Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 1. Nozioni fondamentali
►6. La misura
Misura di segmenti
Riprendiamo alcune definizioni sui segmenti:
Si dice segmento di estremi A e B (o brevemente segmento AB) l’insieme dei punti A e B e di tutti quelli
che stanno tra A e B.
Due segmenti AB e CD si dicono congruenti se esiste un movimento rigido che porta a coincidere A con C
e B con D, oppure A con D e B con C. Ricordiamo che se esiste un movimento rigido che porta a coincidere
A con C e B con D allora esiste anche un movimento rigido che porta a coincidere A con D e B con C, e viceversa.
È altresì vero che, anche nel caso in cui i due segmenti appartengano alla stessa retta, uno dei due
movimenti comporta il “ribaltamento” di uno dei due segmenti che gli fa occupare posizioni al di fuori della
retta che lo contiene.
Si dice lunghezza di un segmento AB l’insieme di tutti i segmenti congruenti ad AB.
Si dice distanza tra due punti A e B il segmento AB di estremi A e B.
Diamo ora una definizione particolarmente importante per l’applicazione del calcolo numerico alla geometria:
la definizione di misura. Ricordiamo che la nozione di misura è alla base delle applicazioni del calcolo
matematico non solo alla geometria ma anche alla fisica e alla tecnologia in generale. Il processo di misurazione
è analogo a tutti i campi di applicazioni: si tratta di trovare un modo per assegnare a una grandezza un
numero. Questo numero si ottiene confrontando due grandezze dello stesso tipo. Per esempio, per misurare la
massa di un oggetto si confronta la sua massa con quella di un oggetto campione, di solito un oggetto di 1 kg.
Per misurare un segmento AB si confronta questo segmento con un altro segmento scelto come unità di misura,
di solito indicato con u.
Nel confronto tra il segmento AB e il segmento u, possono verificarsi i tre casi seguenti:
1. Il segmento AB è multiplo del segmento u secondo il numero naturale n, precisamente
AB ≅ n⋅u . In questo caso la misura di AB rispetto a u è il numero naturale n. Si scrive AB ≅ n u
Il segmento AB misura 6u, in quanto AB ≅ 6⋅u .
2. Il segmento AB non è un multiplo intero di u ma è un multiplo di un sottomultiplo di u, precisa-
mente AB ≅ n⋅ u n
n
= u . In questo caso la misura di AB rispetto a u è il numero razionale
m m m
AB= n
u .
m
A B
u
1
10 u
u
Unità di misura
u u u u u u
17
10
A B
u
u
. Si scrive
Il segmento AB è congruente a 17 volte il segmento 1
17
u , quindi AB misura u .
10 10
3. Il segmento AB non è un multiplo né di u né di nessun sottomultiplo di u. In questo caso si dice
che AB e u sono incommensurabili, nei casi precedenti si dice che sono commensurabili. Anche in questo
caso è possibile attribuire ad AB un numero che ne esprime la misura rispetto a u, si tratta però di un numero
irrazionale. La complessità dell’argomento richiede alcune conoscenze più avanzate di matematica, pertanto
la tematica della misura delle grandezze incommensurabili sarà approfondita nel seguito. Qui ci accontentiamo
di accennare al caso storicamente più noto di segmenti incommensurabili: la diagonale di un quadrato
misurata rispetto al suo lato.
42
7
10 u