MODELLO DI TRAVE DI TIMOSHENKO

MODELLO DI TRAVE DI TIMOSHENKO
Indice
L. Rosati, G. Alfano
1 Richiami sul modello di trave di Eulero-Bernoulli 2
2 Cinematica del modello di Timoshenko 3
3 Relazioni differenziali di equilibrio 4
4 Equazioni differenziali della linea elastica 6
4.1 La soluzione in assenza di carichi distribuiti per la trave a rigidezza
costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Elemento finito cubico 7
5.1 Derivazione della matrice di rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 Mensola caricata in un estremo con una forza . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3 Mensola caricata in un estremo con una coppia . . . . . . . . . . . . . 11
5.4 La matrice di rigidezza esatta dell’elemento . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.5 Esempio numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Elemento finito lineare 15
6.1 Trasformazione isoparametrica e legame spostamenti deformazioni . . . 16
6.2 Legame costitutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.3 Matrice di rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.4 Vettore delle forze equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.5 Il problema del ‘locking’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.5.1 Sottointegrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.6 Esempio numerico: convergenza del metodo . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.7 Analogia tra il modello di trave di Timoshenko e quello di piastra di
Reissner-Mindlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 2
1 Richiami sul modello di trave di Eulero-Bernoulli
Il modello di trave inflessa, noto anche come modello di trave di Eulero-Bernoulli, si
basa su due ipotesi: la prima è quella di ‘conservazione delle sezioni piane’, per cui le
sezioni rette della trave rimangono piane anche a deformazione avvenuta; la seconda
è quella di assenza di scorrimenti nella trave, per cui le sezioni rette, a deformazione
avvenuta, rimangono ortogonali all’asse deformato. In conseguenza di tale ipotesi le
due funzioni che governano la cinematica della trave sono lo spostamento assiale w e
quello trasversale v dell’asse della trave (figura 1). Infatti, la rotazione φ della sezione
retta è data da (figura 2):
φ = −tan −1 v ′
(1)
y
v(z)
z
w(z)
φ( z)
Figura 1: Cinematica del modello di Eulero-Bernoulli
y
z
φ(z) φ (z) = α(z)
α(z)
tang α (z) = -v'(z)
Figura 2: Relazione tra spostamento trasversale e rotazione nel modello di Eulero
Bernoulli
Nell’ipotesi di piccoli spostamenti, che si adotterà costantemente nel seguito, si ha
φ = −v ′ e la curvatura χ e la deformazione estensionale εa della trave sono legate alle
funzioni w e v dalle note relazioni:
χ = −v ′′
εa = w ′
Accoppiando le relazioni (2), che descrivono la cinematica del modello, alle relazioni
di equilibrio differenziale, e facendo l’ipotesi di comportamento elastico lineare, si
giunge alle equazioni differenziali della linea elastica:
E I v ′′′′ = q E A w ′′ = −p (3)
(2)

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 3
avendo indicato con q e p i carichi distribuiti trasversale ed assiale.
Nel modello di Eulero-Bernoulli al taglio non è associata alcuna energia di deformazione
in quanto non è definita una deformazione (di scorrimento) ad esso duale. Il
taglio in tale modello assume dunque un puro significato statico, ed è definito come la
derivata del momento flettente.
2 Cinematica del modello di Timoshenko
Il modello di trave di Timoshenko è il più semplice modello della teoria tecnica della
trave che tenga conto degli scorrimenti che avvengono nella trave per effetto della
sollecitazione tagliante.
In tale modello si conserva l’ipotesi di conservazione delle sezione piane, valida
anche per il modello di Eulero-Bernoulli, ma si rimuove quella di conservazione dell’ortogonalità
fra sezione retta ed asse deformato. La variazione dell’angolo formato tra
la sezione retta e l’asse indeformato rappresenta allora lo ‘scorrimento’, indicato con γ,
e va interpretato come un valore medio degli scorrimenti che puntualmente si avrebbero
in un modello più raffinato, ad esempio tridimensionale.
Come usuale lo scorrimento γ è assunto positivo se la sezione retta ruota in senso
antiorario rispetto all’asse deformato (figura 3) sicché risulta, nell’ipotesi di piccoli
spostamenti:
γ = φ + v ′
(4)
φ = 0 γ = v'
v'
(a) (b)
γ = φ
v' = 0
Figura 3: Espressione dello scorrimento come sovrapposizione di due casi: (a) per
φ = 0 e v ′ = 0 si ha γ = v ′ ; (b) per φ = 0 e v ′ = 0 si ha γ = φ. In generale, per φ = 0
e v ′ = 0 si ha γ = φ + v ′ .
Si osserva che il modello di Eulero-Bernoulli si ottiene da quello di Timoshenko
imponendo che si abbia costantemente γ = 0, ottenendo così la relazione φ = −v ′ .
La curvatura χ della trave è data, sempre nell’ipotesi di piccoli spostamenti, dalla
derivata di φ:
χ = φ ′
(5)
La rotazione φ non può essere però ottenuta come derivata dello spostamento trasversale
e rappresenta una funzione indipendente del problema. Pertanto, le funzioni
che definiscono la cinematica sono tre, ovvero w, v e φ, e definiscono gli ‘spostamenti

