Il test t
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Introduzione Test t a campione unico Test t per dati appaiati Test t per campioni indipendenti<br />
Corso di Psicometria Progredito<br />
4.1 I principali <strong>test</strong> statistici per la verifica di ipotesi:<br />
<strong>Il</strong> <strong>test</strong> t<br />
Gianmarco Altoè<br />
Dipartimento di Psicologia<br />
Università di Cagliari, Anno Accademico 2011-2012
Introduzione Test t a campione unico Test t per dati appaiati Test t per campioni indipendenti<br />
Sommario<br />
1 Introduzione<br />
2 Test t a campione unico<br />
3 Test t per dati appaiati<br />
4 Test t per campioni indipendenti
Introduzione Test t a campione unico Test t per dati appaiati Test t per campioni indipendenti<br />
E se la varianza è ignota?<br />
Fino ad ora abbiamo considerato dei problemi di inferenza<br />
statistica in cui la varianza della popolazione da cui è estratto<br />
il campione è nota.<br />
E se la varianza della popolazione non fosse nota (caso assai<br />
frequente nella pratica)?<br />
Potremmo sostituire una stima della varianza. Ma si è visto<br />
che in questo caso, ed in particolare quando la numerosità<br />
campionaria è ridotta, la statistica <strong>test</strong> sotto H0 non si<br />
distribuisce esattamente come una normale.<br />
Per fortuna uno “statistico birraio”, nei primi del novecento,<br />
ha risolto il problema ... ⇒
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William Sealy Gosset e la distribuzione t di student<br />
Nei primi del 900 lo statistico William Sealy Gosset, che<br />
lavorava presso una fabbrica di birra Guinnes a Dublino,<br />
risolse il problema proponendo la distribuzione t di Student.<br />
Tale distribuzione è simmetrica ed ha la forma di una<br />
campana, ma rispetto alla normale è caratterizzata da code<br />
contenenti una maggiore probabilità.<br />
Gosset pubblicò i suoi risultati in un articolo passato alla<br />
storia nel 1908. La direzione della Guinnes non permetteva<br />
però ai suoi dipendenti di pubblicare risultati relativi a<br />
esperimenti fatti nei propri laboratori ... e così Gosset fu<br />
costretto ad usare lo pseudonimo di “Student”.
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t di Student vs. Normale<br />
Densità<br />
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4<br />
-3 -2 -1 0 1 2 3<br />
quantili<br />
t con 1 grado di libertà<br />
t con 2 gradi di libertà<br />
t con 5 gradi di libertà<br />
t con 10 gradi di libertà<br />
t con 20 gradi di libertà<br />
normale
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t di Student, gradi di libertà e Normale<br />
I gradi di libertà (degrees of freedom) sono un parametro che<br />
definisce la distribuzione t. Esso dipende dalla numerosità<br />
campionaria e dalla statistica <strong>test</strong> utilizzata.<br />
Ad esempio nel caso del <strong>test</strong> t per la verifica di ipotesi sulla<br />
media di una popolazione con varianza ignota, i gradi di<br />
libertà della statistica <strong>test</strong> sono pari alla numerosità<br />
campionaria meno uno (n − 1).<br />
Osservando il grafico precedente si può notare che al<br />
crescere della numerosità e quindi dei gradi di libertà la<br />
distribuzione t e la distribuzione normale tendono a<br />
coincidere. In particolare per n > 100 le due distribuzioni si<br />
possono considerare praticamente uguali.
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Varie tipologie di <strong>test</strong> t<br />
Nel corso della lezione vedremo, attraverso degli esempi, diverse<br />
applicazioni della distribuzione t di Student:<br />
Test t a campione unico, per la verifica di ipotesi sulla<br />
media della popolazione nel caso di varianza ignota.<br />
Test t per dati appaiati, per il confronto tra le medie di due<br />
campioni dipendenti.<br />
Test t per campioni indipendenti, per il confronto tra le<br />
medie di due campioni indipendenti.
