vedi capitolo 1 - Ateneonline
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Matematica discreta<br />
Costantino Delizia<br />
Patrizia Longobardi<br />
Mercede Maj<br />
Chiara Nicotera<br />
Editore McGraw-Hill<br />
C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera MATEMATICA DISCRETA Copyright McGraw-Hill
Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.1. Nozioni fondamentali<br />
Rappresentazione tramite diagramma di Venn di un insieme S<br />
C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera MATEMATICA DISCRETA Copyright McGraw-Hill<br />
S
Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.1. Nozioni fondamentali<br />
S ⊆ T<br />
C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera MATEMATICA DISCRETA Copyright McGraw-Hill<br />
S<br />
T
Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.1. Nozioni fondamentali<br />
1.1.1. Con S, T e V insiemi, risulta:<br />
(S ⊂ T , T ⊆ V ) =⇒ S ⊂ V ,<br />
(S ⊆ T , T ⊂ V ) =⇒ S ⊂ V .<br />
C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera MATEMATICA DISCRETA Copyright McGraw-Hill
Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.2. Alcuni insiemi numerici notevoli<br />
1.2.1. Proprietà di tricotomia. Per ogni a, b ∈ N0 sussiste una e una sola delle<br />
seguenti: a < b, b < a, a = b.<br />
1.2.2. Se a, b, c ∈ N0 sono tali che a ≤ b, allora hanno senso bc − ac e cb − ca e si ha:<br />
(b − a)c = bc − ac<br />
c(b − a) = cb − ca.<br />
1.2.3. Con a, b, c, d ∈ N0, se a|b e c|d allora ac|bd. Ne segue che se a|b e n ∈ N0<br />
allora an|bn, e quindi anche a|bn.<br />
1.2.4. Se p è un primo e p divide il prodotto ab, con a, b ∈ N, allora p divide a o p<br />
divide b.<br />
1.2.5. Teorema fondamentale dell’aritmetica (in N). Sia n ≥ 2 un numero naturale.<br />
Allora si ha n = p1p2 . . . pt, con t ≥ 1 e p1, p2, . . . , pt primi. Inoltre tale scrittura è<br />
unica a meno dell’ordine dei fattori.<br />
C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera MATEMATICA DISCRETA Copyright McGraw-Hill
Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.2. Alcuni insiemi numerici notevoli<br />
1.2.6. Con a, b ∈ Z, risulta: a(−b) = −(ab) = (−a)b.<br />
1.2.7. Con a, b, c ∈ Z, risulta:<br />
a(b − c) = ab − ac, (a − b)c = ac − bc<br />
(proprietà distributiva del prodotto rispetto alla sottrazione).<br />
1.2.8. Con a, b, c, d ∈ Z, risulta:<br />
a ≤ a<br />
a ≤ b, b ≤ a =⇒ a = b<br />
a ≤ b, b ≤ c =⇒ a ≤ c<br />
a ≤ a + 1<br />
a ≤ b, c ≤ d =⇒ a + c ≤ b + d<br />
a ≤ b, c ≤ d =⇒ ac ≤ bd.<br />
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Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.2. Alcuni insiemi numerici notevoli<br />
1.2.9. Con a, b, c ∈ Z, risulta:<br />
Ne segue che:<br />
a ≤ b, 0 ≤ c =⇒ ac ≤ bc,<br />
a ≤ b, c < 0 =⇒ bc ≤ ac,<br />
a < b, 0 < c =⇒ ac < bc,<br />
a < b, c < 0 =⇒ bc < ac.<br />
0 ≤ a ⇐⇒ −a ≤ 0,<br />
a ≤ 0 ⇐⇒ 0 ≤ −a,<br />
0 ≤ a, 0 ≤ b =⇒ 0 ≤ ab,<br />
0 < a, 0 < b =⇒ 0 < ab,<br />
0 ≤ a, b ≤ 0 =⇒ ab ≤ 0,<br />
0 < a, b < 0 =⇒ ab < 0,<br />
a ≤ 0, b ≤ 0 =⇒ 0 ≤ ab,<br />
a < 0, b < 0 =⇒ 0 < ab.<br />
C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera MATEMATICA DISCRETA Copyright McGraw-Hill
Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.2. Alcuni insiemi numerici notevoli<br />
1.2.10. Con a, b, c ∈ Z si ha:<br />
8<br />
a|0, 1|a, ∀a ∈ Z,<br />
0|b ⇐⇒ b = 0,<br />
a|a, ∀a ∈ Z,<br />
