download(PDF) - Dipartimento di Ingegneria dell'Informazione

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Intelligenza Artificiale
Compito - 12 Marzo 2007
ESERCIZIO N° 1 – Ricerca Informata A* 4 punti
Stabilite se un’euristica monotona permette ad A* di espandere sempre meno nodi rispetto alla ricerca a costo
uniforme. Motivate la risposta.
Sì. A*, usando un’euristica monotona, espanderà sempre meno nodi della ricerca UCS. UCS
rappresenta un caso particolare di A* in cui hUSC(n) = 0 ∀n . A* sfrutta un’euristica
monotona, quindi ammissibile, hA*(n) ≤ h*(n) ∀n. Ipotizzando che al nodo goal l’euristica
abbia valore pari a 0, ne consegue che: 0 = hUSC(n) ≤ hA*(n) ≤ h*(n) ∀n. Questo coincide con
la definizione di dominanza: hA*(n) domina hUCS(n) ogni nodo espanso da A* è anche
espanso da UCS. Infatti fA*(n) ≥ fUCS(n) ∀n, quindi il numero di nodi espansi da UCS, in cui
fUCS(n) ≤ f*, è maggiore dei nodi espansi da A*, in cui fA*(n) ≤ f*.
ESERCIZIO N° 2 – Quiz “Vero o Falso” (+0,5 per ogni risposta corretta, -0,25 per ogni risposta errata) 6 punti
1. Usando una versione di WA* in cui f(n)=g(n)+wh(n) e w=3, se h*(xo) = 20 allora il costo delle
soluzioni ottenute sarà superiore a 60.
2.
3.
Un algoritmo di ricerca ad approfondimenti iterativi trova la stessa soluzione di un algoritmo di
ricerca depth-first.
Nella ricerca bidirezionale le euristiche front-to-front valutano la distanza tra un nodo della
frontiera “forward” e un nodo della frontiera “backward”.
4. Con lookahead infinito gli algoritmi real-time coincidono con gli algoritmi off-line. V F
5. La ricerca ad approfondimenti iterativi visita sempre più nodi della ricerca in ampiezza. V F
6. Alfa-Beta Pruning trova mosse migliori di Minimax (a parità di taglio di profondità). V F
7.
8.
9.
10.
11.
12.
I pattern databases permettono di calcolare un’euristica più informata sfruttando l’informazione
ottenuta dalla risoluzione previa di porzioni del problema.
Aggiungendo a IDA* una tabella hash che conserva i nodi già espansi si diminuisce sia il costo
temporale e sia il costo spaziale della ricerca.
L’Alfa-beta pruning pota solo i rami dell’albero di ricerca che non influenzano la decisione
minimax.
A differenza di LRTA* l’algoritmo Online Depth First Search ha bisogno unicamente di una
pila di nodi per effettuare la scelta di un operatore.
Nel caso di giochi multiplayer in cui le alleanze non sono ammesse non è possibile determinare
la mossa ottima (secondo il criterio minimax) per l’agente intelligente.
L’algoritmo minimax potrebbe essere reso più efficiente usando la ricerca ad approfondimenti
iterativi, invece che la ricerca in profondità.
V F
V F
V F
V F
V F
V F
V F
V F
V F

ESERCIZIO N° 3 – Ricerca Informata 8 punti
2
C
3
G1
0
1
6
Iterative deepening search
Percorso risolvente:
S B G2
Nodi espansi: {} / S / S,A,B / S,A,C,D,B,E,G2
Uniformed Cost search
Percorso risolvente:
Nodi espansi:
Greedy search
Percorso risolvente:
S B E G2
In questo grafo vengono riportati sugli archi i costi
di cammino da uno stato all’altro e all’interno dei
nodi una valutazione euristica della distanza da
uno stato goal.
Lo stato di partenza è S, gli stati goal sono G1 e
G2.
Per ognuno degli algoritmi proposti riportate: a) il
percorso risolvente; b) la lista ordinata di nodi
espansi. In caso di algoritmo iterativo separare con
“/” le varie iterazioni.
NOTA: il test di terminazione viene effettuato in
fase di espansione. In caso di dubbio la scelta tra i
nodi avviene in ordine alfabetico.
(with CLOSED list) S,A,C,B,D,E,G2
(without CLOSED list) S,A,C,S,B,D,E,A,D,C,B,B,E,S,B,E,G2
S A D G1
Nodi espansi: S,A,D,G1
A* search
2
Percorso risolvente:
S B E G2
Nodi espansi: S,A,C,D,B,E,G2
IDA* search
A
5
4 6
D
2
Percorso risolvente:
3
S
10
3
7
B
5
1
E
4
9
8
5
S B E G2
Nodi espansi: {} / S,A,C,D / S,A,C,D,D / S,A,C,D,D,B,E / S,A,C,D,D,B,E,G2
G2
0

