Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 6. Proporzionalità
►4. Grandezze direttamente proprozionali
Consideriamo due classi di grandezze:
A, B, C, D, ….
A’, B’, C’, D’,….
Queste due classi si dicono in corrispondenza biunivoca quando ad ogni grandezza della prima classe corrisponde
una e una sola grandezza della seconda e viceversa.
Le grandezze A e A’, B e B’, C e C’, .. si dicono corrispondenti.
Le grandezze di queste due classi si dicono direttamente proporzionali quando il rapporto di due grandezze
qualunque della prima classe è uguale al rapporto delle due grandezze corrispondenti della seconda classe,
cioè quando valgono le proporzioni :
A : B = A’ : B’ ; A : C = A’ : C’ ; B : C = B’ : C’ ; …
Se poi le grandezze della prima classe sono omogenee con quelle della seconda, allora possiamo permutare i
medi:
A : A’ = B : B’ ; A : A’ = C : C’ ; B : B’ = C : C’ ; …..
E, applicando la proprietà transitiva dell’uguaglianza:
A : A’ = B : B’ = C : C’ = ….=k,
da cui segue che il rapporto tra due grandezze corrispondenti è costante. Questo rapporto costante è un
numero detto costante di proporzionalità.
Se le grandezze della prima classe non fossero omogenee con quelle della seconda, dovremmo passare dalla
proporzionalità tra le grandezze a quella tra le loro misure (reso sempre possibile dal teorema fondamentale),
ed in questo caso sarebbe il rapporto tra le loro misure ad essere costante.
Per determinare se due classi di grandezze sono direttamente proporzionali si applica il seguente teorema (1):
TEOREMA 1. Condizione necessaria e sufficiente affinchè due classi di grandezze in corrispondenza
biunivoca siano direttamente proporzionali è che:
1. a grandezze uguali della prima classe corrispondano grandezze uguali della seconda
2. alla somma di due o più grandezze della prima classe corrisponda la somma delle grandezze corrispondenti
della seconda classe.
Dimostrazione → (condizione necessaria)
Dimostriamo che la condizione è necessaria, cioè che se le grandezze sono proporzionali, allora devono
valere le due proprietà.
Dette A e B due grandezze della prima classe, e A’, B’ le grandezze corrispondenti della seconda classe, per
ipotesi avremo A : B = A’ : B’.
Se A=B , il loro rapporto è 1, e tale deve essere il rapporto tra A’ e B’, da cui segue A’ = B’.
Quindi la prima proprietà è verificata.
Applichiamo ora alla proporzione data la proprietà del comporre (A + B) : A = (A’ + B’) : A’
Se C è la grandezza della prima classe tale che C = A + B, sostituendo nella proporzione avremo:
C : A = (A’ + B’) : A’
Se C’ è la grandezza che corrisponde a C, poiché per ipotesi le due classi di grandezze sono direttamente
proporzionali, dovrà valere anche la seguente proporzione:
(A + B) : A = C‘ : A’ , e per l’unicità della quarta proporzionale dovrà essere C’ = A’ + B’.
Anche la seconda proprietà risulta dunque verificata.
Dimostrazione ← (condizione sufficiente)
Dimostriamo ora che la condizione è sufficiente: se valgono le due proprietà, le due classi di grandezze sono
direttamente proporzionali.
Consideriamo due grandezze qualunque della prima classe A e B; possono essere uguali o disuguali.
Se A = B, allora per la prima proprietà sarà pure A’ = B’; poiché A : B = 1 e A’ : B’ = 1, per la proprietà transitiva
dell’uguaglianza dovrà essere A : B = A’ : B’, quindi il rapporto tra due grandezze qualunque della
prima classe è uguale al rapporto delle grandezze corrispondenti della seconda, e perciò le due classi di grandezze
sono direttamente proporzionali.
Supponiamo ora A e B disuguali, sia ad esempio A > B. Questo vuol dire che esiste una terza grandezza C
tale che A = B + C. Per la seconda proprietà, a B + C corrisponde B’ + C’ , e per la prima proprietà, ad A = B
+ C corrisponde A’ = B’ + C’, da cui si deduce che A’ > B’.
Analogamente si dimostra che se A < B, allora A’ < B’.
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