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 4
generalizzati’ del modello. Le ‘deformazioni generalizzate’ sono definite dalla curvatura
χ, dallo scorrimento γ e dalla deformazione assiale εa, e sono legate agli spostamenti
dalle relazioni: ⎧⎪
χ= φ
⎨
′
γ= φ + v ′
(6)
⎪⎩
εa= w ′
3 Relazioni differenziali di equilibrio
Le relazioni differenziali di equilibrio del modello si possono ricavare mediante la
dualità statico-cinematica, ovvero il principio dei lavori virtuali.
In particolare, in questa parte si mostrerà come, definendo le caratteristiche della
sollecitazione come enti duali delle deformazioni introdotte nel modello, scrivendo il
lavoro virtuale interno ed integrando per parti, si ottiene l’espressione del lavoro virtuale
esterno. Da essa si ottengono quindi le relazioni che legano i carichi applicati,
internamente ed agli estremi, alle caratteristiche della sollecitazione.
£
¨©£
¦ §
¢ ¨
¢¤£
¡
¥
Figura 4: Carichi esterni agenti nell’interno e sugli estremi della trave.
Le caratteristiche duali delle deformazioni, ovvero che compiono lavoro per esse,
sono il momento flettente M, duale della curvatura χ, il taglio T , duale dello scorrimento
γ, e lo sforzo normale N, duale della deformazione assiale εa. Su una trave di
lunghezza l, il lavoro virtuale interno si scrive dunque:
Lint =
0
l
M χ d z +
0
l
T γ d z +
0
l
N εa d z (7)

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Sostituendo le relazioni cinematiche (6) nella (7), ed integrando per parti, si ottiene:
Lint=
0
=
0
+M φ
=
0
l
M φ ′
d z +
l
(−M ′
) φ d z +
l
0
+T v
l
0
0
l
T (φ + v ′
) d z +
0
+N w
l
(T − M ′
) φ d z +
l
T φ d z +
l
0
0
=
0
0
l
(−T ′
) v d z +
l
N w ′ d z =
l
(−T ′
) v d z +
0
0
l
(−N ′ ) w d z+
l
(−N ′ ) w d z+
+M(l) φ(l) − M(0) φ(0) + T (l) v(l) − T (0) v(0) + N(l) w(l) − N(0) w(0)
Si può porre allora (figura 4):
ed inoltre, agli estremi:
m = T − M ′ coppie flettenti distribuite
q = −T ′ carico trasversale distribuito
p = −N ′ carico assiale distribuito
Mo = −M(0) Ml = M(l) coppie agli estremi
Fo = −T (0) Fl = T (l) forze trasversali agli estremi
Ho = −N(0) Hl = N(l) forze assiali agli estremi
Sostituendo le (9) e le (10) nell’ultimo termine della (8) si ottiene l’espressione del
lavoro virtuale esterno:
Lext=
Si ottiene dunque:
0
l
m φ d z +
0
l
q v d z +
0
l
p w d z+
+Ml φ(l) + Mo φ(0) + Fl v(l) + Fo v(0) + Hl w(l) + Ho w(0)
Lint = Lext
che sintetizza il principio dei lavori virtuali.
Le relazioni (9) rappresentano le equazioni differenziali di equilibrio del modello di
Timoshenko. Le condizioni al contorno ad esse associate sono le relazioni (10).
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)

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4 Equazioni differenziali della linea elastica
Nell’ipotesi di elasticità lineare si hanno le seguenti semplici relazioni di proporzionalità
tra le deformazioni generalizzate e le caratteristiche della sollecitazione:
⎧
M = Kf χ
⎪⎨
⎧
Kf = E I
⎪⎨
rigidezza flessionale
T = Ks γ
⎪⎩
N = Ka εa
con: Ks = G As
⎪⎩
Ka = E A
rigidezza a taglio
rigidezza assiale
(13)
dove ad esempio, nel caso della sezione rettangolare, As = A/1.2.
Sostituendo le relazioni cinematiche (6) nelle relazioni elastiche (13), si ottiene:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
M = Kf φ ′
T = Ks (φ + v ′ )
N = Ka w ′
Sostituendo infine queste ultime nelle relazioni differenziali di equilibrio (9), si ottiene
il seguente sistema di equazioni differenziali dell’equilibrio elastico:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Ks (φ + v ′ ) − (Kf φ ′ ) ′ = m
[Ks (φ + v ′ )] ′ = −q
(Ka w ′ ) ′ = −p
La terza equazione governa il comportamento estensionale della trave e risulta disaccoppiata
dalle prime due. Essa è perfettamente analoga a quella per il modello di
Eulero-Bernoulli.
Le prime due equazioni sono invece tra loro accoppiate e sostituiscono per il modello
di Timoshenko l’equazione differenziale (3) valida per la trave inflessa.
4.1 La soluzione in assenza di carichi distribuiti per la trave a rigidezza
costante
Ai fini dell’implementazione agli elementi finiti risulta particolarmente importante considerare
il caso in cui le rigidezze Kf, Ks e Ka risultino costanti lungo la lunghezza
della trave, e risolvere per esso il sistema omogeneo di equazioni differenziali associato
alle (15), ovvero il problema ottenuto ponendo identicamente m = q = p = 0.
La terza equazione si riscrive:
w ′′ = 0 (16)
e fornisce una variazione lineare della w lungo la trave.
Le prime due equazioni si riscrivono come segue:
⎧
⎨Ks
(φ + v ′ ) = Kf φ ′′
⎩
Ks (φ + v ′ ) ′ = 0
(14)
(15)
(17)

