Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 4. Quadrilateri
(3) Sia BD una diagonale del quadrilatero ABCD. Allora i vertici A e C cadranno su semipiani opposti
rispetto alla retta BD. Nel caso in cui i due triangoli BDA e BDC, oltre che congruenti, sono isosceli
sulla base BD, il quadrilatero ABCD ha gli angoli opposti congruenti, per cui è un parallelogramma per
(b). Se al contrario BDA e BDC non sono isosceli sulla base BD, allora dobbiamo considerare due sottocasi
distinti, evidenziati in figura con quattro diversi quadrilateri. Se fosse AD ≅ DC e AB ≅ BC , la
figura risulterebbe un deltoide e l’altra diagonale AC non dividerebbe il quadrilatero in due triangoli
congruenti. Rimane l’altro sottocaso possibile, che sia cioè AB ≅ DC e AD ≅ BC , ed inoltre
A D B ≅ D B C , A B D ≅ B D C e D A B ≅ B C D , pertanto il quadrilatero risulta essere un parallelogramma
per (b). Dunque in ogni caso possibile la tesi è dimostrata.
(4) Se tracciamo la diagonale EG, il quadrilatero EFGH viene diviso in due triangoli EFG e EGH,
congruenti per il terzo criterio. Di conseguenza risulta E G H ≅ GE F e E G F ≅ G E H , coppie di
angoli alterni interni, nell’ordine rispetto alle rette EF e GH e rispetto alle rette EH ed FG, tagliate dalla
trasversale EG. Dunque i lati opposti del quadrilatero EFGH risultano paralleli, per cui si tratta di un
parallelogramma.
(5) Detto O il punto d’incontro delle diagonali, i triangoli OEF ed OGH risultano congruenti per il primo
criterio, in quanto OE ≅ OG , OH ≅ OF e gli angoli compresi sono congruenti perché opposti al
vertice. Di conseguenza risulta anche H G E ≅ GE F , angoli alterni interni rispetto alle rette HG ed
EF tagliate dalla trasversale EG. HG ed EF risultano pertanto parallele. Analogo discorso vale se consideriamo
i triangoli congruenti OFG ed OHE, per cui anche le rette FG ed HE risultano parallele. Dunque
il quadrilatero EFGH è un parallelogramma.
(6) Supponiamo EF e GH paralleli e congruenti. Tracciata la diagonale EG, risulta H G E ≅ GE F , e
dunque i triangoli EGH e GEF risultano congruenti per il primo criterio. Di conseguenza risulta
HE ≅ GF , per cui il quadrilatero ha anche l’altra coppia di lati opposti congruenti. EFGH è dunque un
parallelogramma per (d).
1 Quali tra queste sono proprietà del parallelogrammo? Attenzione: c'è più di una risposta corretta.
[A] ciascuna diagonale lo divide in due triangoli uguali
[B] gli angoli opposti sono uguali
[C] tutti i lati sono uguali
[D] gli angoli sulla base sono uguali
[E] le diagonali sono perpendicolari
[F] gli angoli sono tutti congruenti
[G] le diagonali sono anche bisettrici
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