Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 8. Equiestensione e aree
Anche per questo teorema vale il teorema inverso.
TEOREMA INVERSO. Se in un triangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è
equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa, il triangolo è
rettangolo.
Costruiamo il quadrato BILH sull’altezza relativa all’ipotenusa ed il
rettangolo AHDE che ha come lati le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa;
essi sono equivalenti per ipotesi. Dobbiamo dimostrare
che il triangolo ABC è rettangolo.
Congiungiamo D con C, tracciamo la diagonale BL del quadrato e
prolunghiamola finchè non incontri DC il M. Tracciamo infine la
diagonale AD del rettangolo. Consideriamo i triangoli ADH e BHL,
sono equivalenti in quanto metà di figure equivalenti. Ora consideriamo
i triangoli ADL e BDL, sono equivalenti in quanto somme di
figure equivalenti: i triangoli ADH, BHL a cui aggiungiamo lo
stesso triangolo HDL. Essendo equivalenti ed avendo la stessa base
DL dovranno avere anche la stessa altezza AF = BK , cioè la
stessa distanza tra AB e DK, e quindi AB e DK sono paralleli.
Detto M il punto intersezione tra le rette DC e BL, notiamo che,
essendo BHL e HDC triangoli rettangoli isosceli, avranno gli angoli
alla base di 45°; ma è anche H L B = M L C=45° in quanto
opposti al vertice, perciò L M C= 90° . Allora BM e CH sono
due altezze del triangolo BDC, e poiché s’incontrano nel punto L questo risulta essere l’ortocentro del triangolo,
e poiché il segmento BK passa per l’ortocentro deve essere a sua volta altezza relativa a BC. Ma poiché
avevamo già dimostrato che DK è parallelo al AB , se DK è perpendicolare a BC lo sarà anche AB, e quindi
il triangolo ABC è un triangolo rettangolo▄
►5. Applicazioni dei teoremi di Euclide e Pitagora
Consideriamo il triangolo rettangolo ABC in figura.
Supponiamo di conoscere la misura dell’ipotenusa BC e della proiezione CH del
cateto AC, sull’ipotenusa BC; allora possiamo applicare il I teorema di Euclide
per trovare la lunghezza del cateto AC: AC 2 =BC⋅CH , da cui ricavo
AC= BC⋅CH .
Se invece conosciamo la lunghezza del cateto AC e della sua proiezione CH e
vogliamo trovare l’ipotenusa, allora avremo BC=
AC 2
CH .
Supponiamo ora di conoscere le misure delle due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
BH e CH, e di voler trovare la misura di AH altezza relativa all’ipotenusa,
applicando il II teorema di Euclide avremo AH 2 =BH⋅CH , da cui ricavo AH = BH⋅CH .
Se vogliamo invece trovare la lunghezza di una delle due proiezioni e conosciamo l’altezza relativa all’ipote-
nusa, ad esempio, CH, avremo BH =
AH 2
CH .
Per quanto riguarda poi le applicazioni del teorema di Pitagora, che sicuramente gli studenti conoscono già
dalle scuole medie, ricordiamo che se abbiamo la misura dei due cateti avremo BC 2 = AB 2 AC 2
, da cui
BC = AB 2 AC 2 ; viceversa, conoscendo l’ipotenusa ed un cateto, ad esempio AC, avremo
AB= BC 2 − AC 2 .
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