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 7
Derivando la prima e sostituendo la seconda a primo membro si ottiene:
da cui si ricava un’espressione quadratica della φ:
Dalla seconda delle (17) si ricava invece:
Kf φ ′′′ = 0 ⇒ φ ′′′ = 0 (18)
φ(z) = c1 + c2 z + c3
dalla quale si ricava un’espressione cubica della v:
z 2
2
(19)
v ′′ = −φ ′ = −c2 − c3 z (20)
v(z) = −φ ′ = c4 + c5 z − c2
z 2
2
− c3
Sostituendo la (20) e la (18) nella prima delle (17) si ottiene la relazione:
z 3
6
(21)
Kf c3 = Ks (c1 + c5) (22)
con la quale una delle costanti può essere espressa in funzione delle altre.
Si conclude pertanto quanto segue.
Con il modello di Timoshenko, la soluzione esatta per una trave non soggetta a
carichi distribuiti né a coppie distribuite, ed avente rigidezza costante, prevede una
variazione cubica dello spostamento trasversale, quadratica della rotazione e lineare
dello spostamento assiale. Tale soluzione dipende da 4 costanti indipendenti che
vanno determinate mediante le condizioni al contorno.
Tale risultato consentirà di ricavare alcune importanti proprietà della soluzione ottenuta
mediante il metodo degli elementi finiti.
5 Elemento finito cubico
Si è visto in generale che, se le funzioni di forma utilizzate nel metodo degli elementi
finiti generano un sottospazio dello spazio degli spostamenti che contiene la soluzione
esatta, e se l’integrazione numerica è esatta, allora il metodo fornisce effettivamente la
soluzione esatta.
Si consideri allora una travatura per la quale si adotta il modello di Timoshenko che
è stata discretizzata in un certo numero di elementi finiti. Si assuma inoltre che non vi
sono carichi distribuiti né coppie distribuite, e che quindi si hanno solo forze e coppie
concentrate nei nodi tra elemento ed elemento (figura 5).
In base al risultato precedente, in ogni elemento finito della travatura la soluzione
prevede una variazione cubica dello spostamento trasversale, quadratica della rotazione

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 8
Figura 5: Travatura con sole forze e coppie applicate sui nodi della discretizzazione.
e lineare dello spostamento assiale. Se dunque si adottano funzioni di forma di tale
tipo, la soluzione del metodo degli elementi finiti coinciderà con la soluzione esatta del
problema.
Per una travatura non caricata solamente con carichi nodali, come quella di figura
6.a, è possibile ancora ottenere la soluzione esatta se si opera per sovrapposizione degli
effetti seguendo il classico approccio del metodo degli spostamenti. Infatti, bloccando
tutti i gradi di libertà nodali si riduce il problema ad un insieme di elementi trave incastrati
agli estremi (sistema (b) di figura 6), per i quali è possibile in generale ottenere la
soluzione del problema in modo esatto.
Caricando in nodi di un secondo schema (sistema (c) di figura 6) con l’opposto delle
reazioni dei vincoli fittizi ottenute sullo schema con i gradi di libertà bloccati, si ottiene
un travatura per la quale il metodo degli elementi finiti fornisce la soluzione esatta.
= +
(a) (b) (c)
Figura 6: Travatura generalmente caricata.
Pertanto, per una travatura generalmente caricata, a partire dalla soluzione ottenuta
con il metodo degli elementi finiti (schema (c)) è possibile pervenire alla soluzione esatta
aggiunge per ogni elemento trave la soluzione dello schema con gli estremi incastrati
(schema (b)). La maggior parte dei programmi effettivamente aggiunge tale soluzio-