><<br />
a|b, b|c =⇒ a|c,<br />
a|b, b|c =⇒ a|b + c,<br />
a|b + c, a|b =⇒ a|c,<br />
− 1|a, (−a)|a,<br />
>:<br />
a|b ⇐⇒ (−a)|b,<br />
a|b ⇐⇒ a|(−b).<br />
1.2.11. Con a, b ∈ Z, risulta a|b e b|a ⇐⇒ b = a oppure b = −a.<br />
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Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.3. Il principio d’induzione<br />
1.3.1. Prima forma del principio d’induzione. Sia n un numero naturale e sia P una<br />
proprietà relativa ai numeri naturali n ≥ n. La proprietà P è vera per ogni naturale<br />
n ≥ n se P è vera per n e P è vera per t + 1 ogniqualvolta è vera per t (con t ≥ n). Si<br />
ha cioè:<br />
ff<br />
(j) P vera per n<br />
=⇒ P vera per n, ∀n ≥ n.<br />
(jj) t ≥ n, P vera per t =⇒ P vera per t + 1<br />
1.3.2. Algoritmo della divisione in N0 N0 N0. Considerato un numero naturale b = 0, per<br />
ogni n ∈ N0 esistono (e sono univocamente determinati) naturali q ed r tali che<br />
n = bq + r, con r < b.<br />
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Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.4. Operazioni tra insiemi<br />
S<br />
S ∪ T<br />
C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera MATEMATICA DISCRETA Copyright McGraw-Hill<br />
T
Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.4. Operazioni tra insiemi<br />
1.4.1. Con S e T insiemi, si ha:<br />
1.4.2. Siano S, T , V e W insiemi. Allora:<br />
quindi:<br />
1.4.3. Con S, T , V e W insiemi, si ha:<br />
T ⊆ S ⇐⇒ S ∪ T = S.<br />
S ⊆ T , V ⊆ W =⇒ S ∪ V ⊆ T ∪ W ,<br />
S ⊆ T =⇒ S ∪ V ⊆ T ∪ V ,<br />
S ⊆ T , V ⊆ T =⇒ S ∪ V ⊆ T .<br />
S ⊂ T , V ⊂ W =⇒ / S ∪ V ⊂ T ∪ W ,<br />
S ⊂ T =⇒ / S ∪ V ⊂ T ∪ V ,<br />
S ⊂ T , V ⊂ T =⇒ / S ∪ V ⊂ T .<br />
C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera MATEMATICA DISCRETA Copyright McGraw-Hill
Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.4. Operazioni tra insiemi<br />
S<br />
S ∩ T<br />
C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera MATEMATICA DISCRETA Copyright McGraw-Hill<br />
T
Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.4. Operazioni tra insiemi<br />
1.4.4. Con S e T insiemi, si ha:<br />
1.4.5. Con S, T , V e W insiemi, si ha:<br />
quindi:<br />
T ⊆ S ⇐⇒ S ∩ T = T .<br />
S ⊆ T , V ⊆ W =⇒ S ∩ V ⊆ T ∩ W ,<br />
S ⊆ T =⇒ S ∩ V ⊆ T ∩ V ,<br />
S ⊆ T , S ⊆ W =⇒ S ⊆ T ∩ W .<br />
C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera MATEMATICA DISCRETA Copyright McGraw-Hill
Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.4. Operazioni tra insiemi<br />
1.4.6.Con S, T e V insiemi si ha:<br />
S ∪ (T ∩ V ) = (S ∪ T ) ∩ (S ∪ V )<br />
(S ∩ T ) ∪ V = (S ∪ V ) ∩ (T ∪ V )<br />
(proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione);<br />
S ∩ (T ∪ V ) = (S ∩ T ) ∪ (S ∩ V )<br />
(S ∪ T ) ∩ V = (S ∩ V ) ∪ (T ∩ V )<br />
(proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione).<br />
1.4.7. Siano S e T insiemi. Allora:<br />
S ∪ (S ∩ T ) = S = S ∩ (S ∪ T ) (leggi di assorbimento).<br />
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Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.4. Operazioni tra insiemi<br />
1.4.8. Sia F un insieme di insiemi e sia T un insieme. Si ha:<br />
X ⊆ T , per ogni X ∈ F =⇒ [<br />
X ⊆ T ,<br />
X ∈F<br />
T ⊆ X , per ogni X ∈ F =⇒ T ⊆ \<br />
X .<br />
1.4.9. Siano S un insieme e F un insieme di insiemi. Si ha:<br />
0<br />
