Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 6. Proporzionalità COROLLARIO 2. La retta che divide due lati di un triangolo (o i loro prolungamenti) in segmenti proporzionali è parallela al terzo lato. Dimostrazione Abbiamo in ipotesi che AE : AD = AC : AB e dobbiamo dimostrare che DE è parallela a BC. Ragioniamo per assurdo; neghiamo quindi la tesi e supponiamo che DE non sia parallela a BC. Esisterà allora un’altra retta passante per D e che sia parallela a BC; questa retta intersecherà il lato AC in un punto F. Per il teorema precedente avremo che AF : AD = AC : AB. Ma per il teorema della quarta proporzionale sappiamo che la quarta grandezza che con le tre date forma una proporzione deve essere unica, e quindi il punto F deve coincidere con E e la retta DF coincidere con la retta DE, che perciò è parallela a BC▄ Un’altra importante conseguenza del teorema di Talete è il teorema della bisettrice. TEOREMA DELLA BISETTRICE. la bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati. Dimostrazione L’ipotesi è A B D=D B C ; la tesi AD : DC = AB : BC. Dal vertice C tracciamo la parallela alla bisettrice BD che incontra il prolungamento del lato AB in E. Notiamo le seguenti congruenze tra angoli: A B D=B E C in quanto corrispondenti rispetto alle parallele BD ed EC tagliate da AE; D B C=B C E in quanto alterni interni rispetto alle parallele BD ed EC tagliate da BC. Confrontando queste congruenze con quella in ipotesi ed applicando la proprietà transitiva della congruenza possiamo scrivere B E C =B C E . Dunque il triangolo BEC è isoscele e per questo ha due lati congruenti BE = BC. Applichiamo ora il primo corollario del teorema di Talete al triangolo AEC si ha AB : BE = AD : DC. Per quanto appena dimostrato possiamo sostituire BC a BE ed avremo AB : BC = AD : DC▄ 146
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 6. Proporzionalità 31 Determina in ogni figura la misura mancante, indicata con un punto interrogativo. 147
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