La città misteriosa a cura di Fabio Brunelli, Roberto ... - For.Indire.It
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<strong>La</strong> <strong>città</strong> <strong>misteriosa</strong><br />
a <strong>cura</strong> <strong>di</strong> <strong>Fabio</strong> <strong>Brunelli</strong>, <strong>Roberto</strong> Imperiale, Carmela Milone, Franco Spinelli<br />
Introduzione ....................................................................................................2<br />
Descrizione dell’attività......................................................................................3<br />
In<strong>di</strong>cazioni metodologiche................................................................................ 10<br />
Eventuali <strong>di</strong>fficoltà e suggerimenti..................................................................... 12<br />
Spunti per un approfon<strong>di</strong>mento <strong>di</strong>sciplinare........................................................ 13<br />
Elementi per prove <strong>di</strong> verifica ........................................................................... 20<br />
Bibliografia .................................................................................................... 42<br />
Sitografia ...................................................................................................... 42<br />
Proposta <strong>di</strong> attività per il corsista ...................................................................... 43
Introduzione<br />
L’attività si può presentare come un proseguimento <strong>di</strong> quella intitolata “<strong>La</strong> foto”. Là si<br />
affrontavano il pensiero proporzionale e successivamente le proporzioni; qui si<br />
affrontano le similitu<strong>di</strong>ni come relazioni tra figure che hanno la stessa forma.<br />
L’attività proposta porta l’allievo a costruire le conoscenze fondamentali relative alle<br />
figure simili a partire dai triangoli. Tali conoscenze riguardano due aspetti: la<br />
congruenza degli angoli e la proporzionalità dei lati.<br />
L’attività è <strong>di</strong>visa in tre fasi:<br />
− Nella prima si affronta un problema relativo a carte geografiche. <strong>La</strong> risoluzione del<br />
problema in tale contesto avviene a partire dalle conoscenze geometriche che<br />
l’allievo ha già maturato.<br />
− Nella seconda fase si affronta la proporzionalità delle lunghezze dei lati a partire<br />
dalla osservazione <strong>di</strong> due schede, la prima con immagini ingran<strong>di</strong>te, rimpicciolite o<br />
deformate, la seconda con rettangoli <strong>di</strong> <strong>di</strong>verse <strong>di</strong>mensioni fra i quali è possibile<br />
in<strong>di</strong>viduarne alcuni simili.<br />
− Nella terza fase si generalizzano i risultati trovati, utilizzando dei modellini concreti.<br />
Emerge qui la <strong>di</strong>versità che esiste fra i triangoli e gli altri poligoni: nei triangoli una<br />
delle due relazioni (uguaglianza degli angoli, proporzionalità dei lati) “si tira <strong>di</strong>etro<br />
l’altra”, cosa che non succede negli altri poligoni.<br />
2
Descrizione dell’attività<br />
Fase 1: <strong>La</strong> <strong>città</strong> <strong>misteriosa</strong><br />
L’insegnante mostra alla classe due mappe:<br />
<br />
<br />
Mappa A Mappa B<br />
<br />
L’insegnante pone il seguente problema:<br />
“Nelle due mappe, che sono in scala <strong>di</strong>versa, sono segnate Firenze e Prato: nella<br />
mappa A è segnata anche Empoli, nella mappa B invece no. Come è possibile<br />
sistemare Empoli nella giusta posizione anche nella mappa B?<br />
Trova la posizione <strong>di</strong> Empoli nella mappa B con il metodo che ritieni più opportuno.<br />
Spiega il proce<strong>di</strong>mento che hai seguito.”<br />
Segue una <strong>di</strong>scussione in classe sulle <strong>di</strong>verse ipotesi e meto<strong>di</strong> proposti dai ragazzi.<br />
L’insegnante potrebbe eventualmente guidare gli allievi con domande del tipo:<br />
“<strong>La</strong> <strong>di</strong>rezione da prendere per andare da una <strong>città</strong> all’altra varia passando dalla mappa<br />
A alla mappa B? Immagina gli angoli formati da queste <strong>di</strong>rezioni nelle due mappe.<br />
Come dovrebbero essere?”<br />
Questa prima fase si potrebbe concludere con il seguente risultato:<br />
“Abbiamo costruito triangoli con gli angoli corrispondenti uguali e abbiamo ottenuto in<br />
questo modo triangoli con la stessa forma (anche se con i lati corrispondenti <strong>di</strong><br />
lunghezze <strong>di</strong>verse). Empoli si trova...”<br />
In questa fase si preferisce non insistere ancora sulla proporzionalità dei lati<br />
corrispondenti nelle figure simili. Non sempre i ragazzi colgono il rapporto costante tra<br />
i lati corrispondenti delle due figure.<br />
Si accantona momentaneamente il problema della <strong>città</strong> <strong>misteriosa</strong> che verrà ripreso in<br />
una fase successiva.<br />
<br />
<br />
3
(Le due mappe A e B sono state ricavate utilizzando il programma Google Immagini<br />
Maps. Si consiglia <strong>di</strong> utilizzare questo programma per ottenere mappe della propria<br />
regione, in modo tale che gli allievi siano più coinvolti nell’attività).<br />
Fase 2: Dai triangoli ai rettangoli<br />
L’insegnante consegna ad ogni ragazzo una fotocopia del tipo Fig 1 e pone il seguente<br />
problema:<br />
“In<strong>di</strong>vidua le immagini della massaia che somigliano all’immagine [1]”<br />
Fig 1<br />
1<br />
3 4<br />
5 6<br />
2<br />
Suggerimenti per alunni in <strong>di</strong>fficoltà<br />
Questa fase può presentare qualche problema non banale soprattutto dal punto <strong>di</strong><br />
vista linguistico. L’insegnante dovrà gestire molto bene la <strong>di</strong>scussione, per far<br />
emergere il reale significato della parola in questo contesto, che inevitabilmente<br />
coinvolgerà “forme” e “proporzioni”. Potrebbe ad esempio (metodologia del pair<br />
check) <strong>di</strong>videre i ragazzi in coppie. Ogni coppia cercherà la propria definizione <strong>di</strong><br />
somiglianza (e su questa base in<strong>di</strong>viduerà le figure “somiglianti”) e successivamente<br />
potrà confrontare la propria definizione con quella <strong>di</strong> un’altra coppia… Una <strong>di</strong>scussione<br />
collettiva concluderà il lavoro; in questa <strong>di</strong>scussione ogni studente arriverà con una<br />
propria idea costruita in collaborazione con altri.<br />
4
Dalla <strong>di</strong>scussione collettiva emergerà che le massaie [4] e [5] sono rispettivamente<br />
l’ingran<strong>di</strong>mento e la riduzione della massaia [1]. Le altre immagini mostrano la stessa<br />
massaia, ma deformata.<br />
L’insegnante chiederà <strong>di</strong> esaminare meglio le varie immagini proposte, in<strong>di</strong>viduando in<br />
esse altre regolarità. Qualche ragazzo potrà osservare che le piastrelle delle figure [1],<br />
[4] e [5] sono quadrate, mentre nelle altre immagini, quelle deformate, le piastrelle si<br />
mo<strong>di</strong>ficano e da quadrate <strong>di</strong>ventano rettangolari.<br />
A questo punto il docente fornirà una seconda scheda (Fig 2) con la consegna:<br />
“Quali dei rettangoli rappresentati hanno la stessa forma del rettangolo R1?”<br />
Fig 2<br />
R1<br />
R3<br />
R2<br />
R4<br />
Osservazioni per l’insegnante<br />
<strong>La</strong> seconda domanda della fase 2 tocca una questione delicata: per un ragazzo che<br />
abbia tuttora in mente le usuali definizioni date ai livelli scolastici precedenti<br />
(ad<strong>di</strong>rittura a partire dai blocchi logici della scuola dell’infanzia….) tutti i rettangoli<br />
hanno la stessa forma! Sarà allora opportuno che l’insegnante premetta alla domanda<br />
un lavoro che metta in luce come la forma dei rettangoli non è sempre la stessa ma<br />
varia con continuità (si può fare riferimento alle classiche deformazioni della<br />
Castelnuovo a partire da un filo teso con 4 <strong>di</strong>ta o su un geopiano…). Solo a questo<br />
punto la <strong>di</strong>scussione potrà risultare fruttuosa per tutti lungo il percorso in<strong>di</strong>viduato.<br />
Gli alunni in<strong>di</strong>vidueranno con facilità i rettangoli R4 ed R7, ma probabilmente avranno<br />
qualche <strong>di</strong>fficoltà a motivare la risposta. L’insegnante potrebbe guidarli invitandoli a<br />
R5<br />
R6<br />
R7<br />
5