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La stima della varianza della popolazione<br />
Nei casi di verifica di ipotesi in cui la varianza della<br />
popolazione è ignota, si ricorre ad una stima di tale varianza<br />
basata sui dati campionari.<br />
In questi casi utilizzare la formula per il calcolo della varianza<br />
studiata nell’ambito delle statistiche descrittive porta ad una<br />
sottostima della varianza della popolazione.<br />
Si utilizzerà quindi uno stimatore non distorto della varianza<br />
della popolazione, detto varianza campionaria:<br />
s 2 =<br />
n<br />
i (Xi − X) 2<br />
n − 1<br />
Naturalmente la deviazione standard campionaria sarà:<br />
s = √ s 2
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Le bottigliette di birra<br />
In uno stabilimento di birra, una macchina ha il compito di<br />
versare 33 cl di birra in ogni bottiglietta prodotta. <strong>Il</strong><br />
Direttore ha però il sospetto che la macchina non funzioni<br />
correttamente. Per verificare tale ipotesi il Direttore misura<br />
con uno strumento ad alta precisione 8 riempimenti effettuati<br />
dalla macchina selezionandoli in maniera casuale. I risultati<br />
ottenuti sono i seguenti:<br />
33 ; 35 ; 37 ; 33 ; 30 ; 38 ; 34 ; 32<br />
Verificare ad un livello di significatività del 5% (α = 0.05), se<br />
l’eventuale guasto ha prodotto un aumento della quantità di<br />
birra versata dalla macchina.
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Alcune considerazioni<br />
L’esercizio chiede di verificare un’ipotesi monodirezionale<br />
sulla media della popolazione. Rispetto agli esempi visti in<br />
precedenza però, la varianza della popolazione è ignota.<br />
Procederemo quindi stimando la varianza della popolazione<br />
sulla base dei dati campionari e utilizzando il cosiddetto <strong>test</strong><br />
t a campione unico.
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1. La costruzione del sistema di Verifica di Ipotesi<br />
H0 : µ = 33<br />
H1 : µ > 33
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2. Calcolo del valore osservato della statistica <strong>test</strong><br />
Nel caso di <strong>test</strong> t a campione unico la statistica <strong>test</strong> da utilizzare<br />
è la seguente:<br />
X − µX<br />
tOSS = <br />
s<br />
√n<br />
dove:<br />
X è la media campionaria delle osservazioni<br />
µ è la media nella popolazione se vale H0<br />
s è la deviazione standard campionaria delle osservazioni<br />
n la numerosità campionaria<br />
Dalla teoria sappiamo che se vale H0 la statistica <strong>test</strong> si<br />
distribuisce come una t di Student con n − 1 gradi di libertà.
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2. Calcolo del valore osservato della statistica <strong>test</strong>:<br />
Aspetti computazionali<br />
Calcoliamo la media e la deviazione standard campionaria dei dati:<br />
s =<br />
X =<br />
n<br />
i=1 Xi<br />
n<br />
n<br />
i (Xi − X) 2<br />
n − 1<br />
= 34<br />
= 2.619
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2. Calcolo del valore osservato della statistica <strong>test</strong><br />
tOSS =<br />
X − µX 34 − 33<br />
= = 1.080<br />
s 2.619<br />
√n √<br />
8
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3. Confronto tra valore osservato e valore critico<br />
Per prima cosa determiniamo il valore critico del <strong>test</strong> per un<br />
livello di significatività critico pari a α = .05<br />
Essendo il <strong>test</strong> monodirezionale dovremo cercare sulle tavole<br />
statistiche il quantile della distribuzione t di Student con<br />
n − 1, nel nostro caso 8-1 = 7, gradi di libertà che lascia<br />
destra della distribuzione un’area totale di .05.
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3. Confronto tra valore osservato e valore critico<br />
Densità<br />
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5<br />
Distribuzione t di Student con 7 gradi di libertà<br />
Non Posso Rifiutare Ipotesi Nulla<br />
0 t OSS = 1.08 t CRIT = 1.895<br />
t<br />
Rifiuto Ipotesi Nulla<br />
α = 0.05
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3-4. Confronto tra valore osservato e valore critico e<br />
decisione finale<br />
Dall’analisi condotta emerge che il valore osservato della<br />
statistica <strong>test</strong> è inferiore al valore critico.<br />
L’ipotesi nulla che afferma che la media dei riempimenti<br />
effettuati dalla macchina è pari a 33 cl non può essere<br />
rifiutata per un livello di significatività pari al 5%.<br />
... in sostanza, dal punto di vista statistico i dati non<br />
supportano la sensazione del Direttore.
