Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 8. Equiestensione e aree ►1. Estensione superficiale Il Tangram è un antichissimo gioco cinese; il nome con cui lo conosciamo si pensa derivato dall'unione della parola "tang" o "tan", che significa "cinese", e "gram" che significa "immagine". Anticamente in Cina era chiamato “schema intelligente a sette pezzi" o anche "le sette pietre della saggezza" poiché si riteneva che la padronanza del gioco fosse la chiave per ottenere saggezza e talento. Il gioco è costituito da un quadrato ritagliato in 7 pezzi poligonali aventi in comune solo punti del loro I pezzi possono essere disposti e accostati gli uni agli altri senza sovrapposizioni in modo da ottenere una grande varietà di figure; la regola base è che devono essere utilizzati tutti i 7 pezzi. Si possono così formare alcuni disegni come mostrato nelle seguenti figure. Potete osservare che si forma un poligono quando i singoli pezzi vengono accostati mediante un lato: l'uomo seduto è un poligono, ma non la candela; i due poligoni rappresentati sono l’uno concavo e l’altro convesso. 166
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 8. Equiestensione e aree 1 Con tutti i 7 pezzi del gioco si possono costruire 13 poligoni convessi, compreso il quadrato iniziale, provate a costruirli: fotocopiate la pagina precedente e ritagliate i 7 pezzi del Tangram. Evidentemente i 13 poligoni che avrete costruito non sono congruenti, né hanno la stessa forma; potete dire che sono formati dalle stesse parti poligonali, ciascuno può cioè essere pensato come unione dei “tan” aventi in comune almeno un punto del loro perimetro, ma nessun punto interno. DEFINIZIONI. Per somma di due figure piane X e Y, non aventi punti comuni o aventi in comune solo punti del loro contorno, intendiamo la figura Z unione dei punti di X e Y e la indicheremo con X+Y. Inoltre se Z è la somma delle due figure X e Y allora diremo che X è la differenza tra Z e Y e scriveremo X=Z-Y. Due poligoni sono equicomposti se sono formati dalle stesse parti poligonali. Due poligoni sono equiscomponibili se è possibile decomporre uno di essi in un numero finito di parti poligonali con le quali si possa ricoprire l'altro. Tutte le figure poligonali costruite con i pezzi del Tangram sono dunque poligoni equicomposti, ma possono (Da Prova di allenamento della gara Matematica senza frontiere del 9/02/1994) 3 Nella figura sono disegnati un quadrato ABCD, un rettangolo PQRS avente PQ=2AB e SP=AB/2 e un rombo FGHK avente una diagonale uguale al lato del quadrato e l'altra il doppio. Mostrate come sia possibile scomporre ciascuno dei tre poligoni in parti tali da poter ricoprire gli altri due. Puoi concludere che i tre poligoni assegnati sono equiscomponibili?” …….. 4 Dato l'insieme F = {f1, f2, f3} delle figure poligonali disegnate a lato, seguite le seguenti istruzioni: ripeti scegli una figura dell'insieme F traccia alcuni segmenti che la decompongano in parti poligonali forma con le parti ottenute altre 3 figure poligonali finchè hai esaurito le figure. Costruite l'insieme G di tutti i poligoni ottenuti con questa procedura e indicate con simboli arbitrari i suoi elementi. Nell'insieme S=F∪G la relazione R espressa dal predicato: "essere equicomposti" gode della - proprietà riflessiva infatti … … … … … … … … … … … - proprietà simmetrica infatti … … … … … … … … … … - proprietà transitiva infatti … … … … … … … … … … … Si può dunque concludere che la relazione R è una relazione d’equivalenza; si possono quindi costruire sia l’insieme delle 167
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