108. Felix Klein e il programma di Erlangen, quadro storico ...
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leghi dell’Università <strong>di</strong> <strong>Erlangen</strong> possano seguire<br />
la sua relazione. <strong>Klein</strong> è quin<strong>di</strong> perfettamente cosciente<br />
che <strong>il</strong> saggio de<strong>di</strong>cato alle Considerazioni<br />
comparative sulle recenti ricerche geometriche ha un<br />
valore puramente accademico. Questa circostanza<br />
spinge a chiedersi quando e perché quel lavoro<br />
sia <strong>di</strong>ventato <strong>il</strong> celeberrimo Programma <strong>di</strong> <strong>Erlangen</strong>.<br />
Le ragioni sembrano essere <strong>di</strong> due tipi. Da<br />
un lato, la rapida carriera accademica <strong>di</strong> <strong>Klein</strong>;<br />
dall’altro, <strong>il</strong> trionfo dell’immagine che egli aveva<br />
della geometria, della matematica e più in generale<br />
della scienza.<br />
Con l’ingresso all’università e la contestuale prematura<br />
scomparsa <strong>di</strong> Clebsch, <strong>Klein</strong> <strong>di</strong>venta <strong>di</strong> fatto<br />
un punto <strong>di</strong> riferimento, oltre che della propria<br />
sede universitaria, anche della prestigiosa scuola<br />
geometrica <strong>di</strong> Gottinga. La sua carriera continua a<br />
procedere spe<strong>di</strong>ta. Alla morte <strong>di</strong> Clebsch, assume<br />
la <strong>di</strong>rezione dei Mathematische Annalen. Nel 1875,<br />
sposa Anne Hegel, nipote del famoso f<strong>il</strong>osofo, e si<br />
trasferisce a Lipsia. Nel 1886, corona <strong>il</strong> proprio sogno<br />
d’insegnare a Gottinga, sua sede definitiva<br />
d’insegnamento. <strong>Klein</strong> lascia l’università nel 1913<br />
per motivi <strong>di</strong> salute e muore a Gottinga nel 1925.<br />
Quando lascia l’Università <strong>di</strong> Lipsia per trasferirsi<br />
a Gottinga, <strong>Klein</strong> ottiene che <strong>il</strong> posto resosi vacante<br />
a causa del proprio trasferimento venga occupato<br />
da Lie. Il costituirsi <strong>di</strong> un polo unitario <strong>di</strong><br />
ricerca fra Lipsia e Gottinga è una vittoria <strong>di</strong><br />
<strong>Klein</strong> nei confronti dei matematici <strong>di</strong> Berlino.<br />
Si è già detto che <strong>il</strong> lavoro del 1872 è, in certa misura,<br />
<strong>il</strong> frutto della collaborazione fra <strong>Klein</strong> e Lie.<br />
La collaborazione fra i due autori prosegue, serrata<br />
e fert<strong>il</strong>e, anche negli anni che seguono. Tra <strong>il</strong><br />
1876 e <strong>il</strong> 1879, Lie pubblica la Theorie der Transformationsgruppen<br />
(Teoria dei gruppi <strong>di</strong> trasformazioni)<br />
e completa i suoi stu<strong>di</strong> sui gruppi continui<br />
<strong>di</strong> trasformazioni fra <strong>il</strong> 1888 e <strong>il</strong> 1896, con<br />
un volume de<strong>di</strong>cato alla Geometrìe der Berùhrungstransformationen<br />
(Geometria delle trasformazioni<br />
per contatto). <strong>Klein</strong>, da parte sua, perviene<br />
alla classificazione dei gruppi <strong>di</strong>scontinui,<br />
nel 1884 pubblica le Vorlesungen über das Ikosaeder<br />
und <strong>di</strong>e Auflosung der Gleichungen vom funften<br />
