Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 1. Nozioni fondamentali ASSIOMI DI APPARTENENZA: “giacere su”: I. Dati due punti distinti, esiste una e una sola retta che contiene entrambi i punti. II. Ogni retta contiene almeno due punti. Esistono almeno tre punti che non giacciono su questa retta. Due punti A e B giacciono sempre su un retta, questa retta è unica, esiste sempre almeno un terzo punto C che non giace sulla retta r. III. Dati tre punti non allineati, esiste uno e un solo piano che contiene tutti e tre i punti. Ogni piano contiene almeno un punto. Per tre punti non allineati, A, B, C, passa un piano , questo piano è unico. IV. Se due punti di una retta giacciono su un piano, allora anche tutti gli altri punti della retta giacciono su questo piano. π r π Se i punti A e B giacciono sul piano , tutti i punti della retta r, che contiene i punti A e B, giacciono sul piano . V. Se un punto giace su due piani distinti, allora esiste almeno un altro punto giacente su entrambi questi piani. VI. Esistono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano. ASSIOMI DI ORDINAMENTO: “stare fra”: VII. Se un punto B giace fra i punti A e C, allora i punti A, B e C sono tre punti distinti sulla stessa retta, e B giace fra C ed A. Se B sta tra A e C, allora sta anche tra C e A, e i tre punti sono allineati. VIII. Dati due punti A e C, esiste almeno un punto B, sulla retta AC, giacente fra di essi. XI. Dati tre punti qualsiasi di una retta, uno e uno solo di essi giace fra gli altri due. A A A C A B C 18 C B B B r
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 1. Nozioni fondamentali Gli ultimi assiomi ci permettono di dedurre il seguente TEOREMA. Tra due punti di una retta esiste sempre una quantità illimitata di altri punti. Dimostrazione Data una retta r e due suoi punti A e B, per l'assioma VIII sappiamo che esiste un terzo punto C sulla retta r che giace tra A e B. Ma allora esiste un punto D su r che giace tra A e C e un punto E che giace tra C e B. Per lo stesso assiona esisteà un punto tra A e D, uno tra D e C, uno tra C e B, e così via. DEFINIZIONE. Si chiama segmento AB l’insieme dei punti A e B e di tutti quelli che stanno stanno sulla retta tra A e B. Gli assiomi di ordinamento ci permettono di dare anche la seguente DEFINIZIONE. Presi quattro punti ABCO su una retta, in modo che B stia tra A e O e O stia tra A e C possiamo dire che A e B stanno dalla medesima parte rispetto a O, mentre A e C non stanno dalla medesima parte rispetto a O. A B O C A e B stanno dalla medesima parte rispetto a O; A e C non stanno dalla medesima parte rispetto a O. Trascuriamo in questa trattazione elementare l'Assioma di Pasch (X) e l'Assioma delle parallele (XI) ASSIOMI DI CONGRUENZA: “essere congruente a” XII. Assioma del trasporto di un segmento. Se A, B sono due punti di una retta a e A' è un punto sulla stessa retta (o fissato su un’altra retta a'), si può sempre trovare un punto B' sulla retta a (o su a’), da una data parte rispetto ad A', tale che il segmento AB sia congruente al segmento A'B'. A B A’ B’ a Assioma del trasporto di un segmento. XIII. La relazione di congruenza tra segmenti è transitiva, cioè se A′B′ e A′′B′′ sono congruenti ad AB, allora A′B′ è congruente a A′′B′′. XIV. Siano AB e BC segmenti su una retta r privi di punti comuni a parte B, e siano A′B′ e B′C′ segmenti su una retta r′ privi di punti comuni a parte B’. Se e AB ≅ A ' B ' BC ≅ B ' C ' , allora AC ≅ A ' C ' . A B C r A’ B’ C’ AB e A’B’ sono segmenti congruenti, anche BC e B’C’ sono segmenti congruenti, allora AC e A’C’ sono segmenti congruenti. Prima di proseguire con gli altri assiomi premettiamo la seguente DEFINIZIONE. Chiamiamo semiretta la parte di retta costituita da un punto di essa, detto origine della semiretta, e da tutti i punti che stanno dalla stessa parte rispetto all’origine. O 19 r’
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