iportare le misure dei lati <strong>di</strong> ciascun rettangolo in una tabella <strong>di</strong> questo tipo (l1 in<strong>di</strong>ca il<br />
lato minore e l2 il lato maggiore del rettangolo):<br />
R1<br />
R4<br />
R7<br />
l1 l2<br />
<strong>La</strong> tabella, una volta compilata, potrebbe presentarsi in questo modo:<br />
l1 l2<br />
R1 2 5<br />
R4 1 2,5<br />
R7 4 10<br />
L’insegnante potrebbe chiedere:<br />
“Notate qualche relazione fra i numeri della prima riga e quelli della seconda riga? E<br />
fra i numeri della prima riga e quelli della terza riga?”<br />
Dall’osservazione della tabella scaturisce che i lati del rettangolo R1 sono il doppio dei<br />
lati del rettangolo R4 e la metà <strong>di</strong> quelli del rettangolo R7.<br />
E ancora:<br />
“Sapete costruire un rettangolo R8 che abbia la stessa forma <strong>di</strong> R1 e il lato minore <strong>di</strong> 6<br />
cm?”<br />
“Qual è il rapporto fra i lati corrispondenti dei rettangoli R1 ed R8?”<br />
Se due rettangoli hanno la stessa forma possiamo affermare che il rapporto fra lati<br />
corrispondenti si mantiene costante (rapporto esterno).<br />
“Se calcoliamo il rapporto fra i lati <strong>di</strong> rettangoli che non hanno la stessa forma, si<br />
verifica ancora questa proprietà?”<br />
L’insegnante potrebbe ulteriormente invitare i ragazzi ad esaminare la tabella e<br />
chiedere:<br />
“Esaminate in orizzontale le coppie dei numeri della tabella, cosa notate?”<br />
Si giungerà così alla “scoperta” <strong>di</strong> un rapporto fra i numeri corrispondenti nelle due<br />
colonne, ovvero fra lato minore e lato maggiore <strong>di</strong> un rettangolo (rapporto interno)<br />
che si mantiene costante nei rettangoli che hanno la stessa forma (cioè fra i rettangoli<br />
simili).<br />
Osservazioni per l’insegnante<br />
<strong>La</strong> tabella con le misure dei lati potrà essere costruita con i dati <strong>di</strong> tutti i rettangoli e<br />
potrà eventualmente essere usata per “riportare” i rettangoli su un geopiano o su un<br />
quaderno in posizione tale da far emergere la similitu<strong>di</strong>ne esistente solo fra alcuni <strong>di</strong><br />
questi rettangoli (analogamente a quanto viene proposto poco dopo per i triangoli).<br />
Sarà importante a questo punto guidare i ragazzi verso una lettura incrociata della<br />
tabella e dei rettangoli così ricostruiti, magari suggerendo poi una analoga lettura<br />
delle immagini con le piastrelle….<br />
6
L’insegnante, tornando alle immagini della massaia (Fig 1), alla luce <strong>di</strong> quanto<br />
“scoperto” per i rettangoli, chiede ai ragazzi:<br />
“Tenendo presente ciò che avete “scoperto” per i rettangoli, c’è qualche in<strong>di</strong>zio<br />
(relativo alle misure dei lati <strong>di</strong> qualche poligono) che conferma che le immagini scelte<br />
prima sono veramente somiglianti?<br />
Gli alunni, che già precedentemente avevano notato la permanenza della forma<br />
quadrata della piastrella, potranno in<strong>di</strong>viduare, ad esempio, il rapporto costante fra le<br />
<strong>di</strong>mensioni dei cassetti, oppure fra altre misure.<br />
A questo punto si può ritornare alla Fase 1, considerando i due triangoli: quello nella<br />
Mappa A e quello costruito successivamente nella Mappa B.<br />
“Poiché i triangoli hanno la stessa forma, è possibile verificare che fra i lati <strong>di</strong> questi<br />
esista una relazione del tipo <strong>di</strong> quella trovata<br />
per i rettangoli?”<br />
Per visualizzare meglio i triangoli<br />
l’insegnante può suggerire <strong>di</strong> ritagliarli in un<br />
foglio <strong>di</strong> acetato, dopo averli ricalcati, e <strong>di</strong><br />
sistemarli in modo che un angolo <strong>di</strong> un<br />
triangolo si sovrapponga a quello<br />
corrispondente dell’’altro. (fig. …)<br />
Questo serve a confermare l’uguaglianza<br />
degli angoli e ad esaminare meglio la<br />
relazione fra i lati. Se nel gruppo degli alunni<br />
c’è qualcuno che pensa <strong>di</strong> risolvere il problema applicando una strategia ad<strong>di</strong>tiva, il<br />
porre i triangoli in questa maniera li convincerà ulteriormente della non vali<strong>di</strong>tà <strong>di</strong><br />
questo approccio.<br />
[una <strong>di</strong>sposizione dei triangoli <strong>di</strong> questo tipo, può dare lo spunto per avviare al<br />
concetto <strong>di</strong> omotetia].<br />
A conclusione <strong>di</strong> questa fase i ragazzi dovrebbero aver “scoperto” le con<strong>di</strong>zioni che<br />
devono essere sod<strong>di</strong>sfatte dai lati e dagli angoli <strong>di</strong> due poligoni simili e l’insegnante<br />
può procedere alla formalizzazione.<br />
A conferma <strong>di</strong> quanto appreso il docente potrebbe ancora chiedere:<br />
“Come mai per riconoscere la somiglianza (similitu<strong>di</strong>ne) dei rettangoli non ci siamo<br />
posti il problema degli angoli?”<br />
7
Fase 3: Dai triangoli ai poligoni<br />
L’insegnante fornisce ai ragazzi delle cannucce con la seguente consegna:<br />
“Costruite con le cannucce due esagoni; ognuno <strong>di</strong> essi deve avere i lati uguali, ma il<br />
lato del primo esagono deve essere il doppio del lato del secondo. I due esagoni che<br />
avete costruito sono simili?”<br />
Di solito succede che i ragazzi<br />
<strong>di</strong>ano per scontato che gli esagoni<br />
equilateri siano anche equiangoli,<br />
insomma che si tratti <strong>di</strong> esagoni<br />
regolari. D’altra parte a scuola i<br />
problemi sugli esagoni proposti dai<br />
libri <strong>di</strong> testo riguardano quasi<br />
sempre esagoni regolari; pertanto i<br />
ragazzi, secondo questo stereotipo,<br />
sistemeranno le cannucce in modo<br />
da avere due esagoni regolari e<br />
controllando le relazioni fra lati e<br />
fra angoli affermeranno che si<br />
tratta <strong>di</strong> poligoni simili.<br />
Fig. 4<br />
Fig. 3<br />
A questo punto basterà che il docente<br />
schiacci uno dei due poligoni per far<br />
vedere che due poligoni, costruiti<br />
secondo la consegna assegnata, non è<br />
detto che siano simili.<br />
Si concluderà osservando che il controllo<br />
della proporzionalità fra lati<br />
corrispondenti non basta a garantire la<br />
similitu<strong>di</strong>ne fra i due poligoni.<br />
L’insegnante può procedere chiedendo <strong>di</strong> costruire poligoni che abbiano gli angoli<br />
uguali: “possiamo affermare che sono simili?”<br />
Basta ricordare la scheda dei rettangoli della fase 2 per rispondere a questa domanda.<br />
Successivamente si può chiedere:<br />
a) Cosa possiamo <strong>di</strong>re dei lati <strong>di</strong> due triangoli che hanno gli angoli uguali?<br />
b) Cosa possiamo <strong>di</strong>re degli angoli <strong>di</strong> due triangoli che hanno i lati proporzionali?<br />
8
Si concluderà affermando che i triangoli per la similitu<strong>di</strong>ne costituiscono un caso a<br />
parte nell’insieme dei poligoni, in quanto, per verificare se due triangoli sono simili,<br />
basta controllare solo una delle due relazioni: se è verificata una, automaticamente<br />
sarà verificata anche l’altra.<br />
Come verifica si possono proporre schede rappresentanti coppie <strong>di</strong> quadrati e <strong>di</strong> altri<br />
poligoni regolari con misura del lato <strong>di</strong>versa chiedendo <strong>di</strong> verificare la vali<strong>di</strong>tà<br />
dell’affermazione:<br />
“Tutti i poligoni regolari con lo stesso numero <strong>di</strong> lati sono simili”<br />
9
In<strong>di</strong>cazioni metodologiche<br />
<strong>La</strong> metodologia proposta si fonda sull’orchestrazione da parte dell’insegnante della<br />
<strong>di</strong>scussione matematica, alternando momenti <strong>di</strong> lavoro a classe intera, ad altri a<br />
piccoli gruppi.<br />
Dare l’opportunità <strong>di</strong> argomentare, <strong>di</strong> <strong>di</strong>scutere le proprie soluzioni, <strong>di</strong> sostenere le<br />
proprie affermazioni, <strong>di</strong> validare la propria attività matematica, significa dare agli<br />
allievi fiducia e far crescere la responsabilità nell’organizzare e gestire una “piccola”<br />
ricerca, proprio il contrario <strong>di</strong> quanto avviene nelle situazioni tra<strong>di</strong>zionali, dove<br />
l’insegnante tende a <strong>di</strong>rigere tutto il lavoro, aggirando gli ostacoli e in<strong>di</strong>cando la via<br />
“giusta”.<br />
<strong>La</strong>vorando con la modalità laboratoriale<br />
