Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 5. Circonferenza
DEFINIZIONE. Un angolo al centro ed un angolo alla circonferenza si dicono corrispondenti se insistono
sullo stesso arco.
L’angolo al centro POQ corrisponde
all’angolo alla circonferenza
PVQ
L’angolo al centro POQ corrisponde
all’angolo alla circonferenza
PVT
TEOREMA. L’angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
Ipotesi: α angolo alla circonferenza che insiste sull’arco PQ; β angolo al centro corrispondente.
Tesi: β = 2α
Dimostrazione
Distinguiamo tre casi:
1) Un lato dell’angolo alla circonferenza passa per il centro e
dunque si sovrappone al diametro.
Abbiamo due possibilità:
1a) L’altro lato è secante alla circonferenza.
In riferimento alla figura a fianco, il triangolo OVQ è isoscele
sulla base VQ, in quanto i lati OV e OQ sono due raggi della
circonferenza; ne segue che gli angoli alla base sono congruenti
e dunque O QV ≅ . L’angolo al centro P O Q giace sul
prolungamento del lato OV e dunque è un angolo esterno al triangolo
OVQ. Per il teorema degli angoli esterni ad un triangolo,
possiamo affermare che POQ è uguale alla somma degli angoli
interni non adiacenti e quindi β = α + α = 2 α.
1b) L’altro lato è tangente alla circonferenza.
In questo caso un lato coincide sempre con il diametro e l’altro è
tangente alla circonferenza nel punto V = Q; poiché le rette
tangenti alla circonferenza sono sempre ortogonali al raggio nel
punto di tangenza, i due lati sono perpendicolari. Di conseguenza
l’angolo α è un angolo retto e il corrispondente angolo al centro β è
un angolo piatto, per cui β = 2 α.
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L’angolo giro di vertice O corrisponde
all’angolo piatto di vertice
V