vedi capitolo 1 - Ateneonline

Matematica discreta 

Costantino Delizia 

Patrizia Longobardi 

Mercede Maj 

Chiara Nicotera 

Editore McGraw-Hill 

C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera MATEMATICA DISCRETA Copyright McGraw-Hill

Capitolo 1. Teoria degli insiemi 

1.1. Nozioni fondamentali 

Rappresentazione tramite diagramma di Venn di un insieme S 

C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera MATEMATICA DISCRETA Copyright McGraw-Hill 

S



S ⊆ T 


S 

T



1.1.1. Con S, T e V insiemi, risulta: 

(S ⊂ T , T ⊆ V ) =⇒ S ⊂ V , 

(S ⊆ T , T ⊂ V ) =⇒ S ⊂ V . 



1.2. Alcuni insiemi numerici notevoli 

1.2.1. Proprietà di tricotomia. Per ogni a, b ∈ N0 sussiste una e una sola delle 

seguenti: a < b, b < a, a = b. 

1.2.2. Se a, b, c ∈ N0 sono tali che a ≤ b, allora hanno senso bc − ac e cb − ca e si ha: 

(b − a)c = bc − ac 

c(b − a) = cb − ca. 

1.2.3. Con a, b, c, d ∈ N0, se a|b e c|d allora ac|bd. Ne segue che se a|b e n ∈ N0 

allora an|bn, e quindi anche a|bn. 

1.2.4. Se p è un primo e p divide il prodotto ab, con a, b ∈ N, allora p divide a o p 

divide b. 

1.2.5. Teorema fondamentale dell’aritmetica (in N). Sia n ≥ 2 un numero naturale. 

Allora si ha n = p1p2 . . . pt, con t ≥ 1 e p1, p2, . . . , pt primi. Inoltre tale scrittura è 

unica a meno dell’ordine dei fattori. 




1.2.6. Con a, b ∈ Z, risulta: a(−b) = −(ab) = (−a)b. 

1.2.7. Con a, b, c ∈ Z, risulta: 

a(b − c) = ab − ac, (a − b)c = ac − bc 

(proprietà distributiva del prodotto rispetto alla sottrazione). 

1.2.8. Con a, b, c, d ∈ Z, risulta: 

a ≤ a 

a ≤ b, b ≤ a =⇒ a = b 

a ≤ b, b ≤ c =⇒ a ≤ c 

a ≤ a + 1 

a ≤ b, c ≤ d =⇒ a + c ≤ b + d 

a ≤ b, c ≤ d =⇒ ac ≤ bd. 




1.2.9. Con a, b, c ∈ Z, risulta: 

Ne segue che: 

a ≤ b, 0 ≤ c =⇒ ac ≤ bc, 

a ≤ b, c < 0 =⇒ bc ≤ ac, 

a < b, 0 < c =⇒ ac < bc, 

a < b, c < 0 =⇒ bc < ac. 

0 ≤ a ⇐⇒ −a ≤ 0, 

a ≤ 0 ⇐⇒ 0 ≤ −a, 

0 ≤ a, 0 ≤ b =⇒ 0 ≤ ab, 

0 < a, 0 

0 ≤ a, b ≤ 0 =⇒ ab ≤ 0, 

0 < a, b < 0 =⇒ ab < 0, 

a ≤ 0, b ≤ 0 =⇒ 0 ≤ ab, 

a < 0, b < 0 =⇒ 0 < ab. 




1.2.10. Con a, b, c ∈ Z si ha: 

8 

a|0, 1|a, ∀a ∈ Z, 

0|b ⇐⇒ b = 0, 

a|a, ∀a ∈ Z, 

>< 

a|b, b|c =⇒ a|c, 

a|b, b|c =⇒ a|b + c, 

a|b + c, a|b =⇒ a|c, 

− 1|a, (−a)|a, 

>: 

a|b ⇐⇒ (−a)|b, 

a|b ⇐⇒ a|(−b). 

1.2.11. Con a, b ∈ Z, risulta a|b e b|a ⇐⇒ b = a oppure b = −a. 



1.3. Il principio d’induzione 

1.3.1. Prima forma del principio d’induzione. Sia n un numero naturale e sia P una 

proprietà relativa ai numeri naturali n ≥ n. La proprietà P è vera per ogni naturale 

n ≥ n se P è vera per n e P è vera per t + 1 ogniqualvolta è vera per t (con t ≥ n). Si 

ha cioè: 

ff 

(j) P vera per n 

=⇒ P vera per n, ∀n ≥ n. 

(jj) t ≥ n, P vera per t =⇒ P vera per t + 1 

1.3.2. Algoritmo della divisione in N0 N0 N0. Considerato un numero naturale b = 0, per 

ogni n ∈ N0 esistono (e sono univocamente determinati) naturali q ed r tali che 

n = bq + r, con r < b. 



1.4. Operazioni tra insiemi 

S 

S ∪ T 


T



1.4.1. Con S e T insiemi, si ha: 

1.4.2. Siano S, T , V e W insiemi. Allora: 

quindi: 

1.4.3. Con S, T , V e W insiemi, si ha: 

T ⊆ S ⇐⇒ S ∪ T = S. 

