Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 5. Circonferenza
2) Il centro O è interno all’angolo alla circonferenza
Anche in questo caso abbiamo due possibilità:
2a) I lati dell’angolo alla circonferenza sono entrambi secanti.
Si conduca dal vertice V dell’angolo alla circonferenza P V Q il diametro VT; si ottengono in tal modo
due angoli alla circonferenza P V T e T V Q la cui somma è proprio l’angolo P V Q . Tali angoli
hanno il lato comune VT coincidente con il diametro e dunque, essendo P O T e T O Q i rispettivi angoli
al centro, possiamo applicare ad ognuno di essi il risultato dimostrato al punto 1: P O T =2 PV T e
T OQ=2T V Q .
Ma la somma degli angoli P O T e T O Q è pari all’angolo al centro P O Q , corrispondente all’angolo
alla circonferenza P V Q .
Dunque P O Q=P O TT OQ=2 P V T 2T V Q=2 P V T T V Q =2 P V Q .
2b) Un lato dell’angolo alla circonferenza è tangente.
La dimostrazione è del tutto simile alla precedente. Il diametro VC divide
l’angolo alla circonferenza P V T negli angoli P V C e C V T . Per
il primo angolo vale quanto già dimostrato al punto 1a e ribadito al punto
precedente: detto P O C il corrispondente angolo al centro, possiamo
scrivere P O C=2 PV C . Inoltre, C V T è retto per costruzione, e
difatti misura la metà del corrispondente angolo al centro C O V , che è
proprio un angolo piatto (vedi quanto dimostrato nel punto 1b). Anche in
questo caso, essendo P O V l’angolo al centro corrispondente all’angolo
P V T , si dimostra che
P O V =P O CT OQ=2P VC 2C V T=2 P V C C V T =2 P V T .
Si noti che P O V è un angolo concavo, ovvero maggiore di un angolo
piatto.
3) Il centro O è esterno all’angolo alla circonferenza
Anche qui abbiamo due casi:
3a) Entrambi i lati dell’angolo alla circonferenza sono secanti.
Sia P V Q l’angolo alla circonferenza. Tracciamo il diametro VT. Per
quanto dimostrato al punto 1a, l’angolo al centro T OQ è il doppio
del corrispondente angolo alla circonferenza T V Q , e T O P è il
doppio dell’angolo T V P . Essendo P O Q l’angolo al centro corrispondente
all’angolo P V Q , possiamo scrivere:
P O Q=T O Q−T O P=2T VQ−2T V P=2 T V Q−T V P =2 P V Q
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