Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 5. Circonferenza
►1. Luoghi geometrici
DEFINIZIONE. Nel piano, si dice luogo geometrico l’insieme di tutti e soli i punti del piano che verificano
una proprietà, detta proprietà caratteristica del luogo geometrico.
Ad esempio,
• l’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del
segmento;
• la bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati dell’angolo.
Se consideriamo la definizione “costruttiva” di asse di un segmento come retta perpendicolare al segmento
stesso e passante per il suo punto medio, è possibile dimostrare che la nuova definizione di asse come “luogo
geometrico” è equivalente alla precedente.
Vale cioè il seguente
TEOREMA. Nel piano, il luogo geometrico dei punti equidistanti da due punti dati, A, B, è la retta r,
perpendicolare al segmento AB e passante per M, punto medio di AB.
Dimostrazione
Sia r la retta perpendicolare ad AB condotta da M punto medio di AB,
dimostriamo che un generico punto P∈r è equidistante da A e B, e viceversa,
un generico punto Q tale che QA≅QB appartiene ad r.
Ipotesi : r ⊥ AB ; AM ≅ MB ; P ∈r Tesi: PA ≅ PB
Dimostrazione.
Uniamo P con A, B ed M. per ipotesi PM ⊥ AB, per cui, nel triangolo PAB,
il segmento PM è contemporaneamente altezza e mediana relative al lato
AB; pertanto il triangolo PAB è isoscele sulla base AB, da cui la tesi.
Ipotesi : QA ≅ QB Tesi: Q ∈r
Dimostrazione.
Uniamo Q con A, B ed M. per ipotesi il triangolo QAB è isoscele sulla base
AB; inoltre il segmento QM è la mediana relativa alla base del triangolo
isoscele, per cui QM è anche altezza. dunque la retta QM coincide con la
retta r, cioè l’asse di AB.
Analogamente, se consideriamo la classica definizione di bisettrice di un
angolo come la semiretta, interna all’angolo stesso, avente origine nel
vertice dell’angolo, tale da dividere l’angolo stesso in due angoli congruenti,
possiamo dimostrare che la nuova definizione di bisettrice come luogo geometrico è equivalente alla precedente.
Vale cioè il seguente teorema.
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