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ne, almeno per quanto riguarda i diagrammi delle caratteristiche e relativamente ai più
comuni schemi di carico distribuito o concentrato all’interno della travi .
5.1 Derivazione della matrice di rigidezza
Mentre per l’elemento finito della trave di Eulero-Bernoulli è immediato costruire funzioni
di forma duali degli spostamenti e delle rotazioni di estremità che forniscano una
variazione cubica degli spostamenti, una procedura analoga per l’elemento di Timoshenko
è relativamente più laboriosa. Si adotterà allora una procedura del tutto equivalente
per ricavare la matrice di rigidezza dell’elemento trave di Timoshenko che si basa sul
significato fisico dei coefficienti della matrice di rigidezza K.
A tale scopo si ricorda che, ordinati i parametri di spostamento dell’elemento trave
in un vettore u, ed i corrispondenti parametri di forza in un vettore f:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢
u = ⎢
⎣
w1
v1
φ1
w2
v2
φ2
⎥
⎦
⎢
f = ⎢
⎣
La relazione dell’equilibrio elastico per l’elemento fornisce:
f = K u →
⎡ ⎤ ⎡
H1 K11
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢ F1 ⎥ ⎢ 0
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢M1⎥
⎢ 0
⎢ ⎥
⎢ ⎥ = ⎢
⎢H2
⎥ ⎢K41
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢ F2 ⎥ ⎢ 0
⎣ ⎦ ⎣
0
K22
K32
0
K52
0
K23
K33
0
K53
K14
0
0
K44
0
0
K25
K35
0
K55
⎤ ⎡
0
⎥ ⎢
⎥ ⎢
K26⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢ K36⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
0 ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
K56⎥
⎢
⎦ ⎣
M2
H1
F1
M1
H2
F2
M2
⎥
⎦
0 K62 K63 0 K65 K66
dove gli zeri inseriti già tengono conto del disaccoppiamento tra il comportamento
estensionale e quello a flessione e taglio. In virtù di tale disaccoppiamento, la relazione
precedente può decomporsi nelle due seguenti altre:
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎡
⎣ H1
H2
⎤
⎦ =
⎡
⎣ K11 K14
K41 K44
⎤ ⎡
⎦
⎣ w1
w2
⎤
⎦
⎢
⎣
F1
M1
F2
M2
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
K22 K23 K25 K26
K32 K33 K35 K36
K52 K53 K55 K56
K62 K63 K65 K66
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
w1
v1
φ1
w2
v2
φ2
v1
φ1
v2
φ2
⎤
⎥
⎦
⎥
⎦
(23)
(24)
(25)

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Gli elementi K11 e K41 sono pertanto pari alle forze assiali H1 e H2 che nascono
per uno spostamento assiale unitario positivo del primo estremo, ovvero per w1 = 1 e
w2 = 0: ⎡
⎣ K11 K14
K41 K44
⎤ ⎡
⎦ ⎣ 1
⎤ ⎡
⎦ =
0
⎣ K11
K41
⎤
⎦ (26)
mentre gli elementi K41 e K44 sono pari alle forze assiali H1 e H2 che nascono per uno
spostamento assiale unitario positivo del secondo estremo, ovvero per w1 = 0 e w2 = 1:
⎡
⎣ K11
⎤ ⎡
K14
⎦ ⎣ 0
⎤ ⎡
⎦ = ⎣
1
K41
⎤
⎦ (27)
K41 K44
Si vede facilmente che la matrice di rigidezza nella (25)1 è quella del pendolo:
⎡
⎣ K11
K41
⎡
⎤ E A
K14 ⎢ l
⎦ = ⎢
⎣
K44 E A
−
l
E A
⎤
−
l ⎥
⎦
E A
l
Per ricavare gli elementi della matrice di rigidezza nella (25)2 conviene allora risolvere
preliminarmente i due problemi della mensola caricata in un estremo con una forza
o con una coppia.
K44
5.2 Mensola caricata in un estremo con una forza
Si consideri la mensola di figura 7 caricata con una forza all’estremo.
Figura 7: Trave a mensola caricata con una forza F sull’estremità.
L’espressione analitica del momento e del taglio è data da:
Dalle (14)1−2 si ottiene:
F
(28)
M(z) = −F (l − z) T (z) = F (29)
φ ′ = − F
Kf
(l − z) v ′ + φ = F
Integrando la prima relazione tenendo conto che φ(0) = 0 si ha:
Ks
(30)
F l z
φ(z) = − +
Kf
F z2
; (31)
2 Kf

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 11
sostituendo tale relazione nella seconda ed integrando, tenendo conto che v(0) = 0, si
ricava:
F l z2 F z3
v(z) = −
2 Kf 6 Kf
+ F
z
Ks
(32)
Si ottendono i valori nell’estremo z = l:
Ponendo:
F l2
φ(l)= −
2 Kf
v(l)=
F l3
3 Kf
F l2
= −
2 E If
+ F
l =
Ks
il risultato precedente si riscrive:
F l3
3 E I
F l2
φ(l) = −
2 E If
α =
F
+ l =
G As
E I
G As l 2
v(l) =
F l3
1 + 3
3 E I
E I
G As l2
(33)
(34)
F l3
(1 + 3 α) (35)
3 E I
Si ricava dunque per la rotazione dell’estremo la stessa espressione nota per la trave
inflessa, mentre per lo spostamento l’espressione della trave inflessa va moltiplicata per
il fattore adimensionale (1 + 3 α).
5.3 Mensola caricata in un estremo con una coppia
Ragionando in modo analogo, si ricava che per la mensola caricata con una coppia
all’estremo (figura 8) le espressioni della rotazione e dello spostamento all’estremità
sono identiche a quelle ben note per la trave inflessa:
φ(l) =
M l
E I
M l
v(l) = −
2 E I
D’altra parte in tale caso il taglio identicamente nullo si traduce in uno scorrimento
anch’esso nullo, per cui la soluzione coincide con quella della trave inflessa.
Figura 8: Trave a mensola caricata con una coppia M sull’estremità.
(36)

