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Relatore:
FACOLTA’ DI INGEGNERIA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA
CARATTERIZZAZIONE STATICA E DINAMICA DEL
COMPORTAMENTO VERTICALE DI PNEUMATICI DA
Chiar.mo Prof. Ing. GIANNI NICOLETTO
Correlatori:
Chiar.mo Prof. Ing. MARCO AMABILI
Ing. ANDREA BURZONI
COMPETIZIONE
Anno Accademico 1999/2000
Tesi di Laurea di:
LUCA COLLINI

Introduzione e scopo del lavoro
Il presente lavoro di tesi è stato sviluppato in collaborazione con Dallara Automobili S.p.A., azienda
costruttrice di vetture da competizione da più di venti anni.
In particolare è stata analizzata la dinamica verticale di una vettura da FORMULA 3, categoria con
la quale si disputano combattuti campionati in molti paesi europei, tra cui l’Italia.
La necessità di una caratterizzazione del comportamento del pneumatico da FORMULA 3 è
scaturita dall’importanza che tale componente riveste nella progettazione e nella regolazione su
pista della vettura, e al contempo dalla scarsità di dati e di notizie forniti a riguardo dalle Case
Costruttrici. In una prima serie di prove è stata indagata la risposta verticale statica dei pneumatici
anteriore e posteriore (di misure differenti) PIRELLI F3, con test non in rotolamento. Lo scopo del
lavoro è stato la determinazione della rigidezza statica dei pneumatici e l’influenza esercitata su di
essa da parte dei parametri più significativi, tra cui la temperatura. Tale rigidezza riveste un ruolo
fondamentale nella scelta dell’assetto e nel bilanciamento della vettura.
La caratterizzazione sperimentale della dinamica verticale del pneumatico si è avvalsa invece di uno
degli strumenti più interessanti e sofisticati utilizzati nel mondo delle corse, ed ha avuto lo scopo di
caratterizzare il comportamento di un sistema che presenta di norma una certa complessità, ed il cui
ruolo nella dinamica dell’intera vettura è tutt’altro che trascurabile.
Il lavoro qui presentato segue in qualche modo il filone delle due sperimentazioni: i due capitoli
introduttivi sono di carattere teorico-descrittivo; in particolare nel Capitolo 1 viene presentato il
pneumatico, le sue funzionalità e caratteristiche meccaniche, i possibili modelli adottabili per
descriverne il comportamento. Nel Capitolo 2 viene introdotto il ruolo del pneumatico nella
globalità della vettura, e la sua importanza dal punto di vista statico e dinamico. Viene analizzata
quindi la dinamica verticale della vettura da competizione, e gli aspetti in cui essa si deve
differenziare rispetto alle automobili di serie.
I

Nel terzo capitolo viene descritto il banco di prova utilizzato alla Dallara Automobili per il test
dinamico delle vetture da competizione, mentre nel Capitolo 4 sono contenuti i risultati delle prove
sperimentali, le metodologie impiegate per ottenerli ed una loro analisi e discussione.
Il Capitolo 5 presenta infine lo sviluppo di due modelli matematici di diversa complessità, in grado
di simulare la dinamica verticale di una FORMULA 3, in cui viene sottolineato il ruolo attivo del
pneumatico, avvalendosi dei risultati ottenuti nelle due campagne di prove.
II

Indice
Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico…………….. pag. 1
1.1 Funzioni del pneumatico……………………………………………………………………..” 1
1.2 Sistema di riferimento SAE…………………………………………………………………..” 2
1.3 La gomma: proprietà…………………………………………………………………………” 3
1.4 Cenni al meccanismo di aderenza e dipendenza dal carico……………………………..” 4
1.5 Costruzione del pneumatico………………………………………………………………….” 8
1.6 Pressioni di contatto e rigidezza statica del pneumatico…………………………………” 9
1.7 Raggi caratteristici del pneumatico………………………………………………………...” 11
1.8 Modelli descrittivi del comportamento verticale del pneumatico non in rotolamento.” 14
Capitolo 2. Il pneumatico nella dinamica verticale della vettura da competizione……. pag. 19
2.1 Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico…………………………” 19
2.1.1 La ricerca delle massime prestazioni……………………………………………………” 19
2.1.2 Il bilanciamento della vettura…………………………………………………………….” 23
2.2 Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico………………………” 40
2.2.1 Introduzione: il problema acustico-vibrazionale………………………………………” 40
2.2.2 Le forzanti…………………………………………………………………………………..” 41
2.2.3 Risposta dinamica del veicolo……………………………………………………………” 45
2.2.4 Ruolo della massa non sospesa e del pneumatico nella vettura da competizione…” 53
2.2.5 La sperimentazione al banco………………………………………………………………” 58
Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig……………………………………………………………. pag. 59
3.1 Introduzione…………………………………………………………………………………” 59
3.2 Descrizione dell’apparato sperimentale…………………………………………………” 60
3.3 Il software di controllo DCS……………………………………………………………… ” 70
3.4 Utilizzo e funzionalità dello strumento……………………………………………………” 72
Capitolo 4. Prove sperimentali sui pneumatici PIRELLI F3…………………………. pag. 79
4.1 Prove di rigidezza verticale statica……………………………………………….. ” 79
4.1.1 Introduzione……………………………………………………………………………… ” 79
4.1.2 Descrizione della procedura di prova………………………………………………… ” 80
4.1.3 Taratura della cella di carico…………………………………………………………… ” 83
III

4.1.4 Risultati delle prove…………………………………………………………………… pag. 86
4.1.5 Analisi dei risultati………………………………………………………………………. ” 94
4.2 Caratterizzazione dinamica dei pneumatici………………………………………... ” 97
4.2.1 Introduzione………………………………………………………………………………. ” 97
4.2.2 Descrizione della procedura di prova………………………………………………… ” 99
4.2.3 Acquisizione dei dati e costruzione della risposta in frequenza del sistema……… ” 103
4.2.4 Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 anteriore. Massa 114.7 kg… ” 108
4.2.5 Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 posteriore. Massa 137.2 kg… ” 118
4.2.6 Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 anteriore. Massa 67 kg………” 124
4.2.7 Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 anteriore. Massa 90 kg………” 125
4.3 Analisi e discussione dei dati sperimentali………...………………………………. ” 126
4.3.1 Osservazioni……………………………………………………………………………… ” 126
4.3.2 Calcolo della rigidezza e dello smorzamento con modello a contatto …………… ” 127
4.3.3 Il metodo della larghezza di banda…………………………………………………… ” 129
4.3.4 Risultati delle prove sperimentali………………………………………………………” 131
Capitolo 5. Sviluppo di un modello matematico a parametri concentrati per la vettura
F3.………………………………………………………………………………… pag. 141
Introduzione…………………………………………………………………………………… ” 141
5.1 Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà………….. ” 142
5.1.1 Ipotesi semplificative e modello adottato…………………………………………… ” 142
5.1.2 Influenza dei parametri del modello sul comportamento dinamico della vettura ” 147
5.2 Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà……….. ” 156
5.2.1 Il modello a quattro gradi di libertà: caratteristiche e potenzialità……………… ” 156
5.2.2 I movimenti verticale (bounce) e di beccheggio (pitch) della vettura……………. ” 157
5.2.3 Frequenze di bounce e di pitch…………………………………………………………” 158
5.2.4 Modello a quattro gradi di libertà …………………………………………………… ” 161
5.2.5 Identificazione sperimentale dei parametri e taratura del modello……………… ” 165
5.2.6 Risultati della simulazione e confronto con i test reali………………………………” 167
Conclusioni………………………………………………………………………………….. pag. 175
Allegati………………………………………………………………………………………. ” 177
Riferimenti bibliografici……………………………………………………………………... ” 187
IV

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 1
Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico.
1.1 Funzioni del pneumatico
La funzione di un pneumatico, stradale o da competizione, è essenzialmente quella di garantire il
contatto tra il corpo del veicolo ed il terreno. Tutte le forze di controllo o di disturbo cui il veicolo è
sottoposto, fatta eccezione per quelle di natura aerodinamica, sono infatti generate dall’area di
contatto tra battistrada e terreno, la cosiddetta contact patch, la cui estensione è paragonabile a
quella del palmo di una mano.
Figure 1.1 (a). Il pneumatico PIRELLI anteriore da FORMULA 3
(b). Forze e momenti cui è sottoposto un pneumatico in marcia.
In generale un pneumatico viene progettato e dimensionato per essere in grado di:
• sopportare il carico verticale statico e dinamico FZ agente sul mozzo della ruota
• sviluppare le necessarie forze longitudinali (dirette cioè nel senso di marcia), le quali
garantiscono l’accelerazione e la decelerazione del veicolo (FX e MY in Figura 1.1 (b))
• sviluppare le adeguate forze laterali, generate nel moto curvilineo, che permettono di tenere in
strada il veicolo (MX e MZ di Figura 1.1 (b))
• garantire una bassa trasmissibilità al telaio delle irregolarità presenti sul manto stradale.

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 2
Nel mondo delle corse i primi tre concetti, soprattutto quello di aderenza, rivestono grande
importanza, mentre quest’ultimo aspetto, che definisce il comfort di un autoveicolo, viene perlopiù
trascurato, in quanto altri sono gli obiettivi nel progetto di un’auto sportiva; l’assetto viene irrigidito
a discapito del comfort, per ottenere la massima aderenza in ogni condizione di utilizzo e per
ottimizzare l’aerodinamica della vettura minimizzando la variazione di altezza da terra del telaio.
1.2 Sistema di riferimento SAE
Figura 1.2. Il sistema di riferimento SAE J670.
Il sistema di riferimento convenzionalmente adottato per descrivere la dinamica del veicolo e le
forze agenti sul pneumatico è mostrato in Figura 1.2. Il sistema di assi cartesiani ha origine O nel
centro dell’impronta del battistrada (a ruota ferma), nel punto di intersezione tra l’asse Z e il piano
stradale, considerato una superficie piana. L’asse X è data dall’intersezione tra il suolo e il piano del

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 3
pneumatico, l’asse Y è perpendicolare a X e Z e
giace nel piano stradale. L’angolo γ in figura
definisce l’inclinazione del pneumatico, vedi
Figura 1.3 sopra, nel piano verticale (detta campanatura o angolo di camber), mentre α è l’angolo
di scorrimento (slip angle) o di deriva, tra l’asse X e la direzione del moto del pneumatico, definito
positivo per scorrimenti verso destra rispetto alla direzione di marcia.
1.3 La gomma: proprietà
L’uso della gomma come costituente principale del pneumatico si è mantenuto nel corso degli anni
a causa delle sue caratteristiche meccaniche, le quali garantiscono aderenza, durata nel tempo e
grande adattabilità alle più svariate condizioni di impiego. La gomma possiede una densità di circa
1100 kg/m 3 , ed è presente nel pneumatico sempre in una mescola con altri componenti, come olio,
zolfo, polvere di grafite, che conferiscono specifiche caratteristiche meccaniche.
La mescola possiede spiccate proprietà viscoelastiche, e se sottoposta a caricamento la sua risposta
dinamica varia al variare della frequenza con cui la forza viene applicata. Un modello elementare a
parametri concentrati che descriva in modo semplice il comportamento
meccanico viscoelastico della gomma è quello riportato a lato in
Figura 1.4; esso è costituito dalla serie di una rigidezza con un gruppo
rigidezza-smorzamento in parallelo.
A basse frequenze l’effetto dello smorzatore è trascurabile, e la
rigidezza apparente del sistema è data dalla serie delle due molle.
Eccitando l’estremo A di figura a frequenze elevate lo smorzatore
oppone invece una forte resistenza al moto, e la rigidezza globale del
sistema risulta maggiore. Per ciascuna delle due situazioni estreme
l’energia che viene dissipata dallo smorzatore è piccola, e presenta un
Figura 1.4. massimo ad una frequenza intermedia.

1.4 Cenni al meccanismo di aderenza e dipendenza dal carico
Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 4
Test di laboratorio condotti sopra superfici vetrose pulite mostrano che il coefficiente d’attrito della
gomma dipende dalla velocità di strisciamento e dalla temperatura di esercizio, come riportato dalla
Figura 1.5, in cui è T3 > T2 > T1. In particolare per una determinata temperatura si ha un andamento
a campana del coefficiente d’attrito in funzione della velocità espressa in scala logaritmica, ed
aumentando la temperatura il picco della campana trasla verso velocità di strisciamento maggiori.
Figura 1.5. Coefficiente d’attrito delle gomma in funzione della velocità di scorrimento a diverse temperature.
Dai semplici diagrammi sopra esposti si può intendere l’importanza della temperatura di esercizio
dei pneumatici nelle loro caratteristiche. In modo particolare nel mondo delle competizioni, in cui è
Figura 1.6. Curve del tipo WLF per differenti superfici d’attrito.
costante la ricerca della massima aderenza, il pneumatico deve essere progettato con particolare
cura per offrire le massime prestazioni.

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 5
Le curve coefficiente attrito-velocità a diversa temperatura possono essere rappresentate mediante
una sola curva, detta di Williams-Landel-Ferry (WLF, vedi Figura 1.6), nell’ipotesi di assumere un
modello viscoelastico per descrivere il comportamento del materiale elastomerico.
La stretta correlazione tra le equazioni che descrivono il comportamento viscoelastico e il
meccanismo di attrito della gomma suggerisce una probabile origine comune dei due fenomeni, e la
possibilità che proprio la viscoelaticità sia responsabile della capacità della gomma di aderire a
diversi tipi di superficie.
In Figura 1.6 vengono riportate curve del tipo WLF rappresentative di test su vetro e su superficie
ruvida, nel caso specifico sopra del carburo di silicio. L’evidente picco di forma acuminata è dovuto
alla distorsione della gomma sulle asperità della superficie ruvida, mentre il fenomeno di adesione
molecolare, presente a basse velocità di strisciamento, risulta molto meno evidente.
L’aggiunta di polvere di grafite oltre ad incrementare la rigidezza e la resistenza meccanica della
mescola, abbassa drasticamente il valore di picco, che è scarsamente controllabile, e di conseguenza
il valore medio del coefficiente d’attrito. L’aggiunta di olio nella mescola inoltre aumenta il valore
massimo del coefficiente d’attrito, traslandolo verso velocità di scorrimento minori.
Per una più attenta analisi del fenomeno di aderenza al suolo, si considerino le Figure 1.7 e 1.8, in
cui è rappresentato il contatto tra il battistrada di un pneumatico e un’ideale superficie ruvida.
Nell’ipotesi che tale superficie sia lubrificata, essa non è in grado di generare forze di taglio sul
battistrada; è comunque presente il fenomeno dell’attrito a causa dalle differenti pressioni che
agiscono sulle superfici inclinate per via dell’isteresi di natura viscoelastica della gomma.
Figura 1.7. Schema semplificato del contatto battistrada-suolo.

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 6
Figura 1.8. Dettaglio di Figura 1.7.
Aumentando il carico verticale FZ agente sul pneumatico (ad esempio durante il trasferimento di
carico della vettura nel percorrere una curva), si ha un incremento, non lineare, dell’area di contatto,
ed un aumento della pressione media di contatto. Questo comporta l’aumento della forza d’attrito,
ma il coefficiente d’attrito, come l’esperienza conferma, diminuisce, tipicamente in proporzione alla
pressione media di contatto elevata alla potenza di -0.15 (grafico di Figura 1.9).
Figura 1.8 mostra inoltre che il coefficiente d’attrito non dipende dall’estensione delle superfici di
contatto, bensì dalla loro inclinazione rispetto all’orizzontale.
Friction coefficient
Figura 1.9. Andamento qualitativo del coefficiente d’attrito in funzione della pressione media di contatto.
Un elemento la cui proiezione ha area A genera infatti la forza d’attrito
FA Ph
=
Asenϑ
diretta orizzontalmente, dove Ph è la differenza di pressione data dall’isteresi della gomma e ϑ
l’angolo in figura che le due superfici di contatto formano con l’orizzontale.
Da ciò ne deriva che una superficie con una microruvidità più accentuata (angoli ϑ più elevati),
permette una maggiore aderenza.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
f = pm -0,15
Mean contact pressure

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 7
Si spiega allora come il coefficiente d’attrito sia, seppure indirettamente, dipendente dal carico
applicato (esso diminuisce se il carico aumenta), e come una più estesa area di contatto, a parità di
carico verticale, abbassando la pressione media permetta una più elevata forza di frizione in quanto
è alto il coefficiente d’attrito.
La rigidezza verticale dei pneumatici, che ha un ruolo attivo nell’assetto e nel bilanciamento della
vettura e nei trasferimenti di carico, è quindi influente in modo non diretto anche sul fenomeno di
microaderenza del pneumatico al terreno.
Il secondo meccanismo di aderenza della gomma comporta la formazione di legami molecolari tra
la mescola e la superficie stradale, e viene mostrato in Figura 1.10.
Figura 1.10. I due meccanismi responsabili dell’aderenza della gomma al suolo stradale.
Per rompere questi legami è necessaria una certa quantità di energia, la cui dissipazione è causa
della resistenza al rotolamento e allo strisciamento del pneumatico. Tale componente d’attrito è
significativa nel caso di manto stradale asciutto, mentre diventa preponderante il primo tipo di
frizione dovuta all’isteresi nella mescola, in condizioni di bagnato, dove molecole d’acqua si
possono interporre tra le due superfici di contatto ostacolando l’adesione.

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 8
In Figura 1.10 vengono schematizzati entrambi i meccanismi responsabili dell’aderenza del
battistrada di un pneumatico al terreno, la frizione per differenza di pressione e l’adesione a livello
molecolare.
1.5 Costruzione del pneumatico
Un pneumatico moderno è costituito essenzialmente da una carcassa in gomma rinforzata al suo
interno da svariati fasci di cordami in nylon, rayon, poliestere o fibra di vetro, che possono essere
sovrapposti con un certo angolo tra di loro o disposti radialmente (si parla in questo caso di
pneumatico radiale), cioè a 90° rispetto alla direzione circonferenziale.
Figura 1.11. Costruzione dei pneumatici a tele incrociate e radiali.
Le dimensioni tipiche che definiscono la struttura del pneumatico, Figura 1.12, sono il diametro del
cerchio, l’altezza della spalla, la sezione trasversale, la larghezza del battistrada.
Figura 1.12. Dimensioni caratteristiche del pneumatico.

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 9
Il battistrada, cui è affidato il contatto con il terreno, può essere intagliato (per permettere il
drenaggio dell’acqua e il raffreddamento della gomma) o liscio (ad uso delle competizioni), ed è
generalmente rinforzato al suo interno da fili in acciaio. Nel pneumatico di tipo radiale, ormai
universalmente adottato, per garantire una buona stabilità direzionale sono inoltre presenti delle
fasciature di rinforzo sotto il battistrada che formano un angolo di circa 20° con le fasce della
carcassa.
Consistenza e rigidezza globali vengono conferite al pneumatico dal gonfiaggio con aria, ad una
pressione variabile tipicamente tra 1.2 e 2.2 bar; i rinforzi annegati nella mescola, possedendo
modulo elastico di gran lunga maggiore rispetto a quello della gomma, sopportano la tensione data
dalla pressione interna, mentre la gomma della carcassa, di elevata resistenza a fatica, ha
essenzialmente la funzione di “recipiente” per l’aria.
Dalla costruzione della carcassa e dalle sue dimensioni dipendono le caratteristiche meccaniche del
pneumatico; in particolare la tendenza odierna è quella di ridurre il rapporto tra le dimensioni
altezza spalla e larghezza battistrada per incrementare la rigidezza laterale della gomma e limitarne
la deformazione ottenendo sensibili incrementi nelle proprietà di controllo del mezzo.
Ovviamente nel campo delle competizioni viene spinta al massimo la ricerca delle prestazioni in
fatto di aderenza e rigidezza, e vengono tralasciati necessariamente aspetti secondari, come durata o
rumorosità del pneumatico.
1.6 Pressioni di contatto e rigidezza statica del pneumatico
Il pneumatico non in rotolamento esercita sul suolo una pressione normale σz la cui risultante è pari
alla forza Z di contatto tra ruota e suolo, e le pressioni tangenziali τx e τy, le cui risultanti sono nulle
nel caso in cui la ruota non eserciti forze in direzione longitudinale o trasversale.
La distribuzione delle pressioni σz, τx e τy non è costante; il suo andamento dipende dalla rigidezza
del pneumatico oltre che da altri fattori, quali carico applicato e pressione di gonfiaggio.

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 10
In Figura 1.13 sono riportati gli andamenti tipici delle pressioni normali, longitudinali e trasversali
σz, τx e τy che la ruota, da ferma, esercita sul suolo.
Figura 1.13. Pressioni di contatto ruota-suolo σσσσz (a), ττττx (b) e ττττy (c) a ruota ferma.
Le pressioni τx sono dirette verso la mezzeria della zona di contatto; la ruota tende cioè a
compattare, per così dire, il suolo in direzione longitudinale verso il centro dell’orma. L’effetto
opposto si ha invece in direzione trasversale.
Le caratteristiche elastiche statiche del pneumatico dipendono da molti fattori, quali la pressione, lo
stato di usura, la velocità di rotolamento, l’angolo di camber, la temperatura di esercizio.
Inoltre notevoli differenze di comportamento si possono notare tra i pneumatici a tele incrociate e
quelli radiali: a ruota ferma i pneumatici radiali possiedono minore rigidezza in tutte le direzioni.
Se caricata sul mozzo la gomma si deforma, e tale deformazione assume tipicamente valori
compresi tra il 18 e il 24 % dell’altezza della spalla.
La rigidezza verticale statica, come verrà mostrato ampiamente nei risultati delle prove
sperimentali, per un pneumatico da competizione risulta praticamente costante all’aumentare del
carico applicato durante la prova, per cui si ha dipendenza lineare tra deformazione e carico.
In Figura 1.14 sono riportate le curve forza normale Z in funzione della deformazione verticale ∆z
per un pneumatico di tipo radiale in rotolamento, relative ad un ciclo di applicazione e di rimozione
del carico verticale.

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 11
Esse mettono in evidenza un vero e proprio ciclo di isteresi, che denota uno smorzamento dei moti
verticali da parte del pneumatico, che è però particolarmente sensibile a ruota ferma in quanto
l’ampiezza del ciclo di isteresi generalmente diminuisce al crescere della velocità di rotolamento.
Figura 1.14. Caratteristica forza normale-deformazione verticale per un pneumatico radiale.
Il coefficiente di smorzamento di un pneumatico è comunque un parametro non lineare, in quanto
dipende dall’ampiezza e dalla frequenza di applicazione del carico.
Il comportamento verticale del pneumatico fermo, sottoposto a sollecitazioni anch’esse in senso
verticale, è schematizzabile quindi con una semplice molla di rigidezza opportuna e massa
trascurabile. Le prove statiche condotte sul pneumatico hanno avuto lo scopo di trovare il valore di
tale rigidezza e la sua variazione in funzione dei parametri fisici e ambientali.
1.7 Raggio del pneumatico
Si consideri una ruota in rotolamento su strada piana senza che su di essa agisca alcuna coppia
motrice o frenante. Vengono solitamente distinti tre diversi raggi del pneumatico: Ru, raggio a
pneumatico scarico, Rl, raggio a pneumatico caricato non in movimento, e il raggio effettivo o in
rotolamento Re.
Quest’ultimo è semplicemente definito dal rapporto tra la velocità V di traslazione del centro ruota e
la velocità angolare Ω della ruota:

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 12
=
Ω
V
Re Tale definizione non è significativa se il pneumatico, bloccato, striscia solamente (Re infinito), o se
ruota senza traslare (Re nullo).
Dato che il contatto ruota-suolo non è puntiforme, il raggio di rotolamento non coincide con
l’altezza Rl del centro ruota sul suolo ed il centro di istantanea rotazione non coincide con il centro
della contact patch. Si può dimostrare che
l
e
.
R ≤ R ≤ R
Ciò per il fatto che, a causa delle deformazioni a cui la fascia battistrada della ruota è soggetta, la
u
.
velocità periferica di ciascun
elemento esterno della ruota non è
costante, ma varia ciclicamente.
In Figura 1.15 di lato è schematizzata
una ruota in rotolamento su strada
piana a cui viene applicata una coppia
motrice MT, con la configurazione
della distribuzione di forza
longitudinale e della velocità
periferica della fascia battistrada
(sliding velocity).
Ogni elemento della fascia battistrada
rallenta all’approssimarsi del contatto
con il suolo e di conseguenza risulta
Figura 1.15. compresso in direzione circonferenziale.
Nella zona di contatto si hanno strisciamenti molto piccoli; la velocità periferica di tale zona,
relativa al centro della ruota, coincide in modulo con la velocità assoluta del centro della ruota V.

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 13
Dopo aver lasciato la zona di contatto l’elemento assume nuovamente la sua lunghezza iniziale e la
sua velocità periferica ritorna al valore ΩRu.
La velocità angolare di una ruota dotata di pneumatico risulta pertanto minore di quella propria di
una ruota rigida con pari altezza del centro sul suolo e pari velocità di traslazione.
Il raggio di rotolamento è influenzato da molti fattori, alcuni dipendenti dal pneumatico, quali il tipo
di struttura della carcassa e delle tele, lo stato di usura del battistrada; altri dalle condizioni di
impiego, quali pressione, carico, velocità ed altri ancora.
Inoltre il raggio effettivo ha una leggera dipendenza, poco significativa nei pneumatici radiali a
causa della loro costituzione, dalla velocità angolare, in quanto per effetto della forza centrifuga si
ha una piccola deformazione della carcassa. I pneumatici a struttura radiale sono caratterizzati da un
minore valore di Rl rispetto a pneumatici a tele incrociate di pari raggio indeformato Ru a causa
della loro maggiore flessibilità radiale, ma, a causa della maggior rigidezza della fascia battistrada,
dovuta alla presenza delle tele di cintura, il valore del raggio di rotolamento Re, risulta meno
lontano dal valore di Ru.
Gli effetti di un aumento del carico verticale Z e di una diminuzione della pressione di gonfiaggio p
sono simili e si manifestano in una diminuzione sia di Rl che di Ru.
Al crescere della velocità il pneumatico tende ad espandersi sotto l’azione della forza centrifuga,
per cui si ha un aumento di tutti i raggi caratteristici.
Tale aumento è notevole nel caso di pneumatici di struttura convenzionale mentre è molto
contenuto, a causa della notevole rigidezza circonferenziale della cintura, nei pneumatici radiali.
In Figura 1.16 si riportano, a titolo di esempio, gli andamenti del raggio di rotolamento in funzione
della velocità ottenuti per un pneumatico 7,60-15 a tele incrociate e per un pneumatico 155 SR 15 di
tipo radiale.

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 14
Figura 1.16. Raggio di rotolamento Re in unzione della velocità di rotolamento V.
1.8 Modelli descrittivi del comportamento verticale del pneumatico non in rotolamento
Lo scopo del lavoro qui proposto è quello di trovare un modello comportamentale del pneumatico,
non in rotolamento, in grado di caratterizzarne e descriverne la dinamica verticale, sulla base di
prove condotte sperimentalmente.
Il pneumatico si presenta come un sistema continuo, complesso nella costruzione e vario nelle
proprietà meccaniche dei materiali impiegati; lo studio del suo comportamento dinamico è a priori
molto complesso da analizzare e da inquadrare in modo globale, e in aggiunta le condizioni di
utilizzo reali e le sollecitazioni cui un pneumatico da competizione è sottoposto sono difficilmente
quantificabili e riproducibili.
Nonostante ciò può essere adottato un modello a parametri concentrati del tipo “ingresso-uscita”;
l’idea fondamentale di tale assunzione consiste nel modellare solo la reazione che intercorre tra
l’ingresso al sistema dinamico e l’uscita, senza introdurre tutte le variabili indipendenti che
definiscono il moto del sistema in esame ma solo quelle del comportamento delle grandezze esterne
al sistema stesso.

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 15
Ad esempio, per quantificare la rigidezza verticale globale, si può analizzare la deformazione tra un
punto di riferimento e il suolo senza condurre l’analisi particolareggiata dei contributi a tale
rigidezza da parte di tutti i costituenti del sistema.
Si parla poi di sistema lineare tempo invariante (LTI) per poterne descrivere il comportamento
dinamico con una o più equazioni differenziali ordinarie o tramite il concetto di funzione di risposta
in frequenza (FRF).
Nel primo caso si parla di dominio del tempo, nel secondo di dominio delle frequenze.
La descrizione della dinamica in senso verticale del pneumatico mediante un modello del tipo
ingresso-uscita basato sul concetto di funzione di risposta in frequenza, presenta il notevole
vantaggio che tale funzione è facilmente valutabile sperimentalmente, a differenza dell’equazione
(o delle equazioni) differenziale descrittiva che per essere caratterizzata necessita oltre ad una fase
sperimentale anche spesso di complesse metodologie di identificazione dei parametri.
Come già specificato nelle prove di rigidezza verticale statica si è assunto semplicemente un
modello costituito da una molla di rigidezza incognita.
Figura 1.17. Deformata FEM del pneumatico e modello adottato per il comportamento statico.
Le prove hanno avuto lo scopo di calcolare tale rigidezza al variare dei parametri fisici del
pneumatico normalmente modificati in pista, e di verificarne la linearità nella risposta di
schiacciamento (quantità d in Figura 1.17) al caricamento verticale (Fv).

