Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 6. Proporzionalità
►7. Teorema di Talete, caso generale
TEOREMA DI TALETE. Un fascio di rette parallele determina su due trasversali classi di segmenti
direttamente proporzionali.
Assumiamo come ipotesi di avere cinque rette parallele
a, b, c, d, e. Dimostriamo che sono in proporzione i
segmenti
AB : A'B' = BC : B'C' = AC : A'C' = BD : B'D' = …
A questo scopo ricorriamo alla condizione necessaria e
sufficiente dimostrata nel capitolo sulla proporzionalità
tra grandezze: condizione necessaria e sufficiente
affinchè due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca
siano direttamente proporzionali è che:
1) a grandezze uguali della prima classe corrispondano
grandezze uguali della seconda;
2) alla somma di due o più grandezze della prima classe
corrisponda la somma delle grandezze corrispondenti
della seconda classe.
La prima proprietà è stata dimostrata nel capitolo 5,
quando abbiamo esposto il teorema di Talete: a segmenti
congruenti su una trasversale corrispondono segmenti
congruenti sull’altra trasversale.
Dimostriamo allora che vale anche la seconda proprietà.
Consideriamo il fascio di rette parallele tagliato da due trasversali della figura.
Abbiamo come ipotesi che CD = AB + BC, dobbiamo dimostrare che C'D' = A'B' + B'C'.
Poiché CD = AB + BC, determiniamo al suo interno il punto E che lo divide nei due segmenti: CE=AB,
ED=BC. Tracciamo la parallela alle rette date passante per F, che intersecherà la trasversale t' nel punto F' .
Per la prima parte del teorema, avremo che da CF=AB segue che C'F' = A'B' e da FD = BC segue che
F'D'=B'C'. Ma C'D'=C'F' + F'D' = A'B' + B'C'▄
Conseguenze del teorema di Talete
Dal teorema di Tale discendono due importanti corollari
COROLLARIO 1. Una retta parallela ad un lato di un triangolo determina sugli altri due lati, o sui
loro prolungamenti, segmenti proporzionali.
Dimostrazione
Sia ABC il triangolo in questione. Tracciamo una retta parallela al
lato BC che intersechi gli altri due nei punti D ed E. Vogliamo dimostrare
che AE : AD = EC : DB.
Tracciamo una retta passante per A e parallela a DE e a BC. Ci
troviamo così nelle condizioni di poter applicare il teorema di Talete,
in quanto abbiamo tre rette parallele tagliate da due trasversali (AB
ed AC), per cui possiamo scrivere la proporzione tra segmenti corrispondenti
AE : AD = EC : DB.
La stessa dimostrazione vale nel caso in cui la parallela al lato BC
intersecasse i prolungamenti dei lati AB e AC▄
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