S ⊆ T , V ⊆ W =⇒ S ∪ V ⊆ T ∪ W , 

S ⊆ T =⇒ S ∪ V ⊆ T ∪ V , 

S ⊆ T , V ⊆ T =⇒ S ∪ V ⊆ T . 

S ⊂ T , V ⊂ W =⇒ / S ∪ V ⊂ T ∪ W , 

S ⊂ T =⇒ / S ∪ V ⊂ T ∪ V , 

S ⊂ T , V ⊂ T =⇒ / S ∪ V ⊂ T . 




S 

S ∩ T 


T




1.4.5. Con S, T , V e W insiemi, si ha: 

quindi: 

T ⊆ S ⇐⇒ S ∩ T = T . 

S ⊆ T , V ⊆ W =⇒ S ∩ V ⊆ T ∩ W , 

S ⊆ T =⇒ S ∩ V ⊆ T ∩ V , 

S ⊆ T , S ⊆ W =⇒ S ⊆ T ∩ W . 




1.4.6.Con S, T e V insiemi si ha: 

S ∪ (T ∩ V ) = (S ∪ T ) ∩ (S ∪ V ) 

(S ∩ T ) ∪ V = (S ∪ V ) ∩ (T ∪ V ) 

(proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione); 

S ∩ (T ∪ V ) = (S ∩ T ) ∪ (S ∩ V ) 

(S ∪ T ) ∩ V = (S ∩ V ) ∪ (T ∩ V ) 

(proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione). 

1.4.7. Siano S e T insiemi. Allora: 

S ∪ (S ∩ T ) = S = S ∩ (S ∪ T ) (leggi di assorbimento). 




1.4.8. Sia F un insieme di insiemi e sia T un insieme. Si ha: 

X ⊆ T , per ogni X ∈ F =⇒ [ 

X ⊆ T , 

X ∈F 

T ⊆ X , per ogni X ∈ F =⇒ T ⊆ \ 

X . 

1.4.9. Siano S un insieme e F un insieme di insiemi. Si ha: 

0 

S ∪ @ \ 

1 

X A = \ 

(S ∪ X ) 

X ∈F 

X ∈F 

X ∈F 

(proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione), 

0 

S ∩ @ [ 

1 

X A = [ 

(S ∩ X ) 

X ∈F 

X ∈F 

(proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione). 




S 

S \ T 


T



1.4.10. Con S e T insiemi, risulta: S \ T = S \ (S ∩ T ). 


1.4.12. Con S, T e V insiemi, si ha: 

S \ T = S ⇐⇒ S ∩ T = Ø, 

S \ T = Ø ⇐⇒ S ⊆ T . 

(S ∪ T ) \ V = (S \ V ) ∪ (T \ V ) 

(proprietà distributiva a destra del complemento rispetto all’unione), 

(S ∩ T ) \ V = (S \ V ) ∩ (T \ V ) 

(proprietà distributiva a destra del complemento rispetto all’intersezione). 

1.4.13. Formule di De Morgan. Con S, T e V insiemi, si ha: 

S \ (T ∪ V ) = (S \ T ) ∩ (S \ V ) 

S \ (T ∩ V ) = (S \ T ) ∪ (S \ V ). 




S 

S ˙∪ T 


T



1.4.14. Con S, T , V insiemi si ha: 

S ˙∪ T = T ˙∪ S 

(proprietà commutativa dell’unione disgiunta); 

(S ˙∪ T ) ˙∪ V = S ˙∪ (T ˙∪ V ) 

(proprietà associativa dell’unione disgiunta); 

S ˙∪ Ø = S 

(Ø elemento neutro rispetto all’unione disgiunta); 

S ˙∪ S = Ø. 

1.4.15. Con S, T , V insiemi si ha: 

S ∩ (T ˙∪ V ) = (S ∩ T ) ˙∪ (S ∩ V ) 

(S ˙∪ T ) ∩ V = (S ∩ V ) ˙∪ (T ∩ V ) 

(distributività dell’intersezione rispetto all’unione disgiunta). 



1.5. Prodotto cartesiano 

1.5.1. Se S, T , V e W sono insiemi non vuoti, si ha: 

S × T = V × W ⇐⇒ S = V e T = W . 

1.5.2. Se S e T sono insiemi si ha: 

S × T = T × S ⇐⇒ S = Ø o T = Ø o S = T 



1.5. Prodotto cartesiano 


(S ∪ V ) × T = (S × T ) ∪ (V × T ) 

(proprietà distributiva a destra del prodotto rispetto all’unione), 

(S ∩ V ) × T = (S × T ) ∩ (V × T ) 

(proprietà distributiva a destra del prodotto rispetto all’intersezione), 

(S \ V ) × T = (S × T ) \ (V × T ) 

(proprietà distributiva a destra del prodotto rispetto al complemento). 


S × (T ∪ V ) = (S × T ) ∪ (S × V ) 

(proprietà distributiva a sinistra del prodotto rispetto all’unione), 

S × (T ∩ V ) = (S × T ) ∩ (S × V ) 

(proprietà distributiva a sinistra del prodotto rispetto all’intersezione), 

S × (T \ V ) = (S × T ) \ (S × V ) 

(proprietà distributiva a sinistra del prodotto rispetto al complemento).

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