Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 9. Trasformazioni geometriche Può succedere che ogni punto di una retta sia un punto unito: in tal caso la retta unita è luogo di punti uniti o retta fissa. r ≡ r’ r ≡ r’ ►2. Le isometrie A∈r ∧ B∈r } ∑ : A A'∧B B ' A '∈r ∧ B '∈r r≡r ' A∈r ∧ B∈r } ∑ : A A '∧ B B ' A '≡A ∧ B '≡B r≡r ' Riprendiamo la definizione del paragrafo precedente: Si chiama isometria una trasformazione piana che associa a due punti A e B del piano i punti A’ e B’ tali che AB e A’B’ risultano congruenti. Richiamiamo anche le proprietà: • l’immagine di una retta è una retta, l’immagine di una semiretta è una semiretta, l’immagine di un segmento è un segmento ad esso congruente; • a rette parallele corrispondono rette parallele; • a rette incidenti corrispondono rette incidenti; • ad un angolo corrisponde un angolo ad esso congruente. Ci proponiamo di studiare particolari isometrie. La simmetria centrale DEFINIZIONE. Fissato nel piano un punto K, chiamiamo simmetria centrale di centro K (indicata col simbolo SK ) la corrispondenza che associa ad un punto P del piano il punto P’ tale che K risulti il punto medio del segmento PP’. Per determinare l’immagine di un segmento basta determinare l’immagine dei suoi estremi. Nella figura1 è illustrato come agisce SK su una qualunque figura piana: l’immagine del triangolo BCD è il triangolo B’C’D’ ottenuto determinando l’immagine di ciascuno dei suoi vertici. TEOREMA 1. Dimostrate che SK è una isometria. Fissato K, centro di simmetria, per la dimostrazione servitevi della figura 2. Ipotesi: A S K A . B . A’ . B’ . retta unita A≡A’ . B≡B’ . retta unita luogo di punti uniti-retta fissa A ' ; P SK P ' PK ≡ P ' K ; AK ≡ A ' K Tesi: AP≅A’P’ Lasciamo al lettore la dimostrazione. 200 fig.2
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 9. Trasformazioni geometriche TEOREMA 2. Dimostrate che rette corrispondenti in SK sono parallele. Osserviamo che per determinare l’immagine r’ di una retta r in SK basta costruire l’immagine A’ e B’ di due suoi punti A e B. Per la costruzione effettuata si ha AK ≡KA' e BK ≡KB ' , per la dimostrazione del Teorema 1 abbiamo ottenuto AKB≡A' KB ' dunque in particolare A B K≡ A' B ' K . Questi sono angoli alterni interni delle rette r ed r’ con trasversale BB’ che pertanto risultano parallele. GLI ELEMENTI UNITI - l’unico punto unito è il centro di simmetria. - sono unite tutte le rette passanti per il centro di simmetria. Lasciamo al lettore la verifica di quest’ultima proposizione 4 Completate la costruzione del simmetrico del triangolo ABC in SK. Immaginate di percorrere il contorno di ABC partendo dal vertice A: state ruotando in senso orario o antiorario? ……... In quale senso percorrete il contorno di A’B’C’ partendo da A’? …………. Questo fatto ci permette di concludere che SK mantiene l’orientamento dei punti: è una isometria diretta. 5 Presi due punti T e T’ nel piano è vero che possiamo individuare la simmetria centrale in cui T’ è immagine di T? 6 Come dobbiamo scegliere due segmenti affinché sia possibile determinare una simmetria centrale in cui essi siano corrispondenti? 7 Nel rettangolo ABCD indicate con O il punto d’incontro delle diagonali; A B determinate l’immagine di ABCD nella simmetria di centro O. Completate: SO : ABCD → ......... pertanto il rettangolo è una figura unita nella simmetria D C avente come centro il punto d’intersezione delle sue diagonali. Vale la stessa affermazione per qualunque parallelogrammo? Perché? ……………………….. fig.3 DEFINIZIONE: Si dice che una figura F ha un centro di simmetria se esiste nel piano un punto K tale che nella simmetria di centro K, F coincide con la sua immagine F’. F è unita in SK. 8 Anche in natura si presentano elementi dotati di un centro di simmetria: individuatelo nel fiore dell’immagine. Flower foto di Joe Shlabotnik http://www.flickr.com/photos/joeshlabotnik/2307646852/ 201
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