I Tavi

nana jafariZe maia wilosani nani wulaia
maTematika
moswavlis wigni
9

sarCevi
I Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 amovicnoT wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
3 f: x→x 2 funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
4 kvadratuli gantolebis grafikuli amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
5 kvadratuli gantolebis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
6 jgufuri mecadineoba: amovxsnaT kvadratuli utoloba . . . . . . . . . . . . . . . . .38
7 vietas Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
8 kvadratuli samwevris daSla mamravlebad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
I Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
I TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
II Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
1 toldidi da proporciuli nawilebi samkuTxedSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
2 toldidi da proporciuli nawilebi trapeciaSi, nebismier
oTxkuTxedSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
4 wrewiris sigrZe, wris farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
es sainteresoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
II Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
II TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75
III Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
1 kvadratuli funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
2 f: x → x 2 +c funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
3 f: x → (x–d) 2 +c funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86
4 f: x → ax 2 funqciis grafiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
5 f: x → ax 2 +bx+c funqciis grafiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98
6 proeqti: amovicnoT kvadratuli funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
es sainteresoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
7 parabolis mdebareoba sakoordinato RerZebis mimarT . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
8 kvadratuli utolobis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
9 meore xarisxis orucnobian gantolebaTa sistemis amoxsna . . . . . . . . . . . . .118
10 amovxsnaT gantolebaTa sistema vietas Teoremis gamoyenebiT . . . . . . . . . .123
11 orucnobian utolobaTa sistemis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
12 ricxviTi mimdevroba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
13 ariTmetikuli progresiis pirveli n wevris jamis
gamosaTvleli formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
14 geometriuli progresia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
Tema: rTuli procentis formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142
15 geometriuli progresiis pirveli n wevris jamis
gamosaTvleli formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
II Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
III TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

IV Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
1 samkuTxedebis msgavseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
2 samkuTxedebis msgavsebis I niSani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160
3 samkuTxedebis msgavsebis II niSani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
4 samkuTxedebis msgavsebis III niSani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166
6 proporciuli monakveTebi msgavs samkuTxedebSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169
6 msgavsi samkuTxedebis farTobebis Sefardeba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170
7 namdvil ricxvebze moqmedebebis geometriuli gamosaxva . . . . . . . . . . . . . . .173
8 msgavsebis meTodi geometriul agebebSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
9 heronis formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177
10 rogor gamovTvaloT samkuTxedis farTobi, roca
mocemulobaSi figurirebs gverdebis da medianebis sigrZeebi . . . . . . . . . . .179
11 kuTxis sinusi, kosinusi, tangensi da kotangensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182
12 ZiriTadi trigonometriuli igiveobebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
13 zogierTi kuTxis sinusis, kosinusis, tangensisa da kotangensis
mniSvneloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
14 marTkuTxa samkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191
15 samkuTxedis farTobis gamosaTvleli formula ori gverdiT da
maT Soris mdebare kuTxis sinusiT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
16 ramdenime saintereso amocana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200
IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
IV TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205
V Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207
1 naSTTa klasebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208
2 Sedareba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213
Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219
3 ricxvTa gayofadobis erTi saintereso Sedegi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221
4 naturaluri ricxvidan namdvil ricxvamde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223
5 n-uri xarisxis fesvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227
6 ariTmetikuli fesvis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232
7 miaxloebiTi gamoTvlebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240
V Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242
V TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248
VI Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249
1 veqtoris cneba . toli veqtorebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250
2 veqtorebis Sekreba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253
3 veqtorebis sxvaoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256
4 veqtoris gamravleba ricxvze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258
5 sibrtyis gardaqmna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260
6 sibrtyis dafarva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264
7 marTobi, daxrili, gegmili . manZili wertilidan sibrtyemde . . . . . . . . . . . .266

8 prizma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .269
9 prizmis kerZo saxeebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271
10 piramida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277
VI Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279
VI TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282
VII Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285
1 simravle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286
jgufuri mecadineoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .290
2 simravleTa sxvaoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291
3 albaTobis Teoriis elementebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .296
4 xdomilobaTa jamis albaToba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301
5 xdomilobaTa namravlis albaToba . xisebri diagrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304
jgufuri mecadineoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309
6 monacemTa warmodgenis xerxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310
7 monacemTa dajgufeba . sixSireTa intervaluri ganawileba . . . . . . . . . . . . . .315
8 foTlebiani Reroebis msgavsi diagrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .320
9 SerCeviTi ricxviTi maxasiaTeblebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .330
IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .332
IV TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .335
pasuxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .337