S ∪ @ \<br />
1<br />
X A = \<br />
(S ∪ X )<br />
X ∈F<br />
X ∈F<br />
X ∈F<br />
(proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione),<br />
0<br />
S ∩ @ [<br />
1<br />
X A = [<br />
(S ∩ X )<br />
X ∈F<br />
X ∈F<br />
(proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione).<br />
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Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.4. Operazioni tra insiemi<br />
S<br />
S \ T<br />
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T
Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.4. Operazioni tra insiemi<br />
1.4.10. Con S e T insiemi, risulta: S \ T = S \ (S ∩ T ).<br />
1.4.11. Con S e T insiemi, si ha:<br />
1.4.12. Con S, T e V insiemi, si ha:<br />
S \ T = S ⇐⇒ S ∩ T = Ø,<br />
S \ T = Ø ⇐⇒ S ⊆ T .<br />
(S ∪ T ) \ V = (S \ V ) ∪ (T \ V )<br />
(proprietà distributiva a destra del complemento rispetto all’unione),<br />
(S ∩ T ) \ V = (S \ V ) ∩ (T \ V )<br />
(proprietà distributiva a destra del complemento rispetto all’intersezione).<br />
1.4.13. Formule di De Morgan. Con S, T e V insiemi, si ha:<br />
S \ (T ∪ V ) = (S \ T ) ∩ (S \ V )<br />
S \ (T ∩ V ) = (S \ T ) ∪ (S \ V ).<br />
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Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.4. Operazioni tra insiemi<br />
S<br />
S ˙∪ T<br />
C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera MATEMATICA DISCRETA Copyright McGraw-Hill<br />
T
Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.4. Operazioni tra insiemi<br />
1.4.14. Con S, T , V insiemi si ha:<br />
S ˙∪ T = T ˙∪ S<br />
(proprietà commutativa dell’unione disgiunta);<br />
(S ˙∪ T ) ˙∪ V = S ˙∪ (T ˙∪ V )<br />
(proprietà associativa dell’unione disgiunta);<br />
S ˙∪ Ø = S<br />
(Ø elemento neutro rispetto all’unione disgiunta);<br />
S ˙∪ S = Ø.<br />
1.4.15. Con S, T , V insiemi si ha:<br />
S ∩ (T ˙∪ V ) = (S ∩ T ) ˙∪ (S ∩ V )<br />
(S ˙∪ T ) ∩ V = (S ∩ V ) ˙∪ (T ∩ V )<br />
(distributività dell’intersezione rispetto all’unione disgiunta).<br />
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Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.5. Prodotto cartesiano<br />
1.5.1. Se S, T , V e W sono insiemi non vuoti, si ha:<br />
S × T = V × W ⇐⇒ S = V e T = W .<br />
1.5.2. Se S e T sono insiemi si ha:<br />
S × T = T × S ⇐⇒ S = Ø o T = Ø o S = T<br />
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Capitolo 1. Teoria degli insiemi<br />
1.5. Prodotto cartesiano<br />
1.5.3. Con S, T e V insiemi, si ha:<br />
(S ∪ V ) × T = (S × T ) ∪ (V × T )<br />
(proprietà distributiva a destra del prodotto rispetto all’unione),<br />
(S ∩ V ) × T = (S × T ) ∩ (V × T )<br />
(proprietà distributiva a destra del prodotto rispetto all’intersezione),<br />
(S \ V ) × T = (S × T ) \ (V × T )<br />
(proprietà distributiva a destra del prodotto rispetto al complemento).<br />
1.5.4. Con S, T e V insiemi, si ha:<br />
S × (T ∪ V ) = (S × T ) ∪ (S × V )<br />
(proprietà distributiva a sinistra del prodotto rispetto all’unione),<br />
S × (T ∩ V ) = (S × T ) ∩ (S × V )<br />
(proprietà distributiva a sinistra del prodotto rispetto all’intersezione),<br />
S × (T \ V ) = (S × T ) \ (S × V )<br />
(proprietà distributiva a sinistra del prodotto rispetto al complemento).<br />
C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera MATEMATICA DISCRETA Copyright McGraw-Hill