Capitolo 6 - Ateneonline
Capitolo 6 - Ateneonline
Capitolo 6 - Ateneonline
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Fondamenti di analisi numerica - Maria Laura Lo Cascio<br />
E1-C6 Si consideri la matrice<br />
⎡<br />
2<br />
⎢<br />
A = ⎢ 0.5<br />
⎣ 0<br />
0.5<br />
0.5<br />
−1<br />
0<br />
−0.5<br />
3<br />
⎤<br />
0<br />
0 ⎥<br />
0.5 ⎦<br />
0 0 0.5 1<br />
I. Individuare un insieme cui appartengono gli autovalori di A.<br />
Soluzione<br />
Usiamo i teoremi di Gershgorin per un insieme in cui cadono gli autovalori.<br />
Con riferimento alle notazioni usate nel testo:<br />
per righe per colonne<br />
R1 = |z − 2| ≤ 0.5 S1 = R1<br />
R2 = |z − 0.5| ≤ 1 S2 = |z − 0.5| ≤ 1.5<br />
R3 = |z − 3| ≤ 1.5 S3 = |z − 3| ≤ 1<br />
R4 = |z − 1| ≤ 0.5 S4 = R4<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
−0.5<br />
−1<br />
−1.5<br />
−2<br />
R 2 , R 3<br />
R 1 =S 1 ,R 4 =S 4<br />
S 2 ,S 3<br />
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5<br />
Non esistono unioni<br />
<br />
massimali e quindi gli autovalori di A appartengono<br />
all’insieme (R2 R3) <br />
(S1 S2 S3).<br />
1<br />
Copyright 2008 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.
Fondamenti di analisi numerica - Maria Laura Lo Cascio<br />
2<br />
II. A partire dalle informazioni ottenute al punto I. stabilire se A è definita<br />
positiva.<br />
Soluzione<br />
La matrice non è simmetrica, quindi, indipendentemente dalle informazioni<br />
fornite dai Teoremi di Gershgorin, non può essere definita<br />
positiva.<br />
Copyright 2008 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.
Fondamenti di analisi numerica - Maria Laura Lo Cascio<br />
E2-C6 Sia assegnata la matrice<br />
⎡<br />
1 −1<br />
⎤<br />
0<br />
A = ⎣ −1 4 1 ⎦<br />
0 1 −3<br />
I. Si verifichi che A ammette un autovalore di modulo massimo λ1.<br />
Soluzione<br />
La matrice è simmetrica: utilizziamo i teoremi di Gershgorin per individuare<br />
gli intervalli sull’asse reale in cui cadono gli autovalori.<br />
I1 = [0, 2], I2 = [2, 6], I3 = [−4, −2]<br />
e pertanto la matrice ammette un autovalore in I3 e due autovalori<br />
in I = [0, 6]. Poichè A è tridiagonale, possiamo utilizzare il metodo<br />
di Sturm per vedere se esiste un autovalore in (4, 6], che costituirebbe<br />
l’autovalore di modulo massimo.<br />
p0(λ) = 1 p0(4) = 1<br />
p1(λ) = λ − 1 p1(4) = 3<br />
p2(λ) = (λ − 4)p1(λ) − 1 p2(4) = −1<br />
p3(λ) = (λ + 3)p2(λ) − p1(λ) p3(4) = −10<br />
e quindi esiste un autovalore di modulo massimo λmax > 4.<br />
Osserviamo che questo risultato unito a quanto dedotto dai teoremi di<br />
Gershgorin garantisce che la matrice A ha 3 autovalori distinti, cui corrispondono<br />
autovettori indipendenti ⇒ λmax può essere approssimato<br />
col metodo delle potenze.<br />
II. Si calcolino almeno due iterate successive, β1, β2 del metodo delle potenze,<br />
assumendo v0 = (1, 1, 1) T ; sapendo che |λ2/λ1| ≈ 0.71 si stimi<br />
il numero di iterate sufficienti a ottenere una approssimazione di λ1<br />
arrotondata alla terza cifra decimale.<br />
Soluzione<br />
Scelto v02 = √ 3 ⇒<br />
Step 1. v1 = Av0 = (0, 4, −2) T , µ1 = vT 0 v1<br />
v0 2 2<br />
= 2<br />
3<br />
Step 2. v2 = Av2 = (−4, 14, 10) T , µ2 = vT1 v2 9<br />
=<br />
v12 5<br />
= 1.8<br />
3<br />
Copyright 2008 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.
Fondamenti di analisi numerica - Maria Laura Lo Cascio<br />
4<br />
Una stima del numero di iterate, tenendo conto che la matrice è simmetrica<br />
si ottiene imponendo che sia (λ2/λ1) 2k ≤ 0.5e−03 ed eseguendo<br />
i calcoli si ottiene k ≥ 11.1 ovvero k ≥ 12.<br />
Si suggerisce di esaminare il comportamento del metodo utilizzando<br />
lo script dato nella sezione Laboratorio, variando l’approssimazione<br />
iniziale.<br />
Copyright 2008 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.