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5.4 La matrice di rigidezza esatta dell’elemento
Gli elementi della terza colonna della matrice di rigidezza nella (25)2 si ottengono
ponendo v1 = φ1 = φ2 = 0 e v2 = 1:
⎡ ⎤ ⎡
F1 K22
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢M1⎥
⎢K32
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ = ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢ F2 ⎥ ⎢K52
⎣ ⎦ ⎣
K23
K33
K53
K25
K35
K55
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
K26 0 K25
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
K36⎥
⎢0⎥
⎢K35⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎥ ⎢
K56⎥
⎢1
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢K55⎥
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0
(37)
M2
K62 K63 K65 K66
ovvero mediante la soluzione del problema di figura 9. Essa può conseguirsi con il
metodo delle forze, scrivendo le equazioni di congruenza:
Ovvero tenendo conto delle (35) e (36):
⎧
⎪⎨
− X1 l2 +
2 E If
X2 l
E I
Si ottiene:
X1 =
12 E I
l 3
K65
φ(l) = 0 v(l) = 1 (38)
= 0
⎪⎩
X1 l3 3 E I (1 + 3 α) − X2 l
= 1
2 E I
1
1 + 12 α
= F2
X2
v = 1
2
=
6 E I
l 2
1
1 + 12 α
X 1
Figura 9: Schema con v1 = φ1 = φ2 = 0 e v2 = 1.
Con semplici relazioni di equilibrio si ricava:
= M2
(40)
X 2
(39)
F1 = −F2 = −X1 M1 = −M2 + F2 l = −X2 + X1 l (41)

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 13
e quindi:
12 E I
K25 = F1 = −
l3 K35 = M1 =
K55 = X1 =
6 E I
l 2
12 E I
l 3
1
1 + 12 α
1
1 + 12 α
1
1 + 12 α
6 E I
K65 =
l2 1
1 + 12 α
Ragionando in modo analogo per lo schema di figura 10, si ricava la quarta colonna
della matrice di rigidezza nella (25)2:
6 E I
K26 = F1 = −
l2 K36 = M1 =
K56 = X1 =
K66 =
φ2
= 1
4 E I
l
2 E I
l
6 E I
l 2
1 + 3 α
1 + 12 α
1
1 + 12 α
1 − 6 α
1 + 12 α
1
1 + 12 α
X 1
Figura 10: Schema con v1 = φ1 = v2 = 0 e φ2 = 1.
Le prime due colonne si ricavano semplicemente per analogia tra gli schemi ed in
X 2
(42)
(43)

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definitiva la matrice di rigidezza completa è la seguente:
⎡
E A
E A
0 0 − 0 0
l l
⎢
12 E I
⎢
0 l
⎢
K = ⎢
⎣
3
6 E I 0 − l2 −
12 E I 0 − l3 6 E I 0 − l2 1
1+12 α
1
1+12 α
6 E I − l2 4 E I
l
1
12 E I 0 − 1+12 α l3 1+3 α
6 E I 0 1+12 α l2 1
1+12 α
1
1+12 α
− 6 E I
l 2
2 E I
l
E A
l 0 0 E A
l 0 0
1
1+12 α
1
1+12 α
5.5 Esempio numerico
6 E I
l 2
2 E I
l
1
12 E I 0 1+12 α l3 1−6 α
6 E I 0 1+12 α l2 1
1+12 α
1
1+12 α
6 E I
l 2
4 E I
l
1
1+12 α
1−6 α
1+12 α
1
1+12 α
1+3 α
1+12 α
Si consideri la trave di acciaio di figura 11 in cui sono riportati anche i dati geometrici e
del materiale.
Si vuole calcolare lo spostamento uL dell’estremità, che può decomporsi in una
parte dovuta esclusivamene alla deformazione di tipo flessionale e di una dovuta allo
scorrimento.
Si ha in particolare:
ul,esatto=
=
q L4
8 E I
+ 1
G As
q L 2
2
= q L4
8 E I
+ 2 (1 + ν)
E As
q L2 2 =
10 · 10004 2 · (1 + 0, 3) · 10 · 10002
+
8 · 209000 · 15, 91 · 106 209000 · 902, 859 · 2 =
= 0.375918 + 0.068893 = 0.444812 mm
La differenza percentuale tra la soluzione ottenuta con i modelli di Timoshenko e di
Eulero-Bernoulli, rapportata alla soluzione del modello di Timoshenko, vale:
0.444812 − 0.375918
e = ∗ 100 = 15, 4882%
0.444812
La soluzione ottenuta con l’elemento finito ‘esatto’ è uL = 0.4448116918262, ed è
esatta fino all’ultima cifra significativa utilizzata nella (45).
Incrementando la lunghezza a L = 5000 mm, si ha invece:
⎤
⎥
⎦
(44)
(45)
uL,esatto = 96.235102 + 1.102293 = 97.3374 mm (46)
e la differenza percentuale tra la soluzione ottenuta con i modelli di Timoshenko e di
Eulero-Bernoulli, rapportata alla soluzione del modello di Timoshenko, vale:
97.3374 − 96.235102
e = ∗ 100 = 1, 132446%
97.3374
La soluzione ottenuta con l’elemento finito ‘esatto’ è uL = 97.33739552708, ed
anche in questo caso è esatta fino all’ultima cifra significativa utilizzata nel calcolo
manuale.

