CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti ...
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proprio lungo la retta in questione. In particolare, i coefficienti a11, a22 e a33 hanno lo stesso segno e si può sempre supporre che siano positivi (altrimenti, basta moltiplicare l’equazione (1) per −1); è quindi facile determinare α, β e γ in modo che a11x 2 + 2a12xy + a22y 2 + 2a13x + 2a23y + a33 = (αx + βy + γ) 2 . Risulta allora che i punti che soddisfano (1) sono quelli della retta αx + βy + γ = 0. Alternativamente, si può determinare l’equazione della retta doppia cercando di risolvere l’equazione (1) rispetto a x o y. Esempio 2 La conica 4x 2 − 12xy + 9y 2 + 4x − 6y + 1 = 0 ha la matrice completa tale che ⎡ rank(A) = rank ⎣ 4 −6 2 −6 9 −3 2 −3 1 ⎤ ⎦ = 1 quindi rappresenta una retta doppia. Se ne riscriviamo l’equazione vedendola come equazione nell’incognita y e trattando x come un parametro, si ottiene 9y 2 − 6(2x + 1)y + 4x 2 + 4x + 1 = 0 =⇒ 9y 2 − 6(2x + 1)y + (2x + 1) 2 = 0. Provando a risolvere quest’ultima equazione rispetto a y, si osserva che ∆/4 = [9(2x+1)] 2 −9(2x+1) 2 = 0 e, quindi, l’equazioni ha un’unica soluzione doppia y = 3(2x + 1) 9 =⇒ 2x − 3y + 1 = 0 che è l’equazione della retta doppia rappresentata dalla conica di partenza. CASO 2: rank(A) = 2 e det(A2) < 0. La (1) rappresenta l’unione di due rette che si intersecano nel punto C, cioè il polinomio F (x, y) è il prodotto di due polinomi reali di primo grado che rappresentano le due rette incidenti della conica. Un modo di procedere in questo caso può essere quello di risolvere l’equazione (1) della conica rispetto a x o y, come illustrato nel caso precedente, in quanto il ∆ di tale equazione dovrà necessariamente venire pari al quadrato di un binomio di primo grado nell’altra variabile. Altrimenti, si può determinare C tramite (2) e poi scrivere le equazioni delle due rette usando le seguenti formule a12 + − det(A2) (x − c1) + a22(y − c2) = 0 a12 − − det(A2) (x − c1) + a22(y − c2) = 0 dove (c1, c2) sono le coordinate di C. Esempio 3 La conica 3x 2 + 14xy − 5y 2 − 10x + 14y − 8 = 0 ha matrici tali che ⎡ rank(A) = rank ⎣ 3 7 −5 7 −5 7 −5 7 −8 ⎤ ⎦ = 2 e det(A2) = det 3 7 7 −5 = −64 < 0, per cui rappresenta l’unione di due rette incidenti nel centro di simmetria C. Scrivendo l’equazione della conica come equazione nell’incognita x, si ottiene 3x 2 +2(7y −5)x−5y 2 +14y −8 = 0 il cui discriminante è ∆/4 = (7y − 5) 2 + 3(5y 2 − 14y + 8) = 64y 2 − 112y + 49 = (8y − 7) 2 . Pertanto le soluzioni rispetto a x sono −(7y − 5) − (8y − 7) x = = −5y + 4 3 e −(7y − 5) + (8y − 7) x = = 3 1 (y − 2), 3 ovvero la conica è l’unione delle due rette x + 5y − 4 = 0 e 3x − y + 2 = 0. Intersecando queste due rette, ovvero risolvendo il sistema x + 5y − 4 = 0 3x − y + 2 = 0 Si ottengono le coordinate del centro di simmetria C = − 3 7 , . 8 8 2
