Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 9. Trasformazioni geometriche 2.3 La traslazione DEFINIZIONE. Fissato nel piano un vettore v si chiama traslazione di vettore v (indicata con TR) la corrispondenza che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P’ dello stesso piano in modo che PP ' ≡v Per costruire il corrispondente di un punto P del piano procedete con i seguenti passi: • fissate un vettore v • prendete un punto P del piano • da P tracciate la retta a avente la stessa direzione di v • su a fissate il punto P’ tale che PP ' sia equipollente a v • P’ è l’immagine di P nella traslazione TR: P P ' GLI ELEMENTI UNITI • p: “Nella traslazione non ci sono punti uniti”. • q: “Una retta parallela al vettore che individua la traslazione è unita”. Lasciamo al lettore la verifica delle proposizioni enunciate. TEOREMA 1 Dimostrate che TR è una isometria. Strategia risolutiva: dovrete dimostrare che l’immagine di un segmento AB è il segmento A’B’ tale che AB≅A’B’ TEOREMA 2 Dimostrate che se r ed r’ sono due rette corrispondenti in una traslazione, allora sono parallele figura1 48 Nel piano sono assegnati i tre punti A, B, A’; il punto A’ è immagine di A in una traslazione; dopo aver determinato il vettore della traslazione costruite l’immagine del triangolo ABA’. (figura1) 49 Determinate l’immagine del parallelogrammo ABCD nella traslazione di vettore v≡AC . 50 Dati due punti distinti A e B e il vettore CD della figura 2, detti A’ e B’ i punti immagine di A e B nella traslazione di vettore CD , rispondete alle questioni: [A] di che natura è il quadrilatero ABB’A’ ? [B] può succedere che il quadrilatero in questione sia un rettangolo? E un rombo? [C] cosa succede se AB è parallelo al vettore CD ? 51 Come dobbiamo assegnare due segmenti AB e A’B’ perché siano corrispondenti in una traslazione? È unica la traslazione che associa ad AB il segmento A’B’? 210 a
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 9. Trasformazioni geometriche Descrizione analitica di una traslazione Pensiamo il piano, dotato di riferimento cartesiano ortogonale, come formato da due cartoncini sovrapposti: sul piano D, trasparente, i punti sono rappresentati dal solito simbolo, sull’altro C, sottostante, i punti sono rappresentati con +. Studiamo la corrispondenza TR tra i punti del piano D e i punti del piano C espressa dalla legge: P xP ; y P∈ D TR P ' x p1 ; y p−3∈C Se P(1;5) è il punto di D il suo corrispondente è P’(2;2) 52 Determinate il corrispondente di ciascuno dei seguenti punti F 0 ; 2 ; H −1 ; 8 ; K 3 ; 3 ; V 4 ;−1 53 Rispondete alle domande: è vero che il dominio della corrispondenza coincide con D? è vero che la corrispondenza assegnata è univoca? si può affermare che è biunivoca? di quale punto è immagine il punto S’(0;-4)? è vero che è una isometria? 54 Nel riferimento cartesiano rappresentate ogni punto dell’esercizio E55 e i corrispondenti F’, H’, K’, V’ e congiungete ciascuno con la propria immagine. I vettori FF ' , HH ' , KK ' , VV ' sono equipollenti? Dagli esercizi precedenti possiamo affermare che la corrispondenza assegnata è una isometria completamente caratterizzata dal vettore v 1 ;−3 pertanto è una traslazione. DEFINIZIONE: Fissato nel riferimento cartesiano ortogonale un vettore v( a; b) , chiamiamo equazione della traslazione di vettore v a ; b (TR(a,b)) le relazioni che legano le coordinate di un punto P con le coordinate della sua immagine P’. DEFINIZIONE: Siano x e y le coordinate del punto P e x’, y’ le coordinate del punto sua immagine, l’ equazione della traslazione di vettore v a ; b è TR a ; b:{ x '= xa y ' = yb 55 Nel riferimento cartesiano è assegnato il punto P(-4;2); determinate il punto P’ immagine nella traslazione TR 3 ;−1:{ x '= x3 y ' = y−1 . Strategia risolutiva: 1. individuate il vettore w della traslazione: w ; 2. tracciate il vettore nel riferimento cartesiano 3. determinate le coordinate di P’: P’(…;….) Completate: PP ' è … … … … a w ; questo significa che i due vettori hanno … … … direzione (cioè sono … … … …), stesso … … … e … … … … intensità. 56 Nello stesso riferimento dopo aver fissato un punto Q(…;…) e il punto Q’(…;…) immagine nella stessa traslazione TR(3,-1), dimostrate con le conoscenze di geometria sintetica che PP’Q’Q è un parallelogrammo. Ipotesi: PP’≅QQ’; PP’… QQ’ Tesi: … … … Dimostrazione: 211
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