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 15
x
y
L
q = 1000 mm
6 Elemento finito lineare
q
z
Sezione: IPE 200A
4
I x = 15.91E6 mm
A = 952.859mm
sy
Materiale: Acciaio
E = 2.09E5 MPa
ν = 0.3
Figura 11: Esempio numerico.
Si è visto che nell’ipotesi di elasticità lineare è possibile ottenere la matrice di rigidezza
esatta mediante una formulazione che risulta equivalente alla scelta di funzioni di forma
rispettivamente cubiche, quadratiche e lineari in v, φ e w.
In alcuni casi può essere conveniente adottare un diverso tipo di elemento finito basato
su funzioni di forma lineari per tutte le funzioni incognite. Ciò è possibile perché,
nella scrittura del lavoro virtuale interno, compaiono solo le derivate prime delle funzioni,
per cui per garantire la buona posizione del problema discretizzato è sufficiente
che le funzioni siano continue con le loro derivate prima all’interno dell’elemento, e
semplicemente continue nei punti nodali. In tal modo, infatti, le derivate delle funzioni
risultano costanti a tratti e sono dunque integrabili in quanto funzioni continue a meno
di un insieme di misura nulla costituito dai nodi in cui si concentreranno in generale
delle discontinuità.
L’elemento finito lineare non fornisce la soluzione esatta del problema, se non per il
caso particolare di una trave elastica soggetta ad un momento flettente costante. Esso
risulta però conveniente per problemi caratterizzati da nonlinearità di tipo meccanico,
problematica particolarmente attuale in quanto è spesso richiesto di svolgere analisi non
lineari di edifici adottanto legami momento/curvatura non lineari.
Per problemi non lineari, infatti, non valgono le equazioni (15) e dunque la scelta
di funzioni cubiche, quadratiche e lineari rispettivamente per v, φ e w non conduce
alla soluzione esatta. Prevale, pertanto, la necessità di limitare l’onere computazionale
associato a ciascun elemento a causa dell’elevato numero di elementi richiesto nelle
zone in cui si ha il comportamento non lineare.
2

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 16
Modello con un elemento: asse della trave (rosso); carico
distribuito (azzurro); vincoli ( verde).
Risultati per la formulazione esatta: diagramma del
momento (marrone chiaro); configurazione deformata
(rosso); azioni nodali equivalenti (azzurro).
Figura 12: Trave a mensola con carico distribuito: discretizzazione ed output grafico.
6.1 Trasformazione isoparametrica e legame spostamenti deformazioni
Le funzioni di forma dell’elemento sono, come detto, lineari e definite sull’elemento di
riferimento in cui l’ascissa ζ varia fra −1 e +1 (figure 13 e 14). Si ha dunque:
v(ζ) =
1 − ζ
2
v1 +
1 + ζ
2
w(ζ) =
v2
1 − ζ
2
φ(ζ) =
w1+ 1 + ζ
2 w2
1 − ζ
2 φ1
1 + ζ
+
2 φ2
Ordinando in un unico vettore u le componenti v, φ e w e nel vettore p i gradi di libertà
dell’elemento, si ha:
u(ζ) = N(ζ) p (48)
(47)

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 17
con:
z 1
⎡ ⎤
w(ζ)
⎢ ⎥
⎢ ⎥
u(ζ) = ⎢v(ζ)
⎥
⎣ ⎦
φ(ζ)
⎡
⎢
e p = ⎢
⎣
⎡
1 − ζ
1 + ζ
0 0
0 0
⎢ 2
2
⎢ 1 − ζ
1 + ζ
N(ζ) = ⎢ 0
0 0
0
⎢
2
2
⎣
1 − ζ
1 + ζ
0 0
0 0
2
2
−1
Elemento reale
z 2
z
w1
v1
φ1
w2
v2
φ2
⎤
⎥
⎦
−1 0 +1 ζ
Elemento di riferimento
Figura 13: Elemento di riferimento ed elemento reale.
1
1− ζ
2
+1
ζ
−1
1
1+ ζ
2
Figura 14: Funzioni di forma lineari.
L’elemento è isoparametrico e quindi la trasformazione dall’elemento di riferimento
a quello reale è ancora governata dalle stesse funzioni di forma lineari e si ha:
z(ζ) =
1 − ζ
2
z1 +
1 + ζ
2
z2
+1
ζ
⎤
⎥
⎦
(49)
(50)
(51)