ESERCIZIO N° 4 – Game Playing 5 punti
Osservate il seguente albero in cui MAX muove per primo.
v=4
β=3
A) Qual è la mossa che MAX dovrà effettuare? E quale sarà probabilmente la mossa di MIN? Nel caso in cui MIN
non muova in modo ottimo, quale potrebbe essere l’utilità finale di MAX?
MAX effettuerà la mossa che porta a D. MIN dovrebbe rispondere con J.
In caso contrario (configurazione K) MAX muoverebbe su U e quindi l’utilità finale sarebbe
pari a 7 (maggiore dell’utilità minimax teorica: U(A)=4).
B) Riportate in modo ordinato i nodi visitati da MINIMAX.
v=3
α=3
A,B,C,D,E,F,G,L,M,N,O,P,H,Q,I,R,S,W,X,Y,Z,J,T,K,U,V,X2,Y2,Z2
oppure (nodi “espansi”)
A,B,E,L,M,F,N,O,G,P,C,H,Q,I,R,W,X,S,Y,Z,D,J,T,K,U,X2,V,Y2,Z2
C) Riportate, nodo per nodo, i valori di utilità calcolati da MINIMAX.
E=3; F=4; G=5; H=3; R=1; S=-1; I=1; J=4; U=7; V=-2; K=7; B=3; C=1; D=4; A=4;
D) Quali sono i nodi che la potatura alfa-beta non visita? Motivate la risposta mostrando sull’albero i valor assunti
da v, alfa e beta nel caso di potature.
La potatura alfa-beta evita la visita dei nodi:
O; I; R; W; X; S; Y; Z; V; Y2; Z2.
v=7
β=4

ESERCIZIO N° 5 – Torre di Hanoi 10 punti
Considerate il problema della Torre di Hanoi (Figura A). Avete 3 paletti sui quali infilare 3 dischi di diverse
dimensioni. Lo scopo del gioco è quello di portare i dischi dalla configurazione S (dove tutti i dischi si trovano sul
paletto sinistro) alla configurazione G (tutti i dischi sul paletto destro). Potete muovere un solo disco per volta. Un
disco non può essere collocato sopra un disco di dimensioni inferiori. NOTA: come nei riquadri in Figura A, i
dischi possono essere rappresentati usando i numeri 1 (piccolo), 2 (medio), 3 (grande).
(S)
(n)
A) Analizzate la dimensione dello spazio degli stati e dite come questa cambia al variare del numero di dischi.
Per generare configurazioni legali della Torre di Hanoi partiamo da una configurazione priva di
dischi e li inseriamo partendo da quello più grande fino al più piccolo. Grazie all’inserimento
ordinato siamo liberi di posizionare ogni disco su qualsiasi paletto. Sia il disco “3”, sia il disco “2”,
sia il disco “1” potranno essere inseriti in 3 paletti diversi. Il numero di configurazioni legali è
quindi pari a 3x3x3 = 27. Nel caso generale, dati N dischi il numero di configurazioni legali è 3 N .
B) Analizzate il branching factor minimo e massimo dell’albero di ricerca e dite come questi cambiano al
variare del numero di dischi.
Indipendentemente dal numero di dischi, il problema presenta 3 “torri” con un totale di 3 dischi di
dimensioni diverse su cui applicare l’operatore di spostamento: D1 < D2 < D3 (la torre vuota è come un
disco di dimensioni infinite). Qualunque sia l’ordine, D1 potrà essere mosso su D2 e D3; D2 su D3;
mentre D3 non potrà essere mosso. In totale si hanno al massimo 3 mosse. Il branch factor minimo si
ha quando 2 torri sono nulle, quindi vale solo: D1 muove su D2 e D3. Il branching factor minimo è di 2
mosse. Durante la ricerca, possiamo imporre che non venga mai rivisitato il nodo padre (più in generale
che non venga mai rimosso due volte di seguito lo stesso disco).: quindi bMAX= 2; bMIN=1. Al variare del
numero di dischi il branching factor rimane invariato.
C) Provate a proporre 2 euristiche garantitamente ammissibili h1 e h2 usando le tecniche viste a lezione.
Obiettivo: portare tutti i dischi sul paletto “target” in modo ordinato.
I vincoli sugli operatori sono i seguenti: A) si muove un disco per volta da t1 a t2; B) si preleva un disco
dalla cima della torre t1; C) si inserisce un disco sulla cima di una torre t2; D) si muove un disco da t1 a
t2 se il disco in t2 è più grande; E) il numero di paletti su cui fare un inserimento è pari a 2.
Si possono ottenere molte euristiche diverse a seconda della combinazione dei vincoli rilassati. Ad es:
h1 = euristica che deriva dal rilassamento di B, C, D, E. Questa euristica equivale al numero di dischi
“fuori posto”.
(G)
1 X X
2 X X
3 X X
X X 1
X X 2
X X 3
1
2 3 X
Figura A: Torre di Hanoi.
(S) configurazione iniziale
(G) configurazione goal
(n) configurazione di prova per l’esercizio D
Un disco può essere spostato da un paletto ad un
altro solo se nel paletto di arrivo non è presente un
disco più piccolo.
Ogni mossa ha costo pari a 1 (indipendentemente
dalla distanza tra il paletto di origine e quello di
arrivo).
h2 = rilassamento di D ed E. Per calcolarla si può effettuare una ricerca nello spazio degli stati del
problema rilassato. E’ equivalente a dire: numero dischi fuori posto + 2 mosse per ogni disco sul paletto
target che non è al livello giusto (perché il disco andrà “tolto e rimesso” effetto del vincolo C) + 1
mossa per ogni disco non sul target che ha sotto di sé un disco più grande (il disco dovrà essere
portato su un altro paletto non target per lasciar “uscire” il disco più grande effetto del vincolo B).