Fondamenti di analisi numerica - Maria Laura Lo Cascio<br />
E3-C6 Si consideri la matrice<br />
⎡<br />
A = ⎣<br />
−2 −1 0<br />
−1 −2 1<br />
0 1 −3<br />
I. Determinare l’insieme cui appartengono gli autovalori di A.<br />
Soluzione<br />
Ricorrendo al Teorema di Gershgorin e tenendo conto che la matrice è<br />
simmetrica, si individuano gli intervalli<br />
I1 = [−3, −1], I1 = [0, 4], I1 = [−4, −2]<br />
e A ammette 2 autovalori in [−4, −1] e 1 autovalore in [0, 4].<br />
II. Utilizzare il metodo di Sturm per separare gli autovalori e stabilire se<br />
A ammette un unico autovalore di modulo minimo.<br />
Soluzione<br />
La successione di Sturm è<br />
che per λ = 1 fornisce<br />
⎤<br />
⎦<br />
p0(λ) = 1, p1(λ) = λ + 2<br />
p2(λ) = (λ + 2)p1(λ) − 1<br />
p3(λ) = (λ + 3)p2(λ) − p1(λ)<br />
p0(1) = 1, p1(1) = 3, p2(1) = 5, p3(1) = 17 ⇒<br />
non ci sono autovalori λ ≥ 1 e quindi esiste un unico autovalore di<br />
modulo minimo λmin ∈ [0, 1).<br />
Per separare gli autovalori negativi assumiamo λ = −3:<br />
p0(−3) = 1, p1(−3) = −1, p2(−3) = 0, p3(−3) = 1 ⇒<br />
esistono 2 autovalori maggiori di −3 e quindi infine A ha 3 autovalori<br />
distinti<br />
λ1 ∈ [−4, −3), λ2 ∈ (−3, −1], λ3 = λmin ∈ [0, 1)<br />
5<br />
Copyright 2008 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.
Fondamenti di analisi numerica - Maria Laura Lo Cascio<br />
6<br />
E4-C6 Si consideri la matrice<br />
⎡<br />
2α<br />
⎢<br />
M = ⎢ 1<br />
⎣ 0<br />
1<br />
0<br />
1/2<br />
0<br />
1/2<br />
−3<br />
⎤<br />
−1<br />
0 ⎥<br />
−1 ⎦<br />
−1 0 −1 4<br />
I. Determinare una condizione sufficiente su α atta ad assicurare che la<br />
matrice ammette un autovalore dominante isolato.<br />
Soluzione<br />
La matrice è simmetrica. Dal 1 o Teorema di Gershgorin si ottiene<br />
I1 = [2α−1, 2α+1], I2 = [−1.5, 1.5], I3 = [−4.5, −1.5], I4 = [2, 6]<br />
e quindi una condizione sufficiente a garantire l’esistenza di un autovalore<br />
di modulo massimo si ottiene imponendo che sia 2α −1 > 6 oppure<br />
2α + 1 < −4.5 ⇔ α > 3.5, α < −2.75<br />
II. Per tutti i valori di α individuati al punto I. è possibile approssimare<br />
l’autovalore di modulo massimo con il metodo delle potenze?<br />
Soluzione<br />
Si perchè la simmetria assicura l’esistenza di n = 4 autovettori linearmente<br />
indipendenti.<br />
III. Assunto α = −2 si calcolino due approssimazioni successive β1, β2,<br />
dell’autovalore dominante, giustificando la scelta dell’approssimazione<br />
iniziale.<br />
Soluzione<br />
Per α = −2 non è affatto garantita l’esistenza di un autovalore di<br />
modulo massimo perchè I1 e I4 sono simmetricamente disposti, quindi<br />
potrebbe esserci un autovalore positivo e uno negativo aventi lo stesso<br />
modulo.<br />
Proviamo ad applicare il metodo delle potenze assumendo come v0 un<br />
versore del sistema di riferimento (v. sezione Laboratorio)<br />
a) v0 = (0, 0, 0, 1) T : v1 = (−1, 0, −1, 4) T , µ1 = 4, centro dell’ultimo<br />
intervallo ; v2 = (0, −1.5, −1, 18) T , µ2 ≈ 4.0556;<br />
b) v0 = (1, 0, 0, 0) T : v1 = (−4, 1, 0, −1) T , µ1 = −4, centro del primo<br />
intervallo; v2 = (18, −4, −1.5, 0) T , µ2 ≈ −4.2222.<br />
Copyright 2008 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.
Fondamenti di analisi numerica - Maria Laura Lo Cascio<br />
Dalle prime iterate non è possibile stabilire se il metodo converge: si applichi<br />
lo script dato nella sezione Laboratorio e si verifichi che il metodo<br />
converge all’autovalore dominate (negativo) ma, poichè |λ2/λ1| ≈ 0.97,<br />
con la condizione d’arresto |µk+1 − µk| ≤ 1.e − 07, si eseguono 340 iterate<br />
nel caso a) e 200 iterate nel caso b) e il valore ottenuto ha solo 5<br />
cifre decimali esatte.<br />
7<br />
Copyright 2008 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.
Fondamenti di analisi numerica - Maria Laura Lo Cascio<br />
8<br />
Domande di verifica Cap. 6<br />
1. Si può affermare che se l’autovalore di modulo massimo di A ∈ R n×n è<br />
complesso il metodo delle potenze non converge?<br />
SI perchè esiste anche l’autovalore complesso coniugato (di uguale modulo).<br />
2. Il metodo di Sturm consente di isolare gli autovalori di una matrice<br />
tridiagonale.<br />
VERO<br />
3. Se il polinomio caratteristico di A ha solo zeri reali e simmetrici rispetto<br />
all’origine il metodo delle potenze non converge.<br />
VERO esistono due autovalori di modulo uguale e segno opposto.<br />
4. Se A è simmetrica il metodo QR fornisce una matrice diagonale.<br />
SI il metodo QR mantiene la simmetria e una matrice triangolare<br />
simmetrica è necessariamente diagonale.<br />
Copyright 2008 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.