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 18
La derivata della mappa di trasferimento è data da:
d z
d ζ = z2 − z1
2
= l
2
avendo indicato con l = z2 − z1 la lunghezza dell’elemento.
La curvatura χ è allora data da:
χ = φ ′ =
d φ
d z
= d φ
d ζ
d ζ
d z
= d φ
d ζ
1
d z
d ζ
= φ2 − φ1
2
2
l = φ2 − φ1
l
Con analoghi passaggi si ricava per lo scorrimento l’espressione:
e per la deformazione assiale:
γ = v ′ + φ = v2 − v1
l
+ 1 − ζ
εa = w ′ = w2 − w1
(52)
(53)
2 φ1
1 + ζ
+
2 φ2 (54)
(55)
l
Ordininando in un unico vettore ε, che rappresenta la ‘deformazione generalizzata’
del modello, χ, γ e εa:
⎡ ⎤
χ
⎢ ⎥
⎢ ⎥
ε = ⎢ γ ⎥
(56)
⎣ ⎦
le tre relazioni precedenti si possono condensare in un’unica relazione matriciale:
εa
ε(ζ) = B(ζ) p (57)
dove la matrice B(ζ) è quella che lega i vettori dei gradi di libertà dell’elemento al
valore puntuale delle deformazioni generalizzate ε(ζ), ed è data da:
⎡
0 0 −
⎢
B(ζ) = ⎢
⎣
1
1
0 0
l
l
0 − 1 1 − ζ 1 1 + ζ
0
l 2 l 2
− 1
⎤
⎥
(58)
⎥
1 ⎥
0 0 0 0 ⎦
l
l
6.2 Legame costitutivo
Si considererà qui per semplicità il caso del legame elastico sebbene, come si è detto,
l’elemento lineare sia soprattutto da utilizzare per problemi non lineari. Ordinando le
caratteristiche della tensione in un unico vettore σ della ‘tensione generalizzata’, si ha:
⎡ ⎤
M
⎡
E I 0 0
⎤
σ = D ε
⎢ ⎥
⎢ ⎥
con: σ = ⎢ T ⎥
⎣ ⎦
⎢
D = ⎢ 0
⎣
G As 0
⎥
⎦
(59)
N
0 0 E A

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 19
6.3 Matrice di rigidezza
Le espressioni (48), (57) e (59) sono quelle classicamente utilizzate nel metodo degli
elementi finiti per un qualsiasi tipo di elemento. In questo caso il dominio di riferimento
Ω è l’intervallo [−1, 1]. L’espressione della matrice di rigidezza è dunque quella
classicamente ricavata, ovvero:
K =
−1
+1
B T (ζ) D B(ζ)d ζ (60)
L’integrale viene calcolato numericamente mediante la regola di integrazione di Gauss,
ottenendo quindi:
K =
Ng
i=1
B T (ζi) D B(ζi) Wi
avendo indicato con Ng il numero di punti d’integrazione utilizzati.
Nel caso elastico in esame e nell’ipotesi fatta di materiale omogeneo nell’elemento,
le componenti della funzione integranda sono funzioni al più quadratiche, per cui 2
punti di Gauss sono sufficienti per ottenere l’integrazione esatta. Si vedrà però che è
opportuno scegliere un solo punto di Gauss per eliminare il cosiddetto problema del
locking.
6.4 Vettore delle forze equivalenti
Ordinate le funzioni carichi distribuiti e coppie distribuiti nel vettore f:
⎡ ⎤
p(ζ)
⎢ ⎥
⎢ ⎥
f = ⎢ q(ζ) ⎥
⎣ ⎦
m(ζ)
anche l’espressione delle forze nodali q equivalenti è quella classicamente ricavata nel
metodo degli elementi finiti, ovvero:
q =
L’integrale viene calcolato poi numericamente:
q =
−1
Ng
i=1
6.5 Il problema del ‘locking’
(61)
(62)
+1
N T (ζ) f(ζ) d ζ (63)
N T (ζi) f(ζi) Wi
Quando il parametro α, introdotto nella (34), tende a zero la deformazione a taglio tende
ad essere trascurabile rispetto alla deformazione di tipo flessionale.
(64)