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<strong>Il</strong> battito cardiaco prima e dopo un esame<br />
Nella seguente tabella sono riportati i battiti cardiaci al<br />
minuto di 10 studenti, rilevati prima e dopo che gli studenti<br />
hanno saputo di dover affrontare un compito di latino a<br />
sorpresa.<br />
Codice studente Battiti - Prima Battiti -Dopo<br />
1 60 67<br />
2 66 75<br />
3 73 68<br />
4 62 62<br />
5 74 89<br />
6 63 74<br />
7 64 62<br />
8 65 73<br />
9 71 76<br />
10 72 84<br />
Verificare ad un livello di significatività del 5% (α = 0.05), se<br />
in media i battiti cardiaci sono cambiati tra le due rilevazioni.
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Alcune considerazioni<br />
Considerando che le rilevazioni effettuate si riferiscono agli<br />
stessi soggetti, si può parlare di osservazioni dipendenti o di<br />
dati appaiati.<br />
In ogni coppia di valori rilevati prima e dopo la notizia del<br />
compito a sorpresa, le osservazioni non sono indipendenti ma<br />
si riferiscono allo stessa unità statistica (il soggetto).<br />
In questi casi, quando cioè le osservazioni non sono<br />
indipendenti, il <strong>test</strong> statistico da utilizzare è il <strong>test</strong> t per dati<br />
appaiati.
Introduzione Test t a campione unico Test t per dati appaiati Test t per campioni indipendenti<br />
1. La costruzione del sistema di Verifica di Ipotesi<br />
H0 : µD = 0<br />
H1 : µD = 0<br />
Dove µD e la media delle differenze individuali tra prima e dopo la<br />
notizia del compito nella popolazione da cui è estratto il<br />
campione.
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2. Calcolo del valore osservato della statistica <strong>test</strong><br />
Nel caso di <strong>test</strong> t per dati appaiati la statistica <strong>test</strong> da utilizzare è<br />
la seguente:<br />
D − µD<br />
tOSS = <br />
sD<br />
√n<br />
dove:<br />
D è la media campionaria delle differenze individuali tra<br />
prima e dopo<br />
µ è la media nella popolazione delle differenze individuali tra<br />
prima e dopo se vale H0<br />
sD è la deviazione standard campionaria delle differenze<br />
individuali tra prima e dopo<br />
n la numerosità campionaria<br />
Dalla teoria sappiamo che se vale H0 la statistica <strong>test</strong> si<br />
distribuisce come una t di student con n − 1 gradi di libertà.
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2. Calcolo del valore osservato della statistica <strong>test</strong>:<br />
Aspetti computazionali<br />
Codice studente Battiti - Prima (X1) Battiti -Dopo (X2) D = X2 − X1<br />
1 60 67 7<br />
2 66 75 9<br />
3 73 68 -5<br />
4 62 62 0<br />
5 74 89 15<br />
6 63 74 11<br />
7 64 62 -2<br />
8 65 73 8<br />
9 71 76 5<br />
10 72 84 12<br />
Da cui segue che:<br />
D =<br />
n<br />
i=1 Di<br />
n<br />
= 6 sD =<br />
n<br />
i (Di − D) 2<br />
n − 1<br />
= 6.481
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2. Calcolo del valore osservato della statistica <strong>test</strong><br />
tOSS =<br />
D − µD 6 − 0<br />
= = 2.928<br />
sD 6.481<br />
√n √<br />
10
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3. Confronto tra valore osservato e valore critico<br />
Per prima cosa determiniamo il valore critico del <strong>test</strong> per un<br />
livello di significatività critico pari a α = .05<br />
Essendo il <strong>test</strong> bidirezionale dovremo cercare sulle tavole<br />
statistiche i quantili della distribuzione t di Student con<br />
n − 1, nel nostro caso 10 − 1 = 9, gradi di libertà che<br />
lasciano sulle code di sinistra e destra della distribuzione<br />
un’area totale di .05.<br />
Essendo la distribuzione t simmetrica, ci basterà trovare il<br />
quantile positivo che lascia a destra un’area di probabilità<br />
pari a α/2 = .025. <strong>Il</strong> quantile negativo sarà pari al quantile<br />
positivo moltiplicato per -1.