Il laboratorio <strong>di</strong> matematica non è un luogo fisico <strong>di</strong>verso dalla classe, è piuttosto un<br />
insieme strutturato <strong>di</strong> attività volte alla costruzione <strong>di</strong> significati degli oggetti<br />
matematici.<br />
Il laboratorio, quin<strong>di</strong>, coinvolge persone (studenti e insegnanti), strutture (aule,<br />
strumenti, organizzazione degli spazi e dei tempi), idee (progetti, piani <strong>di</strong> attività<br />
<strong>di</strong>dattiche, sperimentazioni).<br />
<strong>La</strong> costruzione <strong>di</strong> significati, nel laboratorio <strong>di</strong> matematica, è strettamente legata, da<br />
una parte, all'uso degli strumenti utilizzati nelle varie attività, dall'altra, alle interazioni<br />
tra le persone che si sviluppano durante l’esercizio <strong>di</strong> tali attività. È necessario<br />
ricordare che uno strumento è sempre il risultato <strong>di</strong> un'evoluzione culturale, che è<br />
prodotto per scopi specifici e che, conseguentemente, incorpora idee. Sul piano<br />
<strong>di</strong>dattico ciò ha alcune implicazioni importanti: innanzitutto il significato non può<br />
risiedere unicamente nello strumento né può emergere dalla sola interazione tra<br />
studente e strumento. Il significato risiede negli scopi per i quali lo strumento è usato,<br />
nei piani che vengono elaborati per usare lo strumento; l’appropriazione del<br />
significato, inoltre, richiede anche riflessione in<strong>di</strong>viduale sugli oggetti <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>o e sulle<br />
attività proposte.<br />
Gli strumenti del laboratorio <strong>di</strong> matematica possono essere <strong>di</strong> tipo tra<strong>di</strong>zionale, come i<br />
così detti “materiali poveri”, oppure tecnologicamente avanzati, come le macchine<br />
matematiche e i software <strong>di</strong> geometria.<br />
I ragazzi devono sapersi organizzare, <strong>di</strong>videre il lavoro, gestire il tempo a<br />
<strong>di</strong>sposizione, accettare i contributi <strong>di</strong> tutti, entrare nel punto <strong>di</strong> vista degli altri,<br />
acquisire in definitiva quelle capacità che <strong>di</strong>ventano in<strong>di</strong>spensabili se si desidera<br />
adattarsi “bene” alla società attuale. L’appren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> una nuova conoscenza,<br />
organizzata a partire dalla in<strong>di</strong>viduazione e dalla risoluzione <strong>di</strong> problemi, si<br />
caratterizza come un’attività <strong>di</strong> ricerca, <strong>di</strong> produzione <strong>di</strong> ipotesi, <strong>di</strong> esplorazioni, <strong>di</strong><br />
verifiche, attività tutte proprie alla ricerca matematica.<br />
L’insegnante ha il compito <strong>di</strong> stimolare nell’allievo una ricerca attiva, <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nare il<br />
<strong>di</strong>battito in classe, <strong>di</strong> istituzionalizzare le conoscenze nuove, magari riutilizzandole e<br />
rafforzandole poi con esercizi <strong>di</strong> applicazione e verifiche.<br />
Una ulteriore in<strong>di</strong>cazione metodologica è quella <strong>di</strong> richiedere agli alunni <strong>di</strong> descrivere<br />
per iscritto l’attività svolta, spiegando le motivazioni delle scelte fatte e delle strategie<br />
utilizzate, le <strong>di</strong>fficoltà incontrate. Si tratta <strong>di</strong> ricostruire il percorso fatto e in<strong>di</strong>care<br />
quello che George Pólya ha definito come “le acquisizioni metodologiche”.<br />
10
Suggerimenti per alunni in <strong>di</strong>fficoltà<br />
In presenza <strong>di</strong> alunni con <strong>di</strong>fficoltà occorre insistere soprattutto su due aspetti: la<br />
capacità <strong>di</strong> utilizzare consapevolmente la procedura e saperla descrivere a parole<br />
(magari spiegandola a un altro compagno, o trascrivendola su un “<strong>di</strong>ario <strong>di</strong> bordo”<br />
personale).<br />
Lo studente potrà così costruire il suo teorema in atto. A partire proprio dalle<br />
competenze verbali, infatti, si può guidare i ragazzi verso scoperte significative e<br />
solidamente possedute, anche se in tempi <strong>di</strong>versi rispetto agli altri compagni.<br />
11
Eventuali <strong>di</strong>fficoltà e suggerimenti<br />
L’attività, pur nella sua struttura attiva e quin<strong>di</strong> coinvolgente, può presentare qualche<br />
problema non banale, soprattutto nella Fase 2, dal punto <strong>di</strong> vista linguistico.<br />
• Anzitutto va chiarito il significato della parola “somiglia” quando riferito alle<br />
immagini 1-6 della cucina. L’insegnante dovrà gestire molto bene la<br />
<strong>di</strong>scussione, per far emergere il reale significato della parola in questo contesto,<br />
che inevitabilmente coinvolgerà “forme” e “proporzioni”. Potrebbe ad esempio<br />
essere utilizzata la metodologia del pair check: si <strong>di</strong>vidono i ragazzi in coppie,<br />
ogni coppia cerca la propria definizione <strong>di</strong> somiglianza (e su questa base<br />
in<strong>di</strong>vidua le figure “somiglianti”) e successivamente confronta la propria<br />
definizione con quella <strong>di</strong> un’altra coppia… Una <strong>di</strong>scussione collettiva concluderà<br />
il lavoro; in questa <strong>di</strong>scussione ogni studente arriverà con una propria idea<br />
costruita in collaborazione con altri.<br />
• Ancora più delicata si presenta la questione sulla seconda domanda: per un<br />
ragazzo che abbia tuttora in mente le usuali definizioni date ai livelli scolastici<br />
precedenti (ad<strong>di</strong>rittura a partire dai blocchi logici della scuola dell’infanzia….)<br />
tutti i rettangoli hanno la stessa forma ! Sarà allora opportuno che l’insegnante<br />
premetta alla domanda un lavoro che metta in luce come la forma dei rettangoli<br />
non è sempre la stessa ma varia con continuità (si può fare riferimento alle<br />
classiche deformazioni della Castelnuovo a partire da un filo teso con 4 <strong>di</strong>ta o su<br />
un geopiano…). Solo a questo punto la <strong>di</strong>scussione potrà risultare fruttuosa per<br />
tutti lungo il percorso in<strong>di</strong>viduato.<br />
• <strong>La</strong> tabella con le misure dei lati potrà essere costruita con i dati <strong>di</strong> tutti i<br />
rettangoli e potrà eventualmente essere usata per “riportare” i rettangoli su un<br />
geopiano o su un quaderno in posizione tale da far emergere la similitu<strong>di</strong>ne<br />
esistente solo fra alcuni <strong>di</strong> questi rettangoli (analogamente a quanto viene<br />
proposto poco dopo per i triangoli). Sarà importante a questo punto guidare i<br />
ragazzi verso una lettura incrociata della tabella e dei rettangoli così ricostruiti,<br />
magari suggerendo poi una analoga lettura delle immagini con le piastrelle...<br />
In generale, nelle restanti parti della proposta, in presenza <strong>di</strong> alunni con <strong>di</strong>fficoltà si<br />
potrà insistere soprattutto su due aspetti: la capacità <strong>di</strong> comprendere e utilizzare<br />
consapevolmente la procedura e saperla descrivere a parole (magari spiegandola a un<br />
altro compagno, o trascrivendola su un “<strong>di</strong>ario <strong>di</strong> bordo” personale). Lo studente potrà<br />
così costruire il suo teorema in atto. A partire proprio dalle competenze verbali, infatti,<br />
si può guidare i ragazzi verso scoperte significative e solidamente possedute, anche se<br />
in tempi <strong>di</strong>versi rispetto agli altri compagni.<br />
12
Spunti per un approfon<strong>di</strong>mento <strong>di</strong>sciplinare<br />
1) Aree <strong>di</strong> figure simili<br />
L’insegnante introduce l’argomento ponendo il seguente quesito:<br />
“Se invece <strong>di</strong> stampare una fotografia in formato 10 x 15 deci<strong>di</strong> <strong>di</strong> fare stampare la<br />
stessa fotografia in formato 20 x 30, cioè con le <strong>di</strong>mensioni raddoppiate, pensi <strong>di</strong><br />
spendere il doppio per la carta da stampa?”<br />
<strong>La</strong> <strong>di</strong>scussione che segue dovrebbe portare ad eseguire un <strong>di</strong>segno in scala delle foto<br />
e a calcolare le due aree.<br />
Per consolidare le conoscenze si può chiedere agli alunni <strong>di</strong> rispondere ad alcune<br />
domande relative ai seguenti rettangoli simili tra loro:<br />
Fig. 5<br />
• Per quanto occorre moltiplicare le <strong>di</strong>mensioni del rettangolo 2 per avere le<br />