D) Applicate A* partendo dalla configurazione n (Figura A). Mostrate sul retro del foglio gli alberi di ricerca di
A* considerando che a parità di f(n) si preferisce il nodo con minor h(n). Quale delle due euristiche domina
l’altra? Motivate.
Dopo aver applicato A* usando l’euristica h1 e l’euristica h2 osserviamo che il numero di
nodi espansi nella ricerca è minore per h2. Di più, con h2 A* espande i nodi in modo
verticale verso la soluzione: nel caso della configurazione n l’euristica h2 risulta
perfettamente informata. Entrambe le euristiche sono ammissibili perché ottenute da
tecnica di astrazione e rilassamento dei vincoli. Contemporaneamente vale la
disuguaglianza h2(n) ≥ h1(n) ∀n. Quindi h2 domina h1.
ESERCIZIO N° 6 (FACOLTATIVO) – Game Playing 5 punti
Immaginate di giocare una versione di Tic-Tac-Toe (tris) in cui:
a) i giocatori non vedono le mosse dell’avversario;
b) una segnalazione acustica vi avverte quando inserite la crocetta (o cerchio) in una cella dove si trova già
l’avversario. In caso di segnalazione potrete ripetere la mossa.
Analizzate le caratteristiche di questo gioco e provate ad adattare l’algoritmo minimax in modo opportuno.
Illustrate il vostro ragionamento tramite una configurazione di esempio.
Si tratta di un gioco ad informazione imperfetta (non conosciamo completamente lo stato
del gioco). Data la mancanza di conoscenza sulle mosse dell’avversario la segnalazione
acustica può essere considerata come un evento di natura stocastica.
Dobbiamo quindi adattare minimax in modo da gestire questi due fattori.
La mancanza di conoscenza sulla configurazione può essere gestita associando ad ogni nodo
dell’albero di ricerca minimax un doppio stato, ciascuno composto da una matrice 3x3. Lo
stato A conterrà in ogni cella la probabilità (determinata dalle informazioni in possesso di
MAX) che la cella sia occupata da MAX e la probabilità che sia occupata da MIN. [1;0] se
MAX l’ha occupata, [0;1] se MAX ha scoperto che MIN l’ha occupata, [0;p] se MIN ha la
probabilità p di averla occupata. Lo stato B conterrà in ogni cella le probabilità
determinate dalle informazioni (stimate da MAX) in possesso di MIN. Vedi figura di
esempio dove MAX muove O.
L’euristica usata dovrà tenere
conto delle probabilità interne
alla configurazione.
Il fattore stocastico potrà essere modellato con Expectiminimax. Ad ogni mossa saranno
associati N possibili eventi: N sarà pari al numero di volte che può essere stata emessa la
segnalazione acustica prima di aver completato la mossa, cioè pari al numero di mosse
fatte “ignote”. Ad esempio, nella configurazione sopra, dove tocca a MIN muovere e dove
sono state fatte 5 mosse di cui tre “ignote”: p0=4/7 sarà la probabilità dell’evento “non
sentire la segnalazione acustica”; p1=(3/7)x(2/6)x(1/5) sarà la probabilità di “scoprire
tutte le mosse ignote”; p2=(3/7)*(4/6) la probabilità di “scoprire solo una mossa ignota”;
p3=(3/7)*(2/6)*(4/5) sarà la probabilità di “scoprire solo due mosse”.