Nuovo Ordinamento - Ingegneria - Università degli Studi di Trento

FACOLTA’ DI INGEGNERIA
Calcolo differenziale.
Definizione di derivata. Significato geometrico della derivata. Retta tangente al grafico di una
funzione. Derivata destra e derivata sinistra. Le funzioni derivabili sono funzioni continue. Esempi
di funzioni continue non derivabili. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente di due
funzioni. Derivata della funzione inversa di una funzione derivabile e derivata della funzione
composta di due funzioni derivabili. Derivate di ordine superiore al primo. Teorema di Fermat. I
teoremi di Lagrange, Cauchy. Conseguenze del teorema di Lagrange: relazioni fra segno della
derivata prima e monotonia di una funzione; relazioni fra segno della derivata seconda e convessità
o concavità di una funzione. Formula di De l’Hôpital per il calcolo dei limiti. Definizione di primitiva
di una funzione in un intervallo. Le funzioni con derivata nulla in un intervallo sono costanti. Studio
del grafico di una funzione. Riconoscimento di massimi, minimi e flessi per le funzioni derivabili.
Studio della concavità. Formula di Taylor. Polinomi di Taylor in
x=0 di alcune funzioni elementari: exp, log(1+x), sen(x), cos(x), senh(x), cosh(x), (1-x) -1 . Applicazioni
della formula di Taylor al calcolo dei limiti. Formula di Taylor per funzioni composte.
Integrali di funzioni di una variabile.
Definizione di area di una regione piana e le sue proprietà. Integrale definito di una funzione a
scala. Funzioni integrabili e definizione dell’integrale definito di una funzione limitata f su un intervallo.
Significato geometrico e applicazioni. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone.
Funzione integrale. Continuità della funzione integrale. Il teorema fondamentale del calcolo
integrale. Utilizzo delle primitive per il calcolo degli integrali definiti. Integrazione per parti e per
sostituzione. Integrazione di funzioni razionali (con denominatore di grado minore o uguale a 2)
per mezzo della decomposizione in frazioni semplici.
Equazioni differenziali.
Definizione di equazione differenziale. Famiglie di soluzioni Condizioni iniziali e condizioni ai limiti.
Integrazione di equazioni lineari del primo ordine omogenee e non omogenee. Integrazione di
equazioni a variabili separabili.
Successioni e serie numeriche.
Definizione di successione. Limiti di successioni. Teoremi sui limiti di successioni (vedi sezione
relativa ai limiti delle funzioni). Successioni definite per ricorrenza.
Serie numeriche. Definizione di somma di una serie. Esempi di serie convergenti, divergenti e
irregolari. La serie armonica, la serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza.
Criterio del confronto, della radice e del rapporto. Serie a segni alternati: criterio di Leibniz.
Il programma MAPLE (facoltativo).
Lo studente deve essere in grado di utilizzare il programma Maple per svolgere semplici operazioni
aritmetiche e algebriche, con precisione desiderata. In particolare deve conoscere, oltre che le
più comuni funzioni elementari, l’uso dei comandi: evalf, expand, factor, simplify, solve e deve
essere in grado di definire una funzione e di disegnarne il grafico, negli intervalli desiderati, con il
comando plot. Per quanto riguarda il calcolo infinitesimale, deve conoscere l’uso dei comandi: limit,
diff, int, sum, taylor.
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