<strong>di</strong>mensioni del rettangolo 3?<br />
• Per quanto occorre moltiplicare l’area del rettangolo 2 per avere l’area del<br />
rettangolo 3?<br />
• Quant’è il rapporto tra l’area del rettangolo 3 e l’area del rettangolo 1?<br />
13
Completa le seguente tabella:<br />
Tra i rettangoli Rapporto fra i lati Rapporto fra le aree<br />
2 e 3<br />
4 e 2<br />
4 e 3<br />
1 e 4<br />
Al termine <strong>di</strong> questa attività gli allievi dovrebbero arrivare a formulare la seguente<br />
regola generale:<br />
Se due figure simili sono tali che le lunghezze della seconda sono k volte le lunghezze<br />
corrispondenti della prima allora l’area della seconda è k 2 volte l’area della prima.<br />
2) Dividere un segmento in parti uguali con riga e squadra<br />
Per <strong>di</strong>videre un segmento assegnato in n parti uguali, si procede come segue.<br />
Scegliamo <strong>di</strong> <strong>di</strong>videre il segmento assegnato AB ad esempio in 5 parti uguali.<br />
- <strong>di</strong>segniamo il segmento AB;<br />
- <strong>di</strong>segniamo una semiretta <strong>di</strong> origine A (che formi un angolo acuto con il segmento<br />
AB);<br />
- sulla semiretta <strong>di</strong> origine A segniamo un punto qualsiasi: chiamiamolo 1;<br />
- riportiamo la lunghezza del segmento A-1 quattro volte, in<strong>di</strong>viduando sulla semiretta<br />
i punti 2, 3, 4, 5 tutti equi<strong>di</strong>stanti tra loro;<br />
- tracciamo ora il segmento che unisce il punto 5 con l'estremo B;<br />
- tracciamo le rette parallele al segmento 5-B passanti per i punti 4, 3, 2, 1.<br />
Il segmento AB risulta in tal modo sud<strong>di</strong>viso in 5 segmenti uguali per il Teorema <strong>di</strong><br />
Talete (un fascio <strong>di</strong> rette parallele tagliate da due trasversali stacca su queste coppie<br />
<strong>di</strong> segmenti <strong>di</strong>rettamente proporzionali).<br />
Divisione <strong>di</strong> un segmento in parti uguali<br />
http://www.gpmeneghin.com/schede/riga/segm.htm<br />
Divisione <strong>di</strong> un segmento in parti uguali<br />
http://www.matematica.it/tomasi/figurecp/<strong>di</strong>visione-segmento.html<br />
Similitu<strong>di</strong>ne<br />
http://www.matematica.it/tomasi/figurecp/similitud.html<br />
14
3) I cerchi e la similitu<strong>di</strong>ne<br />
L’insegnante chiede: “Due cerchi <strong>di</strong> raggio <strong>di</strong>verso sono simili? Qual è il loro rapporto<br />
<strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne?”<br />
Approccio visivo.<br />
Lo spunto per la riflessione è offerto dall’osservazione del seguente <strong>di</strong>segno:<br />
L’insegnante <strong>di</strong>segna un cerchio su un foglio <strong>di</strong> Word. Dopo averlo copiato e incollato<br />
accanto, lo seleziona e lo stira secondo la <strong>di</strong>agonale. Il cerchio conserva la stessa<br />
forma (Fig. 6).<br />
Fig 6<br />
L’insegnante poi <strong>di</strong>segna un cerchio e un rettangolo (messi insieme con la funzione<br />
“Raggruppa” degli strumenti <strong>di</strong> Disegno) e applica la stessa trasformazione.<br />
Fig 7<br />
15
L’insegnante chiede:<br />
“Come sono i due rettangoli fra loro?”<br />
I ragazzi possono verificare, misurando i lati corrispondenti e facendo il rapporto, che<br />
sono simili. Dunque la trasformazione che è stata operata è una similitu<strong>di</strong>ne. <strong>La</strong><br />
conseguenza è che anche i cerchi sono simili.<br />
Approccio deduttivo.<br />
A questo punto l’insegnante propone ai ragazzi il <strong>di</strong>segno <strong>di</strong> due cerchi <strong>di</strong> raggio<br />
<strong>di</strong>verso con inscritti due poligoni regolari con lo stesso numero <strong>di</strong> lati.<br />
Poiché i poligoni sono simili, il rapporto dei loro lati è uguale a quello dei loro apotemi<br />
(rapporto <strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne k) ed anche a quello dei loro perimetri.<br />
Se consideriamo altri poligoni regolari inscritti nei due cerchi sempre con lo stesso<br />
numero <strong>di</strong> lati, ma maggiore <strong>di</strong> quello precedente, poiché l’ingran<strong>di</strong>mento che<br />
abbiamo fatto è lo stesso del precedente (abbiamo tirato il quadratino nel vertice<br />
lungo la <strong>di</strong>agonale), il rapporto fra i perimetri <strong>di</strong> questi poligoni è uguale al precedente<br />
rapporto <strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne k.<br />
Aumentando sempre <strong>di</strong> più il numero <strong>di</strong> lati e pensando al cerchio come ad un<br />
poligono regolare con un numero infinitamente grande <strong>di</strong> lati, possiamo affermare che<br />
anche fra i perimetri dei cerchi (circonferenze) ci sia lo stesso rapporto k e che tale<br />
rapporto sia uguale a quello dei loro apotemi (raggi).<br />
[man mano che aumentiamo il numero dei lati, i triangoli isosceli che costituiscono il<br />
poligono regolare si assottigliano sempre più e l’altezza del singolo triangolino<br />
(apotema) si confonde con il raggio].<br />
c : c’ = r : r’<br />
Nei poligoni regolari, essendo simili, non solo si mantiene costante il rapporto esterno<br />
(rapporto dei perimetri uguale al rapporto degli apotemi), ma succede anche che il<br />
rapporto interno (fra perimetro e apotema) dell’uno è uguale al rapporto interno (fra<br />
perimetro e apotema) dell’altro. Potendo, come già detto, considerare i cerchi come<br />
dei poligoni regolari con un numero infinitamente grande <strong>di</strong> lati, anche fra <strong>di</strong> essi varrà<br />
la stessa relazione interna e cioè il rapporto interno (fra circonferenza e raggio)<br />
dell’uno è uguale al rapporto interno (fra circonferenza e raggio) dell’altro.<br />
C : r = c’ : r’<br />
Ne segue che, essendo tutti i cerchi simili, il rapporto tra la circonferenza e il raggio è<br />
costante. Esso viene in<strong>di</strong>cato con 2π.<br />
N.B. A voler essere precisi si dovrebbe parlare <strong>di</strong> lunghezza della circonferenza e <strong>di</strong><br />
lunghezza del raggio, ma per non appesantire il linguaggio si è preferito utilizzare i<br />
termini circonferenza e raggio.<br />
Si potrebbe anche utilizzare il file Geogebra “cerchi simili.ggb” in cui, spostando<br />
tutti e due i bottoni “esagono” compaiono gli esagoni regolari inscritti nelle due<br />
circonferenze e contemporaneamente a sinistra appare una serie <strong>di</strong> rapporti uguali<br />
relativi ai lati, agli apotemi e ai perimetri (come sopra detto).<br />
Spostando tutti e due i bottoni “ottagono” compaiono gli ottagoni regolari inscritti e<br />
contemporaneamente a sinistra appaiono gli stessi rapporti, stavolta relativi<br />
all’ottagono. Si nota che il valore <strong>di</strong> tali rapporti non varia passando dall’esagono<br />
all’ottagono. Procedendo poi con i bottoni “circonferenza” appaiono il rapporto fra le<br />
16
circonferenze e quello fra i raggi ed è sempre uguale al precedente rapporto dei<br />
poligoni regolari.<br />
Dato che si tratta <strong>di</strong> figure simili si può passare dal rapporto esterno al rapporto<br />
interno e si verifica che il rapporto fra circonferenza e raggio in ognuna delle due<br />
circonferenze è uguale ed è pari a 2π.<br />
Dopo aver esaminato insieme agli alunni il file l’insegnante può chiedere loro <strong>di</strong><br />
anticipare quello che succede ingrandendo o rimpicciolendo uno dei due cerchi o tutti<br />
e due e <strong>di</strong> andare a verificare poi la correttezza delle ipotesi fatte.<br />
4) Omotetie<br />
a) Costruisci la figura omotetica del<br />
rombo (Fig 8), quando O è il centro <strong>di</strong><br />
omotetia e il rapporto fra i lati è 1/2.<br />
Costruisci anche la figura omotetica nel<br />
caso in cui il rapporto fra i lati è 3/2.<br />
Fig. 8<br />
b) Costruisci il quadrato omotetico del<br />
quadrato (Fig 9), quando il centro <strong>di</strong><br />
omotetia è il centro O del quadrato e il<br />
rapporto fra i lati è 1/3.<br />
Costruisci anche la figura omotetica nel<br />
caso in cui il rapporto fra i lati è 5/3.<br />
Fig. 9<br />
c) Costruisci il rettangolo omotetico del<br />
rettangolo (Fig 10), quando il centro della<br />
omotetia è il vertice A del rettangolo e il<br />
rapporto fra i lati è 1/4.<br />
Costruisci anche la figura omotetica nel<br />
caso in cui il rapporto fra i lati è 7/4.<br />
Fig. 10<br />
17
5) Pantografo<br />
Per la spiegazione del funzionamento del pantografo ve<strong>di</strong> il sito del:<br />
