Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 9. Trasformazioni geometriche
►3. Composizione di isometrie
Composizione di isometrie di tipo diverso
Riferendovi alla figura, completate:
F”
Nel riferimento cartesiano ortogonale sono assegnati il triangolo EFD avente i vertici di coordinate
E … , … ; F … , … ; D … ,… e il vettore u di componenti … , … . Con la traslazione di vettore
TR u
u si ha DEF ——›
e DEF ≅ D’E’F’ essendo la traslazione una isometria.
Nel piano è tracciata la retta a di equazione x=3; nella simmetria assiale Sa si ha
D'E'F' ——› e
D’E’F’≅ D”E”F” essendo la simmetria assiale una isometria.
Completate con le coordinate dei punti
TR u
E ; ——›
TR u
F ; ——›
E”
S a
E ' ; ——› E ' ' ;
S a
F ' ; ——›
TRu
D ; ——› D ' ; ——› D ' ' ;
per la proprietà transitiva della congruenza.
S a
TR u
F ' ' ; e EFD ——›
S
a
E'F'D' ——› E''F''D'' e DEF≡D''E''F''
DEFINIZIONE. Chiamiamo composizione di due isometrie 1 e 2 l’isometria , (e scriviamo
= 2 ° 1 e leggiamo “ 2 composta con 1 ”), che associa ad un qualunque punto P del piano il
punto P” ottenuto determinando prima l’immagine P’ di P in 1 e di seguito l’immagine P” di P’ in
2 . In formula: P = ° : P ——› P ' ——› P ' ' .
2 1
S a ° TR u
Riprendendo l’esempio precedente concludiamo
DEF ———› D''E''F''
y
D”
1
2
a
x=3
In generale la composizione di isometrie non è commutativa: 1 ° 2 ≠ 2 ° 1 . (*)
Se, utilizzando l’esempio precedente volete verificare che S a°TR u≠TR u °S a , troverete un risultato
che sembra contraddire quanto affermato; basta però un contro-esempio per convincerci della verità della
proposizione (*).
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u
D’
D
.
E’
E
F’
F
S a
x