6
rogor visargebloT wigniT
wignze muSaoba rom gagiadvildeT, mizanSewonilad CavTvaleT gagacnoT
wignis agebuleba.
wigni Sedgeba Tavebisagan, xolo TiToeuli Tavi _ paragrafebisgan. yovel
TavSi mocemulia testebi rubrikiT `Seamowme Seni codna~. testebze
muSaoba dagexmarebaT TviTSemowmebasa da Seswavlili masalis ganmtkicebaSi.
wignSi ganmartebebi dabeWdilia muqi SriftiT, xolo Tvise-bebi,
formulebi, zogierTi saWiro daskvna _ ferad fonSi.
TiTqmis yovel TavSi mocemulia am TavSi gadmocemul masalasTan dakav-
Sirebuli saintereso Tema.
*
s .f .
yovel paragrafSi SexvdebiT zogierTs Semdegi niSnebidan:
- umartivesi kiTxvebi, romelTac axali masalis axsnis
procesSi Tavad moswavlem unda gasces pasuxi;
- wyvilebSi samuSao;
- SedarebiT rTuli amocana;
- savarjiSoebi, romelic emsaxureba
gavlili masalis gameorebas;
- sagulisxmo faqti.
wignis bolos mocemulia sagnobrivi saZiebeli da Semoklebuli aRniSvnebisTvis
gamoyenebuli maTematikuri niSnebi. gTavazobT agreTve zomis
erTeulebs, laTinur da berZnul anbans, kvadratebis cxrils da amocanebis
pasuxebs, damxmare literaturis CamonaTvals.
gisurvebT warmatebebs!

I Tavi
am TavSi gaiRrmavebT codnas funqciis Sesaxeb.
gaecnobiT y=x2 funqcias da mis grafiks — parabolas.
SeiswavliT kvadratul gantolebas da mis
amoxsnas, vietas Teoremas.
SeZlebT teqsturi amocanebis amoxsnas kvadratuli
gantolebis meSveobiT, vietas Teoremis gamoyenebiT
gantolebis fesvebis povnas, kvadratuli
samwevris daSlas mamravlebad.
7

I
Tavi
8
f funqciaa
h ar aris funqciaa
vTqvaT, X da Y raime
aracarieli simravleebia.
Tu X simravlis
nebismier x elements
Seesabameba Y simravlis
erTaderTi
elementi, amboben,
rom mocemulia
asaxva
X simravlisa Y simravleSi
da weren
f : X → Y.
asaxva, funqcia erTmaneTis
sinonimebia.
y = f(x) elements
x elementis saxe
ewodeba, xolo x elements,
roca y = f(x), y elementis
winasaxe
ewodeba.
1 funqcia
Teoria praqtikis gareSe fantaziaa,
praqtika Teoriis gareSe _ qaosi.
m. avreliusi
bunebaSi, teqnikasa da ekonomikaSi sxvadasxva movlenebis
Seswavlisas, xSirad cdebis saSualebiT vadgenT
erTi sididis meoreze damokidebulebas. xSirad
ki am damokidebulebebis gamosaxvas formulis sa-
SulebiTac vaxerxebT.
SeviswavloT or sidides Soris funqciuri damokidebuleba.
funqcia, misi Tvisebebis Seswavla da grafikis ageba
xSirad gvexmareba bevri amocanis amoxsnaSi, zogjer
ki igi amocanis amoxsnis erTaderTi `iaraRia~.
vTqvaT, mocemulia D da E aracarieli ori ricxviTi
simravle.
D da E simravleebs Soris Sesabamisobas, roca D simravlis
nebismier x elements Seesabameba E simravlis erTaderTi y
elementi, funqcia 1) ewodeba .
funqciis aRsaniSnavad xSirad laTinur patara f, g, h, ... asoebs
xmaroben. viciT, rom winadadeba _ `f aris funqcia D simravlisa
E-Si~ _ mokled ase Caiwereba:
f:D→E, an kidev _ y=f(x),
sadac x damoukidebeli cvladia _ argumenti, y _ damokidebuli
cvladi anu funqcia, xolo f _ wesi, romliTac x elements
Seesabameba y elementi. simbolo f(x) aRniSnavs im y ricxvs,
romelic gansazRvris aridan aRebul x ricxvs f wesis mixedviT
Seesabameba. e.i. Tu f: x → 3x – 1, maSin
f(x) = 3x – 1,
f(1) = 3·1 – 1 = 2
f(4) = 3·4 – 1 = 11
f wesiT nebismier ricxvs Seesabameba
gasamkecebul am ricxvs
gamoklebuli erTi.
f(a) = 3a – 1
D simravles, saidanac mniSvnelobebs Rebulobs damoukidebeli
cvladi, funqciis gansazRvris are ewodeba; xolo damokidebuli
y cvladis mier miRebuli mniSvnelobebi funqciis mniSvnelobaTa
E simravles qmnis.
aris Tu ara qvemoT mocemuli Sesabamisoba funqcia?
dadebiTi pasuxis SemTxvevaSi i poveT misi gansazRvris are:
a) x → 2x – 5, Tu 0 ≤ x ≤ 7;
1) aseT Sesabamisobas sxvanairad asaxva ewodeba.