Museo Universitario <strong>di</strong> Storia Naturale e della Strumentazione Scientifica<br />
Università degli stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> Modena e Reggio Emilia<br />
Pantografo <strong>di</strong> Scheiner (omotetia)<br />
http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/_00lab.htm<br />
6) Metodo <strong>di</strong> Eratostene<br />
Pantografo Metodo <strong>di</strong> Eratostene<br />
Eratostene, nel III secolo avanti Cristo, realizzò la prima misurazione delle <strong>di</strong>mensioni<br />
della Terra. Egli si accorse infatti che, a mezzogiorno del solstizio d'estate, a Siene<br />
(l'attuale Assuan) i raggi solari cadevano verticalmente illuminando il fondo dei pozzi.<br />
Ciò invece non accadeva ad Alessandria d'Egitto: qui formavano un angolo <strong>di</strong> 7,2°<br />
rispetto alla verticale del luogo.<br />
Eratostene assunse che la forma della Terra fosse sferica e che i raggi solari fossero<br />
paralleli. Di conseguenza, l'angolo <strong>di</strong> 7,2° è uguale all'angolo che ha per vertice il<br />
centro della Terra e i cui lati passano rispettivamente per Alessandria e per Siene.<br />
L’angolo <strong>di</strong> 7,2° è un cinquantesimo dell’angolo giro e quin<strong>di</strong> anche la <strong>di</strong>stanza tra le<br />
due <strong>città</strong> (un arco <strong>di</strong> circonferenza massima) dev’essere un cinquantesimo della<br />
circonferenza terrestre. A quel tempo, la <strong>di</strong>stanza tra Alessandria e Siene era<br />
considerata <strong>di</strong> 5.000 sta<strong>di</strong> che, moltiplicato per 50, dava una misura <strong>di</strong> 250.000 sta<strong>di</strong>:<br />
era la prima determinazione della circonferenza della Terra basata su un metodo<br />
scientificamente valido. Secondo alcuni storici uno sta<strong>di</strong>o corrispondeva a 157,5 metri<br />
18
attuali e quin<strong>di</strong> la circonferenza terrestre, stimata da Eratostene, era <strong>di</strong> 39.690<br />
chilometri: un dato <strong>di</strong> sconcertante attualità!<br />
Rete <strong>di</strong> Erastotene<br />
http://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/index.html<br />
Occasioni e strumenti per esperienze collaborative <strong>di</strong> Astronomia in rete.<br />
Il progetto prevede una collaborazione, via Internet, tra scuole poste a nord e a sud,<br />
ma all’incirca sullo stesso meri<strong>di</strong>ano. Il gemellaggio viene stabilito dalle scuole<br />
facendo riferimento alla pagina contenente l’elenco dei partecipanti, attraverso una<br />
mailing-list. Le due (o più) scuole gemelle si accordano per decidere il giorno nel quale<br />
effettuare una misurazione.<br />
19
Elementi per prove <strong>di</strong> verifica<br />
Prima verifica<br />
1) Rispon<strong>di</strong> VERO/FALSO:<br />
- Due quadrati sono sempre simili...……………......<br />
- Due esagoni sono sempre simili………………..…<br />
- Due rettangoli sono sempre simili......………..…...<br />
- Due figure simili sono anche uguali.....…………….<br />
- Due triangoli equilateri sono sempre simili…………<br />
- Due triangoli rettangoli sono sempre simili………..<br />
- Due triangoli con i lati in proporzione sono sempre simili……....<br />
- Due poligoni con i lati corrispondenti in proporzione sono sempre simili.……..<br />
- Due poligoni con gli angoli corrispondenti uguali sono simili..........…….....<br />
- Due triangoli con gli angoli corrispondenti uguali sono simili....…....……...<br />
- Un triangolo rettangolo può essere simile ad un triangolo equilatero.....…..…..<br />
E giustifica le tue risposte.<br />
2) Un rettangolo ha le <strong>di</strong>mensioni <strong>di</strong> 6 cm e 9 cm.<br />
In<strong>di</strong>ca, tra le seguenti, le coppie <strong>di</strong> misure dei lati <strong>di</strong> rettangoli simili a quello iniziale.<br />
(12 ; 18) (12 ; 20) (18 ; 27) (7 ; 10) (2 ; 3) (3 ; 4,5)<br />
3) Due quadrilateri sono simili. I lati del quadrilatero “più piccolo” misurano 25 cm, 30<br />
cm, 55 cm, 70 cm e la misura del lato minore del secondo quadrilatero è 45 cm.<br />
Trova la misura dei lati del secondo quadrilatero.<br />
20
4) Cerca <strong>di</strong> stabilire quali, tra i triangoli <strong>di</strong>segnati, sono simili al triangolo colorato.<br />
Fig. 11<br />
21
5) È riportato in scala 1:150 il <strong>di</strong>segno della pianta <strong>di</strong> un appartamento.<br />
Trova le misure del perimetro esterno e della superficie dell'appartamento come sono<br />
nella realtà.<br />
(Suggerimento: utilizza il righello)<br />
Fig. 12<br />
22
Seconda verifica<br />
1) Disegna un triangolo ABC con il lato AB <strong>di</strong> 3 cm e il lato AC <strong>di</strong> 6 cm e un<br />
triangolo A’B’C’ simile al precedente che abbia il lato A’C’ <strong>di</strong> 8 cm e il lato B’C’ <strong>di</strong><br />
6 cm. Calcola il perimetro dei due triangoli.<br />
2) Due rettangoli simili hanno due lati corrispondenti lunghi rispettivamente 40 cm<br />
e 50 cm. Se l'area del più grande misura 1500 cm 2 qual è l'area dell'altro?<br />
3) Raggruppa le seguenti figure in gruppi <strong>di</strong> figure simili (giustificando la risposta):<br />
Fig. 13<br />
4) Sono sempre simili, oppure no?<br />
(a) Due triangoli rettangoli?<br />
(b) Due triangoli rettangoli con un angolo <strong>di</strong> 30°?<br />
(c) Due triangoli rettangoli in cui un cateto sia doppio dell’altro?<br />
(d) Due triangoli isosceli?<br />
(e) Due triangoli isosceli con un angolo <strong>di</strong> 30°?<br />
(f) Due triangoli isosceli con l’angolo al vertice <strong>di</strong> 30°?<br />
(g) Due cerchi?<br />
(h) Due trapezi isosceli?<br />
(i) Due trapezi isosceli con la base maggiore doppia della base minore?<br />
(j) Due trapezi isosceli con due angoli <strong>di</strong> 60° e la base maggiore doppia della base<br />
minore?<br />
(k) Due rombi?<br />
(l) Due rombi in cui una <strong>di</strong>agonale è <strong>di</strong> lunghezza doppia dell’altra?<br />
(m) Due rombi con un angolo <strong>di</strong> 60°?<br />
(n) Due rombi in cui la <strong>di</strong>agonale minore sia della stessa lunghezza <strong>di</strong> un lato?<br />
(o) Due quadrati?<br />
Spiega il perché delle tue risposte.<br />
5) Ci sono due rettangoli.<br />
Il primo rettangolo ha la base che è più lunga <strong>di</strong> 20 cm rispetto alla base del secondo<br />
e l’altezza che pure è più lunga <strong>di</strong> 20 cm rispetto all’altezza del secondo.<br />
I due rettangoli sono simili?<br />
Si, sempre No, mai Non è detto Non so<br />
Giustifica la risposta.<br />
23
6) Rispon<strong>di</strong> se sono vere queste affermazioni e giustifica la tua risposta:<br />
a) Un rettangolo simile a uno dato si ottiene ad<strong>di</strong>zionando o sottraendo la stessa<br />
quantità a ciascuna <strong>di</strong>mensione.<br />
b) Due triangoli equilateri sono sempre simili.<br />
c) Un rettangolo simile a uno dato si ottiene moltiplicando o <strong>di</strong>videndo le sue<br />
<strong>di</strong>mensioni per uno stesso numero.<br />
d) Due rombi non sono sempre simili.<br />
7) Rappresenta un triangolo qualsiasi. Rappresenta il triangolo avente per vertici i<br />
punti me<strong>di</strong> del primo triangolo.<br />
Osserva le due figure geometriche:<br />
Come si esprime il fatto che “hanno la stessa forma” in linguaggio geometrico?<br />
24
Terza verifica<br />
1) Figure su quadretti<br />
Per ogni figura <strong>di</strong>segna nel quadrettato accanto la figura simile a quella data,<br />
in<strong>di</strong>cando il rapporto <strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne (rapporto tra i lati corrispondenti della seconda<br />
figura rispetto alla prima).<br />
Fig. 14 Fig. 15<br />
K = ...<br />
K = …<br />
Fig. 16<br />
25
Fig. 17 Fig. 18<br />
K = …<br />
Fig. 19 Fig. 20<br />
K = …<br />
26
2) Un triangolo isoscele ha la base <strong>di</strong> 60 cm, e il perimetro <strong>di</strong> 216 cm.<br />
Trova la misura del perimetro <strong>di</strong> un triangolo simile ad esso, sapendo che la sua base<br />
misura 100 cm.<br />
Trova l'area dei due triangoli.<br />
3) Disegna un sistema <strong>di</strong> assi cartesiani ortogonali. Riporta i seguenti punti:<br />
A(-3,-1) B(-3,+3) C(-1,+3) D(-1,+1) E(-3,+1) F(-1,-1)<br />
Unisci i punti nell'or<strong>di</strong>ne.<br />
a) Unisci il punto O(-7,-1) con ciascuno dei punti precedenti con delle semirette e<br />
trova i punti corrispondenti A', B', C', D', E', F' a <strong>di</strong>stanza doppia. Uniscili. <strong>La</strong> figura<br />
ottenuta è simile a quella <strong>di</strong> partenza?<br />
