Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 1. Nozioni fondamentali
Gli ultimi assiomi ci permettono di dedurre il seguente
TEOREMA. Tra due punti di una retta esiste sempre una quantità illimitata di altri punti.
Dimostrazione
Data una retta r e due suoi punti A e B, per l'assioma VIII sappiamo che esiste un terzo punto C sulla retta r
che giace tra A e B. Ma allora esiste un punto D su r che giace tra A e C e un punto E che giace tra C e B.
Per lo stesso assiona esisteà un punto tra A e D, uno tra D e C, uno tra C e B, e così via.
DEFINIZIONE. Si chiama segmento AB l’insieme dei punti A e B e di tutti quelli che stanno stanno sulla
retta tra A e B.
Gli assiomi di ordinamento ci permettono di dare anche la seguente
DEFINIZIONE. Presi quattro punti ABCO su una retta, in modo che B stia tra A e O e O stia tra A e C
possiamo dire che A e B stanno dalla medesima parte rispetto a O, mentre A e C non stanno dalla medesima
parte rispetto a O.
A B O C
A e B stanno dalla medesima parte rispetto a O; A e C non stanno
dalla medesima parte rispetto a O.
Trascuriamo in questa trattazione elementare l'Assioma di Pasch (X) e l'Assioma delle parallele (XI)
ASSIOMI DI CONGRUENZA: “essere congruente a”
XII. Assioma del trasporto di un segmento. Se A, B sono due punti di una retta a e A' è un punto sulla stessa
retta (o fissato su un’altra retta a'), si può sempre trovare un punto B' sulla retta a (o su a’), da una data parte
rispetto ad A', tale che il segmento AB sia congruente al segmento A'B'.
A B A’ B’ a
Assioma del trasporto di un segmento.
XIII. La relazione di congruenza tra segmenti è transitiva, cioè se A′B′ e A′′B′′ sono congruenti ad AB, allora
A′B′ è congruente a A′′B′′.
XIV. Siano AB e BC segmenti su una retta r privi di punti comuni a parte B, e siano A′B′ e B′C′ segmenti su
una retta r′ privi di punti comuni a parte B’. Se e AB ≅ A ' B ' BC ≅ B ' C ' , allora AC ≅ A ' C ' .
A B C
r
A’
B’ C’
AB e A’B’ sono segmenti congruenti, anche BC e B’C’ sono segmenti congruenti,
allora AC e A’C’ sono segmenti congruenti.
Prima di proseguire con gli altri assiomi premettiamo la seguente
DEFINIZIONE. Chiamiamo semiretta la parte di retta costituita da un punto di essa, detto origine della
semiretta, e da tutti i punti che stanno dalla stessa parte rispetto all’origine.
O
19
r’