Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 8. Equiestensione e aree
1 Con tutti i 7 pezzi del gioco si possono costruire 13 poligoni convessi, compreso il quadrato iniziale,
provate a costruirli: fotocopiate la pagina precedente e ritagliate i 7 pezzi del Tangram.
Evidentemente i 13 poligoni che avrete costruito non sono congruenti, né hanno la stessa forma; potete dire
che sono formati dalle stesse parti poligonali, ciascuno può cioè essere pensato come unione dei “tan” aventi
in comune almeno un punto del loro perimetro, ma nessun punto interno.
DEFINIZIONI.
Per somma di due figure piane X e Y, non aventi punti comuni o aventi in comune solo punti del loro
contorno, intendiamo la figura Z unione dei punti di X e Y e la indicheremo con X+Y. Inoltre se Z è la
somma delle due figure X e Y allora diremo che X è la differenza tra Z e Y e scriveremo X=Z-Y.
Due poligoni sono equicomposti se sono formati dalle stesse parti poligonali.
Due poligoni sono equiscomponibili se è possibile decomporre uno di essi in un numero finito di parti
poligonali con le quali si possa ricoprire l'altro.
Tutte le figure poligonali costruite con i pezzi del Tangram sono dunque poligoni equicomposti, ma possono
(Da Prova di allenamento della gara Matematica senza frontiere del 9/02/1994)
3 Nella figura sono disegnati un quadrato ABCD, un rettangolo PQRS avente PQ=2AB e SP=AB/2 e un
rombo FGHK avente una diagonale uguale al lato del quadrato e l'altra il doppio. Mostrate come sia possibile
scomporre ciascuno dei tre poligoni in parti tali da poter ricoprire gli altri due. Puoi concludere che i tre poligoni
assegnati sono equiscomponibili?” ……..
4 Dato l'insieme F = {f1, f2, f3} delle figure poligonali disegnate a lato, seguite le seguenti istruzioni:
ripeti
scegli una figura dell'insieme F
traccia alcuni segmenti che la decompongano in parti
poligonali
forma con le parti ottenute altre 3 figure poligonali
finchè hai esaurito le figure.
Costruite l'insieme G di tutti i poligoni ottenuti con questa procedura e indicate con simboli arbitrari i suoi
elementi.
Nell'insieme S=F∪G la relazione R espressa dal predicato:
"essere equicomposti" gode della
- proprietà riflessiva infatti … … … … … … … … … … …
- proprietà simmetrica infatti … … … … … … … … … …
- proprietà transitiva infatti … … … … … … … … … … …
Si può dunque concludere che la relazione R è una relazione
d’equivalenza; si possono quindi costruire sia l’insieme delle
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