Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

More documents

Recommendations

Info

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 6. Proporzionalità 44 Nel triangolo ABC prendi un punto qualsiasi D su AB, da D traccia la parallela ad AC che incontra BC in E, da E traccia la parallela ad AB che incontra AC in F, da F traccia la parallela a BC che incontra AB in G, da G la parallela ad AC che incontra BC in H, da H la parallela ad AB che incontra AC in I e così via. Ripeti questa costruzione fino a che non trovi il primo punto che va a sovrapporsi a uno dei punti trovati in precedenza. Esiste questo punto? Qual è? Dimostra perché. 45 Nel triangolo ABC traccia la bisettrice AK dell'angolo in A. Sapendo che la somma dei lati adiacenti all'angolo misura 47cm, che BK : CK = 3 : 4 e che BK misura 7cm, determinare le misure dei lati del triangolo. 46 Dal punto K della mediana AM del triangolo ABC traccia le parallele ai tre lati del triangolo, siano D ed E i punti di intersezione di AB e AC con la parallela a BC, siano F e G i punti di intersezione delle altre due parallele con il lato BC. Dimostra che AK è mediana del triangolo ADE e che KM è la mediana del triangolo KFG. 47 Sia E il punto di intersezione delle diagonali del trapezio ABCD, dimostra che AE : EC = BE : ED. 48 Dimostra che in qualsiasi triangolo ABC la retta che passa per i punti medi dei lati AB e AC divide in due parti uguali l'altezza relativa a BC. 49 * In un triangolo ABC sia AM la mediana relativa al lato BC. Da un punto D interno al lato BC si conduca la parallela ad AM che incontra la retta AB in E e la retta AC in F. Dimostrare che AF:AC=AE:AB. 50 * Dimostrare che in ogni trapezio le diagonali si dividono scambievolmente in parti tra loro direttamente proporzionali. 51 * In un triangolo ABC sia AM la mediana relativa al lato BC. Da un punto D del segmento BM si tracci la parallela ad AM che incontra AB in E e la retta AC in F. Dimostrare che DC:DM=FC:FA. 52 * Sia AM la mediana relativa al lato BC di un triangolo ABC, e siano MD la bisettrice dell'angolo A M B e ME la bisettrice dell'angolo A M C rispettivamente nei triangoli AMB e AMC. Dimostrare che DE e BC sono parallele. 53 * Da un punto P del lato AB del triangolo ABC conduci la parallela alla mediana AM relativa al lato BC, la quale incontra la retta AC in Q. Si dimostri che AB : AC = AP : AS. 54 * Applicando il teorema di Talete, dividi, con riga e compasso, un qualunque segmento AB in 5 parti. Gli esercizi contrassegnati con * sono tratti da Matematica 1, Dipartimento di Matematica, ITIS V.Volterra, San Donà di Piave, Versione [11-12] [S-A11], pag. 173, licenza CC, BY-NC-BD, per gentile concessione dei proff. che hanno reddatto il libro. Il libro è scaricabile da http://www.istitutovolterra.it/dipartimenti/matematica/dipmath/docs/M1_1112.pdf 148
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 6. Proporzionalità Dividere un dato segmento in parti direttamente proporzionali a più segmenti dati. Sia PQ il segmento da dividere in parti direttamente proporzionali a tre segmenti dati a, b, c. Da un suo estremo, ad esempio P, si tracci una semiretta (non contenete Q) e su di essa si prendano i segmen ti PA, AB, BC rispettivamente congruenti ad a, b, c ; si unisca C con Q e si traccino per A e per B le parallele a CQ che incontrano il segmento PQ rispettivamente in A’, B’. Il segmento PQ risulta così diviso nei segmenti PA’,A’B’, B’Q che, per il teorema di Talete, sono direttamente proporzionali ai segmenti a, b, c . Da notare che se i segmenti dati fossero tutti fra loro congruenti, il problema equivarrebbe a quello della divisione di un dato segmento in un numero assegnato di parti congruenti. Costruire il segmento quarto proporzionale dopo tre segmenti dati. Siano a, b, c, i tre segmenti dati; si vuol costruire un segmento d tale che valga la proporzione a:b=c:d. Si consideri un angolo di vertice O e su un suo lato si prendano i punti A e B tali che i segmenti OA ed AB siano congruenti rispettivamente ai segmenti a e b; sull’altro lato dell’angolo si prenda il punto C tale che il segmento OC sia congruente al segmento c. Si traccino la retta AC e la parallela ad essa per B, indicando con D il punto in cui quest’ultima incontra la semiretta OC. Per il teorema di Talete il segmento CD è il quarto proporzionale richiesto. Si noti che, per il teorema della quarta proporzionale, il segmento richiesto è unico, quindi si giunge allo stesso segmento indipendentemente dall’angolo utilizzato nella costruzione. Nel caso particolare in cui b = c, la costruzione appena descritta consente di trovare il segmento terzo proporzionale dopo due segmenti dati. 55 Dato un angolo di vertice V e lati due semirette r ed s, staccare su r il segmento VR5 e su S il segmento VS1, di lunghezza arbitraria. Successivamente, usando un compasso, staccare su s i segmenti S1S2, S2S3, S3S4 e S4S5, tutti congruenti a VS1. Dimostrare che, tracciando la retta per R5S5 e le corrispondenti parallele per S1, S2, S3 ed S4, il segmento VR5 risulta suddiviso in parti uguali. Osservando che questo procedimento può essere esteso per induzione a qualunque numero finito di segmenti, si può constatare che la divisibilità di un segmento in parti uguali non è un postulato autonomo, ma una proprietà intrinseca della geometria euclidea. 149
Page 3 and 4:
Matematica C3 - Geometria Razionale
Page 5 and 6:
www.matematicamente.it - Matematica
Page 7 and 8:
Page 9 and 10:
Page 11 and 12:
Page 13 and 14:
Page 15 and 16:
Page 17 and 18:
Page 19 and 20:
Page 21 and 22:
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
Page 72 and 73:
Page 74 and 75:
Page 76 and 77:
Page 78 and 79:
Page 80 and 81:
Page 82 and 83:
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100: www.matematicamente.it - Matematica
Page 135: www.matematicamente.it - Matematica
Page 195: www.matematicamente.it - Matematica
Page 200 and 201:
Page 202 and 203:
Page 204 and 205:
Page 206 and 207:
Page 208 and 209:
Page 210 and 211:
Page 212 and 213:
Page 214 and 215:
Page 216 and 217:
Page 218 and 219:
Page 220 and 221:
Page 222:
show all

Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?