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3. Confronto tra valore osservato e valore critico<br />
Densità<br />
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5<br />
Distribuzione t di Student con 9 gradi di libertà<br />
Rifiuto Ipotesi Nulla Non Posso Rifiutare Ipotesi Nulla<br />
Rifiuto Ipotesi Nulla<br />
α<br />
= 0.025<br />
2<br />
− t CRIT = − 2.262 0 tCRIT = 2.262 tOSS = 2.928<br />
t<br />
α<br />
= 0.025<br />
2
Introduzione Test t a campione unico Test t per dati appaiati Test t per campioni indipendenti<br />
3-4. Confronto tra valore osservato e valore critico e<br />
decisione finale<br />
Dall’analisi condotta emerge che il valore osservato della<br />
statistica <strong>test</strong> non è compreso tra i valori critici.<br />
L’ipotesi nulla che afferma che la media delle differenze<br />
individuali tra i battiti cardiaci rilevati prima e dopo la notizia<br />
del compito a sorpresa è pari a 0, può essere rifiutata per un<br />
livello di significatività pari al 5%.<br />
... in sostanza, la notizia del compito a sorpresa ha fatto<br />
cambiare in maniera statisticamente significativa il numero di<br />
battiti cardiaci dei soggetti.
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Le cavie nel labirinto<br />
In un laboratorio di ricerca vengono costruiti due labirinti:<br />
labirinto A e labirinto B. A un gruppo di 6 cavie (gruppo A)<br />
viene fatto percorrere il labirinto A e ad un gruppo di altre 6<br />
cavie (gruppo B) il labirinto B. Alla fine dell’esperimento per<br />
ciascuna cavia viene rilevato il tempo impiegato in secondi<br />
per uscire dal labirinto. I dati ottenuti sono:<br />
Gruppo A Gruppo B<br />
16 20<br />
18 21<br />
22 15<br />
22 19<br />
21 19<br />
21 20<br />
Ipotizzando che le varianze dei due gruppi siano omogenee,<br />
verificare ad un livello di significatività del 5% (α = .05) se i<br />
due labirinti presentano una diversa difficoltà.
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Alcune considerazioni<br />
Considerando che le rilevazioni effettuate provengono da due<br />
gruppi che non presentano legami di dipendenza, per<br />
verificare l’ipotesi di ricerca, utilizzeremo il <strong>test</strong> t per<br />
campioni indipendenti.<br />
Per utilizzare tale <strong>test</strong> le varianze dei gruppi devono poter<br />
essere considerate omogenee, in caso contrario esiste una<br />
versione del t <strong>test</strong> per campioni indipendenti (<strong>test</strong> t con<br />
correzione di Welch) che tiene conto della disomogeneità<br />
delle varianze.<br />
Dal punto di vista didattico, per semplicità, ipotizzeremo<br />
sempre l’omogeneità delle varianze.<br />
Dal punto di vista applicativo tuttavia è bene far presente<br />
che la maggior parte dei software statistici permette di<br />
valutare l’omogeneità delle varianze e in caso di<br />
disomogeneità di utilizzare la versione di Welch del <strong>test</strong> t per<br />
campioni indipendenti.
Introduzione Test t a campione unico Test t per dati appaiati Test t per campioni indipendenti<br />
1. La costruzione del sistema di Verifica di Ipotesi<br />
H0 : µa − µb = 0<br />
H1 : µa − µb = 0<br />
L’ipotesi nulla prevede che la differenza tra le medie delle due<br />
popolazioni da cui sono stati estratti i campioni sia pari a 0. In<br />
pratica ciò significa che se vale H0 i due campioni provengono da<br />
una popolazione con media comune.