CASO 3: rank(A) = 2 e det(A2) > 0. La (1) è soddisfatta dall’unico punto C di R 2 che si ottiene risolvendo il sistema (2). In questo caso il polinomio F (x, y) si può scrivere solo come prodotto di due polinomi di primo grado a coefficienti complessi. Esempio 4 La conica 2x 2 − 4xy + 4y 2 + 2x + 1 = 0 ha matrici tali che ⎡ rank(A) = rank ⎣ 2 −2 1 −2 4 0 1 0 1 ⎤ ⎦ = 2 e det(A2) = det 2 −2 −2 4 = 4 > 0, quindi è l’unione di due rette complesse coniugate il cui punto di intersezione è l’unico punto reale della conica e si ottiene risolvendo 2x − 2y + 1 = 0 =⇒ C = −1, − −2x + 4y = 0 1 . 2 Con un procedimento analogo a quello visto negli esempi precedenti su potrebbe anche trovare le equazioni delle due rette che avranno però coefficienti complessi. CASO 4: rank(A) = 2 e det(A2) = 0. La conica rappresenta due rette parallele che, però, potrebbero anche essere complesse coniugate ed in tal caso la conica non avrebbe punti reali. Si può comunque procedere, come illustrato nei casi precedenti, cercando di risolvere l’equazione (1) rispetto a x o a y : in questo caso il discriminante ∆ viene necessariamente una costante che sarà positiva, se la conica rappresenta due rette parallele reali, oppure negativa, se la conica rappresenta due rette parallele complesse. Esempio 5 La conica 4x 2 − 4xy + y 2 + 6x − 3y + 2 = 0 ha matrici tali che ⎡ rank(A) = rank ⎣ 4 −2 3 −2 1 −3/2 3 −3/2 2 ⎤ ⎦ = 2 e det(A2) = det 4 −2 −2 1 = 0, quindi è l’unione di due rette parallele reali o complesse. Guardando l’equazione della conica come un’equazione in y, si ottiene y 2 − (4x + 3)y + 4x 2 + 6x + 2 = 0 che ha discriminante ∆ = (4x + 3) 2 − 4(4x 2 + 6x + 2) = 1 > 0 e, quindi, ha soluzioni reali y = 4x + 3 ± 1 , 2 ovvero la conica è l’unione delle due rette reali e parallele y = 2x + 2 e y = 2x + 1. Esempio 6 La conica x 2 + 6xy + 9y 2 + 4x + 12y + 5 = 0 ha matrici tali che ⎡ rank(A) = rank ⎣ 1 3 2 3 9 6 2 6 5 ⎤ ⎦ = 2 e det(A2) = det 1 3 3 9 = 0, quindi è l’unione di due rette parallele reali o complesse. Guardando l’equazione della conica come un’equazione in x, si ottiene x 2 + 2(3y + 2)x + 9y 2 + 12y + 5 = 0 che ha discriminante ∆/4 = (3y + 2) 2 − (9y 2 + 12y + 5) = −1 < 0 e, quindi, non ha soluzioni reali, per cui la conica non ha punti reali ma è l’unione di due rette parallele complesse coniugate. CASO 5: rank(A) = 3 e det(A2) < 0. La (1) rappresenta un’iperbole il cui centro di simmetria C = (c1, c2) si ottiene risolvendo (2). Gli assi di simmetria dell’iperbole sono le due rette passanti per C e parallele agli autovettori di A2 ed hanno equazione α(x − c1) − β(y − c2) = 0 e β(x − c1) + α(y − c2) = 0, dove si può scegliere (3) α = 2a12 e β = a11 − a22 + (a11 − a22) 2 + 4a2 12 . 3
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- Page 5 and 6: e quindi rappresenta una circonfere
proprio lungo la retta in questione. In particolare, i coefficienti a11, a22 e a33 hanno lo stesso segno e si<br />
può sempre supporre che siano positivi (altrimenti, basta moltiplicare l’equazione (1) per −1); è quindi<br />
facile determinare α, β e γ in modo che<br />
