> zeri ed il teorema dei valori interme<strong>di</strong>. Applicazione del metodo <strong>di</strong><br />
bisezione per trovare le ra<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> un’equazione. Il teorema <strong>di</strong> Weierstrass: una funzione continua su<br />
un intervallo chiuso e limitato ha massimo e minimo. Esistenza dell’inversa <strong>di</strong> una funzione strettamente<br />
monotona e continua e sue proprietà.<br />
Integrali <strong>di</strong> funzioni <strong>di</strong> una variabile<br />
La nozione intuitiva <strong>di</strong> area <strong>di</strong> una regione piana e le sue proprietà. Integrale definito <strong>di</strong> una<br />
funzione a scala. Funzioni integrabili e definizione dell’ integrale definito <strong>di</strong> una funzione limitata f su<br />
un intervallo (a,b). Un esempio <strong>di</strong> una funzione non integrabile. Significato geometrico e applicazioni:<br />
l’area <strong>di</strong> una regione piana compresa fra i grafici <strong>di</strong> due funzioni.<br />
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