Qual è il rapporto tra i lati?<br />
b) Ripeti la costruzione (a) con la metà della <strong>di</strong>stanza. Unisci i punti così ottenuti.<br />
<strong>La</strong> nuova figura è simile a quella <strong>di</strong> partenza?<br />
Qual è il rapporto fra i lati?<br />
4) In una certa ora del giorno una torre proietta sul terreno un’ombra lunga 15 m ed<br />
un bastone, lungo 14 dm verticale rispetto al terreno, proietta un’ombra <strong>di</strong> 6 dm.<br />
Quanto è alta la torre?<br />
27
Spunti per altre attività con gli studenti<br />
1) Figure simili<br />
a) Tra le foglie che ve<strong>di</strong> qui sotto ce n’è una piccola che ha la stessa forma <strong>di</strong> quella<br />
grande?<br />
Fig. 21<br />
b) Su un foglio <strong>di</strong> quaderno, usando i quadretti come riferimento cartesiano, <strong>di</strong>segna i<br />
triangoli i cui vertici sono dati dai seguenti insiemi <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate.<br />
A= { (0,5), (1,0), (5,0)}<br />
B= { (2,3), (2,5.4), (5,6)}<br />
C= { (5,3), (5.4,5), (7,5)}<br />
Ritaglia questi triangoli e confrontali in modo da stabilire se hanno o non hanno la<br />
stessa forma.<br />
Qual è il modo migliore <strong>di</strong> <strong>di</strong>sporre i triangoli per vedere se hanno la stessa forma?<br />
Confronta gli angoli dei due triangoli che ti sembrano della stessa forma.<br />
Quale proprietà ti sembra che abbiano gli angoli corrispondenti <strong>di</strong> figure che hanno la<br />
stessa forma?<br />
c) Su carta quadrettata traccia un rettangolo lungo 6 cm e largo 3 cm.<br />
Disegna ora due rettangoli della stessa forma, uno interno e uno esterno al rettangolo<br />
dato.<br />
Che relazione c’è tra le lunghezze dei lati corrispondenti <strong>di</strong> questi tre rettangoli?<br />
Osserva e pren<strong>di</strong> qualche misura, che cosa puoi <strong>di</strong>re?<br />
28
2) Triangoli simili<br />
a) Copia questa figura con le <strong>di</strong>mensioni in<strong>di</strong>cate.<br />
(AB= 7cm; AC= 4 cm; BC= 6 cm; A’B’= 10 cm)<br />
Quanti triangoli A’B’C’ sai <strong>di</strong>segnare simili al triangolo ABC, servendoti della riga e<br />
della squadra?<br />
Fig. 22<br />
Quanto ti aspetti che saranno lunghi i lati A’C’ e B’C’ del triangolo A’B’C’? Verifica la<br />
precisione del tuo <strong>di</strong>segno.<br />
I due triangoli che hai costruito sono simili al triangolo ABC; uniti insieme che tipo <strong>di</strong><br />
quadrilatero formano?<br />
b) Copia questa figura con i dati in<strong>di</strong>cati (dovrai servirti del goniometro).<br />
Angolo A = 50° Angolo B= 75° AB= 5 cm A’B’= 8 cm<br />
Quanti triangoli A’B’C’ sai <strong>di</strong>segnare simili al triangolo ABC, servendoti della riga e<br />
della squadra?<br />
Fig. 23<br />
Misura con il righello i lati AC e BC del triangolo ABC. Quanto ti aspetti che siano<br />
lunghi i lati A’C’ e A’B’ del triangolo A’B’C’?<br />
29
Verifica con il righello la precisione del tuo <strong>di</strong>segno.<br />
c) Nel triangolo ABC, il punto M taglia a metà il lato AB ed il punto N taglia a metà il<br />
lato AC.<br />
MN è la metà <strong>di</strong> BC?<br />
L’area del triangolo ABC è 4 volte l’area del triangolo AMN?<br />
Le rette MN e BC sono parallele?<br />
Fig. 24<br />
30
3) Il problema della cornice<br />
Nell’ambito dei problemi che riguardano la similitu<strong>di</strong>ne è<br />
opportuno proporre situazioni in cui c’è una similitu<strong>di</strong>ne<br />
solo apparente, per mettere alla prova i ragazzi che <strong>di</strong><br />
solito si limitano ad applicare formule in problemi<br />
ripetitivi e che non pongono alcun “problema”.<br />
Quesiti <strong>di</strong> questo tipo mettono <strong>di</strong> nuovo in <strong>di</strong>scussione il<br />
modello ad<strong>di</strong>tivo su cui si basa la falsa proporzionalità.<br />
a) Osserva questo quadro. Il rettangolo esterno, che<br />
comprende anche la cornice, e quello interno, senza la<br />
cornice, sono simili? Fig. 25<br />
Motiva la risposta.<br />
31
4) Ombre dei ragazzi<br />
<strong>La</strong> situazione descritta contestualizza il problema della similitu<strong>di</strong>ne a un fatto concreto<br />
e consonante con le modalità cognitive degli allievi.<br />
L’attività si svolge all’aperto in una bella giornata <strong>di</strong> sole e i ragazzi lavorano in coppia.<br />
L’insegnante chiede alla metà degli alunni (uno per ogni coppia) <strong>di</strong> <strong>di</strong>sporsi con il sole<br />
alle spalle in modo da avere la propria ombra davanti. Ognuno <strong>di</strong> loro porta in testa<br />
un cappellino al quale è stato attaccato un pezzo <strong>di</strong> spago (lo spago può essere anche<br />
tenuto fermo con un fermaglio). I compagni liberi <strong>di</strong> ogni coppia tendono lo spago e<br />
ne legano la seconda estremità ad un bastoncino <strong>di</strong> legno piantato a terra nel punto in<br />
cui finisce l’ombra. Questi ultimi ragazzi osservano poi a <strong>di</strong>stanza i triangoli che si<br />
sono formati: ogni triangolo ha per lati il ragazzo, la sua ombra e lo spago.<br />
L’insegnante chiede:<br />
“Di che tipo <strong>di</strong> triangoli si tratta? C’è qualche<br />
relazione fra loro?”<br />
Si<strong>cura</strong>mente molti ragazzi “scopriranno” che si<br />
tratta <strong>di</strong> triangoli rettangoli fra loro simili.<br />
A questo punto saranno invitati a verificarlo. Il<br />
docente lascerà alla loro libera iniziativa la<br />
verifica.<br />
È possibile che qualcuno proponga l’uso del<br />
goniometro (quello che misura fino a 180°).<br />
Usando il goniometro presto si renderanno conto<br />
che non è possibile far coincidere il vertice del<br />
goniometro con il vertice dell’angolo che ha per<br />
lati lo spago e l’ombra. Bisognerà dunque<br />
pensare ad un’altra strategia.<br />
Fig. 26<br />
L’insegnante potrebbe suggerire <strong>di</strong> riportare l’angolo (ombra/spago) su un cartoncino<br />
e <strong>di</strong> misurarne successivamente l’ampiezza. Trattandosi <strong>di</strong> triangoli rettangoli,<br />
ovviamente, è sufficiente verificare la congruenza <strong>di</strong> una coppia <strong>di</strong> angoli<br />
corrispondenti per verificare che gli angoli dei triangoli sono uguali.<br />
“È possibile fermarsi alla congruenza degli angoli per affermare che i triangoli sono<br />
simili?”<br />
“E se volessimo comunque verificare la proporzionalità dei lati come potremmo fare?”<br />
Gli osservatori, muniti <strong>di</strong> metro, possono misurare in cm la lunghezza dei cateti<br />
corrispondenti e verificarne il rapporto costante (rapporto esterno) a meno dell’errore<br />
<strong>di</strong> misura.<br />
“Confrontando triangoli <strong>di</strong>versi tale rapporto (rapporto esterno) varia o rimane lo<br />
stesso?”<br />
32
L’insegnante chiede poi <strong>di</strong> riportare in una tabella la lunghezza dell’ombra <strong>di</strong> ogni<br />
ragazzo e la sua altezza (ambedue espresse in cm).<br />
lunghezza ombra (in cm) altezza (in cm)<br />
Marco ……………… ………………….<br />
Edoardo ……………… ………………<br />
Giulia ……………… ………………<br />
……………… ……………… ………………<br />
Gli alunni, ad una prima osservazione superficiale, notano che al crescere dell’altezza<br />
del compagno, cresce anche la lunghezza della sua ombra.<br />
“Esaminate bene la tabella: è possibile in<strong>di</strong>viduare una relazione matematica fra<br />
lunghezza dell’ombra e altezza della persona?”<br />
Nota per il docente<br />
Se è possibile, fare qualche rilevazione nei giorni appena precedenti l’esperienza per<br />
in<strong>di</strong>viduare l’ora del giorno in cui la lunghezza dell’ombra sia in un rapporto ben<br />
definito (2, 3/2, 2/3 , …) rispetto al l’altezza della persona.<br />
Si consiglia <strong>di</strong> fare questo controllo per facilitare i ragazzi nella in<strong>di</strong>viduazione della<br />
relazione fra lunghezza dell’ombra e altezza <strong>di</strong> una persona.<br />
Avendo l’insegnante precedentemente controllato che a quella precisa ora la<br />
lunghezza dell’ombra è, ad esempio, il doppio dell’altezza della persona, risulta<br />
semplice per i ragazzi cogliere questa relazione, attraverso l’osservazione della<br />
tabella.<br />
Concludono che alle ore … del mese <strong>di</strong> ... la lunghezza dell’ombra <strong>di</strong> un in<strong>di</strong>viduo è<br />
pari al … della sua altezza e quin<strong>di</strong> il loro rapporto (rapporto interno) è …<br />
In ogni triangolo tale rapporto (rapporto interno) si mantiene …<br />
