Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 8. Equiestensione e aree
Triangoli equilateri inscritti e circoscritti
Consideriamo un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza, e
vediamo che relazione c’è tra il suo lato ed il raggio della circonferenza.
Poichè in un triangolo equilatero il circocentro coincide con il baricentro,
ricordando il teorema del baricentro, secondo il quale le tre mediane di un
triangolo s’incontrano in uno stesso punto detto baricentro, che le divide in
modo tale che la parte che contiene il vertice è il doppio dell’altra, avremo
che AO = r , OH = r/2, quindi l’altezza AH (che coincide con la mediana) è
data da AH =r r 3
=
2 2 r
Per quanto visto precedentemente, il lato è dato da l= 3
2 r⋅23
3 =r 3 .
Consideriamo ora un triangolo equilatero circoscritto ad una circonferenza.
Per quanto detto prima, AO, parte della mediana che contiene il vertice, è il
doppio di OH = r, raggio della circonferenza inscritta, e quindi, se conosciamo
il raggio della circonferenza inscritta, avremo che AH (mediana e altezza del
triangolo) vale 3r. Da qui possiamo anche in questo caso ricavare il lato del
triangolo l=3r
2 3
3 =2r 3 .
Esempio
Determina l’area di un triangolo equilatero sapendo che il raggio della
circonferenza inscritta è lungo 6 cm. Determina poi anche il raggio
della circonferenza circoscritta.
Facendo riferimento alla figura,
AH del triangolo vale 3r, quindi AH = 18 cm.
Il lato vale 2r , quindi BC = 12 cm.
Area = 12 •18 : 2 cm2 = 108 cm 2 .
Raggio circonferenza circoscritta = AO = 2r = 12 cm.
Trapezi circoscritti ad una circonferenza.
Sappiamo che in un qualunque quadrilatero circoscrivibile ad una
circonferenza la somma di due lati opposti è congruente alla somma
degli altri due; questo teorema vale ovviamente per tutti i trapezi
circoscrivibili.
Inoltre possiamo dimostrare un’altra importante proprietà: in ogni
trapezio circoscrivibile ognuno dei due triangoli che si ottengono
congiungendo gli estremi di un lato obliquo con il centro della
circonferenza è un triangolo rettangolo.
Infatti CO e OF sono le bisettrici degli angoli in C e in D, lo stesso
dicasi per DO e EO (vedi la dimostrazione del teorema sulle tangenti
condotte da un punto esterno ad una circonferenza); poichè gli angoli
in C e in D sono supplementari tra di loro, così come gli angoli in E
e in F, le loro metà saranno complementari, cioè O C FC F O=90 ° ;O D E D E O=90 ° . Ma allora gli
angoli C O F e D O E sono retti, per differenza tra 180° (somma degli angoli interni di un triangolo) e
90°.
Queste importanti proprietà permettono di risolvere la maggior parte dei problemi sui trapezi circoscrivibili.
185