Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 8. Equiestensione e aree TEOREMA 2. Un triangolo è equivalente ad un parallelogrammo avente: a) base congruente a metà base del triangolo e altezza congruente all’ altezza del triangolo, oppure b) base congruente alla base del triangolo e altezza congruente a metà altezza del triangolo. Nella figura sono rappresentati il triangolo ABC, il parallelogrammo DEFG avente base congruente a metà base del triangolo e altezza congruente all’altezza del triangolo, il parallelogrammo IJLM avente altezza congruente a metà altezza del triangolo e base congruente alla base del triangolo. Ipotesi : AB⊥CH , DE = 1 1 AB ,GK ⊥ DE , GK = CH , IJ = AB , MN ⊥ IJ , MN = 2 2 CH Tesi : a) ABC ˙= DEFG ; b) ABC ˙= IJLM Dimostrazione caso a. Dal punto medio T della base AB tracciamo la parallela al lato AC che incontra CB in S; dal vertice C tracciamo la parallela alla base AB che interseca in R la retta ST; il parallelogramma ATRC soddisfa le ipotesi del caso a) ed è equivalente a DEFG per il teorema 1. Confrontiamo il triangolo e il parallelogrammo: possiamo pensare ABC composto da CATS+BST e ATRC composto da CATS+CSR. Se dimostriamo la congruenza dei triangoli CSR e BST potremo concludere che triangolo e parallelogrammo essendo equicomposti sono equivalenti. Completate con le corrette motivazioni: TB = CR infatti … … … … … SB = CS infatti … … … … … T B S = S C R infatti … … … … … Allora per il primo criterio di congruenza T B S = S C R e quindi ATRC ˙= BST . Dimostrazione caso b. Dal punto medio V dell’altezza CH tracciamo la parallela alla base AB che interseca i lati AC e BC rispettivamente in W e Z; da B tracciamo la parallela al lato AC che interseca la retta WZ in U; il parallelogrammo AWUB soddisfa le ipotesi del caso b) ed è equivalente a IJLM per il teorema 1. Confrontiamo il triangolo e il parallelogrammo: possiamo pensare ABC composto da ……………… e AWUB composto da ………………. Se dimostriamo la congruenza dei triangoli CWZ e ZBU potremo concludere che triangolo e parallelogrammo essendo equicomposti sono equivalenti. CW =... infatti … … … … … CZ =... infatti … … … … … ... = Z BU infatti … … … … … Pertanto … … … … … … … … … … … … … 170
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 8. Equiestensione e aree COROLLARIO. Triangoli aventi stessa base e stessa altezza sono equivalenti. Lasciamo al lettore la dimostrazione di questa proprietà. Il teorema 2 e il suo corollario ci assicurano che i triangoli aventi rispettivamente congruenti la base e la rispettiva altezza formano una classe d’equivalenza avente come rappresentante il rettangolo avente un lato congruente alla base del triangolo e l’altro lato congruente a metà altezza, oppure un lato congruente all’altezza e l’altro lato congruente a metà base. Ipotesi : CL⊥ AB DE = AB e DG = 1 2 CL KH =CL e HI = 1 2 AB Tesi : ABC = ˙ DEFG = ˙ HIJK Area ABC =Area DEFG =Area HIJK . TEOREMA 3. Un trapezio è equivalente a un triangolo avente per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza. Ipotesi : EF = AB DC , DH ⊥ AB , GI ⊥ EF , GI = DH Tesi : ABCD = ˙ EFG . Dimostrazione : Prolunghiamo la base AB del segmento BP congruente a DC e congiungiamo D con P. APD è un triangolo equivalente a EFG avendo stessa base e stessa altezza, quindi basta dimostrare che ABCD = ˙ EFG . Confrontiamo il trapezio e il triangolo: possiamo pensare ABCD composto da … … … … … … e APD composto da … … … … … … Se dimostriamo la congruenza dei triangoli … … … … … … potremo concludere che trapezio e triangolo essendo equicomposti sono equivalenti. I due triangoli sono congruenti perché hanno … … … perché … … … … … … … … … perché … … … … … … … … … perché … … … … … … Possiamo quindi affermare che ABCD = ˙ EFG Area ABCD= Area EFG . Pertanto, utilizzando il teorema 2 e il suo corollario possiamo sempre determinare il rettangolo equivalente a un trapezio dato. 171
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