Grade (Lezioni sull’icosaedro e la risoluzione delle<br />
equazioni <strong>di</strong> quinto grado) e fra <strong>il</strong> 1890-92, le<br />
Vorlesungen über <strong>di</strong>e Theorie der elliptischen Modulfunktionen<br />
(Lezioni sulla teoria delle funzioni<br />
modulari ellittiche).<br />
matematicamente.it<br />
• Numero 9 – Maggio 2009 •<br />
17<br />
Nell’ultimo decennio del secolo, la teoria dei<br />
gruppi <strong>di</strong> trasformazioni è considerata essenziale<br />
per gli sv<strong>il</strong>uppi della matematica. In ragione <strong>di</strong><br />
ciò, <strong>Klein</strong> e Lie <strong>di</strong>ventano gli in<strong>di</strong>scussi maestri<br />
delle nuove generazioni <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>osi. Ai loro insegnamenti<br />
fanno capo matematici <strong>di</strong> <strong>di</strong>versa formazione<br />
e provenienza: i francesi É. Picard, G.<br />
Darboux e H. Poincaré, l’inglese E. Study, gli italiani<br />
G. Fano, G. Veronese, L. Bianchi.<br />
Sono perciò gli sv<strong>il</strong>uppi della teoria dei gruppi <strong>di</strong><br />
trasformazioni, continui e <strong>di</strong>scontinui, a conferire<br />
portata storica al saggio del 1872. Accade così che,<br />
nel 1890, Corrado Segre affi<strong>di</strong> a G. Fano la traduzione<br />
italiana del testo ormai ritenuto un classico.<br />
Nell’anno successivo, appare l’e<strong>di</strong>zione francese,<br />
alla quale fanno seguito, nel 1893, sia l’e<strong>di</strong>zione<br />
inglese, sia una ristampa sui Mathematìsche Annalen.<br />
Quest’ultima appare per la prima volta con <strong>il</strong><br />
sottotitolo Programma per l’ingresso alla Facoltà <strong>di</strong><br />
F<strong>il</strong>osofia, presentato al Senato della Reale Università<br />
Federico-Alessandro <strong>di</strong> <strong>Erlangen</strong>. Da quel momento,<br />
<strong>il</strong> saggio Considerazioni comparative sulle recenti<br />
ricerche geometriche acquista storicamente <strong>il</strong> nome<br />
<strong>di</strong> “Programma <strong>di</strong> <strong>Erlangen</strong>”.<br />
Un’ultima annotazione. Nel 1906, quando Poincaré<br />
interpreta la relatività assumendo le trasformazioni<br />
lorentziane come un gruppo, offre ampia<br />
prova che anche la moderna fisica teorica può<br />
essere ricondotta allo stu<strong>di</strong>o delle proprietà invarianti<br />
rispetto a un particolare gruppo <strong>di</strong> trasformazioni.<br />
Riferimenti bibliografici<br />
[1] A. CAYLEY, A sìxth memoir upon quantics,<br />
«Ph<strong>il</strong>osophical Transactions of thè Rovai Society<br />
of London», 149 (1859), pp. 61-90.<br />
[2] F. KLEIN e S. LIE, Deux notes sur une certame<br />
fam<strong>il</strong>le de courbes et de surfaces, «Comptes rendus<br />
de l’Académie des Sciences», 70 (1870), presentate<br />
da M. Chasles rispettivamente <strong>il</strong> 6 e <strong>il</strong> 13 giugno<br />
1870. In Gesammelte mathema-tische Abhandlungen,<br />
cit., I, pp. 416-423.<br />
[3] C. JORDAN, Traité des substitutions et des équatìons<br />
algébrìques, Paris, Gauthier-V<strong>il</strong>lars, 1870.<br />
[4] F. KLEIN, Ùber <strong>di</strong>e sogenannte Nicht-Eukli<strong>di</strong>sche<br />
Geometrie [Sulla cosiddetta geometria non<br />
euclidea], «Nachrichten von der Kòniglichen Gesellschaft<br />
der Wissenschaften zu Gòttigen», 17