Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 1. Nozioni fondamentali
►3. Gli enti fondamentali della geometria
In questo paragrafo diamo un cenno del sistema assiomatico della geometria razionale facendo riferimento
principalmente all’impostazione assiomatica di Hilbert.
Concetti primitivi
Sono concetti primitivi per la geometria il punto, la retta e il piano. Di essi non si dà una definizione e
costituiscono la base per definire tutti gli altri enti della geometria.
Oltre a questi tre enti primitivi occorre poi assumere l’esistenza di tre relazioni primitive tra gli enti geometrici:
giacere su, stare fra, essere congruente a. Queste relazioni permettono di stabilire dei legami tra gli
enti geometrici, per esempio: “un punto giace su una retta”, “un punto sta fra altri due punti”, “un segmento è
congruente a un altro segmento”, …
Esiste una simbologia convenzionale condivisa dagli studiosi per indicare questi enti:
• per indicare un punto usiamo una lettera maiuscola, A, B, C, …;
• per indicare una retta usiamo una lettera minuscola, a, b, c, …;
• per indicare un piano usiamo una lettera greca: , , , .
Ricordiamo l’alfabeto greco, per gli studenti che hanno poca familiarità con esso:
Lettere greche minuscole: (alfa) , (beta) , (gamma) , (delta) , (epsilon) , (zeta) ,
(eta) , (theta) , (iota) , (kappa) , (lambda) , µ (mi) , ν (ni) , ξ (xi) ,
(omicron) , (pi o pi greca) , (rho) , (sigma) , (tau) , υ (ipsilon) , (fi) ,
(chi) , (psi) , (omega) .
Lettere greche maiuscole:
Α , Β , Γ , ∆ , Ε , Ζ , Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ , Ν , Ξ , Ο , Π , Ρ , Σ , Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω .
Per il simbolo di congruenza si usa —
• Degli enti fondamentali Euclide aveva dato le seguenti definizioni:
• Punto è ciò che non ha parti.
• Linea è lunghezza senza larghezza.
• Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa.
Le definizioni in questo caso sono utili per farci un’idea intuitiva di essi. Tuttavia, come è già stato detto in
precedenza, e da quanto si intuisce osservando le definizioni euclidee, per definire il punto si utilizza la
nozione di parte: punto è ciò che non ha parti. Occorrerebbe quindi definire che cosa è una parte. Ma per
definire un parte avremmo bisogno di altre nozioni di partenza, in un procedimento senza fine. Per questo
motivo nell’impostazione assiomatica moderna si preferisce non dare la definizione dei tre enti primitivi e
‘definirli implicitamente’ attraverso le proprietà di cui godono. Ciò significa che si preferisce dare maggiore
importanza a come essi si comportano e cosa possiamo fare con essi, piuttosto che descrivere cosa sono.
Dal punto di vista della rappresentazione grafica si usano le seguenti convenzioni:
A
C
B
punti rette
r
s
Rappresentazione grafica degli enti fondamentali della geometria.
16
π
piano