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2. Calcolo del valore osservato della statistica <strong>test</strong><br />
Nel caso di <strong>test</strong> t per campioni indipendenti la statistica <strong>test</strong> da<br />
utilizzare è la seguente:<br />
<br />
Xa − Xb − (µa − µb)<br />
tOSS = <br />
na + nb<br />
dove:<br />
sab<br />
nanb<br />
sab è la deviazione standard campionaria combinata (pooled)<br />
<br />
sab =<br />
(na − 1)s 2 a + (nb − 1)s 2 b<br />
na + nb − 2<br />
Xa − Xb è la differenza delle medie campionarie<br />
µa − µb è la differenza delle medie delle popolazioni sotto H0<br />
s 2 a e s 2 b sono le varianze campionarie dei due campioni<br />
na e nb sono le numerosità dei due campioni
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2. Calcolo del valore osservato della statistica <strong>test</strong>:<br />
Distribuzione della statistica <strong>test</strong><br />
Nel caso di <strong>test</strong> t per campioni indipendenti la statistica <strong>test</strong> si<br />
distribuisce sotto H0 come una t di student con na + nb − 2<br />
(6 + 6 − 2 = 10, nel nostro caso) gradi di libertà.
Introduzione Test t a campione unico Test t per dati appaiati Test t per campioni indipendenti<br />
2. Calcolo del valore osservato della statistica <strong>test</strong>:<br />
Aspetti computazionali<br />
Xa = 20 Xb = 19<br />
s 2 a = 6 s 2 b<br />
= 4.4<br />
⇒ sab = 2.280
Introduzione Test t a campione unico Test t per dati appaiati Test t per campioni indipendenti<br />
2. Calcolo del valore osservato della statistica <strong>test</strong><br />
tOSS =<br />
<br />
Xa − Xb − (µa − µb)<br />
<br />
na + nb<br />
sab<br />
nanb<br />
= (20 − 19) − (0)<br />
= 0.760<br />
6 + 6<br />
2.280<br />
6 × 6
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3. Confronto tra valore osservato e valore critico<br />
Per prima cosa determiniamo il valore critico del <strong>test</strong> per un<br />
livello di significatività critico pari a α = .05<br />
Essendo il <strong>test</strong> bidirezionale dovremo cercare sulle tavole<br />
statistiche i quantili della distribuzione t di Student con<br />
na + nb − 2 (6 + 6 − 2 = 10, nel nostro caso) gradi di libertà<br />
che lasciano sulle code di sinistra e destra della distribuzione<br />
un’area totale di .05.<br />
Essendo la distribuzione t simmetrica, ci basterà trovare il<br />
quantile positivo che lascia a destra un’area di probabilità<br />
pari a α/2 = .025. <strong>Il</strong> quantile negativo sarà pari al quantile<br />
positivo moltiplicato per -1.
Introduzione Test t a campione unico Test t per dati appaiati Test t per campioni indipendenti<br />
3. Confronto tra valore osservato e valore critico<br />
Densità<br />
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5<br />
Distribuzione t di Student con 10 gradi di libertà<br />
Rifiuto Ipotesi Nulla Non Posso Rifiutare Ipotesi Nulla<br />
Rifiuto Ipotesi Nulla<br />
α<br />
= 0.025<br />
2<br />
− t CRIT = − 2.228 0 tOSS = 0.76 tCRIT = 2.228<br />
t<br />
α<br />
= 0.025<br />
2
Introduzione Test t a campione unico Test t per dati appaiati Test t per campioni indipendenti<br />
3-4. Confronto tra valore osservato e valore critico e<br />
decisione finale<br />
Dall’analisi condotta emerge che il valore osservato della<br />
statistica <strong>test</strong> è compreso tra i valori critici.<br />
L’ipotesi nulla che afferma che i tempi impiegati dalle cavie<br />
per uscire dai labirinti provengano da una popolazione con<br />
una media comune, non può essere rifiutata per un livello di<br />
significatività pari al 5%.<br />
... in sostanza, i dati non supportano dal punto di vista<br />
statistico delle differenze, in termini di tempo impiegato per<br />
uscire, tra i due labirinti.