Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 3. Rette parallele
►6. Disuguaglianze tra gli elementi di un triangolo
TEOREMA. In un triangolo, a lato maggiore si oppone angolo maggiore.
TEOREMA. In un triangolo, ad angolo maggiore si oppone lato maggiore.
Ipotesi: B A C A C B . Tesi: BC AB .
Dimostrazione: Dimostriamo la tesi in maniera indiretta facendo uso del teorema precedente e del teorema
del triangolo isoscele. Supponiamo vera l’ipotesi: B A C A C B . Facciamo un confronto tra i segmenti
BC e AB considerando tutte le possibilità. È possibile che sia:
BC ≅ AB ; (ii) BC AB ; (iii) BC AB
Se fosse vera (i), il triangolo ABC sarebbe isoscele sulla base AC e risulterebbe B A C ≅ A C B , per il
teorema del triangolo isoscele, contro l’ipotesi.
Se fosse vera (ii), per il teorema precedente risulterebbe B A C A C B , contro l’ipotesi.
Rimane solo la possibilità che sia vera (iii), la quale infatti non contraddice il teorema precedente,
anzi lo conferma. Quindi la tesi è dimostrata▄
Da questo teorema discende la proprietà che in un triangolo rettangolo l'ipotenusa è sempre maggiore di
ciascuno dei due cateti, in quanto l'ipotenusa è il lato che si oppone all'angolo maggiore, l'angolo retto.
Ora dimostriamo una proprietà importante dei triangoli, nota come disuguaglianza triangolare.
TEOREMA. In un triangolo, ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro
differenza.
Dimostrazione: In riferimento alla figura a lato, dimostriamo che nel triangolo
EFG, EF < EG + GF. Se EF fosse minore di un altro lato, sicuramente
saremme minore della somma degli altri due e il teorema sarebbe dimsotrato.
Esaminiamo il caso in cui EF è maggiore sia di FG che di EG.
Prolunghiamo il lato EG dalla parte di G e prendiamo un punto J sul
prolungamento in modo che il segmento GJ sia congruente a GF. Unendo J
con F abbiamo il EFJ nel quale il lato EJ è congruente alla somma dei lati
EG e GF. La tesi si riconduce dunque a dimostrare che il lato EF è minore
di EJ. Osserviamo che il triangolo GFJ è isoscele sulla base FJ, per cui gli
angoli alla base sono congruenti G F J ≅ G J F . Ma l’angolo G F J è
una parte propria di E F J che quindi risulta maggiore di
G F J ≅ E J F . Dunque, nel triangolo EFJ, il lato EJ, che si oppone ad
angolo maggiore, è maggiore del lato EF, che si oppone ad angolo minore, per il teorema precedente.
Visto che la costruzione fatta si può ripetere tale quale rispetto a qualsiasi lato, si può concludere che
EF