L’insegnante a questo punto mostrando un albero (o un palo della luce) potrebbe<br />
chiedere:<br />
“È possibile sapere quanto è alto questo albero (palo)?”<br />
Anche il triangolo formato<br />
dall’albero e dalla sua ombra è<br />
simile ai triangoli formati dagli<br />
alunni e dalla loro ombra.<br />
Misurata la lunghezza<br />
dell’ombra dell’albero i ragazzi<br />
possono facilmente calcolare<br />
l’altezza dell’albero.<br />
Fig. 27<br />
33
L’attività può ritenersi a questo punto completata, ma l’insegnante potrebbe<br />
continuare, chiedendo ad esempio ai ragazzi <strong>di</strong> fare delle previsioni:<br />
“Secondo voi cosa succederà ripetendo l’esperienza fra due ore?”<br />
Si raccolgono tutte le ipotesi:<br />
1) le ombre non cambieranno e quin<strong>di</strong> il rapporto rimarrà uguale;<br />
2) le ombre si allungheranno e quin<strong>di</strong> il rapporto fra lunghezza dell’ombra e altezza<br />
del ragazzo cambierà e sarà maggiore;<br />
3) le ombre si accorceranno e quin<strong>di</strong> il rapporto <strong>di</strong>minuirà;<br />
4) non ci sarà più ombra e quin<strong>di</strong> il rapporto sarà zero.<br />
Intanto l’insegnante può formulare domande del tipo:<br />
“Osservate dove si trova ora il sole, secondo voi, fra un paio <strong>di</strong> ore, il sole lo vedremo<br />
sempre nello stesso punto o la sua posizione varierà?”<br />
Si precisa agli alunni che, <strong>di</strong>cendo “ il sole si muove”, ci si riferisce al suo moto<br />
apparente.<br />
Probabilmente molti alunni sosterranno che la posizione del sole varierà con il<br />
trascorrere del tempo. In tal caso il docente chiederà <strong>di</strong> simulare con il braccio il<br />
movimento apparente del sole. Nascerà un <strong>di</strong>battito e la validazione delle <strong>di</strong>verse<br />
ipotesi si realizzerà verificando, trascorse le due ore, la posizione del sole. Sarà<br />
opportuno concordare dei punti <strong>di</strong> riferimento fissi (linea dell’orizzonte, <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> un<br />
palo in lontananza) per poter confrontare prima e dopo la posizione del sole.<br />
Un’altra attività che si può proporre è quella della misura delle ombre “a pie<strong>di</strong>”.<br />
Fig. 28<br />
L’insegnante fa posizionare dei ragazzi<br />
con le spalle rivolte al sole e chiede loro:<br />
“Misurate la vostra ombra con i vostri<br />
pie<strong>di</strong>”<br />
Dopo il primo tentativo si rendono conto<br />
che appena cominciano a muoversi si<br />
muove anche l’ombra.<br />
Per superare questa <strong>di</strong>fficoltà i ragazzi<br />
propongono <strong>di</strong> tracciare a terra dei segni:<br />
uno <strong>di</strong>etro i pie<strong>di</strong>, in corrispondenza della<br />
posizione da fermi, ed uno in<br />
corrispondenza della estremità dell’ombra<br />
a terra. Per far questo chiedono l’aiuto <strong>di</strong><br />
un compagno.<br />
34
Fatto questo, ogni ragazzo, camminando,<br />
un piede davanti all’altro, misura la<br />
propria ombra, prendendo come unità <strong>di</strong><br />
misura il suo piede. Tutti constateranno<br />
con qualche meraviglia che la misura “a<br />
pie<strong>di</strong>” dell’ombra è pressoché uguale per<br />
tutti.<br />
L’insegnante pone il problema:<br />
“Perché persone <strong>di</strong> altezza <strong>di</strong>fferente, che<br />
misurano la lunghezza della propria<br />
ombra, ottengono misure quasi uguali?”<br />
Qualcuno avanzerà l'ipotesi che ciò è<br />
dovuto al fatto che ognuno misura<br />
l'ombra con il proprio piede.<br />
Fig. 30<br />
Fig. 29<br />
L’insegnante invita poi un alunno a<br />
misurare “con i suoi pie<strong>di</strong>” le ombre <strong>di</strong> più<br />
compagni, chiedendo a tutti <strong>di</strong> anticipare<br />
il risultato della misurazione.<br />
Qualcuno interverrà <strong>di</strong>cendo che le<br />
misure saranno <strong>di</strong>verse perché in questo<br />
caso è stata utilizzata la stessa unità <strong>di</strong><br />
misura.<br />
Dalla <strong>di</strong>scussione e dal confronto emergerà la spiegazione <strong>di</strong> quanto osservato: tutto<br />
<strong>di</strong>pende dal fatto che la lunghezza del piede <strong>di</strong> una persona è proporzionale alla sua<br />
altezza e l’altezza della persona è, a sua volta, proporzionale alla sua ombra.<br />
L’insegnante potrebbe fare qualche riferimento all’uomo <strong>di</strong> Vitruvio che si trova anche<br />
nelle monete da un euro.<br />
Fig. 31<br />
35
Ve<strong>di</strong>: “Misure del Corpo” <strong>di</strong> Brunetto Piochi<br />
http://losstt-in-math.dm.unipi.it/modules.php?name=News&file=article&sid=73<br />
5) Compasso <strong>di</strong> Galileo<br />
Uso del compasso <strong>di</strong> Galileo per determinare l’altezza <strong>di</strong> un oggetto (torre, albero, ...).<br />
Per informazioni dettagliate e per la sua costruzione ve<strong>di</strong> il sito dell’Istituto e Museo <strong>di</strong><br />
Storia della Scienza <strong>di</strong> Firenze:<br />
http://brunelleschi.imss.fi.it/Esplora/compasso/in<strong>di</strong>ce.html<br />
Fig. 32<br />
36
6) Plastico in scala con villetta, laghetto e campo <strong>di</strong> calcio<br />
È stato realizzato il modello <strong>di</strong> un villaggio in scala 1:10.<br />
Completa la seguente tabella:<br />
Oggetto Modello Villaggio reale<br />
Lunghezza della villetta 1 m<br />
Altezza della villetta 5 m<br />
Area del pavimento 0,60 m 2<br />
Costo verniciatura porte 500 €<br />
Area del parco del villaggio 15 m 2<br />
Area del laghetto 550 m 2<br />
Lunghezza del campo <strong>di</strong><br />
calcio<br />
<strong>La</strong>rghezza del campo <strong>di</strong><br />
calcio<br />
11 m<br />
Area del campo <strong>di</strong> calcio 7700 m 2<br />
Quantità <strong>di</strong> semi per l’erba<br />
del campo<br />
55 Kg<br />
37
7) L’angolo <strong>di</strong> un grado<br />
a) Si può chiedere: Quanto lunghi devono essere i lati <strong>di</strong> un angolo <strong>di</strong> un grado per<br />
contenere un metro quadrato?<br />
<strong>La</strong> nostra classe potrebbe essere<br />
contenuta in un angolo <strong>di</strong> un grado?<br />
E la nostra <strong>città</strong>?<br />
E la luna?<br />
Fig. 33<br />
L’insegnante guida i ragazzi alla scoperta della regola: un oggetto osservato da una<br />
<strong>di</strong>stanza pari a 57,4 volte il proprio <strong>di</strong>ametro avrà una <strong>di</strong>mensione angolare <strong>di</strong> circa un<br />
grado.<br />
b) Il <strong>di</strong>ametro angolare del Sole da Terra<br />
corrisponde, del tutto fortuitamente, con<br />
quello della Luna; sebbene il Sole sia<br />
effettivamente circa 400 volte più lontano<br />
della Luna, anche il suo <strong>di</strong>ametro effettivo è<br />
400 volte maggiore, e questo fa sì che le<br />
loro <strong>di</strong>mensioni apparenti nel cielo terrestre<br />
siano particolarmente simili. Questa<br />
particolare coincidenza rende possibili eclissi<br />
<strong>di</strong> Sole particolarmente suggestive.<br />
Fig. 34<br />
38
8) Calcolo della misura del <strong>di</strong>ametro del Sole<br />
L’insegnante fa sistemare un cartoncino<br />
bianco inclinato rispetto al terreno in<br />
modo tale che i raggi del sole giungano<br />
ad esso perpen<strong>di</strong>colari.<br />
Per controllare la perpen<strong>di</strong>colarità basta<br />
porre un bastone <strong>di</strong> almeno un metro<br />
perpen<strong>di</strong>colare al cartoncino (servirsi<br />
della squadra per garantire la<br />
perpen<strong>di</strong>colarità del bastone rispetto al<br />
cartoncino) e regolare l’inclinazione del<br />
cartoncino mettendo sotto <strong>di</strong> esso<br />
materiale vario (libri e zaini), fin<br />
quando il bastone non produce nessuna<br />
ombra.<br />
I ragazzi pongono un cartoncino più<br />
piccolo, in cui è stato praticato<br />
precedentemente un foro in centro (<strong>di</strong><br />
circa un millimetro <strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro),<br />
perpen<strong>di</strong>colare al bastone all’altra<br />
estremità.<br />
I raggi del sole attraversando il buco<br />
del cartoncino piccolo proiettano un<br />
cerchietto luminoso sul cartone posto a<br />
terra: un piccolo sole.<br />
A questo punto un alunno prende la<br />
misura del <strong>di</strong>ametro del piccolo sole<br />
(meglio rilevare due misure, una<br />
approssimata per <strong>di</strong>fetto e una per<br />
eccesso) e l’attività viene completata in<br />
classe.<br />
Fig. 35<br />