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 20
1
l
2
F
Figura 15: Problema dek locking.
Pertanto, se la formulazione dell’elemento finito non consente di avere simultaneamente
scorrimento identicamente nullo (γ = 0) e curvatura flessionale non nulla
(χ = 0), l’elemento acquista un’eccessiva rigidità che ne rallenta la convergenza. Tale
è il caso dell’elemento finito lineare per la trave di Timoshenko.
Per capire meglio tale problema si consideri l’esempio costituito dalla mensola di figura
15, discretizzata con un solo elemento. Lo scorrimento e la curvatura nell’elemento
sono dati dalle formule (54) e (53):
γ = v2 − v1
l
Essendo in questo caso v1 = φ1 = 0, si ottiene:
+ 1 − ζ
γ = v2
l
2 φ1
1 + ζ
+
2 φ2 χ = φ2 − φ1
l
1 + ζ
+
2 φ2 χ = φ2
l
Utilizzando la regola d’integrazione numerica di Gauss con due punti di integrazione
si ottiene in questo caso l’integrazione esatta. I punti hanno posizione ζi = ±1/ √ 3 e
peso Wi = 1 entrambi. Imponendo uno scorrimento identicamente nullo, si ottiene
dunque:
γ = 0 ⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
v2
l
v2
l
1 + √1 3
+ φ2 = 0
2
1 − √1 3
+ φ2 = 0
2
(65)
(66)
⇒ v2 = φ2 = 0 (67)
Sostituendo nella (66)2 si deduce che anche χ = 0. Dunque, l’integrazione esatta,
ottenuta con due punti di Gauss, produce un completo ‘bloccaggio cinematico’ (locking)
nel caso limite in cui si assuma infinita la rigidezza a taglio.
In realtà lo scorrimento non è mai veramente nullo e dunque il problema del locking
si traduce in una convergenza del metodo degli elementi finiti estremamente lenta e nella
necessità di utilizzare un eccessivo numero di elementi ovvero, in ultima analisi, in una
scarsissima efficienza computazionale.
6.5.1 Sottointegrazione
Per rimediare al problema del locking nell’elemento finito lineare per la trave di Timoshenko
si ricorre al cosiddetto metodo della sottointegrazione, che consiste nel-

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 21
l’utilizzare un solo punto di Gauss al posto dei due che conducono all’integrazione
esatta.
La posizione dell’unico punto di Gauss è al centro (ζ = 0) ed il suo peso è W = 2,
per cui con tale procedura l’imposizione di uno scorrimento nullo equivale a porre:
v2
l
+ φ2
2
= 0 (68)
e quindi ad imporre semplicemente che sia v2 = −φ2, che possono essere in generale
non nulli.
Si può mostrare che, nel caso dell’elemento lineare in esame, la procedura di sottointegrazione
non introduce modi spuri ad energia nulla, ovvero moti rigidi addizionali per
l’elemento.
6.6 Esempio numerico: convergenza del metodo
0,5
u (mm)
0,4
0,3
0,2
0,1
Elemento Lineare
Soluzione Esatta
N. elementi
0
0 5 10 15 20 25 30
Figura 16: Convergenza dell’elemento lineare: spostamento dell’estremità.
Si considera di nuovo l’esempio di figura 11 nel caso L = 1000 mm, e si risolve il
problema discretizzando la trave in un numero N di elementi. La figura 16 mostra il
diagramma ottenuto riportando sulle ascisse il numero di elementi e sulle ordinate lo
spostamento verticale dell’estremità della mensola. Si vede chiaramente che all’aumentare
del numero di elementi la soluzione tende rapidamente ad un asintoto orizzontale
che coincide con la soluzione esatta del problema.
Il risultato è anche evidente dal grafico di figura 17 che riporta l’errore percentuale
commesso al variare del numero di elementi.
Nella figura 18 si sono riportati i diagrammi del momento ottenuti con le diverse
discretizzazioni.

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 22
e %
30
20
10
N. elementi
0
0 5 10 15 20 25 30 35
Figura 17: Convergenza dell’elemento lineare: errore percentuale.
N=1 N=2
N=4 N=8
N= 16 N=32
Figura 18: Convergenza dell’elemento lineare: configurazione deformata e diagramma
del momento.
6.7 Analogia tra il modello di trave di Timoshenko e quello di piastra
di Reissner-Mindlin
Oltre alla sua utilità per i problemi non lineari, di cui si è già detto, un secondo motivo
per cui l’elemento finito lineare per la trave di Timoshenko risulta di grande interesse

L. Rosati, G. Alfano - Modello di trave di Timoshenko 23
è costituito dall’analogia esistente tra la formulazione del modello di Timoshenko per
il problema monodimensionale delle travature, e quella del modello bidimensionale di
Reissner-Mindlin per le piastre, che rappresente il più semplice modello di piastra tra
quelli che tengono conto della deformabilità a taglio.
Per le piastre la formulazione analoga a quella di Eulero-Bernoulli per le travi è costituita
dal modello di Kirchhoff. E’ utile sottolineare però che mentre la formulazione
di un elemento finito per la trave di Eulero-Bernoulli è agevole ed efficace, e dunque
largamente utilizzata, per le piastre la formulazione di un elemento finito per il modello
di Kirchhoff risulta complessa e computazionalmente non molto efficace, per cui si preferisce
spesso adottare elementi finiti basati sul modello di Reissner-Mindlin anche per
problemi in cui la deformazione a taglio risulta effettivamente trascurabile.
Si capisce dunque quanto sia importante che l’elemento finito per la piastra di Reissner-
Mindlin fornisca, al limite per lo spessore tendente a zero, il comportamento della piastra
di Kirchhoff. Ma anche per gli elementi finiti per la piastra di Mindlin-Reissner
nasce il problema del locking. Peraltro, per le piastre, il metodo della sottointegrazione
non conserva il rango della matrice di rigidezza e quindi introduce alcuni modi ad
energia nulla che in alcuni casi possono condurre a soluzioni inaccettabili.