Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 8. Equiestensione e aree Esempi In un trapezio rettangolo, circoscrittibile ad una circonferenza di raggio 6 cm, il lato obliquo misura 25/2 cm. Determina perimetro ed area del trapezio. L’altezza CH è congruente al diametro della circonferenza inscritta, quindi CH = AD = 12 cm. Applicando il teorema sui quadrilateri circoscrittibili ad una circonferenza, abbiamo BC + AD = AB + CD. Poichè BC + AD = (12 + 25/2) cm = 49/2 cm, per trovare il perimetro basta moltiplicare questa misura per 2 e si ha 2p=(49/2 • 2)cm=49cm. Anche il calcolo dell’area è immediato: ABCD⋅CH A= = 2 49 2 ⋅12 2 cm 2 2 . =147cm Nel trapezio ABCD, circoscritto ad una circonferenza, il punto E di tangenza con la base minore CD la divide in due parti: CE = 6a e DE = 12a. Sapendo che la base maggiore AB è il doppio del lato obliquo AD, determina perimetro ed area del trapezio. Dai dati si deduce immediatamente che la base minore CD = 18a. Per il teorema delle tangenti condotte da un punto esterno ad una circonferenza sappiamo che, se OH è il raggio, sarà CE=CH=6a, DE=DK=12a. Applichiamo ora il secondo teorema di Euclide prima al triangolo rettangolo BOC e poi al triangolo rettangolo AOD, si ha OH 2 =BH⋅HC ; OK 2 = DK⋅AK . Poichè OH=OK in quanto raggi, possiamo uguagliare i secondi membri ed avremo BH⋅HC =DK⋅AK . Sostituiamo i valori che ci fornisce il testo ed abbiamo BH⋅6a= AK⋅12a , da cui ricaviamo BH=2AK. Poniamo AK = x , allora sarà AD=x+12a, BH=2x, BC=2x+6a. Poichè inoltre AB=2AD, avremo AB = 2(x + 12a) . Ma AB=AI+BI, e cioè, sempre per il teorema delle tangenti, AB=BH+AK, cioè AB = 2x + x = 3x. Uguagliando anche in questo caso i secondi membri avremo 2(x+12a)=3x, da cui x = AK = 24a. Sostituendo il valore di x nelle uguaglianze precedenti avremo: AB=72a, BC=54a, AD=36a. Calcoliamo il perimetro 2p=72a+54a+36a+18a=180a. Per calcolare l’area basta determianre la lunghezza del raggio, in quanto l’altezza è uguale al diametro della circonferenza. Applicando il secondo teorema di Euclide, poichè BH=2x=48a, sarà OH 2 =BH⋅HC =48a⋅6a=288a 2 , OH =12a 2 . Dunque l’altezza del trapezio vale 2 OH =24 a 2 L’area allora sarà 72a18a⋅24a 2 =1080a 2 2 2 . Trapezi circoscritti ad una semicirconferenza Un trapezio si dice circoscritto ad una semicirconferenza se la base maggiore è sulla retta che contiene il diametro e se la base minore ed i lati obliqui sono tangenti alla semicirconferenza. Dato il trapezio ABCD circoscritto ad una semicirconferenza, sussiste questa proprietà: ognuna delle due parti in cui la base maggiore è divisa dal centro della semicirconferenza è congruente al lato obliquo ad essa adiacente; guardando la figura, questo vuol dire che OB = BC ;OA = AD . Dimostriamo la proprietà considerando i due triangoli OBH1 e BCH (ragionamento analogo varrà per gli altri due triangoli); questi due triangoli sono entrambi rettangoli in quanto CH è altezza e OH1 è raggio che cade nel punto di tangenza; inoltre hanno CH = OH 1 in quanto entrambi raggi e l’angolo acuto H B C in comune, quindi sono congruenti per uno dei criteri di congruenza dei triangoli rettangoli (un cateto e l’angolo acuto ad esso opposto rispettivamente congruenti). Da qui segue allora la congruenza tra le due ipotenuse: OB = BC . 186
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 8. Equiestensione e aree Esempio Nel trapezio ABCD, circoscritto ad una semicirconferenza, la base minore ed un lato obliquo misurano entrambi 6 cm, mentre la base maggiore misura 15 cm. trovare perimetro ed area del trapezio. Per quanto appena dimostrato, la base maggiore è uguale alla somma dei due lati obliqui, dunque avremo AB=BC+AD; sapendo che uno dei due lati obliqui, ad esempio AD, vale 6 cm, ricaviamo subito BC=AB-AD=15 cm - 6 cm = 9 cm. Il perimetro dunque vale 2p = (15 + 9 + 6 + 6) cm = 36 cm. Per calcolare l’area abbiamo bisogno dell’altezza. Poniamo BH=x, quindi sarà AK=AB-(CD+BH)=15-6-x=9-x. Applichiamo ora il teorema di Pitagora ai triangoli rettangoli BCH e DAK, si ha CH 2 = BC 2 - BH 2 ; DK 2 = AD 2 - DK 2 . Poichè CH=DK, l’uguaglianza varrà anche per i loro quadrati, e quindi, per la proprietà transitiva, possiamo uguagliare i secondi membri ed avremo: BC 2 - BH 2 = AD 2 - DK 2 . Sostituiamo i valori 81-x 2 =36-(9-x) 2 Svolgiamo i calcoli, semplifichiamo ed otteniamo 18x=126, da cui x=7cm. Dunque HB = 7 cm. Poichè CH 2 =81-x 2 =81-49=32, da cui x=4⋅2 (possiamo accettare solo la soluzione positiva in quanto si tratta di una lunghezza). Calcoliamo l’area A= 156⋅4 2 2 Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo cm 2 =422cm 2 care la formula che si ottiene moltiplicando numeratore e denominatore per il terzo lato R= a⋅b⋅c a⋅b⋅c = h⋅c 4A in quanto A= c ˙h 2 . 187 .
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