Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 6. Proporzionalità ►2. Proporzionalità tra grandezze DEFINIZIONE. Date quattro grandezze A,B,C,D, le prime due omogenee tra loro così come le ultime due, queste formano una proporzione se il rapporto delle prime due è uguale al rapporto delle ultime due. Si scrive A : B = C : D e si legge : A sta a B come C sta a D. Terminologia Il primo ed il terzo termine (A e C) si chiamano antecedenti. Il secondo ed il quarto termine (B e D) si chiamano conseguenti. B e C si chiamano medi. A e D si chiamano estremi. La grandezza D si chiama quarta proporzionale. Se in una proporzione tra grandezze tutte omogenee i medi sono uguali tra loro A : B = B : C, la proporzione si dice continua, e la grandezza B si chiama media proporzionale; la grandezza C si dice terza proporzionale. TEOREMA FONDAMENTALE. Condizione necessaria e sufficiente affinchè quattro grandezze siano in proporzione è che siano in proporzione le loro misure. Dimostrazione → (condizione necessaria) Dimostriamo innanzitutto che la condizione è necessaria: supposto che le quattro grandezze siano in proporzione, dimostriamo che sono in proporzione le loro misure. Siano A e B due grandezze omogenee, a e b le loro misure rispetto ad un’unità di misura omogenea ad A e B; C e D due grandezze anch’esse omogenee tra loro e c e d le loro misure rispetto ad un’unità di misura omogenea a C e D . IPOTESI: A : B = C : D TESI: a : b = c : d Applicando il teorema secondo cui il rapporto tra due grandezze è uguale al quoziente delle loro misure, avremo: A a = B b C c e = D d glianza, avremo che a c = b d . Ma per ipotesi A C = B D che si può anche scrivere nella forma a : b = c : d Dimostrazione ← (condizione sufficiente) Dimostriamo ora che la condizione è sufficiente : IPOTESI: a : b = c : d TESI: A : B = C : D Sempre dal teorema citato precedentemente, poiché A a = B b dell’uguaglianza avremo che a C = B D , vale a dire A : B = C : D. C.V.D. Ricordiamo che per la proporzionalità tra numeri vale la seguente e quindi, per la proprietà transitiva dell’ugua- C c e = D d , Per la proprietà transitiva PROPRIETA'. Condizione necessaria e sufficiente affinchè quattro numeri siano in proporzione è che il prodotto dei medi sia uguale al prodotto degli estremi. 140

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 6. Proporzionalità ►3. Proprietà delle proporzioni Grazie al teorema fondamentale possiamo trasferire le proprietà delle proporzioni tra numeri alle proprozioni tra grandezze. 1. Proprietà dell’invertire Scambiando ogni antecedente col proprio conseguente otteniamo una nuova proporzione. Quindi se abbiamo la proporzione A : B = C : D , applicando la proprietà dell'invertire otterremo: B : A = D : C. 2. Proprietà del permutare Se le quattro grandezze sono tutte omogenee, possiamo scambiare tra loro i medi o gli estremi, ed otterremo sempre una nuova proporzione. Quindi dalla proporzione A : B = C : D, applicando la proprietà del permutare otterremo: A : C = B : D ed anche D : B = C : A 3. Proprietà del comporre La somma delle prime due grandezze sta alla prima (o alla seconda) grandezza come la somma delle altre due sta alla terza (o alla quarta) Data dunque la proporzione A : B = C : D, applicando questa proprietà avremo: (A + B) : A = (C + D) : C oppure anche : (A + B) : B = (C + D) : D 4. Proprietà dello scomporre La differenza tra la prima e la seconda grandezza sta alla prima (o alla seconda) grandezza come la differenza tra le altre due sta alla terza (o alla quarta). Questa proprietà richiede che ogni antecedente sia maggiore del proprio conseguente. Se dunque A > B, C > D , avremo che, data la proporzione A : B = C : D, si otterrà: (A - B) : A = (C - D) : C oppure anche : (A - B) : B = (C - D) : D In riferimento alla disuguaglianza precedente, va precisato che se quattro grandezze sono in proporzione, tra antecedenti e conseguenti intercorre sempre la stessa relazione, vale a dire che , se la prima grandezza è uguale, maggiore o minore della seconda, anche la terza sarà uguale, maggiore o minore della quarta. TEOREMA DELLA QUARTA PROPORZIONALE. Date tre grandezze A, B e C, con A e B omogenee tra loro, esiste ed è unica una grandezza D, omogenea alla terza, che con le tre date formi una proporzione. Dimostrazione Siano A, B e C tre grandezze, le prime due omogenee tra loro. Supponiamo che esista una quarta grandezza X, omogenea a C, tale che valga la proporzione A : B = C : X. Sostituendo alle grandezze le loro misure, per il teorema fondamentale dovrà essere a : b = c : x Applichiamo ora la proprietà fondamentale delle proporzioni numeriche, uguagliando il prodotto dei medi a quello degli estremi ax = bc. Risolvendo l’equazione in x otteniamo x= bc , e poiché a, b e c sono diversi da zero (e positivi), in a quanto misure di grandezze geometriche, quest’equazione avrà come soluzione uno e un solo numero reale (positivo), in quanto la soluzione di un’equazione di primo grado, se esiste, è unica. Questo numero reale sarà quindi la misura della quarta grandezza X, e poiché, tra grandezze omogenee, ad ogni numero reale corrisponde una e una sola grandezza, questa quarta proporzionale esiste ed è unica. 141

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