Fig. 36<br />
In classe il docente schematizza la situazione con un <strong>di</strong>segno alla lavagna, oppure<br />
realizza un modello al computer con un software (Cabri). Nel <strong>di</strong>segno sono<br />
rappresentati il sole vero, il piccolo sole, il cartoncino con il buco. Gli alunni si rendono<br />
facilmente conto <strong>di</strong> trovarsi <strong>di</strong>nanzi a figure simili (anzi omotetiche).<br />
I triangoli simili sono due triangoli isosceli, uno che ha per base il <strong>di</strong>ametro d del<br />
piccolo sole sul cartoncino e per altezza la <strong>di</strong>stanza l fra i due cartoncini (ovvero la<br />
lunghezza del bastone), l’altro che ha per base il <strong>di</strong>ametro D del sole e per altezza la<br />
<strong>di</strong>stanza Terra/Sole L [in effetti si tratta della <strong>di</strong>stanza della Terra dal centro del Sole,<br />
ma dato l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza dei numeri con cui stiamo lavorando, possiamo<br />
approssimare tale <strong>di</strong>stanza alla <strong>di</strong>stanza Terra/Sole].<br />
39
A questo punto, basta misurare la lunghezza del bastone, cercare sul libro la <strong>di</strong>stanza<br />
Terra/Sole e impostare una proporzione:<br />
d : l = D : L<br />
<strong>La</strong> proporzione dà risultati approssimati molto sorprendenti.<br />
Fig. 37<br />
Poiché la misura del <strong>di</strong>ametro del piccolo sole sul cartoncino può essere suscettibile <strong>di</strong><br />
errori <strong>di</strong> misura (in quanto è dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> alcuni millimetri), è utile rifare i calcoli due<br />
volte: una volta con la misura approssimata per <strong>di</strong>fetto e un’altra con la misura<br />
approssimata per eccesso.<br />
<strong>La</strong> me<strong>di</strong>a dei due valori è molto vicina alla <strong>di</strong>stanza Terra-Sole riportata sul libro <strong>di</strong><br />
testo!<br />
Roma stenopeica<br />
http://www.fotografiareflex.net/roma_stenopeica.htm<br />
Il-<strong>For</strong>o-Stenopeico<br />
http://www.scribd.com/doc/16200491/Fotografia-Senza-Obiettivo-Il-<strong>For</strong>o-Stenopeico<br />
40
9) Quesito del RMT Il logo (13° finale 2005 – Sito ARMT)<br />
17. IL LOGO (Cat. 8, 9)<br />
Una grande impresa internazionale<br />
<strong>di</strong> attività ricreative ha creato un<br />
logo autoadesivo per la sua<br />
pubblicità. Il modello «Mini» <strong>di</strong> 24<br />
cm <strong>di</strong> altezza. Il modello «MAXI»,<br />
<strong>di</strong> 60 cm <strong>di</strong> altezza.<br />
I due modelli vengono stampati su<br />
fogli <strong>di</strong> plastica con colori cangianti<br />
e con riflessi metallizzati, poi<br />
ritagliati con la pressa e spe<strong>di</strong>ti a<br />
lotti <strong>di</strong> 10, 20, 40, 50 o 100<br />
modelli.<br />
Un lotto <strong>di</strong> 100 modelli «Mini» pesa<br />
450 g.<br />
Quanto pesa un lotto da 40 modelli «MAXI»?<br />
Spiegate il vostro ragionamento.<br />
ANALISI A PRIORI<br />
Ambito concettuale<br />
- Aritmetica: rapporti, proporzionalità<br />
- Geometria: rapporto <strong>di</strong> aree in un ingran<strong>di</strong>mento<br />
Analisi del compito<br />
- Capire che il peso degli autoadesivi è proporzionale alla loro area, poiché sono<br />
ritagliati dagli stessi tipi <strong>di</strong> fogli <strong>di</strong> plastica (dello stesso spessore) e che le due figure<br />
sono simili, cosa che significa che il rapporto delle due <strong>di</strong>stanze corrispondenti è la<br />
stessa, qualunque sia la <strong>di</strong>rezione.<br />
- Calcolare il peso <strong>di</strong> un modello «Mini»: 450 : 100 = 4,5 (in grammi)<br />
- Calcolare il rapporto <strong>di</strong> proporzionalità: 60/24 = 5/2 = 2,5 delle due figure<br />
- Calcolare il rapporto delle aree delle due figure:<br />
in maniera «esperta»: 2,5 2 = 6,25, oppure immaginando che il logo piccolo sia<br />
inscritto, ad esempio, in un quadrato <strong>di</strong> lato 24, con area 24 2 = 576, che il logo<br />
grande sia inscritto in un quadrato <strong>di</strong> lato 60, <strong>di</strong> area 60 2 = 3600 e calcolare il<br />
rapporto 3600/576 = 6,25, oppure prendendo le misure <strong>di</strong> una delle lettere, come la<br />
«T» e calcolando l’area del piccolo e del grande per determinare il rapporto<br />
- Calcolare il peso <strong>di</strong> un modello «MAXI»: 4,5 x 6,25 = 28,125 (in grammi) e il peso <strong>di</strong><br />
un lotto da 40 modelli:<br />
28,125 x 40 = 1125 (in grammi)<br />
Oppure, dopo aver calcolato il rapporto <strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne e dedotto che il rapporto al<br />
quadrato è il rapporto fra i pesi si calcola il peso <strong>di</strong> 100 modelli MAXI: (25/4).450 =<br />
2812,5 e poiché 40 = (2/5) 100, il peso <strong>di</strong> 40 modelli MAXI è (2/5) 2812,5 = 1125<br />
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Bibliografia<br />
AAVV, Matematica 2001. Materiali per un nuovo curricolo <strong>di</strong> matematica con<br />
suggerimenti per attività e prove <strong>di</strong> verifica (scuola elementare e scuola me<strong>di</strong>a).<br />
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/arzarello/index.htm<br />
PISA 2003 Valutazione dei quin<strong>di</strong>cenni a <strong>cura</strong> dell’OCSE, Roma, Armando Armando,<br />
2004<br />
Sitografia<br />
AA.VV. Didattica<br />
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Didattica/<strong>di</strong>dattica.html<br />
AA.VV. Matematica<br />
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2003/matematica2003.html<br />
OCSE-PISA 2006 - Programme for International Student Assessment<br />
http://www.invalsi.it/invalsi/ric.php?page=ocsepisa06<br />
Development of Proportional Reasoning: Where Young Children Go Wrong<br />
http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2597581/<br />
Il compasso <strong>di</strong> Galileo<br />
http://brunelleschi.imss.fi.it/Esplora/compasso/in<strong>di</strong>ce.html<br />
Misure del Corpo <strong>di</strong> Brunetto Piochi<br />
http://losstt-in-math.dm.unipi.it/modules.php?name=News&file=article&sid=73<br />
Pantografo <strong>di</strong> Scheiner (omotetia)<br />
http://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/116ogg.htm<br />
Divisione <strong>di</strong> un segmento in parti uguali<br />
http://www.gpmeneghin.com/schede/riga/segm.htm<br />
Divisione <strong>di</strong> un segmento in parti uguali<br />
http://www.matematica.it/tomasi/figurecp/<strong>di</strong>visione-segmento.html<br />
Similitu<strong>di</strong>ne<br />
http://www.matematica.it/tomasi/figurecp/similitud.html)<br />
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Proposta <strong>di</strong> attività per il corsista<br />
Da con<strong>di</strong>videre e <strong>di</strong>scutere in rete.<br />
Leggere l’attività, le in<strong>di</strong>cazioni metodologiche e gli approfon<strong>di</strong>menti:<br />
in<strong>di</strong>viduare i principali no<strong>di</strong> <strong>di</strong>dattici cui la situazione fa riferimento; esporli<br />
sinteticamente per scritto.<br />
Aggiungere qualche problema in altri contesti, relativo alle stesse abilità e conoscenze.<br />
Sperimentare l’unità proposta:<br />
− fare una ricognizione del contesto scolastico specifico in cui si svolgerà l'attività;<br />
− esplicitare gli adattamenti necessari;<br />
− formulare il progetto <strong>di</strong>dattico relativo;<br />
− preparare una prova <strong>di</strong> verifica adatta a valutare le conoscenze e abilità relative<br />
alla situazione <strong>di</strong>dattica posta (anche con riferimento alle prove OCSE-PISA e<br />
INVALSI).<br />
Scrivere un <strong>di</strong>ario <strong>di</strong> bordo (narrazione e documentazione del processo <strong>di</strong><br />
sperimentazione vissuta in classe): l’insegnante dovrà elaborare un <strong>di</strong>ario con<br />
l’esposizione dell’esperimento svolto, <strong>di</strong> come gli studenti hanno reagito alla proposta<br />
<strong>di</strong>dattica, delle <strong>di</strong>fficoltà incontrate in particolare nel processo <strong>di</strong> costruzione <strong>di</strong><br />
significato e <strong>di</strong> procedura <strong>di</strong> soluzione e <strong>di</strong> come sono state superate le <strong>di</strong>fficoltà.<br />
Esplicitare i compiti dati agli studenti e le modalità con cui gli studenti stessi sono stati<br />
responsabilizzati all'appren<strong>di</strong>mento.<br />
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