Nuovo Ordinamento - Ingegneria - Università degli Studi di Trento

FACOLTA’ DI INGEGNERIA
ANALISI MATEMATICA I
10 crediti
Docente: Prof. Luca Bonaventura e Raul Serapioni
Ore settimanali: 5 ore lezione, 3 ore esercitazione, 1 ora laboratorio informatico
Obiettivi
Elementi di analisi per funzioni di una variabile reale.
Programma
Sistemi numerici
L’insieme N dei numeri naturali ed il principio di induzione. Il campo Q dei numeri razionali. Il campo
R: allineamenti di decimali. La radice quadrata di 2 è irrazionale. Il valore assoluto e la disuguaglianza
triangolare. Definizione di maggiorante, minorante, estremo superiore, estremo inferiore,
massimo e minimo di un insieme di numeri reali. Assioma di completezza di R .
Il campo C: rappresentazione algebrica, trigonometrica ed esponenziale di un numero complesso,
formula di De Moivre. Operazioni con numeri complessi e loro interpretazione geometrica. Radici
n-esime di un numero complesso.
Funzioni ed insiemi
Nozione di funzione: dominio, codominio, immagine.
Funzioni composte. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzione inversa. Prodotto cartesiano
di insiemi e grafico di una funzione.
Funzioni reali di variabile reale: funzioni limitate, funzioni monotòne. Funzioni pari e dispari. Estremi
assoluti ed estremi locali di una funzione. Funzioni concave o convesse.
Alcune funzioni elementari ed i loro grafici: polinomi e funzioni razionali; esponenziali e logaritmi;
funzioni trigonometriche e loro inverse; funzioni iperboliche e loro inverse.
L’operazione di limite
Le successioni come funzioni definite su N. Limiti di successioni, limiti finiti e limiti infiniti. Algebra dei
limiti : limite della somma, del prodotto, del quoziente di due successioni.
Limiti di funzioni da R in R. Definizione di limite: limiti finiti e limiti infiniti. Limite destro, limite sinistro.
Algebra dei limiti : limite della somma, del prodotto, del quoziente di due funzioni. Limite di una
funzione composta. Teoremi sui limiti: teorema del confronto. Limiti notevoli: sin(x)/x.
Ordine di infinito e di infinitesimo di una funzione. Il simbolo “o piccolo” e il simbolo “O grande”.
Funzioni continue
Definizione di funzione continua. I polinomi e le funzioni trigonometriche sono continue. Le funzioni
composte di funzioni continue sono continue. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue : Il
teorema di esistenza degli zeri ed il teorema dei valori intermedi. Applicazione del metodo di
bisezione per trovare le radici di un’equazione. Il teorema di Weierstrass: una funzione continua su
un intervallo chiuso e limitato ha massimo e minimo. Esistenza dell’inversa di una funzione strettamente
monotona e continua e sue proprietà.
Integrali di funzioni di una variabile
La nozione intuitiva di area di una regione piana e le sue proprietà. Integrale definito di una
funzione a scala. Funzioni integrabili e definizione dell’ integrale definito di una funzione limitata f su
un intervallo (a,b). Un esempio di una funzione non integrabile. Significato geometrico e applicazioni:
l’area di una regione piana compresa fra i grafici di due funzioni.
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