Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 4. Quadrilateri
D A C ≅ A C B , in quanto sono coppie di angoli alterni interni, i primi rispetto alle rette AB e CD
tagliate dalla trasversale AC, gli altri rispetto alle rette parallele AD e BC tagliate dalla trasversale AC. I
due triangoli dunque, avendo in comune il lato AC, risultano congruenti per il secondo criterio. Analogamente,
applicando il ragionamento precedente ai triangoli ABD e DBC dopo aver tracciato la diagonale
DB, concludiamo che anche i due triangoli ADB e DBC risultano congruenti per il secondo criterio.
Pertanto la tesi (c) è dimostrata.
(4) Dunque, se è vera l’ipotesi, possiamo considerare verificate le congruenze della tesi (c). Dalla
congruenza dei triangoli ABC e CDA segue la congruenza dei lati AB e CD, dalla congruenza dei triangoli
DAB e BCD segue la congruenza dei lati AD e BC. Pertanto la tesi (d) è dimostrata.
(5) Dopo aver tracciato entrambe le diagonali, chiamiamo M il loro punto d’intersezione. Confrontiamo i
triangoli ABM e CDM: essi risultano congruenti per il secondo criterio, in quanto AB ≅ CD (tesi (d)),
D A C ≅ A C B e D C A ≅ C A B (come visto nel punto (c) della dimostrazione). Quindi anche i rimanenti
elementi risultano ordinatamente congruenti, in particolare AM ≅ MC , DM ≅ MB . Pertanto
anche la tesi (e) è dimostrata.
Il teorema precedente è invertibile. Precisamente vale il teorema seguente:
TEOREMA
Se in un quadrilatero è verificata una delle seguenti ipotesi:
(1) gli angoli adiacenti allo stesso lato (a ciascun lato) sono supplementari;
(2) gli angoli opposti sono congruenti;
(3) ciascuna diagonale divide il quadrilatero in due triangoli congruenti;
(4) i lati opposti sono congruenti;
(5) le diagonali si dividono scambievolmente per metà;
(6) due lati opposti sono paralleli e congruenti,
allora il quadrilatero è un parallelogramma.
Dimostrazione
Facciamo riferimento al quadrilatero ABCD in figura per il punto (c) della dimostrazione; per gli altri punti
ci riferiamo invece al quadrilatero EFGH.
(1) Sia ad esempio, in riferimento alla figura precedente, H E F E F G ≅ , dove π è l’angolo piatto.
Tali angoli, rispetto alle rette EH ed FG tagliate dalla trasversale EF sono coniugati interni. Per il V
postulato di Euclide le rette EH ed FG sono parallele. Analogamente si può ripetere il ragionamento per
gli angoli in F e G: se E F G F G H ≅ , le rette EF ed HG sono parallele. Dunque EFGH è un
parallelogramma, avendo i lati opposti paralleli.
(2) Poiché la somma degli angoli interni di un quadrilatero misura 360° (cioè è congruente al quadruplo di
un angolo retto), se gli angoli opposti sono congruenti, vuol dire che
H E F EF G F G H GH E ≅ 2 H E F 2 E F G ≅ 2 , per cui H E F E F G ≅ , cioè gli
angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari (ci siamo ricondotti al caso precedente). Pertanto
EFGH è un parallelogramma.
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