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 16
Dalla letteratura (Szilard) la rigidezza verticale dinamica risulta un parametro non lineare, in quanto
risente del carico applicato, dell’ampiezza di deformazione, della frequenza. Analogo discorso vale
per lo smorzamento interno del sistema. Un tipico modello utilizzato per lo studio del
comportamento dinamico verticale del pneumatico è quello riportato in Figura 1.18 (a); esso si
adatta a descrivere la dinamica della gomma su superficie liscia o scarsamente corrugata, comunque
priva di ostacoli o bruschi avvallamenti.
Figura 1.18. Due tipici modelli di pneumatico per superfici lisce.
l’equazione differenziale relativa al primo modello è:
(a) Massa, molla, smorzatore. (b) Modello di Maxwell.
+ • ••
m z c z+
Kz =
F(t).
Nel modello di Maxwell lo smorzamento è posto in serie alla rigidezza K2 per tenere conto del fatto
che alle basse frequenze si ha la massima dissipazione di energia da parte dell’elemento smorzante,
mentre per le sollecitazioni ad alta frequenza l’energia assorbita viene limitata dal movimento della
seconda rigidezza in serie.
In questo caso è necessario introdurre un secondo grado di libertà per rappresentare la forza sullo
smorzatore:
••
⎧
⎪m
z1
+ K1(
z1
− F(
t))
+ K 2 ( z1
− z2
) = 0
⎨ •
⎪
⎩c(
z 2 − F'(
t))
− K 2 ( z1
− z2
) = 0.

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 17
Uno degli svantaggi dei modelli mostrati è quello di non poter considerare la deformazione del
pneumatico nel superamento di ostacoli o avvallamenti, in quanto si presuppone un contatto
puntuale; tali modelli possono comunque dare buoni risultati se vengono soddisfatte in buona
misura le condizioni:
a) nessun gradino nella superficie contatto
b) lunghezza d’onda dell’avvallamento superficiale maggiore di tre volte la lunghezza di contatto
c) il piano di appoggio definisce adeguatamente la superficie di contatto.
Modelli più evoluti, come quelli mostrati di seguito in Figura 1.19, sono stati sviluppati per tenere
conto della deformazione del battistrada e della curvatura del pneumatico.
Figura 1.19. Modelli di pneumatico che tengono conto del contatto non puntuale.
In tutti questi modelli il punto di contatto genera, assieme alla forza verticale, una reazione laterale
che si scarica sul mozzo della gomma; nel primo si ha contatto puntuale, nel secondo è presente una
ruota rigida che segue l’andamento del profilo stradale, nel terzo il battistrada è rappresentato da un
numero finito e fissato di elementi elastici e smorzanti, il quarto è costituito da un insieme di molle
disposte radialmente ognuna delle quali viene compressa/stirata localmente dal suolo.

Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 18
In generale l’uso di modelli a parametri concentrati è preferibile, in quanto consente una
semplificazione radicale del problema di caratterizzazione, e permette al contempo, per le basse
frequenze, una buona descrizione della dinamica verticale e radiale del pneumatico.
In accordo con Bakker e altri, risultati ottenuti sperimentalmente possono venire rappresentati in tre
modi:
1. rappresentazione con tabelle
2. rappresentazione con grafici
3. rappresentazione con formule.
La rappresentazione mediante modello a parametri concentrati può essere considerata una speciale
esposizione con formule, ma con l’ulteriore vantaggio di una significativa interpretazione e fisica
del sistema.
Spesso in passato si è assunto che il comportamento del pneumatico fosse lineare, cioè che i
parametri del modello adottato fossero invarianti. In questo caso tali parametri si possono ottenere
operando un FIT lineare dei risultati sperimentali di risposta dinamica. Tuttavia, conducendo una
più attenta analisi, si può affermare che generalmente, anche per le basse frequenze (fino a 50 Hz),
il comportamento della gomma non sia lineare, e che quindi i parametri modali caratteristici siano
funzione della frequenza e di altri parametri del pneumatico.
Avendo condotto le prove a pneumatico fermo, i parametri considerati influenti in questa sede sono
stati il precarico L dato al pneumatico, la frequenza ω, l’ampiezza Ain dell’eccitazione, la pressione
p di gonfiaggio, la temperatura di esercizio T.
Pur mantenendo un modello a parametri concentrati, i parametri identificativi vengono in tale caso
descritti non più da una funzione lineare, bensì da funzioni G e H polinomiali in più variabili:
⎧K
= G
⎨
⎩c
= H
( L,
ω,
Ain
, p,
T )
( L,
ω,
A , p,
T )
in
.

Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 19
Capitolo 2. Il pneumatico nella dinamica verticale della vettura da competizione
2.1 Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico
2.1.1 La ricerca delle massime prestazioni
Nella storia delle corse, per qualunque categoria di competizioni, si è assistito alla costante e
incessante ricerca delle massime prestazioni ottenibili, alla luce delle conoscenze tecniche e dei
metodi di analisi e di progettazione disponibili.
I fattori che determinano le prestazioni di un’auto da corsa non sono certo cambiati nel corso degli
anni; e non è mutata la passione e la forza che ha mosso e muove l’uomo verso la ricerca di limiti
sempre più spinti, e verso la comprensione totale dei fenomeni fisici, delle proprietà dei materiali,
delle tecnologie, che accompagnano l’ideazione e la progettazione di una vettura destinata alle
competizioni.
Sono molteplici e interdipendenti i fattori che rendono un’auto da corsa veloce e vincente; tuttavia,
volendo riassumere i concetti decisivi per ottenere le massime prestazioni su pista, si possono
fissare due principi fondamentali.
Per ottenere i risultati attesi da una vettura da competizione è necessario:
1. Disporre della massima velocità possibile alla fine dei rettilinei
2. Disporre di un’elevata velocità nei tratti curvilinei.
Questi due concetti sembrerebbero banali e quasi scontati, tuttavia essi rivestono grande importanza
nel processo di analisi dei fattori il cui miglioramento garantisce la progressione nelle prestazioni
dell’auto su un dato circuito.
Volendo analizzare da vicino tali fattori, la velocità in rettilineo è determinata da:
1.1 Potenza del motore
1.2 Resistenza (drag) all’avanzamento (rotolamento + aerodinamica)
1.3 Velocità massima di uscita dalla curva che precede il rettilineo.

La velocità in curva è invece determinata da:
Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 20
2.1 Aderenza (il grip in gergo) della vettura, data dalla combinazione pneumatico + asfalto e dal
carico verticale presente
2.2 Carico aerodinamico
2.3 Bilanciamento, o assetto, della vettura.
Una rappresentazione a blocchi riassuntiva dei concetti esposti, risulta significativa nella
comprensione dei principi che regolano le prestazioni di un auto da corsa e nei fattori decisivi per il
loro miglioramento.
Figura 2.1.1 Diagramma a blocchi dei fattori che definiscono le prestazioni di un’auto da corsa.

Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 21
Dal diagramma riportato si intende chiaramente come tali fattori si possano influenzare tra loro
(concetto di interdipendenza), e che spesso la macchina vincente è quella per cui si ha un ottimo
compromesso, nell’ipotesi che tutti i piloti siano veloci, tra carico aerodinamico e resistenza
all’avanzamento, tra bilanciamento della vettura e aderenza al suolo.
Se viene fissata la potenza massima fornita dal motore, la velocità in rettilineo risulta sensibilmente
influenzata dalla resistenza RA all’avanzamento, data dalla somma della resistenza al rotolamento
dei pneumatici RR e della resistenza aerodinamica RW:
R = R + R .
Se si trascura la portanza aerodinamica si può scrivere
in cui
m = massa totale della vettura
f0 = coefficiente di rotolamento a velocità nulla
K = coefficiente della resistenza al rotolamento
R
A
A
R
W
2 1 2
( f0
+ Kv ) + ρv
SC X
= mg
(2.1-1)
2
v = velocità di avanzamento (velocità dell’aria nulla)
ρ = densità dell’aria
S = superficie frontale della vettura
Cx = coefficiente di resistenza aerodinamica.
La resistenza di rotolamento è preponderante alle basse velocità, mentre la resistenza aerodinamica
diviene importante a velocità elevate, come quelle raggiunte nei rettilinei di un circuito. La (2.1-1) è
valida solamente fino alla velocità critica dei pneumatici, al di sopra della quale la resistenza al
rotolamento cresce tanto bruscamente da poter divenire anche maggiore della resistenza
aerodinamica. Nel progetto del pneumatico da competizione viene tenuto conto anche di questo.
La massima velocità ottenibile in rettilineo è funzione anche della velocità di uscita dalla curva che
lo precede, e qui entra in gioco in grande misura l’abilità e la sensibilità del pilota.

Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 22
La velocità di percorrenza in curva è uno dei fattori più delicati da ottimizzare nel progetto e nella
messa a punto di una vettura da competizione. Si è visto che essa è essenzialmente funzione, in
ordine crescente per importanza, della massima aderenza che i pneumatici possono garantire,
dell’assetto o bilanciamento della vettura, dell’abilità del pilota.
Si pensi di trascurare il fattore umano, che è nella maggior parte dei casi il fattore di gran lunga più
determinante.
La forza laterale FY di aderenza che un pneumatico può offrire nel moto curvilineo, nell’ipotesi di
angolo α di scorrimento costante e quindi di coefficiente di attrito µ costante, è esprimibile nella
semplice forma
Y
Z
( W F )
F = µ F = µ + (2.1-2)
in cui W è il peso della vettura che si scarica sul pneumatico e FA la componente verticale del carico
aerodinamico. Si può comprendere allora, almeno qualitativamente, come un aumento del carico
aerodinamico comporti questa volta un miglioramento delle prestazioni.
L’ultimo aspetto che caratterizza il comportamento e le prestazioni della vettura in curva è il suo
bilanciamento (o assetto o setup), che definisce la distribuzione e la ripartizione dei carichi.
È importante sottolineare a questo punto l’importanza del ruolo del pneumatico, unico tramite tra la
vettura e il terreno, nel diagramma a blocchi esposto: esso è presente praticamente in tutti i fattori
che determinano le prestazioni su pista.
Infatti è decisivo disporre di un’elevata potenza, e lo è altrettanto poterla scaricare senza perdita di
trazione; una bassa resistenza al rotolamento del pneumatico favorisce le velocità di punta, mentre
l’aderenza al suolo determina tutte le prestazioni nei tratti curvilinei. Essa è molto importante anche
nella frenata del veicolo. Il processo di usura inoltre che subisce la mescola del battistrada durante
la competizione è decisivo per il degradamento della performance su pista.
Nella scelta del bilanciamento da adottare e nella messa a punto della vettura, assume un ruolo
attivo anche la rigidezza verticale statica del pneumatico.
A

2.1.2 Il bilanciamento della vettura
Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 23
Per comprendere il concetto di bilanciamento, o assetto, della vettura, viene introdotto il modello
dinamico a due assi, di cui uno, in figura sia l’anteriore, sterzante (Figura 2.1.2 sotto).
Figura 2.1.2. Modello cinematico a due assi (modello bicicletta).
Con riferimento allo schema sopra riportato, le velocità Va e Vp del centro di ciascuna ruota
(anteriore e posteriore) siano contenute nel piano medio delle ruote stesse; la velocità del baricentro
G sia VG, diretta perpendicolarmente al raggio di curvatura R, considerato costante con centro in O.
Il baricentro dista la quantità a dall’asse anteriore, e b da quello posteriore, e sia L = a + b il passo
del veicolo. L’angolo δ compreso tra l’orientamento della ruota sterzante e la congiungente i due
centri ruota è definito angolo di sterzo, mentre β è l’angolo tra la direzione della velocità
baricentrica VG e la congiungente i due centri ruota.
Gli angoli αa e αp sono i cosiddetti angoli di deriva (o scorrimento o slip angle) dei pneumatici, e
sono compresi tra l’asse longitudinale del pneumatico e la sua direzione di moto.

Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 24
Come verrà esposto più avanti, essi permettono il meccanismo di aderenza e la comparsa di una
forza laterale in grado di tenere in strada la vettura in curva.
Con semplici considerazioni geometriche si può scrivere
e se αp e β sono piccoli:
Inoltre, essendo valida la
⎧β
→ 0
⎨ ⇒
⎩α
p → 0
b − Rsen
β
= tgα
p
Rcos
β
b
R
− β ≈ α ⇒ β ≈
a + Rsen
β
= tg
Rcos
β
p
( δ −α
)
nell’ipotesi che anche αa sia piccolo, si può scrivere che se
a
b
R
b
β → 0 a β ≈ −α
p
R
⇒ + β ≈ δ −α
a ⎯ ⎯⎯
α a → 0 R
⎧
⎨
⎩
(2.1-3)
−α
⎯ →
p
(2.1-5)
a
R
a b
⇒ δ ≈ + β ≈ −α
p + α a
R R
L
⇒ δ ≈ + ∆α
R
(2.1-6)
(2.1-4)
+ β ≈ δ −α
in cui ∆ α = α a −α
p è la differenza, maggiore, uguale o minore di zero, tra le derive anteriore e
posteriore.
Se si verifica la condizione
α = α
a
L
⇒ ∆α
= 0 ⇒ δ = . (2.1-7)
R
L’angolo δ trovato viene detto in questo particolare caso angolo di sterzo teorico, o angolo di sterzo
di Ackermann, e il moto del veicolo si definisce “sterzata cinematica” su una traiettoria curva,
determinata dal puro rotolamento delle ruote.
p
a

Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 25
Calcolato l’angolo di sterzo in funzione del passo del veicolo L, del raggio di istantanea curvatura
R, della differenza tra le due derive anteriore e posteriore, può essere definito il comportamento
stradale della vettura in funzione dell’angolo di sterzo δ. Per un data geometria della macchina e un
dato raggio di curvatura R, si possono avere tre distinte condizioni:
∆∆∆∆αααα = ααααa - ααααp ANGOLO δδδδ VETTURA
= 0 = L/R (teorico) NEUTRA
> 0 > L/R SOTTOSTERZANTE
< 0 < L/R SOVRASTERZANTE
Il comportamento della vettura in curva è stato così definito e classificato in funzione dei parametri
geometrici e teorici che descrivono la geometria e la direzione delle forze agenti nel moto
curvilineo del veicolo. Nella realtà si possono avere delle discrepanze più o meno marcate dal
modello comportamentale teorico, ed il carattere della vettura può essere in gran parte oggetto del
giudizio e delle sensazioni personali del pilota. Per questo non esiste un’univocità di giudizio nel
classificare una vettura sottosterzante o sovrasterzante.
Tuttavia esistono criteri, nel bilanciare la vettura, generalmente adottati dalla maggior parte dei
piloti, la cui tendenza è evitare un comportamento su strada estremo, che si tradurrebbe in una
perdita nelle prestazioni. I problemi legati al bilanciamento della macchina sono:
ECCESSIVO SOTTOSTERZO: La macchina fatica ad inserirsi in curva, il pilota è costretto ad
aumentare l’angolo di sterzo più del dovuto. Si perde la traiettoria ideale, le gomme si sporcano e
cala il grip disponibile, aumenta la tyre drag (resistenza all’avanzamento del pneumatico) a causa
dell’aumento dello scorrimento (angolo α), in uscita dalla curva il pilota non può spalancare
repentinamente il gas per non andare in testa-coda.
ECCESSIVO SOVRASTERZO: La macchina, nell’inserimento in curva, ha una spiccata tendenza
ad accentuare la sterzata più di quanto il pilota abbia impostato, perdendo il posteriore, soprattutto
alla fine di una brusca staccata, e costringendo ad una repentina correzione.

Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 26
Il sovrasterzo in uscita è un fenomeno presente invece anche per una macchina ben bilanciata nel
centro curva: aprendo bruscamente l’acceleratore in uscita di curva, ai pneumatici in trazione, già al
limite del grip laterale, viene richiesta una brusca tenuta longitudinale data dalla coppia motrice
applicatagli: il punto di lavoro delle gomme esce dall’ellisse d’attrito (mostrato in Figura 2.1.3) e la
macchina perde di aderenza.
Figura 2.1.3. Semi-ellisse d’attrito per un
pneumatico da competizione nella
sterzata verso destra. In ascissa è
riportata la forza laterale FY sviluppata,
in ordinate quella longitudinale, positiva
(trazione) o negativa (frenata).
In genere la macchina preferita è NEUTRA con leggero sottosterzo, pur rimanendo il bilanciamento
oggetto del giudizio e delle preferenze di ogni singolo pilota.
Vengono ora analizzati i fattori che definiscono e modificano il bilanciamento della vettura su
strada. Essi vengono riassunti in un diagramma a blocchi.

Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 27
Figura 2.1.4. Diagramma a blocchi dei fattori che influenzano il bilanciamento della vettura.
Il bilanciamento della vettura da competizione, che ne definisce il comportamento su strada, è
influenzato fondamentalmente da quattro fattori; in ordine decrescente si può elencare:
1. PILOTA.
La situazione in cui si trova la macchina a centro curva dipende da ciò che è successo dal punto di
massima velocità nel rettilineo precedente in poi, e cioè dalla guida e dalla traiettoria impostata dal
pilota, che agisce su sterzo, acceleratore, freni. Una stessa traiettoria può essere infatti percorsa con
differenti posizioni di questi comandi.
2. DISTRIBUZIONE DEI PESI.
Il rapporto
W a = (Peso sull’anteriore)/(Peso sul posteriore)
W
p

Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 28
risulta decisivo in quanto influenza il comportamento dei pneumatici. Infatti gli angoli di deriva αa
e αp dipendono dalle distanze a e b degli assali anteriore e posteriore dal baricentro.
Se ad esempio si avverte un eccessivo sottosterzo, per diminuire la quantità ∆α si può diminuire la
deriva anteriore e/o aumentare quella posteriore. E ciò è possibile diminuendo la distanza a
dell’asse anteriore dal baricentro e/o aumentando quella b dell’asse posteriore, e cambiando quindi
la distribuzione dei pesi e il rapporto
W a . Di seguito viene riportato l’andamento teorico
W
p
approssimato degli angoli di deriva dei pneumatici anteriore e posteriore, riferito al modello
bicicletta di Figura 2.1.2, per un angolo δ di sterzo fissato, R costante par a 12 metri, L = a + b =
2.678 metri e β fissato (si trascuri Cα), in funzione del rapporto b/L.
Angolo di deriva aa [deg]
6
5
4
3
2
1
0
alfa a
alfa p
d costante, b costante
R = 12 m.
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
b/L
Figura 2.1.5. Andamento di ααααa e ααααp in funzione del rapporto b/L.
Per un angolo di sterzo δ fissato ed un dato raggio di curvatura, all’aumentare del rapporto b/L si ha
l’aumento della deriva posteriore e la diminuzione di quella anteriore. Viene quindi incrementata la
tenuta sul pneumatico anteriore, in grado di offrire una maggiore forza laterale, e diminuita quella
sul posteriore, andando a correggere l’eccessivo sottosterzo. Per una migliore comprensione di

Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 29
questo concetto si rimanda al punto successivo, in cui si presentano nel dettaglio le caratteristiche di
tenuta del pneumatico da competizione.
3. CARICO VERTICALE SULL’ASSALE.
La forza laterale che un pneumatico da competizione caricato con una forza verticale FZ è in grado
di sviluppare, è funzione del suo angolo α di deriva, come mostrato in Figura 2.1.6.
Figura 2.1.6. diagramma di FY in funzione dell’angolo di deriva a carico fissato.
Per piccoli angoli di deriva si ha un comportamento lineare, e si può definire la cornering stiffness:
C
α
dFL
=
dα
che rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva di FY nell’origine. Per angoli di
scorrimento maggiori si ha una zona di transizione in cui si perde la linearità, che conduce fino al
punto di massima aderenza. Per un’ulteriore aumento di α si giunge alla condizione per cui tutta la

Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 30
zona di contatto del battistrada striscia sul suolo, le prestazioni subiscono un calo repentino e si
giunge velocemente alla mancanza di aderenza.
Il valore della rigidezza Cα è determinato della costruzione del pneumatico (in particolare dal
rapporto spalla/larghezza battistrada, molto basso per l’uso su pista), dalla pressione di gonfiaggio e
dal carico verticale FZ.
In Figura 2.1.7 (a) riportata sotto è evidenziato quest’ultimo aspetto, la dipendenza della cornering
stiffness dal carico verticale applicato alla gomma.
Figure 2.1.7. (a) Forza laterale in funzione dell’angolo di deriva per diversi carichi.
(b) Forza laterale normalizzata rispetto al carico in funzione di αααα per diversi carichi.
Si vede facilmente come Cα aumenti all’aumentare del carico verticale applicato, e come il picco
nella curva di FY in funzione di α trasli verso angoli di deriva maggiori. In Figura 2.1.7 (b) viene
invece riportato l’andamento del coefficiente d’attrito laterale che lega forza laterale e carico
verticale:
Lateral ⋅ force FY
µ =
= = Lateral Force Coefficient
Load ⋅on
⋅tyre
F
Z

Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 31
in funzione dell’angolo di deriva per tre differenti carichi verticali. Si assiste questa volta ad un
abbassamento del coefficiente d’attrito all’aumentare del carico, e tale effetto, molto importante
nelle competizioni, rappresenta la cosiddetta tyre load sensitivity.
Ora, tornando all’effetto del carico verticale sull’assale sul bilanciamento della vettura, si può
comprendere come, ragionando a FY necessaria fissata, la variazione del carico influisca sul valore
degli angoli di scorrimento. In particolare, a parità di forza laterale sviluppata, una maggiore Cα,
data da un maggiore carico sull’assale, permette al pneumatico un minore slip angle, mentre si ha
l’esatto opposto nel caso vi sia una diminuzione di carico verticale.
In questo modo viene modificato il bilanciamento della vettura, che è in stretta dipendenza con gli
angoli di deriva dei pneumatici anteriori e posteriori.
4. RIPARTIZIONE DEL MOMENTO DI ROLLIO.
Figura 2.1.8. Semplice modello della vettura per il calcolo della ripartizione del momento di rollio.

Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 32
La ripartizione del momento di rollio agente sulla vettura nel percorrere una traiettoria curvilinea è
l’ultimo fattore che influenza e definisce il bilanciamento su pista.
Si consideri a tale proposito il semplice modello di veicolo riportato in Figura 2.1.8, in cui viene
schematizzata la geometria della vettura sottoposta ad un momento totale di rollio MT lungo l’asse
longitudinale.
Il momento di rollio si genera nella percorrenza della curva poiché il baricentro della macchina è
posto ad una certa altezza d da terra, ed esso vale:
M T = mC
⋅ aY
⋅ d
in cui mC è la massa della vettura e aY l’accelerazione laterale baricentrica.
Si consideri ora lo schema semplificativo sotto riportato in Figura 2.1.9.
Figura 2.1.9. Schema semplificato della ripartizione dei momenti di rollio.
Il momento totale di rollio MT si ripartisce sugli assi anteriore e posteriore nei contributi MF e MR,
per cui si può scrivere:
M = M + M (2.1-8).
T
F
Gli angoli di rollio ϕ di ciascun assale possono inoltre essere espressi in funzione dei rispettivi
momenti dalle relazioni:
R

Definite le rigidezze di rollio
kF
kR
kT
asse anteriore
asse posteriore
Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 33
ϕ =
M
F
F k F
ϕ =
M
.
R
R k R
Figura 2.1.10. Ripartizione del momenti totale di rollio.
rigidezza del telaio dall’asse anteriore all’asse posteriore,
la relazione che lega le rotazioni sugli assi è
b
L
1 M R 1 M F
ϕ F = ϕ R + ∫ dx − ∫ dx (2.1-9).
L k L k
0
T
Assumendo ora che MF/R e kT siano delle costanti nel dominio di integrazione, la (2.1-9) diviene
dove
M b M L − b M
= + − = ϕ +
b
R
F
R F
ϕ F ϕ R
R
(2.1-10)
kT
L kT
L kTR
kTF
k
L
L − b
T
L
b
M
−
TF = kT
k TR = kT
sono le rigidezze torsionali della vettura all’avantreno e sul posteriore.
Ricordando che vale ϕ = M/k, la relazione che intercorre tra gli angoli di rollio anteriore e
posteriore e la rigidezza torsionale globale, (2.1-10), fornisce:

ovvero
in cui
M
1
*
F
k
Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 34
F
⎛ 1 1
⎜ +
⎝ k F k
F
*
F
TF
⎞ ⎛ 1 1 ⎞
⎟ = M R ⎜ + ⎟
⎠ ⎝ k R kTR
⎠
M M
= (2.1-11)
k k
1 1
= +
k k
rappresentano delle rigidezze equivalenti.
F
TF
R
*
R
1
*
R
k
1
=
k
R
1
+
k
Sostituendo la (2.1-11) nell’equazione (2.1-8) dell’equilibrio dei momenti si trova in definitiva:
k
*
*
M F
F
= M
* * T
k F + k R
M R
R
M
* * T
k F + k R
TR
k
= .
Volendo ora considerare anche il contributo dei pneumatici alla rigidezza torsionale, le espressioni
di
*
k F e
*
k R divengono:
1
1
=
k
1
+
k
+
k
1
*
k F F TF F , TIRE
1
1 1 1
= + + ,
k k k
*
k R R TR R,
TIRE
espressioni in cui compaiono le rigidezze torsionali statiche dei pneumatici anteriori e posteriori,
k F , TIRE e k R,
TIRE
. È molto importante evidenziare il fatto che tra tutte le rigidezze presenti nelle
espressioni sopra riportate, quella del pneumatico è nettamente la minore.
Ciò significa che, nella serie delle rigidezze, la più cedevole è quella della gomma, ed è quindi
quella che maggiormente influenza il valore della rigidezza torsionale equivalente. Anche piccole
variazioni nella rigidezza verticale statica del pneumatico, causate da sbalzi di temperatura o
variazioni nella pressione di gonfiaggio o nell’angolo di camber, vengono in definitiva avvertite
dalla rigidezza globale, e, più globalmente, dal bilanciamento della vettura.
La ripartizione del momento totale di rollio tra anteriore e posteriore può infatti influire il
bilanciamento globale; per comprenderlo si definisca, con riferimento questa volta al modello
cinematico di veicolo a quattro ruote, un angolo di deriva dell’assale, dato in prima

Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 35
approssimazione dalla media delle derive della ruota interna alla curva (αint) e di quella esterna
(αext), le quali sono necessariamente diverse in quanto esse vengono sollecitate da carichi diversi:
α
ASSALE
αint
+ α ext = (2.1-12).
2
Figura 2.1.11. Influenza del momento di rollio sulla deriva dell’assale.
Facendo riferimento alla Figura 2.1.11 sopra riportata, si supponga che l’assale (anteriore o
posteriore), sia sollecitato da un certo momento di rollio MR1. Sia F * Y la forza laterale richiesta ai
pneumatici per tenere in strada il veicolo; la ruota interna alla curva, meno caricata, risponde con la
caratteristica di figura e il pneumatico ha deriva αint, quella esterna, con maggior carico, ha deriva
αext. La caratteristica dell’assale, data in qualche modo dalla somma delle caratteristiche delle due
ruote che lo costituiscono, interseca quindi la F * Y nel punto di lavoro, che individua una certa deriva
αASSALE.
Si supponga ora che avvenga una diversa ripartizione del momento di rollio totale tra i due assali, in
modo che sull’assale in esame si ritrovi un momento di rollio MR2 < MR1.

Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 36
È dimostrabile che l’angolo di deriva dell’assale diminuisce, ovvero che la curva caratteristica (FY,
α) aumenta la sua pendenza (curva in rosso di Figura 2.1.11)). Traslando il punto di lavoro, cambia
quindi la quantità nella (2.1-12), la differenza tra le derive dei due assali, e in definitiva il
bilanciamento della vettura.
Se ad esempio il pilota avverte eccessivo sottosterzo, se la temperatura delle gomme è quella di
esercizio, sarà necessario ripartire il momento di rollio in modo da alleggerire l’avantreno
abbassando MF; ed è possibile ottenere tale effetto montando barre antirollio più morbide
sull’anteriore, abbassando la pressione delle gomme anteriori in modo da abbassarne la rigidezza, o
effettuando le regolazioni opposte al retrotreno.
Si è dimostrato quindi con una serie di passaggi come la rigidezza verticale statica del pneumatico
influenzi il comportamento su pista della vettura attraverso il suo bilanciamento.
La rigidezza del pneumatico è un parametro che riveste grande importanza anche nella fase di
progetto della vettura.
Viene ora riportato un esempio pratico del calcolo della ripartizione tra anteriore e posteriore del
momento totale di rollio. In particolare si mette in evidenza il parametro rigidezza verticale dei
pneumatici e la sua notevole influenza sulla rigidezza torsionale dell’assale.
I dati indicati sono molto vicini a quelli relativi ad una vettura Dallara FORMULA 3:
Esempio
Rigidezza torsionale asse anteriore (da misura sperimentale)
kF = rigidezza barra antirollio + rigidezza molle ammortizzatori + rigidezza bracci sospensioni +
cedimenti attacchi = 12750 [N/deg]
Rigidezza torsionale asse posteriore (da misura sperimentale)
kR = 7060 [N/deg]
Rigidezza torsionale telaio F3 (da misura sperimentale)
kT = 31300 [N/deg]

Ripartizione pesi
b/L = 0.42 (42 % sull’anteriore, 58% sul posteriore)
Ripartizione rigidezza torsionale telaio
kTF = 31300/(1-0.42) = 53965 [N/deg]
kTR = 31300/0.42 = 74523 [N/deg]
Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 37
Per il calcolo della rigidezza torsionale dei pneumatici anteriori e posteriori si può procedere
considerando lo schema dell’assale sollecitato dal momento di rollio M riportato sotto:
Figura 2.1.12. Schema di assale per il calcolo del contributo alla rigidezza torsionale dei pneumatici.
Sia ∆z lo spostamento dei due mozzi delle ruote (si considera infinita la rigidezza dell’assale), e ψ
la rotazione di rollio dell’assale; schematizzando il pneumatico come una molla, la forza che è in
grado di opporre vale
FTYRE = kV
, TYRE ⋅ ∆z
in cui kV,TYRE è la rigidezza verticale statica del pneumatico, ed il corrispondente momento di rollio
di reazione vale
Per piccoli angoli ψ si può scrivere
in cui t è la carreggiata dell’assale.
t t
M = FDX
⋅ + FSX
= F ⋅t.
2 2
∆z
≅
t
2
ψ
La rigidezza torsionale equivalente cercata vale quindi

M k
= =
ψ
Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 38
⋅∆z
⋅t
2∆z
t
1
2
V , TYRE
kT , TYRE
= kV
, TYRE
⋅t
2
(2.1-13).
Tornando al calcolo della ripartizione del momento di rollio dell’esempio, assumendo
t = 1500 [mm] kV,TYRE ant = 17 [kg/mm] = 166770 [N/m]
si ottengono le rigidezze torsionali dei pneumatici:
Le rigidezze torsionali equivalenti valgono quindi
kV,TYRE post = 18 [kg/mm] = 176580 [N/m]
kT,TYRE ant = 3273 [N/deg]
kT,TYRE post = 3465 [N/deg].
* ⎛ 1 1 1 ⎞
kF = ⎜ + + ⎟ = 2484 [N/deg]
⎝12750
53965 3273 ⎠
* ⎛ 1 1 1 ⎞
kR = ⎜ + + ⎟ = 2254 [N/deg]
⎝ 7060 74523 3465 ⎠
e la ripartizione del momento di rollio cercata vale
M
M
F
T
*
k F = *
k + k
F
*
R
−1
−1
2484
=
= 52.4 %
2484 + 2254
M R M F = 1− = 47.6 %.
M M
T
Tale ripartizione del momento tra anteriore (52.4 %) e posteriore (47.6 %) implica determinati
angoli di deriva e quindi un determinato bilanciamento della vettura in curva.
Supponiamo ora che il pilota lamenti un eccessivo sovrasterzo; ciò significa che va ridotta la deriva
dell’assale posteriore e/o aumentata quella dell’anteriore. L’ingegnere di pista decide allora di
intervenire sui pneumatici anteriori innalzando la loro pressione di gonfiaggio in modo da portare il
valore di rigidezza verticale statica da 17 a 17.6 [kg/mm].
Il contributo alla rigidezza torsionale dell’assale anteriore da parte dei pneumatici passa allora da
3273 a 3390 [N/deg], e la nuova rigidezza torsionale varrà:
T

Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 39
* ⎛ 1 1 1 ⎞
kF = ⎜ + + ⎟ = 2552 [N/deg].
⎝12750
53965 3390 ⎠
La ripartizione del momento di rollio assumerà i nuovi valori
M
M
F
T
*
k F = *
k + k
F
*
R
−1
2552
=
= 53.1 %
2552 + 2254
M R M F = 1− = 46.9 %.
M M
T
Una lieve variazione della rigidezza dei pneumatici anteriori ha decisamente modificato la
ripartizione tra i due assali, alleggerendo il posteriore e caricando l’anteriore.
L’assale posteriore risponderà con un valore di αASSALE minore, andando ad incrementare il valore di
∆α. La regolazione effettuata si è dimostrata efficace.
Di seguito viene riportato l’andamento della ripartizione del momento di rollio inerente all’esempio
considerato, in cui si agisce sulla pressione di gonfiaggio dei pneumatici anteriori per modificare il
bilanciamento del veicolo. Si può vedere come irrigidendo i pneumatici in seguito a gonfiaggio a
pressione maggiore, si ripartisca significativamente il momento di rollio sull’assale anteriore.
% Momento sull'assale
60
55
50
45
40
35
Ripartizione Momento di Rollio
Mf/Mt
Mr/Mt
30
0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9
Figura 2.1.13. Andamento della ripartizione del momenti di rollio per l’esempio considerato.
T
Pressione pneumatico anteriore [bar]

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 40
2.2 Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico
2.2.1 Introduzione: il problema acustico-vibrazionale
Il comfort acustico e vibrazionale rappresenta in genere uno degli aspetti principali della qualità di
un veicolo, in quanto riguarda la capacità di isolare i passeggeri dalle vibrazioni e dal rumore che si
generano durante la marcia su strada. Migliorare il comfort vibrazionale significa quindi ridurre le
vibrazioni e il rumore trasmessi ai passeggeri e da essi percepiti.
Lo studio del comfort acustico e vibrazionale si occupa di analizzare le forzanti che causano le
vibrazioni, la dinamica vibrazionale del veicolo, la sua risposta a tali sollecitazioni, e la risposta
dell’uomo alle vibrazioni, secondo quanto riportato dal diagramma sotto.
Figura 2.2.1. Diagramma dello studio alle vibrazioni del veicolo.
I disturbi acustico-vibrazionali del veicolo vengono solitamente suddivisi in quattro categorie.
• Ride: vibrazioni di bassa frequenza (fino a 5 Hz) del corpo vettura come corpo rigido
• Shake (scuotimento): vibrazioni di media frequenza (5÷25 Hz) del corpo vettura come corpo
flessibile
• Harshness (ruvidezza): vibrazioni di più alta frequenza (25÷100 Hz) della struttura e/o dei
componenti, percepite come sensazioni tattili e/o acustiche

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 41
• Noise (rumore): tutti i fenomeni vibro-acustici del veicolo al di sopra dei 100 Hz, percepiti
quasi esclusivamente dall’udito.
Figura 2.2.2. Disturbi acustico-vibrazionali della vettura.
Nell’ambito delle competizioni l’aspetto comfort vibrazionale o acustico viene perlopiù trascurato;
l’attenzione è focalizzata sulla risposta dinamica del veicolo non tanto per valutare quali
sollecitazioni il pilota deve subire, quanto per analizzare la tenuta di strada della vettura e le forze
che si scambia con il terreno attraverso i pneumatici. Questo principalmente è il ruolo del
pneumatico, il quale funzionalmente deve garantire una bassa trasmissibilità al telaio delle
sollecitazioni esterne per evitare oscillazioni eccessive, e mantenere costante l’assetto.
Ciò ha una duplice importanza: da una parte tende a non variare la configurazione aerodinamica
studiata in galleria del vento, dall’altra ha il compito di mantenere il più costante possibile il valore
della forza di contatto a terra, di grande rilevanza nella conduzione del veicolo.
2.2.2 Le forzanti
Le forzanti che agiscono sulla vettura rappresentano la causa di vibrazioni e rumori; tutte le
tipologie di forzanti, riassunte nello schema di Figura 2.2.1, vedono il coinvolgimento diretto o
indiretto del pneumatico in quanto unico elemento interposto tra il veicolo e la strada.
FORZANTI DOVUTE ALLA STRADA
Sono le forze scambiate con il terreno attraverso i pneumatici, dovute alle irregolarità della
superficie stradale, le quali in genere sono di tipo random. È possibile tuttavia operare una
classificazione delle irregolarità stradali:

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 42
• Lunghe ondulazioni: variazioni altimetriche del profilo stradale aventi lunghezza d’onda non
inferiore al passo del veicolo. Il profilo varia in modo progressivo e in genere simmetrico
(uguale profilo tra lato destro e lato sinistro).
• Asperità: variazioni altimetriche isolate del profilo stradale aventi dimensioni longitudinali
confrontabili con il raggio delle ruote. Il profilo varia in modo brusco e spesso non simmetrico.
Sono dovute a giunzioni, riporti o danneggiamenti del manto stradale. L’asperità tipica della
vettura da competizione in pista è il cordolo, il cui profilo dipende dalla traiettoria impostata dal
pilota. Si raggiungono altezze dell’ordine di 60 mm, e vengono generate bruscamente forze
verticali, longitudinali e trasversali.
• Sconnesso: variazioni continue del profilo stradale aventi dimensioni inferiori alla lunghezza
dell’orma di contatto pneumatico-terreno. Il profilo varia in modo brusco e casuale, anche se si
possono presentare delle regolarità. Sono dovute a danneggiamenti superficiali del manto di
asfalto o alla presenza di superfici non asfaltate.
Gli spettri dei vari profili stradali variano, ma presentano in media un andamento simile. Per
questo motivo sono stati introdotti modelli matematici che descrivono l’andamento medio dello
spettro stradale utilizzando un numero ristretto di
parametri. Ad esempio la PSD (contenuto
energetico) del profilo stradale può essere descritto
con buona approssimazione (vedi Figura 2.2.3 a
lato) dalla funzione
G
( )
υ 0
= C υ
−n
con ν = wavenumber [cicli/m] oppure
G
( υ)
⎛υ
0 ⎞
1+
⎜ ⎟
υ
= G
⎝ ⎠
0
( ) n
2πυ
con n e C0 costanti opportune.
n

FORZANTI DOVUTE AL ROTOLAMENTO
Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 43
Sono forze e momenti generati dalla presenza di non uniformità del gruppo ruota (pneumatico +
cerchio-ruota + mozzo + freno) variabili periodicamente nel tempo (armoniche multiplo del giro
ruota).
Le non uniformità sono dovute principalmente a squilibri di massa, irregolarità geometriche anche
lievi e irregolarità nella distribuzione di rigidezza.
Figura 2.2.4. Modi di vibrare del pneumatico causa la presenza di irregolarità.
Un’irregolarità geometrica causa di un’imperfetta cilindricità del pneumatico e del cerchione, può
provocare ad esempio la vibrazione nel piano longitudinale del pneumatico, come mostrato in
Figura 2.2.4.
Figura 2.2.5. Variazione della forza radiale nel pneumatico causa la presenza di irregolarità.

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 44
L’effetto di tale eccentricità è sostanzialmente l’insorgere di forze verticali (Figura 2.2.5) la cui
ampiezza dipende dalla rigidezza dinamica del pneumatico, longitudinali e trasversali. Per tutte la
frequenza è quella corrispondente alla rotazione della ruota più le varie armoniche.
Il pneumatico in sé è inoltre un elemento strutturale dotato di dinamiche proprie evidenti già a
media frequenza (a partire da 40÷50 Hz in direzione laterale e longitudinale). In Figura 2.2.6 viene
riportata, a titolo di esempio, un possibile andamento in frequenza della rigidezza verticale del
pneumatico, con un picco marcato alla frequenza di risonanza della struttura in senso verticale e le
tipiche oscillazioni di minore entità dovute alle varie armoniche.
Figura 2.2.6. Esempio di rigidezza verticale dinamica del pneumatico.
FORZANTI DOVUTE AL PROPULSORE
Le forzanti dovute al propulsore sono rappresentate da coppie e forze generate per effetto della
combustione nei cilindri e del moto alternativo del manovellismo.
La frequenza delle varie armoniche della velocità di rotazione del motore si ottiene tramite la
semplice relazione
RPM
f n = n
60
in cui n è l’armonica di interesse e RPM i giri dell’albero motore al minuto.

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 45
Il campo di frequenza delle armoniche del II ordine, le più importanti nei motori 4 cilindri 4 tempi,
è compreso tra 25÷30 Hz con motore al minimo e 200÷250 Hz al regime di massima rotazione.
FORZANTI DOVUTE ALL’AERODINAMICA
È noto che il distacco di vortici dalle superfici lambite dall’aria può provocare forti vibrazioni nelle
strutture, soprattutto nelle appendici aerodinamiche. Inoltre le oscillazioni delle superfici dovute ad
altri tipi di input possono combinarsi con il vento incidente dando origine ad oscillazioni
autoeccitate (flutter).
Su vetture da competizione sono stati messi in evidenza fenomeni vibratori caratterizzati da
oscillazioni scarsamente smorzate probabilmente legate all’interazione dei moti di cassa con il
vento incidente, come mostrato nella figura di seguito.
Figura 2.2.7. Oscillazioni del carico aerodinamico posteriore per una vettura da competizione.
2.2.3 Risposta dinamica del veicolo
Le varie forze dinamiche a cui è soggetta la vettura durante la marcia su strada produrrebbero
accelerazioni e sollecitazioni insopportabili per i passeggeri e la struttura se agissero direttamente
sulla cassa del veicolo senza alcun tipo di attenuazione. A questo scopo sono previste le
sospensioni, cioè dei sistemi elastici e smorzanti che isolano il telaio dalle principali fonti di
eccitazione.

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 46
Le sospensioni, tramite i bracci che collegano le ruote alla cassa, devono
• sopportare i carichi sviluppati nel contatto ruota-terreno
• assicurare precisi movimenti relativi ruota-telaio per sfruttare in modo ottimale l’aderenza
ruota-terreno e per evitare un’usura prematura dei pneumatici.
Per l’isolamento delle vibrazioni le vetture da competizione sono dotate di elementi elastici (molle,
barre di torsione, pneumatici) che fungono da isolanti veri e propri, e di elementi smorzanti
(ammortizzatori) che hanno lo scopo di limitare le escursioni dinamiche che si creano per la
presenza delle elasticità.
Mentre il comportamento delle molle e delle barre antirollio è perfettamente lineare nella curva
forza-deformazione, gli ammortizzatori, di cui viene riportato uno schema costruttivo in Figura
2.2.8, sono caratterizzati da una specifica curva di risposta forza-velocità di applicazione del carico.
Figura 2.2.8. Ammortizzatore mono e bi-tubo.
In figura viene riportata la costruzione degli
ammortizzatori mono e doppio-tubo, che
differiscono per il numero di camere e di
valvole a disposizione dell’olio; nel doppio-
tubo si ha una camera per i grandi movimenti
(interna) ed una per i piccoli movimenti
(esterna), e si riesce ad ottenere una
maggiore precisione nella risposta.
Ogni tipo di ammortizzatore viene scelto in
base alla sua caratteristica; in Figura 2.2.9 si
riporta una curva forza-velocità BR per un
ammortizzatore KONI del tipo B1R1 impiegato nella vettura Dallara da FORMULA 3.
Tale curva è stata ottenuta sperimentalmente su apposito banco di prova per ammortizzatori. Nella
caratterizzazione degli ammortizzatori vengono solitamente riportate due curve sullo stesso

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 47
diagramma, una relativa alla risposta di schiacciamento (bound), l’altra a quella di stiramento
(rebound); i segni della forza che l’ammortizzatore oppone sono necessariamente opposti.
Forza [N]
Figura 2.2.9. Caratteristica di un ammortizzatore KONI per FORMULA 3.
Volendo esprimere con c il coefficiente di smorzamento dell’ammortizzatore, sarà
FB,
R
c = [Ns/m]
v
in cui FB,R è la forza di bound o rebound e v la sua velocità di applicazione.
Poiché i dati ottenuti dalle prove sperimentali sono interpolabili molto bene con una curva di
secondo grado nella forma
2
FB , R = c1B,
Rv
+ c2B
, Rv
+ K
il coefficiente di smorzamento c si può considerare come somma di due termini di smorzamento,
c1B,R proporzionale al quadrato della velocità, c2B,R lineare con la velocità.
La sospensione filtra le vibrazioni assorbendo arte dell’energia immessa dalla sorgente sotto forma
di energia elastica, energia cinetica delle masse non sospese (ruote + parte delle sospensioni stesse)
ed energia termica.
1000
750
500
250
0
-250
-500
-750
-1000
BOUND
F = -0,0009v 2 + 2,8973v
0 50 100 150 200 250 300 350
REBOUND
F = 0,0013v 2 - 3,0656v
Velocità [mm/s]

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 48
Tale effetto si verifica su vibrazioni di a frequenza superiore alla prima frequenza propria di corpo
rigido della massa sospesa (corpo della vettura). In termini molto semplificati e qualitativi si può
affermare che la risposta del veicolo (output) prodotta da una data eccitazione (input) sia espressa
dalla relazione:
Eccitazione x Trasmissibilità della sospensione = Risposta.
Figura 2.2.10. Spettro di profilo stradale (input), trasmissibilità del veicolo, risposta (output).
Nel caso illustrato, relativo ad una eccitazione di tipo random, lo spettro della risposta è
qualitativamente simile alla trasmissibilità del veicolo.
Per comprendere meglio l’azione di isolamento dalle vibrazioni è possibile fare riferimento a
modelli interpretativi molto semplificati della dinamica verticale del veicolo.
L’espressione della trasmissibilità per il sistema ad un grado di libertà di Figura 2.2.11 vale
in cui
x = movimento della base
Y
X
0
0
=
⎛ ω ⎞
1+
⎜
⎜2ζ
⎟
⎝ ω n ⎠
2 ⎡ ⎛ ω ⎞ ⎤
⎢1−
⎜
⎟ ⎥
⎢⎣
⎝ω
n ⎠ ⎥⎦
2
2
⎛ ω ⎞
+ ⎜ 2ζ
⎟
⎝ ω n ⎠
2
(2.2-1)

y = movimento della massa sospesa
m = massa sospesa
K = rigidezza della molla
c = smorzamento della sospensione
ω = 2πf = pulsazione del sistema
K
ω n = = pulsazione naturale o di risonanza
m
Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 49
c
ζ = = coefficiente di smorzamento. Figura 2.2.11. Modello di sospensione a 1 g.l.
2 Km
Un grafico della trasmissibilità in funzione della frequenza al variare del parametro adimensionale ζ
viene riportato di seguito; è importante sottolineare il fatto che valori più alti del coefficiente di
smorzamento riducono l’ampiezza del picco alla frequenza di risonanza, ma garantiscono meno
attenuazione alle alte frequenze.
Figura 2.2.12. Trasmissibilità per il modello a 1 g.l. a diversi ζζζζ.
Progettare l’isolamento dalle vibrazioni significa quindi posizionare correttamente le frequenze
proprie, specialmente la prima, ed assicurare uno smorzamento sufficiente ad impedire livelli

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 50
eccessivi di vibrazione in condizione di risonanza (condizione in cui l’eccitazione ha frequenza
uguale a quella propria della massa sospesa).
Considerazioni analoghe si possono fare per la funzione di trasferimento carico a terra/input di
spostamento. Si nota in questo caso che lo smorzamento controlla l’ampiezza di forza in condizioni
di risonanza ma aumenta notevolmente i livelli di forza in alta frequenza.
L’evoluzione del modello a 1 grado di libertà di Figura 2.2.11 per lo studio della dinamica verticale
del veicolo, è rappresentata dal modello De Carbon a due gradi di libertà detto modello del quarto
di macchina.
Il modello schematizza una massa sospesa
M connessa tramite la sospensione di
rigidezza KS e smorzamento cS alla massa
non sospesa m dell’asse. In prima
approssimazione il pneumatico viene
rappresentato solo dalla sua rigidezza
dinamica Kt.
Figura 2.2.13. Modello De Carbon. La rigidezza equivalente delle due rigidezze
in serie è il cosiddetto parametro “ride rate”, determinato dalla relazione
R
K
K
S t
R = .
K S + Kt
In assenza di smorzamento cS la frequenza naturale di risonanza di ciascun quarto di macchina è
facilmente determinabile dall’espressione
ω n =
mentre considerando lo smorzamento della sospensione la frequenza naturale smorzata (damped) è,
in analogia al modello ad 1 grado di libertà,
RR M
2
ω d = ω n 1− ζ .

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 51
Le grandezze che generalmente interessano sono lo spostamento della massa sospesa rispetto
all’input stradale, e la forza scambiata con la sospensione e tra il terreno e il pneumatico.
Alcune curve qualitative di risposta in frequenza del modello a due gradi di libertà vengono
proposte in Figura 2.2.14.
Figura 2.2.14. Trasmissibilità alla massa sospesa per il modello a 2 g.l. per diversi ζζζζ.
È evidente come lo smorzamento della sospensione vada ad attenuare notevolmente il picco di
risonanza della massa sospesa, mentre rimane quasi invariata l’ampiezza della risonanza delle ruote,
e il guadagno del sistema addirittura aumenta nelle frequenze comprese tra le due risonanze.
Scrivendo e manipolando le equazioni differenziali del moto per tale sistema, si possono esaminare
le vibrazioni prodotte sulla massa sospesa a causa delle forzanti della strada, del rotolamento o di
forze esterne, come quelle di natura aerodinamica. La risposta del sistema ad ogni tipo di forzante
sarà funzione della frequenza (vedi Figura 2.2.15 pagina seguente).
Per le forzanti date dal profilo stradale il guadagno è il rapporto tra i parametri del moto della massa
sospesa (accelerazione, velocità o spostamento) e l’equivalente (Zr) del manto stradale; in figura è
rappresentato l’andamento del rapporto
dell’eccitazione.
Ż
̇
tra le accelerazioni al variare della frequenza
Ż
̇
r

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 52
Figura 2.2.15. Risposta del modello a forzanti stradali, di rotolamento ed esterne.
Alle bassissime frequenze il guadagno è unitario, cioè la massa sospesa si muove seguendo il
profilo stradale. Alla frequenza di 1 Hz si ha la risonanza, dove l’input stradale viene amplificato, di
un fattore che risente molto del coefficiente di smorzamento della sospensione. Dopo la risonanza le
sconnessioni e le vibrazioni stradali vengono sempre più attenuate, e un lievissimo picco si
riconosce a 10÷12 Hz a causa della risonanza della massa non sospesa.
La risposta del sistema a forzanti derivate dal rotolamento del pneumatico vede come input la forza
d’eccitazione della ruota FW, come output l’accelerazione della massa sospesa moltiplicata per la
massa stessa per avere il rapporto adimensionale
Ż ̇ ⋅ M
. Tale rapporto vale zero per la frequenza
F
nulla, cresce e mostra un picco alla frequenza di risonanza e raggiunge il massimo alla frequenza di
risonanza della ruota, attorno ai 10 Hz. A questa frequenza il guadagno è unitario: la forza prodotta
dalla non uniformità della ruota viene interamente trasmessa alla cassa del veicolo.
La risposta della massa sospesa a forzanti esterne FB può essere espressa ancora con il rapporto
Ż ̇ ⋅ M
adimensionale ; la risposta in questo caso è simile, ma mostra una maggiore influenza della
F
B
risonanza della massa sospesa. Alle alte frequenze il guadagno approssima l’unità in quanto gli
spostamenti diventano così piccoli che la forza trasmessa dalla sospensione non cambia e la forza
W

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 53
viene dissipata come accelerazione della massa M. Di conseguenza, almeno virtualmente, tutte le
forze esterne agenti sul corpo del veicolo contribuiscono allo smorzamento delle vibrazioni.
2.2.4 Ruolo della massa non sospesa e del pneumatico nella vettura da competizione
Dopo il corpo del veicolo, la massa degli assali, di parte delle sospensioni e delle ruote costituisce la
seconda grande massa in grado di generare risonanza come corpo rigido. Ogni ruota possiede una
frequenza di risonanza che può venire eccitata dalle forzanti del suolo stradale o dalle vibrazioni
presenti sul veicolo, e in corrispondenza di tale frequenza le accelerazioni e le forze trasmesse al
veicolo vengono amplificate, o, più precisamente, non vengono filtrate.
La frequenza di risonanza della massa non sospesa è maggiore di quella del corpo del veicolo, ed
una sua valutazione di massima può essere effettuata mediante la relazione:
Kt + K S
ω a = .
m
Il modello De Carbon di quarto di macchina può essere impiegato per indagare qualitativamente
l’influenza della massa non sospesa sulla trasmissibilità al corpo del veicolo delle asperità stradali;
in Figura 2.2.16 vengono diagrammati diversi andamenti del rapporto Z/Zr al variare del valore
della massa non sospesa: quello nominale (Typical, circa il 10 % del totale), due volte il nominale
(Heavy) e metà del valore indicativo (Light).
Figura 2.2.16. Effetto della massa non sospesa sull’isolamento delle vibrazioni.

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 54
L’incidenza della massa non sospesa sulla risonanza principale del corpo della vettura è pressoché
nulla, mentre essa sposta la seconda risonanza verso frequenze minori o maggiori a seconda del
maggiore o minore peso rispettivamente.
In particolare un aumento della massa non sospesa amplifica la risposta del sistema, andando a
peggiorare le qualità di conduzione del veicolo, mentre una massa minore oltre ad abbassare la
trasmissibilità alle medie frequenze, genera la risonanza ad una frequenza più alta e quindi
maggiormente controllabile e filtrabile.
Nella dinamica verticale del veicolo da competizione riveste grande importanza la scelta del gruppo
ammortizzatore della sospensione. L’elevata rigidezza delle molle e dei pneumatici, unita al valore
molto contenuto della massa sospesa e non sospesa, fanno si che tutte le frequenze di risonanza
analizzate traslino vero valori più elevati. Anche le frequenze di eccitazione sono maggiori, a causa
delle maggiori velocità raggiunte.
Le molle vengono dimensionate in base alla rigidezza di cui necessità l’assetto della vettura; più
delicata è la scelta dello smorzamento. Nelle auto per passeggeri lo smorzamento viene ottimizzato
in vista del comfort, valutato in base all’accelerazione subita dai passeggeri stessi. Un compromesso
viene raggiunto per evitare un’eccessiva trasmissibilità nella frequenza di risonanza e per le alte
frequenze. Un coefficiente di smorzamento ζ pari a 0.25 rappresenta ad esempio un buon
compromesso tra le due esigenze.
Per una vettura da competizione il coefficiente di smorzamento deve essere considerevolmente più
alto, per limitare movimenti eccessivi del veicolo ed avere un buon controllo su pista. Questo va
bene per le basse frequenze, ma alle alte frequenze un elevato coefficiente ζ implica uno
smorzamento più basso, attenuando in minore misura le oscillazioni della massa non sospesa e in
contrasto con l’esigenza di mantenere le ruote incollate a terra.
Si è visto che la trasmissibilità della massa non sospesa viene definita dal rapporto
Z u ; se tale
rapporto vale 1 il movimento ruota uguaglia il profilo altimetrico della strada, e la forza scambiata
Z
r

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 55
tra pneumatico e suolo è semplicemente il carico statico. Se invece assume valori elevati, la massa
non sospesa trasmette delle forze al corpo del veicolo, e la forza di contatto con il terreno si riduce.
Quindi una misura della tenuta di strada della vettura si può rifare alla trasmissibilità della massa
non sospesa; in riferimento al modello dinamico del quarto di macchina si definisce il parametro di
oscillazione del carico (load fluctuation rate) come
Kt
R =
( M + m)
in cui in cui σ = valore quadratico medio di Zu – Zr.
In modo analogo si può definire il parametro P che individua l’accelerazione media del corpo della
vettura e, tenendo conto della sensibilità dell’uomo, fornisce una misura della bontà della guida.
In Figura 2.2.17 vengono diagrammati gli andamenti di P e R adimensionalizzati in funzione del
g
× σ
coefficiente di smorzamento ζ per una vettura da competizione.
Figura 2.2.17. Andamenti dei parametri P e R in funzione di ζζζζ.
Come previsto un buon coefficiente di smorzamento per la tenuta di strada si aggira attorno al
valore di 0.45, mentre per avere una bassa trasmissibilità al pilota ζ deve assumere valori
decisamente più bassi, attorno a 0.15. È interessante notare inoltre che il range di optimum per la

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 56
tenuta è decisamente più esteso di quello di ottimizzazione della guida in termini di sollecitazioni
trasmesse al pilota.
Un ulteriore modo di definire la tenuta di strada per il veicolo da competizione è quello di
considerare in percentuale il contatto battistrada-terreno e la fluttuazione di carico sul pneumatico.
Lo schema di lato mostra il calcolo del
parametro η di contatto, definito come la
percentuale della distanza coperta mantenendo il
contatto con il terreno (T-ΣTi) sul totale.
La fluttuazione di carico è invece inteso come il
rapporto tra il valore efficace dell’oscillazione
Figura 2.2.18. Definizione di ηηηη. del carico sul pneumatico e il carico stesso.
Valori di η e di oscillazione del carico sono stati sviluppati nell’ambito della simulazione della
dinamica della vettura e delle sospensioni, e di un generico profilo stradale. Le Figure 2.2.19 (a) e
(b) mostrano due diagrammi relativi al calcolo di questi parametri per strada liscia e sconnessa.
Figure 2.2.19. Oscillazioni nella forza di contatto a terra e accelerazioni del corpo del veicolo per superficie
stradale liscia (a) e sconnessa (b).

Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 57
Nel caso di strada liscia il contatto battistrada-terreno è del 100 %, e la fluttuazione di carico
approssima lo zero (figura (a)); la scelta del coefficiente di smorzamento ideale è indirizzata quindi
verso l’ottimizzazione delle accelerazioni del telaio, per ottenere un buon compromesso tra
accelerazione anteriore e posteriore.
Nel caso più probabile in cui il suolo presenti delle sconnessioni, il coefficiente η si avvicina al 100
% solo per alti valori dello smorzamento, fino a 20 volte quello lo smorzamento ideale per il primo
caso (si noti il cambiamento di scala nella figura (b)). Lo smorzamento ideale, di 1 kNs/m nel caso
in figura (vetture da competizione possono arrivare a smorzamenti di 80 kNs/m) è questa volta un
compromesso tra le due esigenze.
Da tutto quanto esposto in merito alla
dinamica verticale del veicolo e ai
parametri che ne regolano il
comportamento vibratorio, risulta evidente
l’importanza del pneumatico, inteso come
unico elemento di contatto tra il corpo
della vettura ed il terreno. L’esplorazione
della dinamica del pneumatico trova
quindi la sua ragione nella possibilità di Figura 2.2.20.
meglio comprendere quale sia il meccanismo di trasmissione delle forze e delle accelerazioni tra il
terreno e la macchina (Figura 2.2.20), essendo la gomma dotata di una dinamica propria e di una
struttura in grado di variare le proprie caratteristiche meccaniche in funzione delle condizioni in cui
si trova ad operare.

2.2.5 La sperimentazione al banco
Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 58
La sperimentazione al banco si colloca per alcuni versi in una posizione intermedia tra la
sperimentazione su strada e la sperimentazione numerica. Viene infatti provata la vettura reale e
non un suo modello matematico, e al contempo le condizioni di prova sono più controllate e
ripetibili che durante la sperimentazione su strada.
La sperimentazione al banco trova quindi la sua naturale collocazione quando non sia disponibile un
modello di calcolo adatto per le prove che si intende effettuare, e nel caso in cui la sperimentazione
su strada non consenta la misura di alcuni segnali ritenuti importanti. In particolare su strada non è
possibile misurare i segnali di ingresso alle ruote e ciò non permette la valutazione delle funzioni di
trasferimento. La possibilità di controllare le condizioni di eccitazione consente, oltre che di
riprodurre le normali sollecitazioni stradali, anche di eccitare la struttura con i segnali più adatti per
lo studio dinamico della vettura. Le prove al banco inoltre possono essere utilizzate per la verifica e
la taratura dei modelli di calcolo o per il test di componenti isolati della vettura, come potrebbe
essere il pneumatico.
Nel capitolo a seguire viene presentato il banco di prova a sette assi verticali, detto Seven-Poster
Rig, utilizzato dalla Dallara Automobili per le prove dinamiche sulle vetture da competizione. Lo
stesso banco è stato poi utilizzato per l’analisi e la caratterizzazione della dinamica dei pneumatici
della vettura da FORMULA 3.

3.1 Introduzione
Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
Uno degli aspetti più delicati e decisivi nel mondo delle corse è rappresentato dal setup (o assetto)
della macchina ad ogni corsa e per ogni diversa condizione del tracciato. Negli ultimi anni, accanto
all’indispensabile esperienza degli ingegneri di pista e dei meccanici e alle sensazioni di guida del
pilota, si sono sviluppati strumenti di indagine e di affinamento basati sulla simulazione, in
ambienti chiusi con banco di prova o via software mediante lo sviluppo di modelli matematici, del
comportamento dinamico della vettura.
Un prezioso strumento per testare i componenti attivi del veicolo (ammortizzatori, pneumatici,
bilanciamento pesi) in vista di una ottimizzazione del comportamento globale su strada, è il banco
di prova detto Four o Seven-Poster Rig. La dinamica verticale della vettura viene studiata
riproducendo con il movimento di attuatori oleodinamici (quattro o sette) le eccitazioni del tracciato
della pista fornite da rilevamenti telemetrici e i carichi aerodinamici agenti.
Figura 3.1. Il banco di prova Seven-Poster Rig.
59

Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
Attraverso un complesso sistema di sensori per l’acquisizione dati e un insieme di software dedicati
all’elaborazione si ottengono una vasta serie di risultati da interpretare ed analizzare.
Lo sviluppo di un modello matematico che caratterizzi il sistema e ne preveda il comportamento
può essere un valido strumento, veloce ed economico, da affiancare al banco sperimentale. Poiché
in molte categorie di corse le differenze tra una macchina vincente ed una di prestazioni medie sono
attualmente assai ridotte in percentuale, un buon modello deve essere strutturato correttamente e
contenere in sé i parametri del sistema in esame, come corpo macchina, sospensioni, gomme,
caratterizzati con il minimo errore rispetto al reale. Da ciò può scaturire l’esigenza e la possibilità di
un utilizzo parallelo del Poster Rig per calibrare e validare i parametri in gioco mediante accurati
test sperimentali.
Il Seven-Poster Rig, con cui si sono condotte le prove dinamiche sui pneumatici, viene
rappresentato in Figura 3.1; sono ben visibili i quattro attuatori principali su cui la vettura viene
appoggiata per il test e gli altri tre pistoni oleodinamici disposti centralmente il cui azionamento,
regolato da specifiche mappature, simula i carichi aerodinamici.
3.2 Descrizione dell’apparato sperimentale
Il banco di prova Seven-Poster Rig, realizzato dall’inglese Servotest LTD per Dallara Automobili
S.p.A., è costituito essenzialmente da quattro piccole piattaforme rivestite in teflon che fanno capo
ai rispettivi pistoni (vedi Figura 3.2 pagina seguente) su cui il veicolo viene appoggiato.
I pistoni sono fissati, mediante serraggio con bulloni, a quattro piastre in acciaio fissate a terra e
munite di guide; in questo modo è possibile spostare ogni attuatore per la regolazione delle distanze
di passo e carreggiata anteriore e posteriore adattando il banco a diversi tipi di vetture da corsa.
Per simulare il profilo del tracciato stradale ogni pistone può essere mosso indipendentemente dagli
altri nella sola direzione verticale, in controllo di spostamento o di accelerazione.
Ciò avviene mediante la regolazione, da parte di un complesso sistema di controllo a retroazione,
della pressione dell'olio che scorre all’interno degli attuatori con l’ausilio di servovalvole.
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Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
61

Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
L’olio che circola nel sistema è mandato in pressione da una pompa a pistoni munita di sistema di
raffreddamento e valvole di controllo; le prestazioni del sistema in pressione sono alte, ma si
riscontrano spesso problemi legati all’insorgere di risonanze, vibrazioni e rumori.
Due condotti ad alta pressione ed ampia sezione, uno di andata e uno di ritorno, collegano la pompa
ad un distributore centrale, e da questo si diramano altri 14 condotti di andata e ritorno che
alimentano i quattro attuatori principali e quelli aerodinamici.
Le servovalvole che regolano l’afflusso di olio nei pistoni sono montate a ridosso del corpo dei
cilindri, per ottenere la massima precisione nella risposta evitando fenomeni di inerzia dell’olio o di
distorsione elastica dei condotti. Per ogni attuatore è presente un set di tre servovalvole Moog
controllate via software, il quale può confrontare il segnale di posizione con quello desiderato
tramite un sistema di retroazione e correggerlo in tempo reale indipendentemente dal carico
applicato o da disturbi di natura termica o dinamica.
Gli attuatori, in dettaglio in Figura 3.3, sono costituiti
da servo-cilindri idraulici, muniti di sensori ad alta
precisione (del tipo LVDT) montati all’interno dei
cilindri in una camera ad olio, in grado di fornire il
segnale di posizione per il loop di retroazione. Tutti
gli attuatori sono del tipo “Double-Ended”, nel senso
che garantiscono uguale forza e velocità in entrambi i
sensi di funzionamento.
Sono presenti inoltre due accumulatori in pressione,
uno di andata e uno sulla linea di ritorno, muniti di
membrane, le quali evitano effetti di “martellamento”
o di vibrazioni nel caso di improvvise e violente
Figura 3.3. Attuatore oleodinamico. variazioni della portata del flusso d’olio.
62

Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
In Tabella 3.1 di seguito riportata si evidenziano le caratteristiche peculiari dei quattro attuatori
principali per la simulazione del tracciato stradale.
Attuatore Specifica
Tipo di attuatore 080R-150-25
Diametro pistone 80 mm
Corsa ± 150 mm
Forza sviluppata 25 kN
Pressione di esercizio (HP) 210 bar
Servovalvole SV 75/760
Trasduttore di posizione LVDT: D5/6000 TMO367
Filtri HH9021 K12 DDT SWD (74-0016)
Accumulatori Mandata: 01 100A-00-341 (1 litro)
Ritorno: HC0E-00A-17 (0,5 litri)
Tabella 3.1. Specifiche dei componenti meccanici degli attuatori principali.
Valvole di sicurezza di fondo corsa
Per impedire il danneggiamento dei componenti o della vettura stessa oggetto del test, nel caso in
cui ad uno o più attuatori venga richiesta la massima corsa ad elevata velocità, entrano in funzione
Figura 3.4. Dispositivo per il fondo corsa.
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Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
delle valvole di sicurezza; il disegno del collettore che porta l’olio in pressione nei cilindri prevede
infatti una camera “morta” a fine corsa in cui l’olio viene compresso senza via d’uscita dal pistone,
il quale è velocemente rallentato senza poter entrare in contatto con il fondo del cilindro.
Si ritorna nelle normali condizioni di esercizio quando il sistema di controllo DCS (Digital Control
System) riceve un appropriato segnale di fondo corsa e comanda lo svuotamento della camera
opposta a quella con la funzione di cuscinetto.
Tenute idrostatiche
Ciascun attuatore è munito di tre gruppi di tenuta e guida del pistone; due sono ricavate all’interno
del cilindro, una è disposta sulla testa del corpo dell’attuatore. Il suo principio di funzionamento
viene schematizzato in Figura 3.5; l’utilizzo di guide di tipo idrostatico è giustificato dal
Figura 3.5. Schema del principio di funzionamento delle tenute idrostatiche.
bassissimo attrito che esse offrono, dal fatto che si abbia il centraggio automatico del pistone e dalla
possibilità di contenere efficacemente gli elevati carichi laterali che si sviluppano nei test di
simulazione. Quando l’olio viene mandato in pressione il pistone viene posto nella sua posizione
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Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
centrale dalle guide laterali (prima illustrazione, le dimensioni del gioco non sono in scala).
L’applicazione di un carico laterale tende a sbilanciare la distribuzione di pressione attorno al
pistone (seconda illustrazione); si avrà una diminuzione di pressione dove il gioco
dell’accoppiamento aumenta, un aumento nei punti in cui il pistone si avvicina al cilindro. La
distribuzione di pressioni che si è venuta a creare tenderà a riportare l’attuatore nella posizione
centrale.
Condotti e servovalvole
I condotti dell’olio in pressione sono disegnati per garantire le minime perdite di carico e una
bassissima deformabilità. Le servovalvole Moog SV65/760 sono montate direttamente sul corpo
dell’attuatore attraverso un collettore munito di tutte le entrate e le uscite necessarie per alimentare
e svuotare il cilindro. La loro capacità è pari a 65 litri/min, e il loro disegno permette alte
prestazioni. Il gruppo di alimentazione comprende anche i due accumulatori e un’unità di filtraggio
dell’olio (capacità 15µm), per impedire pericolose contaminazioni del fluido all’interno del cilindro.
Figura 3.6. Il gruppo di alimentazione dell’attuatore.
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Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
In Figura 3.6 è rappresentato il particolare del gruppo di alimentazione; sono visibili il corpo del
collettore con i due condotti di andata e ritorno, le servovalvole (sviluppate in verticale), l’unità di
filtraggio (cilindro sulla linea di mandata), i due accumulatori (il più grosso sull’alimentazione, il
più piccolo sul ritorno).
Accumulatori
Gli accumulatori di cui è fornito ogni attuatore sono costituiti da piccoli recipienti cilindrici che
contengono azoto in pressione separato dall’olio da una membrana flessibile. Quando si avvia la
pompa e il sistema viene mandato in pressione, l’olio comprime il gas fino ad eguagliare le due
pressioni nell’interfaccia tra i due fluidi; nel caso si abbia un improvviso picco nella domanda di
fluido da parte dell’attuatore, la pressione nel condotto diminuisce, il gas può espandersi e
l’accumulatore fornisce una portata aggiuntiva di olio. L’accumulatore funziona invece da
smorzatore nel caso si abbia un picco di pressione nella mandata, prevenendo effetti di
martellamento e regolarizzando la portata del fluido.
Due grossi accumulatori da 50 litri ciascuno, contenenti questa volta olio in pressione, sono istallati
inoltre sulle linee di mandata e di ritorno che collegano la pompa al banco di prova. La loro
funzione è quella di far fronte a improvvisi cali di pressione per mantenere la stabilità del sistema;
inoltre funzionano da polmoni e smorzatori delle onde pressorie dovute al naturale funzionamento a
intermittenza del sistema di pompaggio e al rapido susseguirsi (le frequenze di funzionamento
possono arrivare a 50 Hz) di apertura-chiusura delle servovalvole.
Solenoid Control Manifold (SCM)
Il distributore centrale è progettato per una portata massima di 450 litri/min per condotto; valvole a
solenoide contenute in esso possono portare il fluido negli attuatori dalla pressione nulla a quella
media (adottata nella fase di riscaldamento del sistema) a quella massima d’esercizio pari a 210 bar.
L’SCM è inoltre in grado di pilotare, durante un test di simulazione, i quattro attuatori
indipendentemente l’uno dall’altro pur provenendo il fluido in pressione da un’unica sorgente,
senza che vi sia reciproca interferenza.
66

Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
Anche su questo componente sono presenti due accumulatori della capacità di 10 litri con la
funzione di riserva di fluido in pressione nel caso di irregolarità nella portata di alimentazione.
Attuatori aerodinamici
Tre ulteriori attuatori disposti sotto la scocca della vettura (uno anteriormente, due posteriormente)
hanno la funzione di simulare i carichi aerodinamici di cui la vettura, in funzione della sua velocità,
risente durante la competizione.
Figura 3.7. I due attuatori oleodinamici posteriori fissati alla campana della vettura in prova.
Le loro caratteristiche meccaniche vengono riassunte in Tabella 3.2; la costruzione e il
funzionamento sono del tutto analoghi a quelli degli attuatori principali.
Il segnale fornito dalla cella di carico permette all’attuatore di operare in condizioni di controllo di
carico e di riprodurre una sequenza di carichi in funzione del tempo. Il ciclo di feedback retroattivo
presenta in questo caso qualche difficoltà, poiché il movimento della vettura provoca variazioni nel
67

Attuatore Specifica
Tipo di attuatore 050R-200-20
Diametro pistone 50 mm
Corsa 200 mm
Forza sviluppata 20 kN
Pressione di esercizio (HP) 210 bar
Servovalvole SV 250
SV 5/770
Trasduttore di posizione LVDT: D5/6000 TMO367
Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
Tabella 3.2. Specifiche dei componenti meccanici degli attuatori aerodinamici.
carico applicato. Per questo sono stati realizzati degli elementi smorzanti (i grossi cilindri in acciaio
di Figura 3.7) che, con buona approssimazione, seguono il movimento della vettura senza influire
sul valore di carico applicato. Essi conferiscono inoltre maggiore stabilità all’anello di retroazione,
in cui viene incrementato anche il guadagno per minimizzare l’errore tra il carico misurato e quello
desiderato. Poiché le forze non desiderate sono proporzionali alla velocità imposta all’attuatore,
l’errore può essere ridotto utilizzando un segnale retroattivo di velocità per il comando dell’apertura
e chiusura delle servovalvole. Tale segnale viene ottenuto dall’integrazione numerica nel dominio
del tempo del segnale di accelerazione fornito dagli accelerometri posti negli attuatori stessi.
Trasduttori e sensoristica
Tutti gli attuatori sono muniti al loro interno di trasduttori di posizione, accelerazione e carico in
grado di fornire i segnali necessari per il feedback retroattivo e per l’analisi del comportamento
dinamico del veicolo oggetto del test.
L’analisi dinamica viene integrata dall’impiego di potenziometri e accelerometri esterni posizionati
in più punti del telaio e sui mozzi della vettura.
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• Linear Variable Displacement Transformer (LVDT)
Type D5/6000 TMO367 by RDP. Corsa nominale ±100 mm.
Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
I trasduttori di posizione LVDT forniscono un accurato segnale di feedback per il pistone,
relativo alla sua posizione centrale (zero). Tale segnale è nella forma di una tensione
elettrica, di intensità e segno dipendenti appunto dalla posizione.
Nota la posizione dell’attuatore il comando elettronico invia il segnale di movimento
richiesto; quindi viene nuovamente confrontato il segnale di posizione ottenuto con quello
desiderato e si ottiene l’errore di posizione che il sistema tende a correggere. Il ciclo avviene
svariate volte al secondo.
• Celle di carico
Sia gli attuatori principali che quelli aerodinamici possono fornire, tramite delle celle di
carico interne, la lettura istantanea del carico applicato. Il fondo scala è di 25 kN per i
quattro attuatori principali, di 20 kN per i tre aerodinamici.
• Elementi esterni: accelerometri e potenziometri
La sensoristica del sistema comprende una serie di potenziometri e di accelerometri che
vengono disposti sui punti di interesse della vettura in prova. I potenziometri ad asta, che
rilevano gli spostamenti relativi delle due estremità, vengono solitamente posizionati sui
quattro mozzi della vettura e sul telaio in posizione anteriore e posteriore. Tali spostamenti
sono tutti relativi a quello del pistone. Vengono inoltre rilevati gli schiacciamenti delle
molle degli ammortizzatori sull’avantreno e sul posteriore.
Gli accelerometri possono essere applicati su qualsiasi porzione della vettura; di maggiore
interesse sono le accelerazioni dei mozzi (massa non sospesa) e del telaio (massa sospesa),
anteriore e posteriore. Tutti i dati registrati vengono inviati al sistema elettronico di
acquisizione che provvede all’elaborazione.
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3.3 Il software DCS
Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
Gli attuatori vengono comandati e controllati in tempo reale dall’ultima versione di Controllo
Digitale Servotest, che consiste in un Pentium 200 PC compatibile con un sottosistema ad alta
risoluzione grafica e monitor 21”. L’elaboratore è dotato del Digital Signal Processor (DSP) Real
Time Control Card, che genera i segnali digitali di controllo del banco di prova.
Il software di controllo dell’intero sistema è stato appositamente sviluppato dai tecnici di MatLab, e
presenta una struttura aperta facilmente integrabile dall’utente con altre funzioni o routines
personalizzate.
Figura 3.8. Diagramma a blocchi del DCS 2000 Servotest.
70

Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
L’architettura del software si presenta costituita da più moduli, dedicati a specifiche funzioni:
• DCS datalogger – modulo di acquisizione
• DCS scope – oscilloscopio virtuale
• DCS replay – modulo per la riproduzione di files esterni
• DCS filter – modulo di filtraggio dati
• DCS Wavegen – generatore del segnale in ingresso
• DCS Block Prog – modulo di sequenza segnale
• ICS (Interactuve Control System) – genera il segnale di un profilo stradale (in controllo di
accelerazione) a partire da registrazioni telemetriche esterne (ad esempio accelerazione della
massa non sospesa).
In Figura 3.8 viene riportato lo schema a blocchi del funzionamento del Sistema di Controllo
Digitale, mentre in Figura 3.9 riportata sotto è rappresentato lo schema dell’hardware del sistema.
Figura 3.9. Architettura Hardware del DCS 2000.
71

3.4 Utilizzo e funzionalità dello strumento
Figura 3.10. La vettura da FORMULA 3 sul banco di prova.
Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
In Figura 3.10 è mostrata una vettura FORMULA 3 sul banco di prova Seven-Poster. Si possono
notare i tre attuatori aerodinamici ancorati alla scocca, i potenziometri di spostamento sui mozzi, un
accelerometro sul telaio in corrispondenza dell’asse anteriore. L’olio è in pressione, gli attuatori
sono caldi, tutto è pronto per l’inizio di un test di simulazione per caratterizzare il comportamento
dinamico della vettura sul tracciato in questione.
Figura 3.11. Andamenti nel tempo delle accelerazioni reali dei quattro mozzi.
Caricate le informazioni relative alla pista oggetto della prova, il sistema di controllo muove gli
attuatori in modo da ottenere sui quattro mozzi le accelerazioni riscontrate in pista con rilevamenti
72

telemetrici, di cui viene riportato un esempio in Figura 3.11.
Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
Nella Figura 3.12 vengono invece riportati, nell’ordine, gli spostamenti in direzione verticale dei
quattro mozzi, la velocità e le accelerazioni longitudinale e laterale della vettura relativi ad un giro
dello stesso tracciato.
Figura 3.11. Andamenti reali nel tempo delle accelerazioni dei quattro mozzi.
Una volta concluso il test, tramite il sistema di acquisizione dati e l’elaborazione degli stessi, è
possibile determinare il comportamento dinamico della vettura con quel determinato setup, in
termini di funzioni di trasferimento nel dominio delle frequenze tra le quantità di interesse.
Nel caso di sistemi lineari, e si suppone che nel complesso il veicolo sia un sistema di questo tipo,
risulta infatti molto comodo utilizzare tale approccio.
La funzione di trasferimento tra due funzioni u(t) e h(t) definite nel dominio del tempo è una
funzione G(s) nel campo della variabile complessa s =α+iβ e definita dall’espressione:
U ( s)
G ( s)
=
H ( s)
in cui U(s) e H(s) sono le trasformate di Laplace delle u(t) e h(t):
U ( s)
= L[
u(
t)]
=
H ( s)
= L[
h(
t)]
=
+∞
∫
0
+ ∞
u(
t)
e
∫
0
h(
t)
e
−st
−st
dt
dt.
73

Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
Da un punto di vista metodologico la trasformata di Laplace è analoga alla trasformata di Fourier
mediante la sostituzione jΩ a s, variabile complessa di Laplace.
Si ricorda che si può passare dalla trasformata di Laplace a quella di Fourier, ottenendo la funzione
di trasferimento armonica, mediante la sostituzione inversa; ciò è naturalmente possibile anche in
senso opposto ovvero dalla trasformata di Fourier a quella di Laplace. Questo permette la
valutazione sperimentale della funzione di trasferimento armonica F(jΩ) e la trasformazione,
mediante la sostituzione sopra citata, nel dominio di Laplace F(s).
Le funzioni di trasferimento solitamente analizzate sono quelle relative alle accelerazioni anteriore e
posteriore del telaio rispetto a quella degli attuatori, e allo spostamento in direzione verticale del
telaio o dei mozzi delle ruote. Quest’ultima grandezza definisce la deformazione del pneumatico e
l’eventuale distacco da terra con l’annullarsi della contact patch.
Figura 3.12. Sweep in frequenza utilizzato per l’analisi dinamica della vettura.
Notevole importanza riveste infatti l’analisi delle forze di contatto a terra tra i pneumatici e il suolo
(nella simulazione i piattelli di appoggio), valutate mediante le celle di carico poste negli attuatori.
74

Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
Le finalità di un buon setup della macchina sono infatti quelle di garantire la minor variazione
possibile dell’altezza da terra del veicolo, oltre a mantenere costante nei limiti del possibile il valore
della forza di contatto a terra per ottenere una buona aderenza, a costo di non offrire una bassa
trasmissibilità al pilota da parte di sospensioni e pneumatici delle irregolarità e delle sollecitazioni
presenti su strada.
Mediante l’analisi e il confronto delle funzioni di trasferimento e delle loro fasi, di cui viene
riportato un esempio nelle Figure 3.13 e 3.14, viene data un’interpretazione della qualità del setup
della macchina. Variando la taratura delle sospensioni, l’assetto della vettura o le pressioni dei
pneumatici è possibile ricercare il migliore compromesso per ottenere il comportamento ideale.
Figura 3.13. Funzioni di trasferimento delle accelerazioni dei mozzi anteriore e posteriore.
75

Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
In Figura 3.12 viene riportata una curva nel dominio del tempo, che rappresenta la legge di
spostamento di ogni singolo attuatore, generalmente adottata per la caratterizzazione globale della
vettura. Mediante tale curva, detta a velocità costante, vengono infatti indagate più frequenze con
un’unica prova; nel caso di figura si va da 1 Hz con ampiezza attorno ai 16 mm a 40 Hz con
ampiezza di spostamento sotto il millimetro. Il tutto nel tempo di 100 secondi.
Figura 3.14. Fasi delle due funzioni di trasferimento di Figura 3.13.
Si può in questo modo ottenere la risposta in frequenza del sistema, che presenta uno o più
risonanze alle frequenze caratteristiche della massa sospesa (il telaio e parte dei braccetti delle
sospensioni) e di quella non sospesa (pneumatici, mozzo ruota, pinze dei freni).
76

Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
Si può notare come oltre i 10÷11 Hz il segnale non si presenti particolarmente pulito, a causa
dell’insorgere di rumore e disturbi nel sistema di acquisizione dati.
In ogni caso il primo picco in frequenza rappresenta la risonanza del telaio, il secondo quella del
movimento di pitch (vedi Capitolo 2); la risonanza della massa non sospesa si dovrebbe trovare a
frequenze più elevate, tra i 15 e 18 Hz, ma è evidentemente troppo smorzata per risultare
individuabile. Il movimento assoluto del telaio è quindi rilevante nelle basse frequenze, mentre le
alte frequenze vengono in gran parte filtrate dai pneumatici; modificando la pressione dei
pneumatici, la taratura degli ammortizzatori o l’assetto (bilanciamento dei pesi) della vettura si può
variare anche sostanzialmente la risposta in frequenza del sistema, in quanto vengono modificati
rigidezza e smorzamento dei parametri del sistema.
Un’altra applicazione del banco di prova Poster Rig impiegata per lo studio del gruppo
ammortizzatore prevede l’impiego di una sollecitazione impulsiva del tipo di Figura 3.15 da parte
Spostamento [mm]
35
30
25
20
15
10
5
0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
Tempo [s]
Figura 3.15. Simulazione dell’impatto con un cordolo.
di un singolo attuatore, con lo scopo di simulare l’impatto della vettura con un cordolo.
Lo studio della risposta del veicolo e il confronto con altri tipi di tale componente può fornire
preziose indicazioni sull’impiego di un ammortizzatore piuttosto che di un altro, utili anche
nell’ottimizzare la progettazione della catena cinematica.
77

Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig
Una completa caratterizzazione dei parametri del sistema, analizzati singolarmente, può risultare in
generale molto utile per comprendere a pieno la loro influenza sul comportamento dinamico globale
del veicolo.
Mentre per il gruppo ammortizzatore si hanno dati esaurienti sulla dinamica di bound e rebound
ottenuti con uno specifico banco di prova per ammortizzatori, i pneumatici PIRELLI anteriore e
posteriore presentano una certa incertezza nella loro caratterizzazione; da qui l’esigenza, vista anche
la notevole influenza e importanza di tale componente, di ricercare un modello di comportamento
dapprima per sollecitazioni di tipo statico, in seguito per sollecitazioni dinamiche, che possa mettere
in luce la risposta della gomma.
Si ritiene particolarmente significativa anche la variabilità dei parametri significativi (rigidezza e
smorzamento) in funzione della temperatura d’esercizio. Durante la corsa le gomme vanno infatti in
temperatura, mentre le prove sul Seven-Poster Rig vengono condotte “a freddo”, e risulta quindi di
una certa rilevanza l’indagine degli effetti della temperatura sul comportamento del pneumatico, in
vista di un ulteriore affinamento nella corrispondenza tra risultati della simulazione su banco di
prova e riscontri su pista.
All’interno del Capitolo 5 verrà presentato lo sviluppo di un modello matematico a parametri
concentrati in grado di descrivere con buona approssimazione la dinamica della vettura Dallara da
FORMULA 3 ed indagare l’influenza dei componenti sul sistema.
In particolare verrà analizzata l’influenza della risposta in frequenza del pneumatico in tale modello,
con lo scopo di comprendere quale sia il suo peso nella dinamica globale della vettura e nei test sul
banco di prova Seven-Poster, in cui le gomme sono a temperatura ambiente.
78

Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 79
Capitolo 4. Prove sperimentali sui pneumatici PIRELLI F3
4.1 Prove di rigidezza verticale statica
4.1.1 Introduzione
La rigidezza verticale è una caratteristica propria del pneumatico, in quanto dipende strettamente
dalla struttura della carcassa e del battistrada, dalla mescola utilizzata nella costruzione, dalle
dimensioni della gomma.
I parametri fisici che possono apportare anche grosse variazioni nel valore di rigidezza sono invece
la pressione di gonfiaggio, l’angolo di camber con cui è montato il pneumatico, la temperatura di
esercizio, la deformabilità del suolo su cui la gomma appoggia. Ritenendo che nella realtà tale
deformabilità sia trascurabile, con un banco di prova appositamente allestito sono stati condotti una
serie di test sperimentali per determinare la rigidezza verticale statica di pneumatici PIRELLI
anteriore e posteriore montati su vetture da competizione della categoria FORMULA 3.
Variando la natura delle prove si è potuta valutare l’influenza di ciascun parametro sul
comportamento verticale del pneumatico. In particolare l’attenzione è stata concentrata sul fattore
forse più significativo e al contempo meno riproducibile e valutabile: la temperatura. Le variazioni
termiche, cui la gomma è particolarmente sensibile, sono state considerate infatti particolarmente
significative per meglio comprendere i possibili cambiamenti nella risposta della vettura sul banco
di prova “a freddo” del Poster Rig. In pratica per valutare in termini non solo qualitativi l’errore che
si commette nel simulare su banco il comportamento stradale della vettura, nella piena
consapevolezza dell’impossibilità di riprodurre fedelmente le condizioni reali.
I test di caricamento statico sono stati condotti quindi sia a temperatura ambiente che a caldo, ad
una temperatura del pneumatico corrispondente a quella media di esercizio durante una
competizione.
Nel corso delle prove in temperatura è stata inoltre dimostrata l’inaffidabilità del metodo di misura
adottato nelle prove a freddo; la bilancia utilizzata per la lettura del carico applicato, del tipo per

Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 80
bilanciamento dell’assetto in pista, nell’esercizio a caldo non sembrava fornire risultati attendibili.
Si è optato quindi per l’impiego di una cella di carico montata lontano da ogni fonte di calore, che è
stata opportunamente tarata con l’ausilio della bilancia stessa.
4.1.2 Descrizione della procedura di prova
I pneumatici oggetto dei test sono stati montati su una pressa da 50 tonnellate mediante una trave ad
U fissata al cilindro oleodinamico e due flange fissate al mozzo del cerchione. A causa della
differente larghezza dei pneumatici anteriore e posteriore, rispettivamente 200 e 250 millimetri, i
due supporti laterali sono stati muniti di registri che ne consentissero l’adattamento.
Tra la trave in acciaio e il pistone è stata posizionata la cella di carico, sensibile ai carichi di
compressione. La gomma ha trovato l’appoggio inferiore su una piastra in alluminio dello spessore
di 50 mm, praticamente indeformabile, la cui inclinazione è stata modificata con il riscontro di una
bolla elettronica per le prove ad angolo di camber variabile.
Fig. 4.1.1. Il pneumatico PIRELLI anteriore sul banco di prova.

Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 81
La strumentazione è stata completata con due comparatori centesimali montati direttamente sulla
piastra, in grado di valutare con una certa precisione i valori di abbassamento verticale di una barra
passante in alluminio fissata al cerchione. Il banco di prova completo è illustrato in Figura 4.1.1,
mentre particolari dell’apparato di misura sono visibili nelle Figure 4.1.2 (a) e (b).
Figura 4.12 (a) e (b). Particolari dei comparatori centesimali destro e sinistro.
La prova per la determinazione della rigidezza verticale ha consistito semplicemente nel caricare,
agendo sul distributore dell’olio in pressione della pressa, il pneumatico attraverso la trave ad U in
senso verticale, mentre venivano annotati i due abbassamenti destro e sinistro e il corrispondente
valore di carico applicato (vedi schema semplificato di Figura 4.1.3).
Figura 4.13. Schema dell’attrezzatura utilizzata per le prove.

Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 82
Un valore unico di abbassamento della gomma è stato ricavato dalla media algebrica dei due
abbassamenti degli estremi della barra in alluminio; il carico applicato, variabile tra 0 e 700 kg, è
stato rilevato in un primo set di prove dalla bilancia per assetto, in un secondo tempo, per il motivo
già discusso, dalla cella di carico sul pistone della pressa.
La rigidezza è stata espressa nella forma
∆F
K = [kg/mm]
∆u
dove F è il carico in kg e u l’abbassamento del pneumatico in mm.
All’inizio di ogni prova è stato applicato ai pneumatici, sia anteriore che posteriore, un precarico di
100÷110 kg prima di portare a zero le letture di comparatori e cella di carico. Con tale operazione ci
si è posti nelle condizioni di deformazione iniziale dei fianchi e della carcassa in corrispondenza del
carico statico che la macchina trasmette alle ruote. Lo step di ogni singola prova è stato riferito
all’abbassamento di uno dei comparatori, ed ha previsto una deformazione verticale, in millimetri,
di 1, 3, 5, 7 e così via fino in genere a 12÷13 millimetri corrispondenti al carico massimo. Inoltre
per ogni test a pressione, temperatura e angolo di camber costante, sono stai svolti 4 cicli di carico
per avere a disposizione più risultati sovrapponibili e diagnosticare la ripetibilità delle misure.
Nello svolgimento delle prove in temperatura sono state impiegate delle termocoperte per uso in
pista da avvolgere al pneumatico, per mandare in temperatura la carcassa e il battistrada (Figura
4.1.4), ed una piastra in alluminio riscaldata da tre resistenze elettriche per simulare il riscaldamento
nell’area di contatto del pneumatico con il suolo.
Per ottenere stabilmente le temperature desiderate, 65÷75°C per il battistrada, 38÷45°C per la spalla
del pneumatico, le termocoperte e la piastra sono state lasciate agire per un’ora e mezza circa prima
di procedere nei test in modo da avere una buona uniformità nella distribuzione di calore.
Nelle prove in temperatura si è mantenuto un angolo di camber costante, pari a zero, mentre è stata
variata la pressione di gonfiaggio.

4.1.3 Taratura della cella di carico
Figura 4.1.4. Impiego delle termocoperte.
Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 83
In seguito ad una serie di prove condotte in temperatura è stata rilevata un’evidente incoerenza tra i
valori di rigidezza verticale trovati con quelli calcolati a temperatura ambiente. In particolare si è
notato, contro ogni aspettativa, un aumento della rigidezza col crescere della temperatura, dal quale
ci si dovrebbe aspettare l’effetto inverso.
Da una più attenta analisi del funzionamento della bilancia per assetto è stato rilevato un
abbassamento del piano di appoggio durante il caricamento del pneumatico, che rappresentando
un’effettiva rigidezza aggiunta andava a falsare la misura della rigidezza propria della gomma. Tale
effetto è stato sensibilmente accentuato dal crescere della temperatura di esercizio durante le prove
a caldo, dando una completa spiegazione del fenomeno fittizio di indurimento della gomma.

Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 84
In Figura 4.1.5 viene riportato l’abbassamento della faccia superiore della bilancia (piano di
appoggio del battistrada) per due diverse temperature, misurato con l’impiego di un comparatore
centesimale.
Si può notare come l’andamento non sia lineare (e quindi come non si possa a rigore parlare di un
valore di rigidezza univocamente definito) e sia in qualche modo dipendente dalla temperatura.
Abbassamento del piatto [mm]
3
2,5
2
1,5
1
0,5
Rigidezza della bilancia di misura
0
0 200 400 600 800
Carico [kg]
T = 40°C
T = 26 °C
Fig. 4.1.5. Comportamento della bilancia a freddo e in temperatura.
In particolare con l’aumentare della temperatura si assiste ad un irrigidimento della bilancia;
trattandosi in effetti di due molle in serie, pneumatico e bilancia, di costante elastica equivalente
1
K
e
1
=
K
è comprensibile come l’aumento della rigidezza della bilancia Kb abbia un peso maggiore della
diminuzione della rigidezza Kp del pneumatico, provocando un innalzamento nel valore Ke di
p
1
+
K
rigidezza equivalente che rappresenta l’oggetto di misura.
b

Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 85
Constata l’inadeguatezza di un ulteriore impiego di tale strumento di misura, è stata utilizzata una
cella di carico montata direttamente sulla testa del pistone lontano dalle fonti di calore, in seguito
opportunamente tarata con l’ausilio della bilancia, dotata di maggiore precisione, mediante una
simultanea misura di un carico statico di entità variabile.
Lo scostamento dei dati forniti dalla cella di carico rispetto alle misure effettuate con la bilancia è
risultato ben approssimabile con un andamento lineare in funzione del carico applicato. Tale
andamento viene riportato in Figura 4.1.6.
Di questo scostamento è stato in seguito tenuto conto correggendo i valori di carico rilevati durante
le prove.
Scostamento tra le letture [kg]
14
12
10
8
6
4
2
Taratura della cella di carico
y = 0,0184x + 1,298
R 2 = 0,9409
0
0 200 400 600 800
Carico [kg]
Fig. 4.1.6. Taratura della cella di carico.
Essendo infatti pari a 0.0184 il coefficiente angolare della retta interpolante i punti trovati
sperimentalmente, con una certa approssimazione si può affermare che in pratica per ogni 100
chilogrammi applicati la cella di carico risulta in errore, rispetto alla bilancia, di 1.84 kg in eccesso.

Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 86
I valori di carico L* trovati nel corso delle prove sono stati dunque corretti per ottenere quelli
effettivi Le:
L e
= ( 1−
0.
0184)
⋅ L*
= 0.
9816⋅
L*
.
Nelle Figure 4.1.7 e 4.1.8 vengono riportati a confronto i due strumenti di misura con le differenti
utilizzazioni.
Figura 4.1.7. Bilancia per assetto.
4.1.4 Risultati delle prove
Figura 4.1.8. Cella di carico.
Per ottenere il valore di rigidezza verticale relativo ad ogni singola prova sono stati diagrammati in
un foglio elettronico i valori di carico applicato in funzione dei corrispondenti abbassamenti della
gomma forniti dalla lettura dei comparatori; i punti così ottenuti si sono sempre interpolati
linearmente con buonissima approssimazione (coefficiente R 2 vicino all’unità), e la rigidezza è stata
valutata come il coefficiente angolare della retta interpolante. Poiché è stato rilevato un leggero
ciclo di isteresi nel caricare e scaricare il pneumatico, benché non fossero immediati i passaggi da
un carico all’altro, la rigidezza effettiva è frutto della media delle due rigidezze, poco differenti tra
loro, relative al ciclo di carico e di scarico.

Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 87
Un tipico grafico di rigidezza statica, comprensivo delle due rette di carico e scarico, è
rappresentato in Figura 4.1.9.
Carico [kg]
Fig. 4.1.9. Diverse rigidezze nei cicli di carico e scarico.
I risultati numerici globalmente ottenuti vengono di seguito riassunti nelle due Tabelle 4.1.1 e
4.1.2: nella prima si riportano i dati relativi al pneumatico anteriore PIRELLI F3 200/50, a freddo e
in temperatura, nella seconda si riportano i risultati relativi a quello posteriore PIRELLI F3 250/55.
Per ogni tabella nella prima colonna è riportata la pressione di gonfiaggio, nelle tre successive i
corrispettivi valori di rigidezza verticale espressa in kg/mm relativi ai tre angoli di camber
considerati, pari a 0, 2.5 e 5 gradi. Nell’ultima colonna sono presenti le rigidezze del pneumatico
provato in temperatura a camber nullo; una tipica distribuzione media di temperature è stata:
Temperatura ambiente = 30°C
Temperatura battistrada = 70°C
Temperatura spalla = 42°C
300
250
200
150
100
Temperatura cerchione = 40°C
Temperatura piastra d’appoggio = 95°C.
50
0
Rigidezze statiche di carico e di scarico
Kc = 19,571u + 0,8254
R 2 = 0,9999
CARICO
Ks = 18,92u - 8,1919
R 2 = 0,9983
SCARICO
0 5 10 15
Abbassamento [mm]

Pressione di
gonfiaggio
[bar]
Rigidezza [kg/mm]
A Camber = 0°
Rigidezza [kg/mm]
a Camber = 2.5°
Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 88
Rigidezza [kg/mm]
a Camber = 5.0°
Rigidezza [kg/mm]
In temperatura
0.8 13,2 14,2 13,6 13,4
0.9 14,7 15,3 14,9 14,1
1.0 15,9 16,3 15,8 15,2
1.1 16,7 17,3 16,8 16,4
1.2 17,6 18,3 17,7 17,2
1.3 18,7 19,2 18,6 18,2
1.4 19,6 19,6 19,5 18,9
1.5 20,4 20,4 20,0 19,9
Pressione di
gonfiaggio
[bar]
Tabella 4.1.1. Risultati delle prove sul pneumatico PIRELLI F3 anteriore.
Rigidezza [kg/mm]
A Camber = 0°
Rigidezza [kg/mm]
a Camber = 2.5°
Rigidezza [kg/mm]
a Camber = 5.0°
Rigidezza [kg/mm]
In temperatura
0.8 14,5 14,8 12,9 14,1
0.9 15,8 16,0 14,7 15,1
1.0 17,2 17,0 16,0 16,2
1.1 18,5 18,2 16,9 17,3
1.2 19,4 19,1 18,4 18,4
1.3 20,7 20,3 19,0 19,2
1.4 22,1 21,3 19,8 20,4
1.5 23,6 21,8 20,9 21,7
Tabella 4.1.2. Risultati delle prove sul pneumatico PIRELLI F3 posteriore.

Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 89
Per una più facile e significativa interpretazione, i risultati delle prove effettuate sono stati
diagrammati in funzione della pressione di gonfiaggio. Nelle tre Figure 4.1.10, 4.1.11 e 4.1.12
Rigidezza [kg/mm]
22,0
20,0
18,0
16,0
14,0
12,0
Ko = -3,1149p 2 + 17,162p + 1,6442
R 2 = 0,9968
13,2
14,7
15,9
16,7
17,6
18,7
19,6
20,4
0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
Pressione [bar]
Figura 4.1.10. Rigidezza verticale statica a camber 0°, pneumatico anteriore.
Rigidezza [kg/mm]
22,0
20,0
18,0
16,0
14,0
12,0
K2,5 = -4,4908p 2 + 19,226p + 1,6276
R 2 = 0,9985
14,2
15,3
16,3
17,3
18,3
19,2
19,6
20,4
0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
Pressione [bar]
Figura 4.1.11. Rigidezza verticale statica a camber 2.5°, pneumatico anteriore.

Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 90
vengono diagrammati gli andamenti della rigidezza verticale per i tre angoli di camber considerati
in riferimento al pneumatico anteriore.
Figura 4.1.12. Rigidezza verticale statica a camber 5.0°, pneumatico anteriore.
In ognuno dei diagrammi viene riportata la linea di tendenza dei valori trovati con la relativa
equazione, che esprime l’andamento della rigidezza K in funzione della pressione p, e la stima
(parametro R 2 ) di quanto l’approssimazione nell’interpolare i punti sperimentali sia corretta. Con il
simbolo K0 viene indicata la rigidezza a camber nullo, con K2.5 quella a camber di 2.5°, con K5.0 a
camber di 5°.
Rigidezza [kg/mm]
22,0
20,0
18,0
16,0
14,0
12,0
13,6
È possibile diagrammare, per agevolare un confronto più diretto, le tre serie di risultati relative alla
rigidezza statica del pneumatico anteriore, in un unico grafico, che viene riportato in Figura 4.1.13.
Nei tre colori vengono evidenziati gli andamenti della rigidezza per i tre differenti angoli di camber
con cui le prove sono state eseguite.
K5,0 = -3,7188p 2 + 17,705p + 1,8757
R 2 = 0,9984
14,9
15,8
A seguire vengono diagrammati i risultati delle prove in temperatura assieme a quelli a freddo a
16,8
camber nullo, sempre in riferimento al pneumatico anteriore.
17,7
18,6
19,5
20,0
0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
Pressione [bar]

Rigidezza verticale [kg/mm]
Rigidezza verticale [kg/mm]
20,0
18,0
16,0
14,0
12,0
Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 91
Andamento della rigidezza verticale al variare dell'angolo di camber per il
pneumatico PIRELLI F3 anteriore.
0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
Pressione [bar]
Camber 0°
Camber 2,5°
Camber 5,0°
Figura 4.1.13. Confronto delle rigidezze verticali a differenti angoli di camber, pneumatico anteriore.
21
20
19
18
17
16
15
14
Rigidezza verticale statica del pneumatico PIRELLI F3 anteriore a freddo e in temperatura
Rigidezza a freddo
Rigidezza in temperatura
14,7
14,1
15,9
15,2
Kf = -3,1149p
18,7
18,2
2 + 17,162p + 1,6442
R 2 = 0,9968
16,7
16,4
Figura 4.1.14. Confronto delle rigidezze verticali a freddo ed in temperatura per il pneumatico anteriore.
17,6
17,2
19,6
18,9
20,4
19,9
Kt = -1,4765p 2 + 12,866p + 3,8968
R 2 = 0,9979
13
13,2
13,4
0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
Pressione [bar]

Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 92
Di seguito vengono riportati, nella Figure 4.1.15 e seguenti, diagrammi analoghi ai precedenti
relativi al pneumatico posteriore.
Rigidezza [kg/mm]
24,0
22,0
20,0
18,0
16,0
14,0
14,5
15,8
17,2
18,5
19,4
20,7
22,1
Ko = 0,8536p 2 + 10,749p + 5,4443
R 2 = 0,9982
23,6
12,0
0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
Pressione [bar]
Figura 4.1.15. Rigidezza verticale statica a camber 0°, pneumatico posteriore.
Rigidezza [kg/mm]
24,0
22,0
20,0
18,0
16,0
14,0
K2,5 = -3,2429p 2 + 17,781p + 2,5818
14,8
16,0
R 2 = 0,998
17,0
Figura 4.1.16. Rigidezza verticale statica a camber 2.5°, pneumatico posteriore.
18,2
19,1
20,3
21,3
21,8
0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
Pressione [bar]

Rigidezza verticale [kg/mm]
26
24
22
20
18
16
14
12
Rigidezza [kg/mm]
22,0
20,0
18,0
16,0
14,0
12,0
12,9
14,7
16,0
Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 93
Figura 4.1.17. Rigidezza verticale statica a camber 5,0°, pneumatico posteriore.
Figura 4.1.18. Confronto delle rigidezze verticali a differenti angoli di camber, pneumatico posteriore.
16,9
18,4
19,0
19,8
20,9
K5,0 = -6,5952p 2 + 26,197p - 3,7217
R 2 = 0,9956
0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
Pressione [bar]
Andamento della rigidezza verticale al variare dell'angolo di camber per il pneumatico
PIRELLI F3 posteriore.
Camber 0°
Camber 2,5°
Camber 5,0°
0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
Pressione [bar]

Rigidezza [kg/mm]
25
23
21
19
17
15
Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 94
Rigidezza verticale statica del pneumatico PIRELLI F3 posteriore a freddo e in temperatura
Rigidezza a freddo
14,5
14,1
Figura 4.1.14. Confronto delle rigidezze verticali a freddo ed in temperatura per il pneumatico posteriore.
4.1.5 Analisi dei risultati
Rigidezza in temperatura
15,8
15,1
Dall’analisi dei risultati ottenuti sono state dedotte le seguenti osservazioni:
1. L’abbassamento del mozzo della gomma sotto carico, sia anteriore che posteriore,
espresso in funzione del carico applicato è risultato perfettamente approssimabile con
una retta per ogni condizione di prova; il coefficiente angolare di tale retta ha fornito i
valori di rigidezza statica. È quindi possibile dedurre che il pneumatico abbia un
comportamento lineare nella risposta a sollecitazioni statiche in senso verticale.
2. All’aumentare della pressione di gonfiaggio si trova sempre un corrispettivo aumento
della rigidezza verticale; ciò è facilmente giustificabile con un irrigidimento della
struttura del pneumatico dovuto alla maggiore tensione della carcassa portante indotta
dalla pressione interna.
17,2
16,2
Kf = 0,8536p 2 + 10,749p + 5,4443
R 2 = 0,9982
18,5
17,5
19,4
18,4
20,7
19,2
22,1
20,4
Kt = 0,1613p 2 + 10,376p + 5,6912
R 2 = 0,9971
13
0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
Pressione [bar]
23,6
21,7

Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 95
3. L’andamento della rigidezza in funzione della pressione è approssimabile molto bene
con una curva del secondo grado per tutti i casi esaminati (anche le prove in
temperatura). La concavità di tali curve risulta sempre negativa, e la rigidezza minima,
corrispondente alla pressione di 0.8 bar, subisce un incremento significativo (fino al 62%
per il pneumatico posteriore a camber 5°) alla pressione di 1.5 bar.
4. Un aumento dell’angolo di camber provoca effetti differenti sui pneumatici anteriore e
posteriore; nel primo caso si ottengono le rigidezze più elevate per un’inclinazione
intermedia (2.5°) in quanto a 5° si ha una diminuzione della rigidezza, che ritorna a
valori molto vicini a quelli corrispondenti al camber nullo.
Per il pneumatico posteriore invece un aumento dell’angolo di camber provoca un
decadimento delle prestazioni; tale fatto può essere semplicemente imputato al differente
meccanismo di deformazione della carcassa, che trovandosi caricata in modo
asimmetrico da una spalla all’altra non è in grado di presentare il massimo valore di
rigidezza riscontrato a camber nullo.
5. Mandando in temperatura battistrada e spalle del pneumatico, si nota una decisa
diminuzione (fino al 9% per il pneumatico posteriore alla pressione di 1.5 bar) della
rigidezza verticale, a causa del cambiamento delle caratteristiche meccaniche della
gomma, che si conferma un materiale particolarmente sensibile alle condizioni
ambientali. Anche per le prove in temperatura l’andamento della rigidezza verticale in
funzione della pressione di gonfiaggio è comunque ben approssimabile con una curva
parabolica.
6. La “spring sensitivity”, parametro che identifica la “sensibilità” della rigidezza verticale
rispetto alla pressione di gonfiaggio (viene espresso in [kg/mm/bar]), risulta variabile in
funzione dell’angolo di camber, e sembrerebbe avere un leggero aumento per piccoli
angoli di inclinazione per poi calare. Per le prove in temperatura si nota invece una
diminuzione decisa di tale parametro per entrambe i pneumatici, la quale indica una

Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 96
maggiore stabilità nella risposta del pneumatico al variare della pressione. Per il
pneumatico in temperatura si ha in sostanza un leggero appiattimento delle
caratteristiche, che risentono in minore misura della variazione di pressione interna.
7. Un confronto con i dati forniti dalla casa costruttrice risulta quasi impraticabile in quanto
non sono note con precisione le condizioni di prova dei test effettuati.
Le rigidezze PIRELLI, misurate con il pneumatico in rotolamento e che si aggirano
attorno ai 17 kg/mm, risultano comunque confrontabili con quelle trovate nelle prove
sperimentali condotte.

4.2 Caratterizzazione dinamica dei pneumatici
4.2.1 Introduzione
Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 97
Una completa serie di prove è stata condotta per la determinazione dei parametri che regolano la
dinamica verticale dei pneumatici da competizione PIRELLI F3 anteriore e posteriore. In seguito
alla semplice modellazione a parametri concentrati mostrata in Figura 4.2.1, sono stati identificati
la rigidezza dinamica K e lo smorzamento c, posto in parallelo.
In tale modello dinamico ad un grado di libertà si sono considerati due soli parametri che tengano
conto delle proprietà, rigidezza e smorzamento, di un continuo ben più complesso per costruzione e
comportamento; il movimento in senso verticale del pneumatico infatti non sempre è disgiunto, o è
scindibile, da altri movimenti e vibrazioni in senso laterale e longitudinale.
Fig. 4.2.1. Schematizzazione ad un
grado di libertà a parametri
concentrati del pneumatico per
sollecitazioni dinamiche.
In accordo con le scarse informazioni fornite a riguardo dalla Casa Costruttrice e presenti in
letteratura, è stata assunta l’ipotesi che rigidezza e smorzamento fossero dipendenti sia dai
parametri fisici e ambientali del pneumatico, come pressione di gonfiaggio, carico applicato e
temperatura del battistrada e della carcassa, che da quelli caratteristici della forzante adottata nelle
prove dinamiche: forma d’onda, frequenza di eccitazione, ampiezza dello spostamento.
In poche parole a priori il sistema è stato considerato non lineare, e in vista di una conferma o di
una smentita di tale ipotesi si è pianificata la campagna di prove.

Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 98
Il primo passo, non senza poche difficoltà, è stata la realizzazione di un’attrezzatura sperimentale in
grado di testare i pneumatici senza interferire eccessivamente sul loro movimento libero.
Per eccitare in direzione verticale il pneumatico nell’area di contatto con il suolo, si è pensato
all’impiego di uno dei quattro attuatori principali del banco di prova Seven-Poster Rig, per sfruttare
le capacità e le possibilità di tale strumento.
Una prima soluzione di vincolamento della gomma, che viene riportata per completezza, non ha
fornito risultati apprezzabili; si è passati quindi necessariamente alla realizzazione di un altro tipo di
vincolamento dimostratosi convincente per semplicità ed efficacia.
Ai pneumatici è stata applicata una zavorra in piombo di peso corrispondente al carico statico della
vettura agente sul mozzo; le motivazioni di tale scelta sono essenzialmente due, una di carattere
tecnico, l’altra più teorica. Dal punto di vista pratico la gomma va necessariamente zavorrata per
impedire, sebbene le forzanti abbiano ampiezze molto contenute, un eccessivo rimbalzo e lo
spostamento longitudinale e laterale della stessa. Concettualmente invece il fatto di riprodurre
proprio il carico reale a vettura ferma, significa porsi nell’intorno della deformazione statica iniziale
della carcassa e del battistrada del pneumatico. Come verrà in seguito dimostrato, i parametri
dinamici, soprattutto la rigidezza, dipendono infatti in larga misura da tale deformazione; in linea di
principio per ogni valore di schiacciamento il pneumatico presenta caratteristiche differenti di
elasticità e smorzamento.
Sul pneumatico anteriore si sono condotte anche prove con masse di zavorra e conseguenti
deformazioni differenti, in modo da poter analizzare la dipendenza del comportamento dinamico dal
carico applicato.
Le forzanti adottate per la caratterizzazione dinamica sono state di tipo sinusoidale in controllo di
spostamento, sebbene nella realtà si presentino sollecitazioni ben più complesse.
Effettuate le prove, si è passati all’analisi dei risultati sperimentali, condotta con lo scopo di
validare il modello di dinamica verticale del pneumatico proposto, e di ottenere quindi gli

Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 99
andamenti dei parametri K e c in funzione della frequenza d’eccitazione, della sua ampiezza, della
pressione di gonfiaggio della gomma.
Mediante la costruzione per punti della risposta in frequenza della gomma per ogni condizione di
prova, è stato possibile ricavare i valori cercati, e completare una “mappatura” del comportamento
dinamico del sistema.
È stato possibile inoltre completare con una certa precisione la caratterizzazione dei parametri del
modello dinamico dell’intera vettura di FORMULA 3, valutando l’influenza del pneumatico sul
comportamento del sistema globale.
4.2.2 Descrizione della procedura di prova
Dopo aver schematizzato il pneumatico come un sistema dinamico a un grado di libertà definito da
due parametri concentrati, lo scopo delle prove sperimentali è stato quello di definire tali parametri
e validare con i risultati trovati il semplice modello.
Il pneumatico anteriore è stato zavorrato con una massa di 114.7 kg, pari alla percentuale della
massa totale della vettura che si scarica su metà dell’asse anteriore (vedi dettagli in Figura 4.2.2).
Figure 4.2.2 (a) e (b). Il pneumatico PIRELLI F3 anteriore zavorrato.

Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 100
La zavorra è stata realizzata in piombo con due differenti tecniche per il lato esterno ed interno del
cerchione; su quello interno, figura (b), è stata fissata una campana circolare in lamierino d’acciaio
saldato in cui è stato fuso del piombo per una massa totale di 50 chilogrammi.
Sul lato esterno del cerchione, riportato nella figura (a), si sono impacchettate una serie di lastre di
piombo dello spessore di 2 millimetri, appositamente sagomate, ciascuna di massa pari a 2.2 kg. In
questo modo è stato possibile effettuare le prove con masse differenti semplicemente scegliendo il
numero di lastre da applicare. Le due zavorre sono state tenute assieme da una barra filettata in
acciaio del diametro di 22 mm, avvitata direttamente nella campana da una parte, munita di bullone
di serraggio dall’altra. Il pacchetto di lastre sull’esterno del cerchione è stato ulteriormente
assicurato dal serraggio di due viti a prigioniero sulla flangia di supporto (traversa in nero di Figura
4.2.2 (a)). È stato calcolato il baricentro della distribuzione di massa delle due zavorre, e distanziali
di diverse misure sono stati interposti tra il piano d’appoggio del cerchione e le due flange, in modo
da equilibrare staticamente il pneumatico per impedire l’insorgere di moti in direzioni che non
fossero quella verticale.
La prima soluzione di vincolamento adottata ha previsto l’utilizzo di un supporto in acciaio reso
Figure 4.2.3 (a) e (b). Vincolamento del pneumatico con guida e supporto.

Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 101
solidale al corpo dell’attuatore oleodinamico tramite una serie di bulloni, e munito di
un’incastellatura con due guide verticali; i particolari sono mostrati nelle Figure 4.2.3 (a) e (b).
La gomma è tenuta in posizione da due perni in grado di scorrere nelle guide, e un braccio in
acciaio saldato al fondo della campana ne impedisce i movimenti laterale e longitudinale; il
movimento verticale del pneumatico è invece reso possibile dalle due guide, che durante le prove
sono state periodicamente lubrificate.
Il maggiore inconveniente che tale soluzione concettualmente molto semplice ha presentato, è stato
quello legato all’insorgere di martellamenti dei perni sulle guide e di conseguenti disturbi, rilevanti
per le frequenze di risonanza, nel moto libero del pneumatico; a poco è servito stringere
maggiormente i bulloni dei perni per ridurre i giochi presenti, in quanto la gomma ha cominciato a
muoversi descrivendo un semiarco nel piano verticale con centro in prossimità dei due perni.
La seconda soluzione adottata, dimostratasi vincente, ha previsto l’impiego di alcune funi munite di
tiranti per regolarne la tensione, ancorate da una parte al pneumatico, in modo da impedirne il
rotolamento o il movimento laterale, dall’altra a due supporti fissi.
Tale soluzione, mostrata nelle due figure
seguenti, ha permesso il movimento nel senso
esclusivamente verticale, o quasi, del
pneumatico, eccitato alla base dal movimento
controllato dell’attuatore. La rigidezza delle
funi in tensione, essendo queste disposte
orizzontalmente, non ha influenzato
significativamente quella del sistema oggetto
del test. Regolando la tensione tramite i tiranti
(Figura 4.2.5 pagina seguente), si è potuta
inoltre ottenere una soddisfacente condizione
di moto anche nelle Figura 4.2.4. Impiego delle funi.

Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 102
frequenze di risonanza, particolarmente delicate da questo punto di vista in quanto in
corrispondenza di tali forzanti il pneumatico ha presentato evidenti saltellamenti e rimbalzi sulla
pedana di appoggio con conseguente perdita di contatto del battistrada.
Figura 4.2.5. Le funi con i tiranti per regolarne la tensione.
Infine, per valutare l’influenza dei parametri fisici e ambientali sul comportamento dinamico della
gomma, è stata variata la pressione di gonfiaggio e sono state impiegate delle termocoperte, dello
Figura 4.2.6. Il pneumatico riscaldato per le prove in temperatura.
stesso tipo di quelle usate per le prove statiche, per mandare in temperatura la carcassa e il
battistrada del pneumatico. Come già puntualizzato, le prove a caldo rivestono grande importanza
nella valutazione dello scostamento tra il banco di prova e le condizioni di impiego su pista.

Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 103
4.2.3 Acquisizione dei dati e costruzione della risposta in frequenza del sistema
Il sistema di acquisizione dati ha previsto l’impiego di due accelerometri, uno disposto sulla
gomma, l’altro sul piattello dell’attuatore, di un potenziometro per acquisire il segnale di
spostamento relativo tra mozzo del pneumatico e attuatore, e della cella di carico posta nel corpo
dell’attuatore per rilevare la contact patch load (forza di contatto a terra) del pneumatico.
Un esempio di tutti questi segnali, acquisiti alla frequenza di 4 Hz per il pneumatico anteriore, è
riportato nelle Figure 4.2.7.
La risposta in frequenza del sistema è stata costruita per punti utilizzando i segnali di accelerazione
della massa sospesa (pneumatico + zavorra) e della base eccitatrice (piattello dell’attuatore).
Con riferimento al modello di Figura 4.2.1, l’equazione che descrive il comportamento del sistema
oscillante lineare a parametri concentrati e un grado di libertà, con eccitazione alla base, si scrive:
••
•
•
M p x+
c(
x−
y)
+ K(
x − y)
= 0 (4-1)
dove x = coordinata di spostamento verticale del mozzo del pneumatico [mm]
y = coordinata di spostamento verticale del piattello [mm]
z = x – y spostamento relativo [mm]
Mp = massa totale pneumatico [kg]
c = c(z, ω, Ain, p, T) smorzamento del pneumatico [Ns/m]
K = K(z, ω, Ain, p, T) rigidezza del pneumatico [N/m] oppure [kg/mm]
f = frequenza dell’eccitazione [Hz]
ω = 2πf = pulsazione dell’eccitazione [rad/s]
2 ⎛ cω
⎞
ϕ = arctg ⎜
⎟ angolo di sfasamento tra ingresso e uscita [rad]
2
⎝ K − Mω
p ⎠
Ain = ampiezza della forzante [mm]
p = pressione di gonfiaggio del pneumatico [bar]
T = temperatura del pneumatico [°C].

Mediante la sostituzione z = x – y, la (4-1) può essere scritta
••
•
M z c z+
Kz = −M
p
Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 104
••
p + y (4-2).
È molto importante notare che le equazioni differenziali a coefficienti non costanti (indagine della
ricerca) (4-1) e (4-2), sono relative al modello di Figura 4.2.1 se e solo se il vincolo di contatto
battistrada - suolo è bilatero, non permette cioè il distacco da terra del pneumatico. Di tale ipotesi si
terrà conto in seguito.
La risposta del sistema in termini di rapporto tra le accelerazioni e sfasamento tra entrata ed uscita,
è stata costruita per punti, ognuno relativo alla frequenza di prova, presupponendo che per ognuno
di tali punti il sistema fosse lineare. Di conseguenza, per ogni ϖ fissata, sia l’eccitazione della base
che la risposta del sistema si possono scrivere in forma sinusoidale:
⎪⎧
y = A
⎨
⎪⎩ x = A
in
out
sen
sen
( ϖt)
⎯
( ϖt
−ϕ
)
⎯→ eccitazione
⎯⎯→
risposta
in cui Ain e Aout sono le ampiezze delle oscillazioni, ϕ lo sfasamento tra le due grandezze.
Per costruire la risposta del sistema si è quindi calcolato il rapporto β tra le due accelerazioni:
β =
passando attraverso la funzione di trasferimento tra i due segnali valutata alla frequenza di interesse.
In modo analogo è stato ricavato lo sfasamento ϕ espresso in radianti per la costruzione per punti
del diagramma della fase, andando cioè a leggere la parte immaginaria della funzione di
trasferimento nel punto corrispondente a ϖ, dove la coerenza si presentava di valore unitario.
Di seguito viene riportata la metodologia di acquisizione dati e costruzione della risposta in
frequenza del sistema adottata, nel caso relativo al pneumatico PIRELLI anteriore, con
̇x
̇
̇y
̇
Mp = 114.7 kg p = 1.05 bar
Ain = 1 mm T = Tamb = 24 °C.

Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 105
1. Con la gomma zavorrata e le funi di contenimento in posizione, si avvia il banco di prova
Seven-Poster mandando in temperatura l’olio in pressione nell’attuatore. Viene azzerato il
valore letto dalla cella di carico prima di appoggiare con l’ausilio di un paranco il pneumatico
sulla pedana.
2. Viene impostata la campagna di prove, che prevede in questo caso una legge di spostamento y
dell’attuatore della forma
per f = 1÷20 Hz con il seguente step:
( 2 ft)
y = 1∗sen
π [mm]
f [Hz] 1 2 3 4 5 5.5 5.7 6 6.5 7 7.3 7.7
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Il tempo t è stato generalmente pari a 20÷30 secondi, mentre l’acquisizione dei segnali è stata
limitata agli ultimi 10 secondi; questo per escludere dall’analisi un breve transitorio iniziale.
Nelle Figure 4.2.7 si riportano gli andamenti nel tempo acquisiti delle accelerazioni, (a) e (b), dello
spostamento relativo z, (c), della forza di contatto a terra (d) per la frequenza di 4 Hz.
Figure 4.2.7 (a) e (b). Accelerazioni della massa sospesa e della base a f = 4 Hz.
Nelle Figure 4.2.7 (e) ed (f) vengono diagrammati invece gli andamenti temporali del movimento
sinusoidale del piattello e della sua velocità, calcolata semplicemente derivando lo spostamento
rispetto al tempo.

Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 106
Figure 4.2.7 (c) e (d). Spostamento relativo z = x - y e forza di contatto a terra a f = 4 Hz.
Figure 4.2.7 (e) ed (f). Spostamento e velocità del piattello a f = 4 Hz.
3. Per ogni frequenza analizzata si è valutato il valore della funzione di trasferimento tra
accelerazione del mozzo e accelerazione del piattello alla frequenza corrispondente, ricavando il
rapporto β. La funzione di trasferimento è stata calcolata con un programma dedicato sviluppato
nell’ambiente di MatLab.
Da un’analoga analisi sulla fase dei due segnali sono stati ottenuti i valori dello sfasamento ϕ,
che hanno permesso la costruzione per punti del diagramma di fase del sistema.
Tale diagramma si rivela particolarmente importante per valutare la presenza di risonanze nella
funzione di risposta in frequenza, evidenziate da repentini e più o meno drastici cambiamenti
della fase.

Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 107
4. Con i punti ottenuti si costruiscono i diagrammi di ampiezza e fase, riportati di seguito a titolo
di esempio, e relativi allo specifico caso considerato.
Figura 4.2.8. Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI anteriore, per Ain = 1 mm, p =1,05 bar.
-1,57
ffff [rad]
-3,14
bb
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
f [Hz]
f [Hz]
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Figura 4.2.9. Andamento della fase della risposta di Figura 4.2.8.
Nella curva di risposta del sistema è evidente una prima netta risonanza alla frequenza di 6
Hz, ed un secondo picco di ampiezza molto più contenuta in corrispondenza di 19 Hz; il
diagramma della fase conferma la presenza di queste due risonanze con un cambiamento di
π radianti in corrispondenza del picco principale, e una “campana” alla frequenza di 19 Hz.

Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 108
4.2.4 Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 anteriore. Massa 114.7 kg
Nelle figure da 4.2.10 a 4.2.21 si riportano le curve di risposta in frequenza del pneumatico
anteriore PIRELLI F3, di massa globale pari a 114.7 kg, costruite seguendo la metodologia esposta
al punto precedente.
Si ricorda che in ascisse viene riportata la frequenza f di eccitazione in Hz, in ordinate il rapporto
adimensionale β tra l’accelerazione rilevata sperimentalmente del mozzo e quella dell’attuatore;
ogni diagramma di β in funzione di f, è seguito dalla relativa rappresentazione della fase.
I parametri che sono stati variati sono la pressione di gonfiaggio p espressa in bar e l’ampiezza
dell’eccitazione Ain in millimetri, secondo lo schema riassuntivo sotto riportato:
Pneumatico PIRELLI F3 anteriore, 200/50-13’. Massa 114.7 kg.
Pressione
[bar]
Ampiezza di y(t)
[mm]
1.05 1.25 1.50
1 1 1
1.5 1.5 1.5
2 2 2
Le prime tre coppie di diagrammi sono relativi alle prove condotte a temperatura ambiente, ovvero
a freddo, mentre gli altri sei diagrammi alle prove con il pneumatico in temperatura con la
termocoperta attivata (vedi Figura 4.2.6). La distribuzione di temperatura rilevata in quest’ultimo
caso è risultata molto simile a quella delle prove statiche condotte sulla pressa (Capitolo 4.1),
ovvero battistrada a circa 60÷70°C, spalle e cerchione a 40÷45°C.
Le pressioni durante le prove in temperatura sono state mantenute agli stessi valori dei test a freddo
per poter avere un riscontro diretto.

Prove a freddo.
9
b
Angolo di sfasamento f
f [rad]
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 109
Pneumatico anteriore, pressione 1.05 bar
T = Tamb
Ain = 2 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 1 mm
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.10. Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a freddo e pressione di 1.05 bar.
0
-1,57
-3,14
Pneumatico anteriore, T = Tamb, pressione 1.05 bar
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Ain = 2 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 1 mm
Figura 4.2.11. Diagrammi delle fasi del pneumatico anteriore a freddo e pressione di 1.05 bar.
f [Hz]

7
bb
Angolo di sfasamento ff [rad]
6
5
4
3
2
1
0
Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 110
Pneumatico anteriore, pressione 1.25 bar
T = Tamb
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.12. Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a freddo e pressione di 1.25 bar.
0
-1,57
-3,14
Pneumatico anteriore, T = Tamb, pressione 1.25 bar
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
Figura 4.2.13. Diagrammi delle fasi del pneumatico anteriore a freddo e pressione di 1.25 bar.
f [Hz]

7
b
Angolo di sfasamento f
f [rad]
6
5
4
3
2
1
0
Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 111
Pneumatico anteriore, pressione 1.50 bar
T = Tamb
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.14. Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a freddo e pressione di 1.50 bar.
0
-1,57
-3,14
Pneumatico anteriore, T = Tamb, pressione 1.50 bar
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
Figura 4.2.15. Diagrammi delle fasi del pneumatico anteriore a freddo e pressione di 1.50 bar.
f [Hz]

Prove a caldo.
8
b
Angolo di sfasamento ff [rad]
7
6
5
4
3
2
1
0
Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 112
Pneumatico anteriore, pressione 1.05 bar
T = Thot
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.16. Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a caldo e pressione di 1.05 bar.
0
-1,57
-3,14
Pneumatico anteriore, T = Thot, pressione 1.05 bar
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
Figura 4.2.17. Diagrammi delle fasi del pneumatico anteriore a caldo e pressione di 1.05 bar.
f [Hz]

9
b
Angolo di sfasamento f [rad]
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 113
Pneumatico anteriore, pressione 1.25 bar
T = Thot
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.18. Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a caldo e pressione di 1.25 bar.
0
-1,57
-3,14
Pneumatico anteriore, T = Thot, pressione 1.25 bar
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
Figura 4.2.19. Diagrammi delle fasi del pneumatico anteriore a caldo e pressione di 1.25 bar.
f [Hz]

7
b
Angolo di sfasamento ff [rad]
6
5
4
3
2
1
0
Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 114
Pneumatico anteriore, pressione 1.50 bar
T = Thot
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.20. Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a caldo e pressione di 1.50 bar.
0
-1,57
-3,14
Pneumatico anteriore, T = Thot, pressione 1.50 bar
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
Figura 4.2.21. Diagrammi delle fasi del pneumatico anteriore a caldo e pressione di 1.50 bar.
f [Hz]

Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 115
Un confronto tra le risposte del pneumatico al variare della pressione si può ottenere sovrapponendo
i diagrammi relativi ad una specifica ampiezza di ingresso Ain a differenti pressioni di gonfiaggio.
b
bb
7
6
5
4
3
2
1
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Pneumatico anteriore a freddo al variare della pressione
Ain = 1 mm.
p = 1.05 bar
p = 1.25 bar
p = 1.50 bar
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.22. Risposta in frequenza a freddo al variare della pressione di gonfiaggio per Ain = 1 mm.
P n e u m a tic o a n te r io r e a fr e d d o a l v a r ia r e d e lla p r e s s io n e
A in = 1 .5 m m .
p = 1 .0 5 b a r
p = 1 .2 5 b a r
p = 1 .5 0 b a r
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0
f [H z ]
Figura 4.2.23. Risposta in frequenza a freddo al variare della pressione di gonfiaggio per Ain = 1.5 mm.

7
6
5
4
3
2
1
0
b
Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 116
Pneumatico anteriore a freddo al variare della pressione
Ain = 2 mm.
p = 1.05 bar
p = 1.25 bar
p = 1.50 bar
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.24. Risposta in frequenza a freddo al variare della pressione di gonfiaggio per Ain = 2 mm.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Pneumatico anteriore a caldo al variare della pressione
Ain = 1 mm.
p = 1.05 bar
p = 1.25 bar
p = 1.50 bar
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.25. Risposta in frequenza a caldo al variare della pressione di gonfiaggio per Ain = 1 mm.

b
7
6
5
4
3
2
1
0
Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 117
Pneumatico anteriore a caldo al variare della pressione
Ain = 1.5 mm.
p = 1.05 bar
p = 1.25 bar
p = 1.50 bar
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.26. Risposta in frequenza a caldo al variare della pressione di gonfiaggio per Ain = 1.5 mm.
6
5
4
3
2
1
0
Pneumatico anteriore a caldo al variare della pressione
Ain = 2 mm.
p = 1.05 bar
p = 1.25 bar
p = 1.50 bar
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.27. Risposta in frequenza a caldo al variare della pressione di gonfiaggio per Ain = 2 mm.

Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 118
4.2.5 Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 posteriore. Massa 137.2 kg
Prove a temperatura ambiente
b
Angolo di sfasamento [f ]
12
10
8
6
4
2
0
Pneumatico poseriore, pressione 1.05 bar
T = Tamb
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.28. Risposte in frequenza del pneumatico posteriore a freddo e pressione di 1.05 bar.
0
-1,57
-3,14
Pne umatico poste riore , pressione 1.05 bar
f [Hz]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
Figura 4.2.29. Diagrammi delle fasi per il pneumatico posteriore a freddo e pressione di 1.05 bar.

Angolo di sfasamento [ff ]
12
10
8
6
4
2
0
Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 119
Pneumatico poseriore, pressione 1.25 bar
T = Tamb
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.30. Risposte in frequenza del pneumatico posteriore a freddo e pressione di 1.25 bar.
0
-1,57
-3,14
Pneumatico posteriore, pressione 1.05 bar
f [Hz]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
Figura 4.2.31. Diagrammi delle fasi per il pneumatico posteriore a freddo e pressione di 1.25 bar.

9
b
Angolo di sfasamento [ff ]
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 120
Pneumatico poseriore, pressione 1.50 bar
T = Tamb
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.32. Risposte in frequenza del pneumatico posteriore a freddo e pressione di 1.25 bar.
0
-1,57
-3,14
Pneumatico posteriore, pressione 1.50 bar
f [Hz]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
Figura 4.2.33. Diagrammi delle fasi per il pneumatico posteriore a freddo e pressione di 1.25 bar.

Prove con il pneumatico in temperatura
.
b
Angolo di sfasamento [ff]
12
10
8
6
4
2
0
Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 121
Pneumatico poseriore, pressione 1.05 bar
T = Thot
Ain = 1 mm
Ain =1.5 mm
Ain = 2 mm
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.34. Risposte in frequenza del pneumatico posteriore in temperatura e pressione di 1.05 bar.
0
-1,57
-3,14
Pneumatico posteriore, pressione 1.05 bar
f [Hz]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain =2 mm
Figura 4.2.35. Diagrammi delle fasi per il pneumatico posteriore in temperatura e pressione di 1.05 bar.

Angolo di sfasamento [f ]
14
12
10
8
6
4
2
0
Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 122
Pneumatico poseriore, pressione 1.25 bar
T = Thot
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.36. Risposte in frequenza del pneumatico posteriore in temperatura e pressione di 1.25 bar.
0
-1,57
-3,14
Pneumatico posteriore, pressione 1.25 bar
f [Hz]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
Figura 4.2.37. Diagrammi delle fasi per il pneumatico posteriore in temperatura e pressione di 1.25 bar.

Angolo di sfasamento [f ]
12
10
8
6
4
2
0
Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 123
Pneumatico poseriore, pressione 1.50 bar
T = Thot
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f [Hz]
Figura 4.2.38. Risposte in frequenza del pneumatico posteriore in temperatura e pressione di 1.50 bar.
0
-1,57
-3,14
Pneumatico posteriore, pressione 1.50 bar
f [Hz]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
Figura 4.2.39. Diagrammi delle fasi per il pneumatico posteriore in temperatura e pressione di 1.50 bar.

Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 124
4.2.6 Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 anteriore. Massa 67 kg
Angolo di sfasamento ff [rad]
b
6
5
4
3
2
1
0
Risposta in frequenza del pneumatico anteriore
m = 67 kg, p=1.05 bar
T = Tamb
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Frequenza [Hz]
Ain = 1 mm
Ain = 2 mm
Figura 4.2.40. Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a freddo con m = 67 kg, p = 1.05 bar.
3,14
2,36
1,57
0,79
0,00
Fase del pneumatico anteriore con m= 67 kg.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Frequenza [Hz]
Ain = 1 mm
Ain = 2 mm
Figura 4.2.41. Diagrammi delle fasi per il pneumatico anteriore a freddo con m = 67 kg, p = 1.05 bar.

Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 125
4.2.7 Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 anteriore. Massa 90 kg
b
Angolo di sfasamento f [rad]
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Figura 4.2.42. Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a freddo con m = 90 kg, p = 1.05 bar.
3,14
2,36
1,57
0,79
0,00
Fase delpneumatico anteriore con m = 90 kg.
Risposta in frequenza del pneumatico anteriore
m = 90 kg, p = 1.05 bar
T = Tamb
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Frequenza [Hz]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Frequenza [Hz]
Ain = 1 mm
Ain = 2 mm
Ain = 1 mm
Ain = 2 mm
Figura 4.2.43. Diagrammi delle fasi per il pneumatico anteriore a freddo con m = 90 kg, p = 1.05 bar.

4.3 Analisi e discussione dei dati sperimentali
4.3.1 Osservazioni
Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 126
Una prima analisi visiva delle curve in frequenza esposte alla sezione precedente ha portato alle
seguenti osservazioni:
1. La risposta in frequenza del sistema presenta una netta risonanza, il cui valore non si mantiene
costante al variare dell’ampiezza di eccitazione e della pressione di gonfiaggio del pneumatico
2. Altri picchi in frequenza, di ampiezza molto più attenuata, sono in genere presenti nelle risposte
sperimentali; la loro origine è stata associata al visibile traballamento in senso laterale della
gomma posta sull’attuatore, all’uscita dalla risonanza. La causa di ciò è stata imputata allo
sbalzo della zavorra, non perfettamente centrata, e al sistema di vincolamento del pneumatico. I
punti che definiscono questi picchi, pur essendo stati riportati interamente in quanto parte
dell’acquisizione sperimentale, non sono stati considerati in fase di analisi
3. Il sistema evidenzia le sue caratteristiche di non-linearità, in quanto non si ha mai la coincidenza
delle curve relative a diversi valori di Ain, ampiezza della forzante sinusoidale. L’analisi è stata
condotta quindi punto per punto.
4. L’analisi delle curve di risposta nel tempo ha confermato l’andamento sinusoidale periodico del
segnale di uscita, il quale, se sovrapposto a quello di ingresso, mostra uno smorzamento
nell’ampiezza ed un ritardo di fase
5. Nell’intorno della frequenza di risonanza il pneumatico mostrava evidenti saltellamenti sul
piattello dell’attuatore oleodinamico, con conseguente perdita di contatto temporaneo. I valori
calcolati con il modello proposto, che non considera la possibilità di una perdita di contatto tra il
battistrada e il suolo, non sono quindi da ritenersi attendibili per le frequenze in cui il
pneumatico saltella. Queste sono state stimate attraverso l’analisi della curva nel dominio del
tempo della forza di contatto gomma-piattello, per ciascuna frequenza. Le frequenze in cui la
forza si annulla (perdita del contatto), non possono essere incluse nel calcolo effettuato con il

Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 127
modello a contatto. Rigidezza e smorzamento sono stati calcolati quindi con un altro metodo,
detto della larghezza di banda.
6. Il segnale che si ha in uscita per le frequenze lontane dalle risonanza è molto basso, essendo
molto ridotto il valore di β.
4.3.2 Calcolo della rigidezza e dello smorzamento con modello a contatto
Il calcolo dei parametri del modello dinamico di pneumatico considerato, la rigidezza K e lo
smorzamento c, è stato in un primo tempo effettuato analizzando per punti le curve di risposta in
frequenza; per ciascun punto sperimentale si sono applicate le formule relative alla vibrazione di un
sistema ad un grado di libertà. La risposta in frequenza per tale sistema vale
in cui
̇x
̇ A
β = =
̇y
̇ A
ζ =
out
2
in
c
=
Km
1+
( 2ζω
/ ω n )
2 2
( ω / ω ) + 2
[ ] ( ) 2
1−
ζω / ω
Inoltre tra lo smorzamento e la rigidezza è valida la relazione:
n
2 ( K mω
)
2
n
K
ω n = .
m
1
c = tgϕ
− (4.3-2).
ω
(4.3-1)
Per cui tramite i valori della risposta β e dello sfasamento ϕ per ciascuna frequenza è stato possibile
calcolare la rigidezza e lo smorzamento del pneumatico in funzione della frequenza nel campo di
indagine e dell’ampiezza di spostamento in ingresso.
In Figura 4.3.1 viene riportato un esempio di calcolo della rigidezza dinamica per punti espressa in
[kg/mm]; è evidenziato l’intervallo in cui il modello considerato non può essere impiegato, in
quanto per tali frequenze la gomma perde il contatto con la base eccitatrice, nella fattispecie il
piattello d’appoggio dell’attuatore oleodinamico. Di seguito, in Figura 4.3.2, è diagrammato lo
smorzamento c in [Ns/m]; il suo andamento si rivela crescente al crescere della frequenza.

Smorzamento [Ns/m]
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
Figura 4.3.1 Metodo di calcolo della rigidezza dinamica per punti.
Ain = 1 mm
Ain = 1.5 mm
Ain = 2 mm
Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 128
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Frequenza [Hz]
Figura 4.3.2 Smorzamento per il pneumatico anteriore con il metodo di calcolo per punti.
Una serie di critiche oggettive è stata in seguito mossa verso il metodo di calcolo dei parametri a
partire dall’analisi puntuale della risposta; le curve di rigidezza in funzione della frequenza che ne
risultano dimostrano che il sistema è di tipo softening, diminuisce cioè in rigidezza all’aumentare
della ampiezza di eccitazione. D’altra parte l’andamento complessivo della rigidezza mostra un
carattere non definito che è stato considerato e poco attendibile: la zona di maggiore segnale, quella
attorno alla risonanza, viene immancabilmente scartata, in quanto mostra una cuspide nel punto di

Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 129
risonanza; inoltre alle basse frequenze, dove il pneumatico si muove pochissimo, si hanno valori
molto elevati della rigidezza, la quale, contrariamente a quanto ci si aspetti, sembrerebbe calare
all’aumentare della frequenza.
La presenza di altri picchi di minore entità (si vedano a riguardo le curve relative al pneumatico
anteriore con masse di 67 e 90 kg), legati all’insorgere di un altro modo di vibrare del pneumatico,
seppure trascurata nel calcolo, va sicuramente a sporcare in modo tutt’altro che quantificabile la
risposta del modo verticale.
Per tali motivi è stato impiegato un altro metodo, riportato di seguito, per il calcolo dei parametri
dinamici; esso è stato scelto per la semplicità che lo contraddistingue e per il fatto che restringe
l’analisi ai punti maggiormente significativi attorno alla risonanza.
4.3.3 Il metodo della larghezza di banda
La forma della risposta in frequenza di un sistema monodimensionale è strettamente correlata al
valore del coefficiente di smorzamento. Diagrammando la risposta in frequenza del sistema in
funzione del parametro adimensionale
ω
r = il valore β della risposta è esprimibile nella forma
ω
n
1
β = (4.3-3).
( ) ( ) 2
2 2
1−
r + 2rζ
Il metodo, detto anche half-power method, si basa sul calcolo del valore di r in corrispondenza di β
pari a ( / 2)
1 volte il valore massimo, quello cioè in corrispondenza della risonanza.
Poiché per r = 1 (condizione di risonanza naturale) è
sostituendo nella (4.3-3) si ottiene
1
2
1
ζ =
2β
r=
1
1 1
=
2ζ
r
( ) ( ) 2
2 2
1−
r + 2 ζ

espressione che quadrata da entrambe le parti porta alla
2 2
2
( 2ζ
−1)
r + ( 1−
8 ) = 0
4
r + 2
ζ (4.3-4).
Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 130
Nell’ipotesi che il coefficiente di smorzamento sia molto piccolo, le radici della (4.3-4), trascurando
gli ordini di ζ superiori al secondo, sono
r
r
1
2
=
=
( )
( ) 2 / 1
2 1/
2
1−
2ζ
− 2ζ
2
1+
2ζ
− 2ζ
Elevando al quadrato e sottraendo la seconda equazione alla prima si ottiene infine
2 2 ( r − r )
1
ζ = 2 1 (4.3-5)
4
che è l’espressione dello smorzamento cercata. L’intervallo di frequenze comprese tra r1 e r2 viene
chiamato banda di frequenza a mezza potenza, per il fatto che il lavoro dissipato ad ogni ciclo per
effetto dell’attrito viscoso del materiale in corrispondenza di r1 o r2, è approssimativamente la metà
di quello dissipato in condizioni di risonanza.
In Figura 4.3.3 viene mostrato il metodo della larghezza di banda per la valutazione di ζ; tracciando
la retta parallela all’asse delle ascisse per il valore di = ( 1 / 2)
β r=
1
risposta i due valori r1 ed r2, ed è possibile l’utilizzo della (4.3-5).
Figura 4.3.3 Metodo delle larghezza di banda.
β si trovano sulla curva della

Per il calcolo della rigidezza si ha poi
K
ω d = ω n
−
m
2
2
1− 2ζ
= 1 2ζ
Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 131
Figura 4.3.4 Metodo delle larghezza di banda applicato ad una curva sperimentale.
4.3.4 Risultati delle prove sperimentali
I valori di rigidezza e di smorzamento sono stati diagrammati in funzione della ampiezza della
forzante Ain espressa in millimetri e della pressione di gonfiaggio p in bar.
Non essendo stato possibile calcolare i due parametri per tutte le frequenze investigate, è stato
effettuato un raffronto con le prove del pneumatico con zavorra di 67 e 90 chilogrammi, in modo
tale da traslare la frequenza di risonanza. Dall’analisi di tali valori, seppure scarsi in numero, si è
dedotto che la rigidezza dinamica e lo smorzamento non subiscono, nell’intorno delle frequenze in
esame, apprezzabili cambiamenti.
.

Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 132
È possibile quindi costruire i diagrammi di K e c non considerando l’influenza della frequenza
senza commettere un grande errore, in quanto le risonanze sono molto vicine tra loro. In tabella
vengono riportati i risultati delle prove sperimentali.
Pneumatico Anteriore, massa = 114.7 kg
A temperatura ambiente
p [bar] 1,05 1,25 1,5
Ain [mm] 1 1,5 2 1 1,5 2 1 1,5 2
K [kg/mm] 20,1 19,2 17,0 21,0 20,2 18,3 22,1 21,4 20,3
fd [hz] 6,0 6,0 5,5 6,5 6,0 5,7 6,5 6,5 6,0
c [Ns/m] 341,7 410,0 547,9 408,0 426,8 486,3 444,5 600,8 710,2
In temperatura
p [bar] 1,05 1,25 1,5
Ain [mm] 1 1,5 2 1 1,5 2 1 1,5 2
K [kg/mm] 18,2 17,6 16,6 19,0 18,2 17,0 21,0 20,2 18,3
fd [hz] 5,7 5,5 5,5 6,0 5,7 5,5 6,5 6,0 5,7
c [Ns/m] 274,1 405,0 549,9 324,5 401,0 507,9 526,3 689,4 754,2
Pneumatico Posteriore, massa = 137,2 kg
A temperatura ambiente
p [bar] 1,05 1,25 1,5
Ain [mm] 1 1,5 2 1 1,5 2 1 1,5 2
K [kg/mm] 20,5 19,8 18,0 21,1 20,4 19,3 22,3 21,4 19,6
fd [hz] 5,7 5,5 5,5 6,0 5,7 5,5 6,5 6,0 5,7
c [Ns/m] 346,6 526,3 620,0 511,5 574,9 638,6 666,6 657,0 689,9
In temperatura
p [bar] 1,05 1,25 1,5
Ain [mm] 1 1,5 2 1 1,5 2 1 1,5 2
K [kg/mm] 20,0 19,1 17,8 20,6 19,6 18,9 21,6 20,8 18,6
fd [hz] 5,7 5,5 5,5 6,0 5,7 5,5 6,0 5,7 5,7
c [Ns/m] 469,6 557,2 711,9 422,3 514,9 656,0 477,7 546,3 722,2
Pneumatico Anteriore, massa = 67 kg Pneumatico Anteriore, massa = 90 kg
A temperatura ambiente A temperatura ambiente
p [bar] 1,05 p [bar] 1,05
Ain [mm] 1 2 Ain [mm] 1 2
K [kg/mm] 21,0 17,2 K [kg/mm] 20,2 17,0
fd [hz] 7,4 6,8 fd [hz] 6,6 6,2
c [Ns/m] 459,9 643,8 c [Ns/m] 413,3 599,9

Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 133
Figura 4.3.5. Rigidezza verticale in [kg/mm]del pneumatico anteriore in funzione della frequenza.
Figura 4.3.6. Smorzamento in [Ns/m] del pneumatico anteriore in funzione della frequenza.

Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 134
Figura 4.3.7. Rigidezza verticale del pneumatico anteriore a temperatura ambiente in funzione di Ain della
forzante e della pressione di gonfiaggio.
Figura 4.3.8. Smorzamento del pneumatico anteriore a freddo in funzione di Ain della forzante e della pressione.

Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 135
Figura 4.3.9. Rigidezza verticale del pneumatico PIRELLI F3 anteriore in temperatura in funzione di Ain della
forzante e della pressione di gonfiaggio.
Figura 4.3.10. Smorzamento del pneumatico anteriore a caldo in funzione di Ain della forzante e della pressione.

Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 136
Figura 4.3.11. Rigidezza verticale del pneumatico PIRELLI F3 posteriore a temperatura ambiente in funzione di
Ain della forzante e della pressione di gonfiaggio.
Figura 4.3.12. Smorzamento del pneumatico posteriore a freddo in funzione di Ain e della pressione.

Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 137
Figura 4.3.13. Rigidezza verticale del pneumatico PIRELLI F3 posteriore in temperatura in funzione di Ain della
forzante e della pressione di gonfiaggio.
Figura 4.3.14. Smorzamento del pneumatico posteriore a caldo in funzione di Ain e della pressione.

Rigidezza [kg/mm]
Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 138
Figura 4.3.15. Confronto tra le rigidezze a freddo ed in temperatura per il pneumatico anteriore.
Smorzamento [Ns/m]
22,0
20,0
18,0
16,0
14,0
12,0
10,0
800,0
700,0
600,0
500,0
400,0
300,0
200,0
Figura 4.3.16. Confronto tra gli smorzamenti a freddo ed in temperatura per il pneumatico anteriore.
Discussione dei risultati
Temperatura
ambiente
Temperatura di
esercizio
p=1.05 bar
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Ampiezza Ain [mm]
Temperatura
ambiente
Temperatura di
esercizio
p=1.05 bar
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Ampiezza Ain [mm]
I risultati ottenuti per i due pneumatici PIRELLI F3 anteriore e posteriore sono stati ricavati dalle
prove sperimentali condotte su uno degli attuatori del Seven-Poster Rig. Le prove sono state
condotte con i pneumatici a temperatura ambiente e a caldo ad una temperatura prossima a quella di
esercizio su pista. È stata variata la pressione di gonfiaggio, l’ampiezza dello spostamento
sinusoidale del piattello dell’attuatore e, per il pneumatico anteriore, il carico applicato.

Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 139
Per la caratterizzazione del comportamento dinamico verticale del pneumatico è stato adottato un
semplice modello a due parametri concentrati che tengano conto della rigidezza e dello
smorzamento del sistema. In generale tali parametri hanno dimostrato, in accordo con le ipotesi di
non-linearità del sistema, di essere funzione di tutti i parametri in ingresso; in particolare la
deformazione verticale del pneumatico si è rivelato il fattore più incisivo. Una prima metodologia
impiegata per il calcolo di K e di c non ha portato a risultati apprezzabili per una serie di motivi: il
pneumatico perdeva di contatto nell’intorno di frequenze vicino a quella della risonanza, e la sua
risposta non poteva essere valutata. Per le altre frequenze, a causa della tipologia di modello ad un
grado di libertà impiegato, non è stato possibile valutare l’influenza che altri modi di vibrare insorti
hanno causato nella risposta, ed il segnale si è presentato molto debole lontano dalle risonanze.
Una valutazione approssimata del comportamento dinamico dei pneumatici è stata tuttavia allora
analizzando i picchi di risonanza della funzione di risposta in frequenza con il metodo della
larghezza di banda a mezza potenza, il quale ha fornito rigidezza e smorzamento per ogni valore
dell’ampiezza della curva di eccitazione in ingresso.
Le prove a massa differente, effettuate solamente sul pneumatico anteriore, hanno dimostrato che la
rigidezza, nell’intorno delle frequenze in esame, non subisce grandi variazioni, ed il suo valore è
leggermente superiore a quello statico. Questo fatto ha permesso di analizzare il comportamento
dinamico del sistema per le frequenze attorno alla risonanza, valutando l’influenza degli altri
parametri. La deformazione statica iniziale attorno alla quale il pneumatico oscilla, corrisponde in
ogni caso a quella presente sulla vettura non in movimento.
L’analisi dei risultati può essere soggetta alle seguenti conclusioni:
1. Entrambi i pneumatici PIRELLI hanno mostrato un calo di rigidezza, accompagnato da un
aumento dello smorzamento, all’aumentare dello spostamento della base eccitatrice
(comportamento di tipo softening)
2. Un aumento della pressione di gonfiaggio provoca l’irrigidimento del pneumatico, e l’effetto è
più marcato per una maggiore ampiezza dell’eccitazione della base

Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 140
3. I pochi punti a disposizione per l’analisi della dipendenza dal carico per il pneumatico anteriore
mostrano un leggero aumento di rigidezza all’aumentare della frequenza. Questo fatto è peraltro
in linea con il comportamento viscoelastico della gomma. Per le frequenze di indagine, pari a 6,
6.6 e 7.4 Hz, il pneumatico mostra inoltre una rigidezza molto simile. Tale rigidezza si mantiene
comunque vicina ai valori di rigidezza statica.
4. L’effetto della temperatura, coeteris paribus, è quello di abbassare i valori di rigidezza per
entrambi i pneumatici ed innalzarne lo smorzamento. Le rigidezze dinamiche in temperatura
sono quindi del tutto paragonabili a quelle calcolate nelle prove di caricamento statico.

Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 141
Capitolo 5. Sviluppo di un modello matematico a parametri concentrati per la
Introduzione
vettura F3
Lo scopo di un modello matematico che simuli un certo fenomeno fisico, è essenzialmente quello di
comprendere in modo veloce ed economico i parametri che regolano il fenomeno stesso, ed il ruolo
ricoperto da ognuno di essi nella dinamica del sistema.
Alla base dello sviluppo di uno strumento di simulazione realistico e flessibile, c’è il processo di
modellazione del sistema in esame; viene preso in considerazione ogni componente autonomo dal
punto di vista dinamico, ed ogni organo in grado di trasmettere forze e accelerazioni. La
modellazione si basa poi su determinate ipotesi più o meno semplificative, che si rivelano nella
maggior parte dei casi i limiti del modello stesso. Mediante la rimozione di talune ipotesi si può
comunque portare l’evoluzione di ogni modello a livelli più spinti che forniscono risultati più
attendibili o più significativi.
L’idea che sta alla base di ogni modellazione è però comune: un modello non va inteso come un
esercizio matematico fine a se stesso, bensì come uno strumento da tarare con dati sperimentali la
cui finalità è in fondo quella di supportare e completare l’interpretazione di fenomeni fisici reali.
Con tale spirito, con l’ausilio di due modelli matematici di diversa complessità, è stata
schematizzata ed analizzata la dinamica verticale vibratoria della vettura Dallara da FORMULA 3.
Vista laterale della monoposto Dallara FORMULA 3.

Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 142
5.1 Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà
5.1.1 Ipotesi semplificative e modello adottato
Il modello è stato sviluppato con il modulo SIMULINK di MATLAB versione 5.1 che permette la
simulazione di fenomeni fisici anche complessi.
Lo schema di riferimento è quello della monosospensione di Figura 2.2.13 (modello De Carbon),
detto anche modello del quarto di macchina, qui riportato per comodità.
Per lo sviluppo della simulazione sono state formulate le seguenti ipotesi:
H1. Il modello è a parametri concentrati
H2. I movimenti della vettura sono esclusivamente in direzione verticale
H3. Il modello è lineare
H4. Vengono trascurate le forze aerodinamiche
H5. Non si ha distacco del pneumatico dal suolo.
Figura 5.1.1. Modello a due gradi di libertà relativo a metà vettura.
Secondo quanto riportato nello schema di figura, i parametri che caratterizzano il modello sono:
M = massa sospesa sull’anteriore o sul posteriore [kg]
m = massa non sospesa (ruote e parte delle sospensioni) [kg]
Ka = costante elastica delle molle dell’ammortizzatore [N/m]
ca = costante di smorzamento dell’ammortizzatore [Ns/m]
Kt = costante elastica dei pneumatici anteriore o posteriore [N/m].

Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 143
Viene quindi trascurato, in prima approssimazione, il parametro di smorzamento dei pneumatici, i
quali vengono schematizzati come una semplice molla.
Le coordinate che definiscono il moto del sistema sono invece:
xM = spostamento verticale della massa sospesa
xm = spostamento verticale della massa non sospesa
x = eccitazione data dal profilo altimetrico della strada.
Le equazioni del moto delle due masse si scrivono
..
.
.
M x M = −ca
x M + ca
x m − K a xM
+
..
.
.
m x m = ca
x M − ca
x m + K a xM
− ( K a + K t ) xm
+ K t x
K
a
x
m
(5.1-1)
(5.1-2)
che sono due equazioni differenziali accoppiate in cui compaiono spostamenti, velocità e
accelerazioni delle coordinate xM e xm.
La contact patch load (CPL, forza di contatto a terra), che rappresenta la forza che si scambia il
pneumatico con il terreno, è la quantità
CPL t m
[ x ( t)
− x(
) ]
( t)
= −K
t
(5.1-3)
mentre la strut force (SF, forza sugli ammortizzatori) che si scambiano massa sospesa e massa non
sospesa, è definita da
.
.
⎡
⎤
( t)
= −K
a [ xM
( t)
− xm
( t)
] − ca
⎢
x M ( t)
− x ( t)
⎣
⎥
(5.1-4).
⎦
SF m
Più semplicemente allora le (5.1-1) e (5.1-2) si possono scrivere
..
M x M =
..
SF
m x m = CPL − SF
(5.1-5)
(5.1-6).
Passando dal dominio del tempo a quello delle frequenze ed effettuando le trasformate di Laplace
delle due equazioni (5.1-5) e (5.1-6) si ottengono facilmente le funzioni di trasferimento Hm(s) e
HM(s) nel dominio della variabile complessa s di Laplace, tra gli spostamenti assoluti xM della massa
sospesa e xm di quella non sospesa (output) e lo spostamento della base x (input):

H
H
X
( s)
Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 144
Ms
+ c s + K
m ( s)
=
m
X ( s)
2
a a
=
Mm 4 M + m 3 K t + K a K a 3
s + ca
s + ( M + m)
s + ca
s + K a
K t K t
K t K t
(5.1-7)
X
( s)
c s + K
M
a a
M ( s)
= =
(5.1-8).
X ( s)
Mm 4 M + m 3 K t + K a K a 3
s + ca
s + ( M + m)
s + ca
s + K a
K t K t
K t K t
Le due relazioni (5.1-7) e (5.1-8) sono alla base della costruzione del modello, in quanto operando
una loro integrazione numerica secondo il metodo Runge-Kutta, il programma di simulazione
calcola la risposta nel tempo del sistema ad un determinato input.
Di seguito viene mostrata la costruzione a blocchi del modello nell’ambiente di SIMULINK: la
C:\matlab\work\input
entrata
Ma.s 2+caa.s+Kaa
as 4+bs 3+cs 2+caa.s+Kaa
Tr fcn Xma
caa.s+Kaa
as 4+bs 3+cs 2+caa.s+Kaa
Tr fcn XMa
Figura 5.1.2. Il modello elementare a due gradi di libertà sviluppato con SIMULINK.
funzione di trasferimento viene calcolata nel dominio della frequenza, mentre l’uscita torna ad
essere nel dominio del tempo. L’output di ogni segnale di interesse può essere visualizzato tramite
un oscilloscopio virtuale e salvato nel workspace di MATLAB per la sua elaborazione.
Mux
Mux1
du/dt
1
Mux
Mux2
du/dt
3
du/dt
2
du/dt
4
xma(t)
vma(t)
ama(t)
xMa(t)
vMa(t)
aMa(t)

Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 145
Nell’esempio di Figura 5.1.2 gli output sono spostamenti, velocità e accelerazioni delle masse
sospesa e non sospesa.
Una volta tarato con i valori nominali dei parametri, quali masse, rigidezze e smorzamenti, il
modello è pronto per la simulazione. L’aspetto maggiormente interessante è quello di poter
cambiare velocemente i valori dei parametri in gioco, analizzando le conseguenze che si hanno sulle
curve delle funzioni di trasferimento.
In un unico programma sviluppato nell’ambito di MATLAB (Programma 1 negli allegati), vengono
dichiarati i valori dei parametri omogenei nelle dimensioni, viene lanciata la simulazione, si
calcolano le funzioni di trasferimento tra le grandezze di interesse e se ne costruisce il diagramma.
Nel paragrafo successivo si riportano i risultati relativi ad una campagna di prove effettuate
sull’assale anteriore; l’ingresso è definito da un’onda sinusoidale che nel tempo di 100 secondi,
mantenendo la sua ampiezza unitaria costante, passa dalla frequenza di 0.1 Hz alla frequenza di 25
Hz (chirp signal). Le funzioni di trasferimento e le relative fasi diagrammate sono relative a:
xM 1. = spostamento o accelerazione massa sospesa/spostamento o accelerazione della base in nero
x
xm 2. = spostamento o accelerazione massa non sospesa/spostamento o accelerazione della base in
x
rosso
3.
CPL
= forza sulla massa non sospesa/forza di contatto a terra in blu.
K x
t
Si riportano di seguito i digrammi delle tre funzioni di trasferimento e delle tre fasi per i valori dei
parametri della vettura Dallara ricavati sperimentalmente:
Ma = 191 [kg] MASSA SOSPESA
Ma = 44 [kg] MASSA NON SOSPESA
Ra = 0.91 Rapporto cinematico movimento molla/movimento ruota
Caa = 3000/Ra^2 Ns/m SMORZAMENTO AMMORTIZZATORE riportato a terra
Kaa = 800 lb/in RIGIDEZZA SOSPENSIONE

Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 146
Kta = 17 [kg/mm] RIGIDEZZA PNEUMATICO
ζ = 0.3186 Coefficiente di smorzamento
Figura 5.1.3. Funzioni di trasferimento e fasi per l’asse anteriore a ζζζζ = 0.3186.
La prima osservazione riguarda la risposta in frequenza della massa sospesa: essa ha una prima
netta risonanza alla frequenza di 4 Hz ed una seconda risonanza, molto meno evidente, alla
frequenza di 14 Hz. Quest’ultima è dovuta alla risonanza della massa non sospesa, ben visibile nella
seconda curva in rosso, di cui anche il telaio risente.
La curva in blu, che indica la tendenza ad oscillare della forza di contatto a terra, assume valore
nullo per la frequenza nulla, ha una risonanza in corrispondenza del picco principale della massa
sospesa per l’effetto di “trascinamento” della massa stessa ed un altro picco molto meno accentuato
in corrispondenza della risonanza del gruppo ruota.

Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 147
È importante che tale curva si mantenga entro determinati valori per assicurare sempre il contatto a
terra da parte del pneumatico e per non fare cadere in difetto l’ipotesi H5.
5.1.2. Influenza dei parametri del modello sul comportamento dinamico della vettura
Lanciando la simulazione per svariati valori dei parametri che compaiono nel modello, è possibile
comprendere a fondo l’influenza di ogni cambiamento sulla dinamica verticale della vettura.
In particolare l’ottimizzazione del parametro di smorzamento degli ammortizzatori, per i motivi
ampiamente discussi al Capitolo 2.2, è mirata ad ottenere un compromesso tra l’ampiezza del picco
della prima risonanza e il valore massimo della funzione di trasferimento della forza di contatto.
Si vedrà infatti che i due aspetti sono in controtendenza.
EFFETTO DELLA RIGIDEZZA DELLE SOSPENSIONI
Figura 5.1.4. Effetto della rigidezza delle molle della sospensione sull’anteriore.
In figura viene rappresentato l’effetto che un irrigidimento delle sospensioni, a smorzamento
costante, provoca sulla risposta della massa sospesa: si ha una maggiore amplificazione dell’input e
la risonanza trasla verso frequenze più alte.

Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 148
Figura 5.1.5. Effetto della rigidezza della sospensione sulla TRF della forza di contatto a terra.
L’effetto invece che l’irrigidimento della sospensione ha sulla funzione di trasferimento della forza
di contatto a terra, vedi Figura 5.1.5, è più limitato, e sembrerebbe indicare un peggioramento nella
zona di risonanza della massa sospesa ed un miglioramento per le frequenze maggiori, dove la
curva relativa alla rigidezza di 950 lb/in sta al di sotto delle altre.
EFFETTO DELLA RIGIDEZZA DEI PNEUMATICI
Figura 5.1.6. Effetto della rigidezza dei pneumatici sulla risposta della massa sospesa.
Aumentando la rigidezza dei pneumatici, di quelli anteriori nel caso considerato, si ha un maggiore
smorzamento del movimento della massa sospesa alla frequenza di risonanza, mentre per la alte
frequenze l’effetto del cambiamento di rigidezza è trascurabile.

Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 149
Figura 5.1.7. Effetto della rigidezza dei pneumatici sulla risposta della forza di contatto a terra.
La risposta in frequenza della fluttuazione della forza di contatto a terra ha un andamento molto
simile, ma per le alte frequenze il pneumatico più rigido si dimostra meno efficace di quello con
rigidezza di 14 kg/mm.
Si può concludere che l’irrigidimento dei pneumatici sortisce effetti opposti a quelli dati
dall’irrigidimento della sospensione.
EFFETTO DELLA MASSA SOSPESA
Figura 5.1.8. Effetto della massa sospesa sulla risposta del sistema.
L’effetto di un diminuzione della massa della vettura nella risposta del sistema è evidente: il picco
di risonanza si sposta verso frequenze più alte e si attenua in ampiezza.

Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 150
Figura 5.1.9. Effetto della massa sospesa sulla risposta del sistema.
La forza di contatto a terra presenta un andamento simile; l’effetto della massa sospesa si fa sentire
nell’intorno della prima risonanza, in cui è preferibile un corpo vettura più pesante (notare la curva
rossa e la nera), mentre non sembra influenzare significativamente le curve ad alta frequenza.
EFFETTO DELLA MASSA NON SOSPESA
Per meglio apprezzare l’effetto di questo parametro sulla dinamica del sistema, la risposta in
frequenza della massa sospesa è stata diagrammata in scala semilogaritmica.
Figura 5.1.10. Effetto della massa non sospesa sulla vibrazione della massa sospesa.

Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 151
Si nota chiaramente l’effetto della massa non sospesa sulla seconda risonanza, la quale, in seguito
ad una diminuzione della stessa, viene traslata verso frequenze maggiori e smorzata notevolmente.
Figura 5.1.11. Effetto della massa non sospesa sulla forza di contatto a terra.
Ecco un buon motivo per mantenere basso il valore della massa non sospesa, soprattutto nell’ambito
delle competizioni, dove i cerchi in lega leggera vengono universalmente adottati. Scavando nel
passato della FORMULA 1, si trova che Lotus e Ferrari sperimentarono ed adottarono in gara i
dischi dei freni posteriori “on board”, solidali cioè al corpo della vettura, per alleggerire le ruote.
Un altro ottimo motivo per mantenere basso il valore della massa sospesa è rappresentato in Figura
5.1.11, in cui si apprezza il maggiore smorzamento nella curva della forza di contatto a terra relativa
alla massa di 25 kg, sia nel primo che soprattutto nel secondo picco.
EFFETTO DELLO SMORZAMENTO DELLE SOSPENSIONI
Lo smorzamento della sospensione rappresenta il parametro più delicato e forse di maggior peso
nella taratura e messa a punto della vettura, sia da strada che da competizione. Si è visto che la
vettura da corsa viene dotata di ammortizzatori con smorzamento molto alto, con coefficiente ζ
attorno a 0.45, per avere una bassa trasmissibilità delle sollecitazioni stradali ed esterne; tuttavia lo
smorzamento non può essere troppo elevato per non irrigidire eccessivamente la vettura, e sortire in
questo modo l’effetto opposto. La forza di contatto a terra , molto importante per la tenuta di strada,
ne risentirebbe, in quanto i pneumatici diventerebbero l’unica rigidezza presente nel sistema.

Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 152
Figura 5.1.12. Risposta in frequenza della massa sospesa per diversi valori del coefficiente di smorzamento.
In Figura 5.1.12 vengono riportate in scala semilogaritmica cinque funzioni di trasferimento della
massa sospesa per cinque valori di smorzamento della sospensione:
Colore curva Smorzamento sospensione [Ns/m] Coeff. di smorzamento ζ
NERO 800 0.0850
ROSSO 1600 0.1699
VERDE 2500 0.2655
TURCHESE 4000 0.4248
BLU 5500 0.5841
Come mostrano le curve riportate, un valore di smorzamento alto è decisamente preferibile, in
quanto le due risonanze vengono parecchio attenuate, sebbene per le frequenze comprese tra i due
picchi e per quelle maggiori del secondo picco si abbia un’attenuazione minore.
Inoltre, contrariamente a quanto accade per il modello ad un grado di libertà, aumentando il valore
di ζ il primo picco di risonanza della massa sospesa trasla verso frequenze più alte, passando,
nell’esempio considerato, da 4 a 4.6 Hz. La seconda risonanza, relativa alla massa non sospesa, si
sposta invece nel verso opposto.

Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 153
Diagrammando le curve della funzione di trasferimento della forza di contatto battistrada-suolo per
gli stessi valori del coefficiente di smorzamento, si ritrovano andamenti analoghi.
Figura 5.1.13. Funzioni di trasferimento della forza di contatto per diversi valori di ζζζζ.
Aumentando lo smorzamento i due picchi nella risposta in frequenza della forza si abbassano
notevolmente, in modo particolare quello relativo alla prima risonanza. Ma non è così per tutto lo
spettro delle frequenze: in particolare si nota come per le frequenze intermedie, tra le due risonanze,
un valore elevato dello smorzamento peggiori la trasmissione della forza a terra, in quanto si ha un
grande spostamento relativo tra la base eccitatrice e la massa non sospesa.
Va cercato quindi un compromesso per trovare una situazione di equilibrio tra le due esigenze,
smorzare le oscillazioni delle masse sospesa e non sospesa e mantenere entro certi limiti le
oscillazioni della forza tra pneumatico e strada. Il modello De Carbon a due gradi di libertà
purtroppo non è in grado di fornire degli indici valutativi in merito, e questo a causa della sua
semplicità intrinseca. Alle alte frequenze infatti, secondo questo modello, il movimento della massa
sospesa è bassissimo, e l’input alla base si traduce in movimento della massa non sospesa, la quale
agisce da filtro.
Nella realtà ciò non accade, o accade molto meno, e lo smorzamento delle sospensioni non viene
scelto eccessivamente grande per non alterare il filtraggio alle alte frequenze.

RISPOSTA AD INPUT DI TIPO RANDOM
Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 154
Un’interessante applicazione del modello matematico a due gradi di libertà esposto è quella che
prevede un input di tipo random in grado di meglio rappresentare un possibile profilo stradale.
L’input del tipo chirp signal è stato adottato in precedenza per determinare in modo pulito la
risposta del sistema ad una sollecitazione sinusoidale di frequenza crescente ed ampiezza costante; i
parametri che regolano l’ingresso random sono invece più generici, in quanto viene definito il
valore medio dell’ingresso (zero) e la varianza della distribuzione gaussiana della frequenza di
eccitazione. Nel tempo della simulazione, il calcolatore genera poi un segnale casuale la cui
ampiezza varia entro determinati limiti, e contenente molte delle frequenze appartenenti
all’intervallo specificato.
Figure 5.1.14. Spostamento adimensionalizzato della massa sospesa in risposta all’ingresso di tipo chirp (a) e
all’ingresso di tipo random (b).
Nelle Figure 5.1.14 (a) e (b) vengono paragonate le uscite nel dominio del tempo, nella fattispecie
lo spostamento della massa sospesa, per i due tipi di ingresso.
Nonostante l’estrema diversità della risposta nel dominio del tempo all’ingresso random, tutte le
funzioni di trasferimento, ovvero le risposte del sistema nel dominio della frequenza, considerate
(masse sospesa e non sospesa, forza di contatto pneumatico-suolo) sono praticamente uguali a
quelle calcolate in precedenza.

Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 155
Questo lascia intendere l’utilità del modello a parametri concentrati come strumento in grado di
predire e sperimentare il comportamento dinamico qualitativo della vettura FORMULA 3 anche con
segnali di ingresso puramente teorici, come il chirp signal, senza perdere di generalità ed
affidabilità.
Figura 5.1.15. Funzioni di trasferimento del sistema rispetto all’ingresso random.

5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 156
5.2 Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà
5.2.1 Il modello a quattro gradi di libertà: caratteristiche e potenzialità
L’evoluzione del modello dinamico a parametri concentrati presentato nella sezione precedente, è
rappresentata dallo sviluppo di un modello a quattro gradi di libertà che schematizza l’intera vettura
da FORMULA 3.
Un modello a quattro gradi, riportato in Figura 5.2.1, rappresenta infatti in modo semplificato la
dinamica vibrazionale della vettura nel piano X-Z di figura, in quanto sono esclusi i moti di rollio.
I gradi di libertà sono relativi alla
traslazione z in senso verticale della massa
sospesa, alla traslazione delle due masse
non sospese anteriore e posteriore (x1 e x2),
ed alla rotazione Ry di beccheggio della
massa sospesa. Gli spostamenti verticali
dei punti dati dall’intersezione degli assali
anteriore e posteriore con l’asse
longitudinale X di figura, sono facilmente
ricavabili da considerazioni geometriche.
Figura 5.2.1. Il modello a 4 g.l. Con tale modello a parametri concentrati,
che presuppone una rigidezza infinita del telaio, è quindi possibile rappresentare il movimento di
beccheggio della vettura, ed indagare l’influenza che l’assale anteriore ha sul posteriore e viceversa,
non essendo più disgiunti come nel modello De Carbon a due gradi di libertà. Inoltre è prevista una
modellazione più completa dei pneumatici, in quanto viene incluso un parametro di smorzamento
oltre a quello che definisce la rigidezza. È possibile quindi utilizzare i risultati delle prove
sperimentali condotte per la caratterizzazione dinamica del pneumatico, introducendo
l’identificazione di tale parametro in modo completo. I risultati della simulazione possono essere
poi confrontati con i dati reali ricavati sul banco di prova Seven-Poster Rig.