a11x 2 + 2a12xy + a22y 2 + 2a13x + 2a23y + a33 = (αx + βy + γ) 2 .<br />
Risulta allora che i punti che soddisfano (1) sono quelli della retta αx + βy + γ = 0. Alternativamente,<br />
si può determinare l’equazione della retta doppia cercando di risolvere l’equazione (1) rispetto a x o y.<br />
Esempio 2 La conica 4x 2 − 12xy + 9y 2 + 4x − 6y + 1 = 0 ha la matrice completa tale che<br />
⎡<br />
rank(A) = rank ⎣<br />
4 −6 2<br />
−6 9 −3<br />
2 −3 1<br />
⎤<br />
⎦ = 1<br />
quindi rappresenta una retta doppia. Se ne riscriviamo l’equazione vedendola come equazione nell’incognita<br />
y e trattando x come un parametro, si ottiene<br />
9y 2 − 6(2x + 1)y + 4x 2 + 4x + 1 = 0 =⇒ 9y 2 − 6(2x + 1)y + (2x + 1) 2 = 0.<br />
Provando a risolvere quest’ultima equazione rispetto a y, si osserva che ∆/4 = [9(2x+1)] 2 −9(2x+1) 2 = 0<br />
e, quindi, l’equazioni ha un’unica soluzione doppia<br />
y =<br />
3(2x + 1)<br />
9<br />
=⇒ 2x − 3y + 1 = 0<br />
che è l’equazione della retta doppia rappresentata dalla conica di partenza. <br />
CASO 2: rank(A) = 2 e det(A2) < 0. La (1) rappresenta l’unione di due rette che si intersecano nel<br />
punto C, cioè il polinomio F (x, y) è il prodotto di due polinomi reali di primo grado che rappresentano<br />
le due rette incidenti della conica. Un modo di procedere in questo caso può essere quello di risolvere<br />
l’equazione (1) della conica rispetto a x o y, come illustrato nel caso precedente, in quanto il ∆ di<br />
tale equazione dovrà necessariamente venire pari al quadrato di un binomio di primo grado nell’altra<br />
variabile. Altrimenti, si può determinare C tramite (2) e poi scrivere le equazioni delle due rette usando<br />
le seguenti formule<br />
<br />
a12 + <br />
− det(A2) (x − c1) + a22(y − c2) = 0<br />
<br />
a12 − <br />
− det(A2) (x − c1) + a22(y − c2) = 0<br />
dove (c1, c2) sono le coordinate di C.<br />
Esempio 3 La conica 3x 2 + 14xy − 5y 2 − 10x + 14y − 8 = 0 ha matrici tali che<br />
⎡<br />
rank(A) = rank ⎣<br />
3 7 −5<br />
7 −5 7<br />
−5 7 −8<br />
⎤<br />
⎦ = 2 e det(A2) = det<br />
3 7<br />
7 −5<br />
<br />
= −64 < 0,<br />
per cui rappresenta l’unione di due rette incidenti nel centro di simmetria C. Scrivendo l’equazione della<br />
conica come equazione nell’incognita x, si ottiene 3x 2 +2(7y −5)x−5y 2 +14y −8 = 0 il cui discriminante<br />
è ∆/4 = (7y − 5) 2 + 3(5y 2 − 14y + 8) = 64y 2 − 112y + 49 = (8y − 7) 2 . Pertanto le soluzioni rispetto a x<br />
sono<br />
−(7y − 5) − (8y − 7)<br />
x = = −5y + 4<br />
3<br />
e<br />
−(7y − 5) + (8y − 7)<br />
x = =<br />
3<br />
1<br />
(y − 2),<br />
3<br />
ovvero la conica è l’unione delle due rette x + 5y − 4 = 0 e 3x − y + 2 = 0. Intersecando queste due rette,<br />
ovvero risolvendo il sistema <br />
x + 5y − 4 = 0<br />
3x − y + 2 = 0<br />
<br />
Si ottengono le coordinate del centro di simmetria C = − 3<br />
<br />
7<br />
, . <br />
8 8<br />
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