Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 4. Quadrilateri ►1. Generalità sui quadrilateri Distanza di un punto da una retta e altezza di una striscia di piano Ricordiamo che come definizione di (misura della) distanza di un punto da una retta è stata presa la lunghezza del segmento congiungente il punto con il piede della perpendicolare mandata dal punto alla retta (vedi figura seguente). Analogamente, per distanza tra due rette parallele, detta anche altezza della striscia di piano individuata dalle due rette parallele, si intende la distanza di un punto qualsiasi di una retta dall’altra retta. Vogliamo far vedere ora che queste definizioni sono coerenti con il concetto di distanza tra due insiemi di punti come percorso più breve che congiunge un qualsiasi punto del primo insieme con un generico punto appartenente al secondo insieme. Infatti, se congiungiamo un generico punto P di una retta r con H, piede della perpendicolare t mandata sulla retta s//r, e con un altro punto Q ∈ s, viene individuato un triangolo rettangolo PHQ, di cui PH è un cateto e PQ è l’ipotenusa. Dal teorema sulle diseguaglianze degli elementi di un triangolo, l’ipotenusa è certamente maggiore di un cateto in quanto lato che si oppone ad angolo maggiore. Dunque PH è il segmento di lunghezza minore tra tutti quelli che congiungono P con un punto della retta s. Generalità sui poligoni Se un poligono ha più di tre lati, allora può anche essere concavo. Ricordiamo che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360°. Due lati non consecutivi di un quadrilatero si dicono lati opposti; due angoli che non siano adiacenti allo stesso lato analogamente si dicono angoli opposti. In figura sono rappresentati un quadrilatero concavo (poly1), un generico quadrilatero convesso (poly2), un quadrilatero particolare a forma di “aquilone” (poly6) e tre quadrilateri “notevoli”: poly3 ha i lati opposti paralleli (a due a due), poly4 e poly5 hanno una coppia di lati opposti paralleli. I quadrilateri che, come poly6, hanno due lati consecutivi congruenti ed altri due lati consecutivi anch’essi congruenti, si dicono deltoidi; i quadrilateri che, come poly 3, hanno i lati opposti paralleli si dicono parallelogrammi; i quadrilateri che, come poly 4 e poly 5, hanno una coppia di lati opposti paralleli si dicono trapezi. In analogia alla definizione di triangolo isoscele (come triangolo avente “almeno” due lati congruenti), alcuni autori definiscono trapezio un quadrilatero avente “almeno” una coppia di lati opposti paralleli: in questo modo un parallelogramma è un particolare tipo di trapezio. Ricordiamo anche che Euclide, al contrario, classificava come trapezi tutti i quadrilateri che non fossero parallelogrammi. Noi useremo come definizione di trapezio quella di un quadrilatero avente “solo” una coppia di lati opposti paralleli. Ci riferiremo al parallelogramma come ad una figura piana costituita dall’intersezione di due strisce di piano non parallele fra loro; al trapezio come intersezione tra una striscia di piano ed un angolo convesso con vertice esterno alla striscia e lati che intersecano la striscia stessa. Poiché le strisce di piano sono convesse, sia i parallelogrammi sia i trapezi, come intersezioni di figure convesse, sono convessi. 90
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 4. Quadrilateri ►2. Trapezio e deltoide Osserviamo le figure seguenti. I quadrilateri ABCD, EFGH, IJKL, MNOP sono trapezi perché hanno una coppia di lati opposti paralleli. Tali lati paralleli si dicono basi e si distinguono in base maggiore e base minore. Gli altri lati si dicono lati obliqui. La distanza tra le rette parallele si dice altezza del trapezio. Un trapezio avente i lati obliqui congruenti si dice isoscele. Un trapezio avente un lato perpendicolare alle basi si dice rettangolo. Un trapezio che non è né isoscele né rettangolo si dice scaleno. Proprietà del trapezio In ogni trapezio, gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono supplementari. Infatti, essi sono coniugati interni rispetto alle rette delle basi tagliate dalla trasversale individuata dal lato obliquo. Gli angoli adiacenti alla base maggiore di un trapezio rettangolo sono uno retto ed uno acuto; gli angoli adiacenti alla base minore sono uno retto ed uno ottuso. Se un trapezio avesse quattro angoli retti, i lati obliqui sarebbero entrambi perpendicolari alle basi, e di conseguenza paralleli tra loro. Dunque in questo caso il trapezio risulterebbe essere un parallelogramma. Un trapezio scaleno può avere gli angoli adiacenti alla base maggiore entrambi acuti (e quindi gli angoli adiacenti alla base minore entrambi ottusi) oppure due angoli opposti acuti e due angoli opposti ottusi (i due tipi di trapezio scaleno sono rappresentati in figura come MNOP e IJKL rispettivamente). I quattro angoli sono comunque non congruenti, altrimenti il “trapezio” risulterebbe un trapezio isoscele nel primo caso ed un parallelogramma nel secondo caso. In un trapezio isoscele, gli angoli adiacenti alla base maggiore sono acuti, gli angoli adiacenti alla base minore sono ottusi. A tal proposito, facciamo riferimento al trapezio IJKL per dire che non può esistere un trapezio isoscele con due angoli acuti opposti e due angoli ottusi opposti. Infatti, se fosse IJ ≅ LK , i triangoli IG1J e LK1K risulterebbero congruenti per il criterio particolare dei triangoli rettangoli, avendo congruenti le ipotenuse (i lati obliqui del trapezio) ed una coppia di cateti (le altezze del trapezio), da cui seguirebbe in particolare che I J G 1 ≅ L K K 1 , e pertanto l’angolo in K sarebbe supplementare dell’angolo in J, cosa che garantirebbe il parallelismo dei lati obliqui. Dunque, un ipotetico trapezio isoscele con due angoli acuti opposti sarebbe un parallelogramma. Inoltre, se il trapezio è isoscele, gli angoli adiacenti a ciascuna delle basi sono congruenti. Infatti, in riferimento al trapezio ABCD, tracciate le altezze BD1 e CE1 (tra loro congruenti perché entrambe rappresentano la distanza tra due rette parallele), i triangoli AD1B e E1DC risultano congruenti per il criterio particolare dei triangoli rettangoli, avendo congruenti le ipotenuse (i lati obliqui del trapezio) ed una coppia 91
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