5.2.2 I movimenti verticale e di beccheggio della vettura
5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 157
La semplice meccanica del modello del quarto o di metà macchina non rappresenta integralmente i
movimenti della vettura nel piano verticale. A causa della distanza tra i due assali, essa è
sostanzialmente un sistema multi-input in gradi di rispondere con movimenti verticale (bounce
motion) e di beccheggio (pitch motion). Tali movimenti non sono generalmente disgiunti, e la loro
presenza dipende dalle condizioni del manto stradale e dalla velocità del veicolo.
La comprensione del movimento di pitch è in ogni caso importante, poiché assieme al movimento
di bounce è responsabile dell’accelerazione verticale e longitudinale di ogni punto del veicolo.
Inoltre nella vettura da competizione il beccheggio va tenuto in grande considerazione in quanto
esso determina l’angolo di incidenza delle appendici aerodinamiche con il vento.
Nella marcia su strada o su pista, le sollecitazioni di cui risente l’asse anteriore non sono
indipendenti da quelle sull’asse posteriore, il quale viene approssimativamente sollecitato dalle
stesse forzanti solo sfasate di un tempo pari al rapporto (passo della vettura)/(velocità di marcia).
Questo ritardo di tempo in genere smorza l’ampiezza dei due movimenti. Si immagini infatti che i
due movimenti siano disgiunti (Figura 5.2.2); sarà presente solamente bounce del veicolo se le
sollecitazioni stradali, schematizzate come un’onda regolare, possiedono una lunghezza d’onda pari
al passo della vettura o a sottomultipli interi. Analogamente vi sarà soltanto pitch nel caso di
avvallamenti con lunghezza d’onda pari al doppio del passo del veicolo o ai suoi sottomultipli
interi.
Figura 5.2.2. Movimenti di bounce e di pitch della vettura.

5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 158
Di conseguenza per determinate frequenze il veicolo non mostra movimenti verticali, per altre
quelli di beccheggio, come risulta dai diagrammi di Figura 5.2.3, in cui si riporta la risposta in
frequenza di una vettura con risonanza della massa sospesa a 1.25 Hz, calcolata con il modello di
quarto di macchina e con il modello a quattro gradi di libertà.
In corrispondenza dei punti in cui tale risposta si annulla, non si hanno movimenti verticali o di
beccheggio, per cui la lunghezza d’onda dell’eccitazione soddisfa le due condizioni esposte al punto
precedente. Nella curva relativa al movimento di pitch si è assunto, come generalmente accade, che
la risonanza sia alla stessa frequenza del picco di bounce.
Figura 5.2.3. Risposta verticale simulata della vettura con modelli a due e quattro gradi di libertà.
5.2.3 Frequenze di bounce e di pitch
Nella maggior parte dei veicoli i movimenti verticale e di beccheggio sono accoppiati; il
comportamento del veicolo, in termini di frequenze naturali e centri di moto, può essere determinato
analiticamente direttamente dalle equazioni differenziali del moto.
Facendo riferimento allo schema sotto riportato, in cui per semplicità le sospensioni e i pneumatici
vengono considerati semplici molle e le masse non sospese vengono trascurate, le equazioni del
movimento verticale z e della rotazione di beccheggio θ si scrivono:
dove α = ( + K ) / M
K f r
̇z
̇+
αz
+ βθ = 0
̇
2
θ̇
+ βz
/ k + γθ = 0
(5.2-1)
2 2 2
β = ( c − K b)
/ M γ
= ( b + K c ) / Mk
K r f
K f r

e Kf = rigidezza assale anteriore
Kr = rigidezza assale posteriore
b = distanza baricentrale dell’asse anteriore
c = distanza baricentrale dell’asse posteriore
Iy = momento di inerzia di beccheggio
k = raggio giratore di inerzia = I y / M .
5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 159
Figura 5.2.4. Schema di vettura utilizzato per il calcolo.
Tra tutti coefficienti che compaiono nelle (5.2-1), solamente β compare in entrambe le equazioni, e
per questo è detto coefficiente di accoppiamento.
Quando β è nullo, non vi è accoppiamento tra i due moti, e il centro di rotazione coincide con il
centro di massa. Questo significa che una forza verticale dovunque applicata provoca solo
movimento di bounce, ed una coppia di beccheggio applicata al telaio produce solo un movimento
di pitch.
Scrivendo le soluzioni z(t) e θ(t) in forma sinusoidale, in quanto idealmente non vi è smorzamento,
e sostituendole nelle (5.2-1), si trova l’equazione risolvente delle due frequenze naturali:
le cui due soluzioni reali sono:
ω =
1
ω =
2
2
2 2
( α + γ ) ω + αγ − β / = 0
4
ω − k
( α + γ )
2
( α + γ )
2
+
−
( α −γ
)
2
2
/ 4 + β / k
2 2 2
( α −γ
) / 4 + β / k
2
(5.2-2)
che rappresentano le due frequenze naturali nel generico caso in cui esse siano accoppiate.

5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 160
Valutando i rapporti z/θ in corrispondenza delle frequenze date dalle (5.2-2), si nota che uno è
positivo, l’altro negativo. Nel primo caso il centro del moto sarà davanti al baricentro ad una
distanza x = z/θ abbastanza grande affinché esso cada fuori dalla lunghezza del veicolo, e si avrà la
predominanza del movimento di bounce (Figura 5.2.5 (a)).
Figure 5.2.5 (a) e (b). I due modi di vibrare del veicolo nel piano di beccheggio.
Nel secondo caso, che rappresenta la risonanza di beccheggio, il centro del moto sarà invece dietro
il baricentro, sempre alla distanza x = z/θ, ma questa volta vicino al centro di massa, e il movimento
più evidente sarà quello di pitch (Figura 5.2.5 (b)).
La locazione del centro di moto dipende dal valore relativo delle frequenze naturali dell’avantreno e
del posteriore; quando tali frequenze, che ovviamente dipendono dalla massa su ciascun asse e dalla
rigidezza della sospensione corrispondente, sono uguali, si ha il disaccoppiamento dei due modi di
vibrare, si assiste al puro movimento verticale e al puro beccheggio, ed un centro di moto coincide
con il baricentro, l’altro è posto all’infinito.
Nel caso in cui l’asse anteriore abbia frequenza naturale più elevata, i moti sono accoppiati, il centro
di bounce è davanti all’asse anteriore, il centro di pitch verso l’asse posteriore. Una minore
frequenza naturale all’anteriore pone il centro del movimento verticale dietro l’asse posteriore, e
quello del beccheggio vicino all’asse anteriore stesso.
Quest’ultimo caso, secondo quanto sperimento fin dagli anni ’30 dal pioniere della dinamica del
veicolo Maurice Olley, è preferibile per avere una buona conduzione del mezzo.

5.2.3 Modello a quattro gradi di libertà adottato
5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 161
In Figura 5.2.6 viene riportato lo schema del modello a parametri concentrati adottato per lo studio
della dinamica della FORMULA 3.
Figura 5.2.6. Rappresentazione del modello a quattro gradi di libertà.
Le ipotesi di base formulate sono le stesse del modello De Carbon a due gradi di libertà, per cui per
una loro consultazione si rimanda alla sezione 5.1.1; le quantità rappresentate, che definiscono i
parametri concentrati, sono:
MC = massa sospesa
mtf = massa non sospesa anteriore
mtr = massa non sospesa posteriore
IC = momento di inerzia lungo l’asse uscente dal piano di figura
Kf = rigidezza della sospensione anteriore
cf = smorzamento della sospensione anteriore
Kr = rigidezza della sospensione posteriore
cr = smorzamento della sospensione posteriore
Ktf = rigidezza pneumatici anteriori

cf = smorzamento pneumatici anteriori
Ktr = rigidezza pneumatici posteriori
cr = smorzamento pneumatici posteriori
a = distanza dell’asse anteriore dal baricentro
b = distanza dell’asse posteriore dal baricentro
L = a + b = passo della vettura.
Le coordinate utilizzate per definire lo stato del sistema sono:
5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 162
YG = spostamento verticale del baricentro, positivo verso il basso
Ytf = spostamento verticale della massa non sospesa anteriore, positivo verso il basso
Ytr = spostamento verticale della massa non sospesa posteriore, positivo verso il basso
θ = angolo di rotazione del telaio nel piano di figura
Yf = spostamento verticale del telaio in corrispondenza dell’asse anteriore, positivo verso il basso
Yr = spostamento verticale del telaio in corrispondenza dell’asse posteriore, positivo verso il basso
Zp = spostamento della base, che rappresenta l’input al sistema.
Le quattro equazioni differenziali accoppiate che definiscono il moto del sistema si scrivono:
..
. .
. .
⎛ ⎞
⎛ ⎞
( y − z ) + c y − z p − K ( y − y ) − c y − y = 0
m tf y tf + Ktf
tf p tf ⎜ tf ⎟ f f tf f ⎜ f tf ⎟ (5.2-3)
⎝ ⎠
⎝ ⎠
per la massa non sospesa anteriore
..
. .
. .
⎛ ⎞
⎛ ⎞
( y − z ) + c y − z p − K ( y − y ) − c y − y = 0
m tr y tr + Ktr
tr p tr ⎜ tr ⎟ r r tr r ⎜ r tr ⎟ (5.2-4)
⎝ ⎠
⎝ ⎠
per la massa non sospesa posteriore
. .
. .
⎛ ⎞
⎛ ⎞
( y − y ) + c y − y + K ( y − y ) + c y − y = 0
mc ̇ ẏ
G + K f f tf f ⎜ f tf ⎟ r r tr r ⎜ r tr ⎟ (5.2-5)
⎝ ⎠
⎝ ⎠
per la massa sospesa
. .
. .
⎛ ⎞⎤
⎡
⎛ ⎞⎤
( y − y ) + c y − y − b K ( y − y ) + c y − y = 0
.. ⎡
I c θ + a⎢K
f f tf f ⎜ f tf ⎟⎥
⎢ r r tr r ⎜ r tr ⎟⎥
(5.2-6)
⎣
⎝ ⎠⎦
⎣
⎝ ⎠⎦
per la rotazione del telaio.

5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 163
Poiché le funzioni di trasferimento calcolate mediante la simulazione sono state confrontate con i
risultati sperimentali delle prove condotte su Poster-Rig, in sostituzione dello spostamento della
massa sospesa e della rotazione della vettura attorno all’asse Y, si sono scelte le coordinate di
spostamento del telaio in corrispondenza degli assi anteriore e posteriore, Yf e Yr.
Con considerazioni geometriche, e nell’ipotesi di angoli di rotazione θ abbastanza piccoli perché si
possa ammettere θ ≈ tgθ
, nelle (5.2-5) e (5.2-6) sono state effettuate le seguenti sostituzioni:
..
y
G
=
a
L
..
y
r
+
b
L
..
y
.. ..
⎛ ⎞
θ = ⎜ y f − y r ⎟ .
L ⎝ ⎠
.. 1
f
In tale modo le (5.2-5) e (5.2-6) si possono scrivere:
m
⎛ a
⎜
⎝ L
c
I .. ⎛
⎜ y
L ⎝
b
L
⎞
⎟ = −K
⎠
. .
. .
⎛ ⎞
⎛ ⎞
( y f − ytf
) − c f ⎜ y f − y tf ⎟ − K r ( yr
− ytr
) − cr
⎜ y r − y ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
.. ..
y r + y f
f
tr
⎞ ⎡
⎟ = −a
⎠
⎢K
⎣
. .
. .
⎛ ⎞⎤
⎡
⎛ ⎞⎤
( y f − ytf
) + c f ⎜ y f − y tf ⎟⎥
+ b⎢K
r ( yr
− ytr
) + cr
⎜ y r − ⎟
⎝ ⎠
⎥
⎦ ⎣
⎝ ⎠⎦
..
c
f − y r
f
y tr
(5.2-7)
(5.2-8).
La integrazione numerica delle equazioni del moto scritte è stata effettuata secondo il metodo
Runge-Kutta dal programma di calcolo MATLAB. A differenza del modello a due gradi di libertà,
questa volta le equazioni sono state impostate, nella sezione di modellazione SIMULINK, non più
passando attraverso le trasformate di Laplace, oltremodo laboriose ed ingombranti per quattro
equazioni accoppiate, bensì direttamente nel dominio del tempo, seguendo sempre la costruzione a
blocchi, così come appaiono scritte. Questa soluzione si è dimostrata molto valida per la flessibilità
che offre, in quanto permette successive modifiche ed integrazioni.
Nella pagina seguente viene riportato lo schema della costruzione a blocchi delle quattro equazioni
differenziali del modello matematico nella sua forma più avanzata.
Si possono distinguere quattro gruppi di blocchi intercomunicanti, ognuno dei quali è l’integrazione
di una delle coordinate di spostamento che definiscono lo stato del sistema in ogni istante.

5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 164
Figura 5.2.7. Schema della modellazione nell’ambiente di Simulink.

5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 165
Una folta schiera di guadagni fanno capo, per ognuno di questi blocchi, ad un operatore di somma,
il quale, moltiplicato per una costante, fornisce mediante l’integrazione numerica l’accelerazione.
Mediante l’utilizzo di blocchi integrativi, dalle accelerazioni è possibile passare alle velocità e
quindi agli spostamenti, i quali possono essere diagrammati nel dominio del tempo. Sono stati
introdotti infatti nove oscilloscopi virtuali, in cui è possibile visualizzare e salvare la relativa curva
di uscita nel tempo.
Il blocco in giallo al centro è il riferimento al file di input, e può venire sostituito a seconda del test
che si desidera condurre con altri tipi di curve predefinite nelle library di SIMULIK. Due
derivazioni aggiunte “prelevano” i segnali necessari per il calcolo delle due forze di contatto a terra
sui pneumatici anteriori e posteriori; i blocchi in arancio rappresentano i due pesi statici da
sommare alle curve delle due CPL.
I coefficienti di smorzamento delle sospensioni sono stati identificati mediante le prove sperimentali
condotte sugli ammortizzatori (vedi Capitolo 2 sezione 2.2.3), per cui la forza FB,R che essi
oppongono in funzione della velocità v di deformazione è stata modellata nella forma:
2
FB , R = c1B,
Rv
+ c2B
, Rv
+ K .
Nella definizione dei parametri dei pneumatici anteriori e posteriori sono stati utilizzati i risultati
delle prove sperimentali condotte, statiche in un primo tempo, dinamiche successivamente,
introducendo la dipendenza della rigidezza e dello smorzamento dalla frequenza di eccitazione.
5.2.5 Identificazione sperimentale dei parametri e taratura del modello
I parametri concentrati che compaiono nel modello di dinamica verticale sono stati identificati con
una serie di prove sperimentali sulla vettura Dallara da FORMULA 3.
Tali prove sono state effettuate con l’ausilio degli attuatori aerodinamici e la strumentazione di
acquisizione dati, in dotazione al banco di prova Seven Poster-Rig, ed hanno avuto lo scopo di
determinare le rigidezze dei componenti elastici.

5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 166
Con alcuni cicli di caricamento statico attraverso gli attuatori, si sono infatti determinate le
rigidezze delle sospensioni anteriore e posteriore, e dei pneumatici (per un confronto con i risultati
delle prove statiche), semplicemente diagrammando le relazioni forza-spostamento e calcolandone
la pendenza. Gli spostamenti si sono valutati con i potenziometri posti sul telaio e sui mozzi-ruota,
le forze mediante la lettura dei valori indicati dalle quattro celle di carico poste negli attuatori
principali.
Inoltre è stato possibile calcolare il rapporto cinematico R, peraltro fornito già in sede di progetto,
che definisce di quanto si muove l’ammortizzatore dato uno spostamento assoluto del mozzo della
ruota. Esso è dato dal rapporto:
X
R =
X
dove XS = schiacciamento delle molle degli ammortizzatori
XCW = spostamento relativo telaio-mozzo ruota.
Tale rapporto non risulta costante, in quanto dipende dalla geometria delle sospensioni in ciascun
istante; ne è stato preso quindi il valor medio, che all’anteriore vale 0.91 e al posteriore 1.21.
La taratura degli ammortizzatori è stata invece effettuata operando il confronto tra le funzioni di
risposta in frequenza fornite dalle simulazioni e quelle reali, in seguito alla messa a punto di un
programma di calcolo sviluppato con MATLAB che viene riportato negli allegati. Tale programma,
mediante due cicli for annidati, è in grado di operare la minimizzazione dello scarto quadratico
medio tra le due curve, sperimentale e simulata, lanciando più volte la simulazione per svariate
coppie di valori degli smorzamenti anteriore e posteriore.
Nel grafico di Figura 5.2.8 viene diagrammata la funzione di errore calcolata dopo qualche routine
con uno step di calcolo sempre minore per affinare la ricerca del minimo. La superficie, che è stata
interpolata per poter disporre di più valori, presenta un solo minimo, in corrispondenza della coppia
di valori di smorzamento degli ammortizzatori anteriore e posteriori che garantiscono il minimo
scarto tra le due funzioni di trasferimento oggetto del confronto.
S
CW

5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 167
Figura 5.2.8. Grafico tridimensionale della funzione di errore.
L’asse Z riporta l’errore, gli assi X e Y i valori dello smorzamento; per la ricerca del minimo della
superficie è stata utilizzata l’apposita funzione definita in MATLAB.
5.2.6 Risultati della simulazione e confronto con i test reali
Una lunga serie di simulazioni è stata condotta per esaminare la sensibilità del modello rispetto alle
variazioni dei parametri che lo compongono.
Nelle figure seguenti vengono riportati, a titolo esemplificativo, gli andamenti temporali dello
spostamento verticale della massa sospesa e delle due forze di contatto a terra, frutto di una
simulazione lanciata con un valore del coefficiente di smorzamento uguale sui due assi, pari a 0.47.
Figura 5.2.9. Spostamento nel tempo della massa sospesa all’ingresso sweep in frequenza.

5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 168
Figure 5.2.10. Forze di contatto a terra anteriore (a) e posteriore (b) nel tempo, per ζζζζ = 0.47.
L’ingresso al sistema è il medesimo per le quattro ruote, ed è rappresentato dallo sweep in
frequenza introdotto al Capitolo 3, lo stesso utilizzato nelle prove dinamiche della FORMULA 3 su
banco di prova. Nel tempo di 100 secondi la curva di ingresso diminuisce in modo logaritmico la
sua ampiezza, ed aumenta in frequenza, mentre la sua velocità si mantiene costante e pari ad un
valore fissato. Analiticamente la curva x(t) di ingresso è esprimibile nella forma::
v
x π
2πf
( t)
= sen(
2 f )
in cui v è la velocità fissata e la frequenza f è in funzione del tempo:
f
2 / 30t
= 2 .
In questo modo il modello matematico di vettura è stato posto in diretto confronto con le risposte in
frequenza calcolate dai dati sperimentali.
Nella risposta temporale della massa sospesa, è possibile scorgere una prima risonanza attorno ai 4
Hz, ed una seconda amplificazione del segnale di ingresso, dovuto al movimento di pitch del
veicolo, a frequenze più elevate; lo stesso discorso vale per la forza di contatto anteriore. In
particolare nelle due curve di Figura 5.2.10 si può notare il fatto che i valori diagrammati sono
sempre positivi, il che significa che non vi è distacco dalla base di eccitazione da parte dei
pneumatici, ed il modello interpreta correttamente il fenomeno vibratorio reale.

5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 169
Nelle tre figure seguenti vengono riportati i diagrammi delle funzioni di trasferimento dello
spostamento del telaio in corrispondenza degli assi anteriore e posteriore, per tre differenti
combinazioni degli smorzamenti cf1 e cr1; i diagrammi sono in scala lineare.
Figura 5.2.11. Risposte all’avantreno e al posteriore per cf1 = 5000 Ns/m e cr1 = 3000 Ns/m.
I due picchi di risonanza principale, associati al movimento di bounce della vettura, non cadono alla
stessa frequenza: l’avantreno, pur essendo più leggero, ha risonanza ad una frequenza leggermente
minore, e questo perché è sensibilmente meno rigido del posteriore; il picco ha poi ampiezza minore
a causa del maggiore smorzamento presente su quest’asse.
Inoltre l’asse anteriore risente molto più spiccatamente del movimento di beccheggio, e quindi il
centro di rotazione, secondo la simulazione, si trova spostato verso l’asse posteriore. Viene
rispettato quindi il principio di Olley sulla ripartizione dei moti di traslazione e di rotazione.

5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 170
Figura 5.2.12. Risposte all’avantreno e al posteriore per cf1 = cr1 = 3000 Ns/m.
Figura 5.2.13. Risposte all’avantreno e al posteriore per cf1 = 3000 Ns/m e cr1 = 5000 Ns/m.

5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 171
A causa dell’elevato smorzamento delle sospensioni, in nessuno dei casi considerati sono visibili le
risonanze delle due masse sospese.
In Figura 5.2.12 lo smorzamento ai due assi è stato parificato: si nota l’attenuazione del movimento
di beccheggio all’anteriore, mentre l’ampiezza del picco principale è aumentata. Nella figura
successiva lo smorzamento della sospensione posteriore è maggiore di quello all’anteriore, e
scompare il beccheggio della vettura mentre le ampiezze dei picchi di risonanza vengono attenuate.
Da queste semplici considerazioni risulta evidente l’importanza dell’interazione tra i due assi del
veicolo nello studio della dinamica verticale, di cui il modello a quattro gradi di libertà riesce a
tenere conto.
Figura 5.2.14. Confronto tra le funzioni di trasferimento reali (in nero) e simulate.

5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 172
L’aspetto più interessante del modello sviluppato consiste però nella possibilità di effettuare un
confronto diretto con le curve frutto dell’indagine sperimentale, come mostrato in Figura 5.2.14.
Diagrammando le due funzioni di trasferimento sovrapposte, in scala bilogaritmica, è possibile
infatti comprendere quale sia la bontà del modello e dove esso non sia realistico. In linea di
massima, con i parametri nominali della vettura, vengono centrati i picchi di risonanza e la loro
ampiezza. L’anteriore risulta tuttavia leggermente sottosmorzato, e il posteriore sovrasmorzato per
le alte frequenze.
Figura 5.2.15. Confronto delle fasi delle funzioni di trasferimento reale e simulata.
Facilmente la causa di ciò, per via dell’interazione dei due assali, è unica, ed è da ricercarsi nella
presenza di attriti e disuniformità nella vettura reale che non possono rientrare nella modellazione.
Il diagramma delle fasi all’anteriore e al posteriore bene approssima quello reale, confermando la
coincidenza delle risonanze. Nei grafici seguenti vengono riportate due funzioni di trasferimento
particolarmente interessanti; esse rappresentano l’andamento in frequenza della forza che si
scambiano i pneumatici con il terreno, rispetto all’accelerazione dei mozzi anteriore e posteriore

5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 173
(primo grafico) e rispetto all’accelerazione della base (secondo grafico). In entrambe i casi la FRF
del posteriore sta sopra a quella dell’anteriore, a causa della differente amplificazione dell’input da
parte dei due assali. Nel primo caso le curve mostrano un andamento più appiattito poiché risentono
della risonanza di pitch, mentre nella seconda coppia di curve è evidente l’influenza della massa
sospesa. Per le alte frequenze le curve si abbassano notevolmente.
Figura 5.2.16. Funzioni di risposta in frequenza della forza di contatto a terra.
Questo significa sostanzialmente che per le sollecitazioni di bassa-media frequenza, fino a 10 Hz, è
predominante il movimento verticale del telaio, e i mozzi delle ruote seguono tale movimento
essendo minimo lo spostamento relativo massa sospesa-massa non sospesa. Per le frequenze
maggiori si assiste invece ad un effetto di filtraggio da parte dei pneumatici, che trasmettono in
minima parte le forzanti stradali al telaio, il quale di conseguenza ha un movimento molto limitato.

5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 174
In conclusione, il modello più complesso di vettura intera a quattro gradi di libertà, nonostante le
limitazioni imposte dalle ipotesi che ne stanno alla base, si rivela un valido strumento per l’indagine
qualitativa della dinamica verticale della vettura. L’interazione ed il confronto con i risultati ottenuti
su Poster-Rig e l’identificazione dei parametri con i dati reali, è sicuramente l’aspetto più
interessante ed utile della simulazione, ed essendo le curve reali perfettamente confrontabili con
quelle simulate, suggerisce un utilizzo del modello anche di tipo quantitativo ed estimativo.
Ulteriori sviluppi ed integrazioni possono venire pensate per una migliore modellazione dei
componenti attivi della vettura e del meccanismo con cui essi si scambiano le forze in gioco.
Sarebbe possibile inoltre tenere conto del fatto che il rapporto cinematico R, sia all’avantreno che al
posteriore, a causa della geometria delle sospensioni e del loro cinematismo, non si mantiene
costante.

Conclusioni
Conclusioni 175
I risultati delle prove sperimentali condotte sui pneumatici PIRELLI F3 anteriore e posteriore hanno
fornito valori di rigidezza confrontabili per le condizioni di sollecitazione statica e dinamica. La
caratterizzazione statica del comportamento verticale dei pneumatici ha trovato pieno accordo con il
semplice modello a molla adottato; nella fase di caratterizzazione dinamica invece, i parametri di
rigidezza e smorzamento considerati non sono stati determinati in tutto il campo di frequenze
indagate nelle prove sperimentali: l’analisi è stata ristretta all’intorno delle frequenze di risonanza
del pneumatico, caricato con una zavorra pari al peso statico della vettura. Il modello ad un solo
grado di libertà proposto non si è rivelato esauriente nella descrizione del comportamento dinamico
del sistema, a causa della presenza di altri picchi di disturbo nella risposta in frequenza e della
perdita di contatto da parte del battistrada con la base eccitatrice alle frequenze di risonanza. Un
modello a più gradi di libertà, o in grado di considerare il saltellamento della gomma, potrebbe
fornire sicuramente risultati interessanti per tutto lo spettro di frequenze considerato.
Una mappatura del comportamento dinamico della gomma è stata comunque completata in funzione
dell’ampiezza della forzante sinusoidale e della pressione, parametro quest’ultimo in grado di
fornire preziose indicazioni per la regolazione della monoposto su pista. Il valore della rigidezza
dinamica si è tuttavia dimostrato maggiore rispetto a quella statica, confermando un irrigidimento
strutturale del pneumatico se sollecitato con forzanti di tipo dinamico.
Con i valori di rigidezza e smorzamento trovati è stato possibile implementare due modelli
matematici a parametri concentrati che simulano la dinamica verticale della vettura. Un confronto
diretto con i risultati di prove condotte su Poster Rig ha evidenziato un buon accordo tra le risposte
in frequenza simulate e reali, lasciando tuttavia un margine di miglioramento e affinamento del
modello a quattro gradi di libertà impiegato.

RINGRAZIAMENTI
Un sentito ringraziamento va rivolto all’azienda Dallara Automobili S.p.A., che ha messo a
disposizione il tempo e le attrezzature necessari per lo svolgersi delle prove sperimentali. La messa
a punto dei macchinari utilizzati per condurre i test statici e dinamici sui pneumatici ha occupato
una grande parte dell’intero lavoro. In particolare vorrei ringraziare per la disponibilità e
l’efficienza mostrate i tecnici E. Savoia e M. Spirelli, che mi hanno seguito nella lunga ed
impegnativa fase di ideazione, allestimento e modifica dei test sperimentali sul banco di prova e sul
Poster Rig. Un grande ringraziamento va agli ingegneri del dipartimento Ricerca e Sviluppo della
Dallara Automobili: A. Burzoni, che sempre mi è stato vicino nello svolgimento del lavoro di
sperimentazione e nell’analisi dei dati raccolti, e L. Conversi, con il quale si sono svolti gli
impegnativi test sul Seven-Poster Rig.
Vorrei ringraziare il mio relatore Chiar.mo Prof. Ing. G. Nicoletto, grazie al quale ho potuto vivere
la mia prima esperienza di lavoro, in contatto con un’azienda all’avanguardia nel settore delle
costruzioni automobilistiche, e il Chiar.mo Prof. Ing. M. Amabili, il cui aiuto si è dimostrato
preziosissimo nell’interpretazione dei dati delle prove dinamiche sui pneumatici.