) x → ± ;
g) marTkuTxedis sigrZe → misive farTobi, Tu marTkuTxedis
perimetri 20 sm-ia;
d) x → 5
x–1 ;
e) meridiani → am meridianze mdebare qalaqi.
funqciis ganmartebidan gamomdinareobs, rom funqciis mocemisas
cnobiliundaiyosmisigansazRvrisarec.SevniSnoT,romfunqciis
gansazRvris are zogjer SesaZloa mocemuli amocanis pirobidan
ganisazRvros, zogjer igi cxadadaa miTiTebuli, zogjer ki y=f(x)
funqcia mocemulia analizurad, magram ar aris miTiTebuli misi
gansazRvris are. aseT SemTxvevaSi y=f(x) funqciis gansazRvris
ared CaiTvleba damoukidebeli cvladis yvela im mniSvnelobaTa
simravle, romelTaTvisac f(x) gamosaxulebas azri aqvs.
magaliTad,
1. vTqvaT, mocemulia funqcia: y=2x–5, 0≤ x ≤7. cxadia, am SemTxvevaSi
D(y) = [0;7].
2. dawereT funqcia, romelic marTkuTxedis sigrZes Seusabamebs
mis farTobs, Tu cnobilia, rom marTkuTxedis perimetri 20 sm-ia.
advili sanaxavia, rom am funqcias eqneba Semdegi saxe:
f : x → –x2 + 10x,
anu y = –x2 + 10x.
amocanis pirobidan gamomdinare, x>0 da amave dros x

I
Tavi
gasaxseneblad!
p(A) = m n ,
sadac m xdomilobis
xelSemwyob SemTxvevaTa
raodenobaa,
xolo n yvela SesaZlo
SemTxvevaTa
ricxvi.
10
naxazze mocemulia y=f(x) funqciis grafiki.
aRwereT, rogor vipovoT funqciis
mniSvneloba, roca x=1; 3,5 da piriqiT rogor
vipovoT x, Tu f(x)=4; 0; 1.
ganvixiloT amocana:
gaagores ori, lurji da wiTeli kamaTeli.
ipoveT imis albaToba, rom lurj kamaTelsa
da wiTel kamaTelze mosuli ricxvebis
sxvaoba toli iqneba –2-is, 1-is. SeadgineT
p Sesabamisobis cxrili, sadac p: mosul
ricxvTa sxvaoba → am sxvaobis mosvlis albaToba (igulisxmeba
lurj kamaTelze mosul ricxvs gamoklebuli wiTel kamaTelze
mosuli ricxvi). aageT p Sesabamisobis grafiki. iqneba Tu ara es
Sesabamisoba funqcia?
cxrili 1
0 1 2 3 4 5
–1 0 1 2 3 4
–2 –1 0 1 2 3
–3 –2 –1 0 1 2
–4 –3 –2 –1 0 1
–5 –4 –3 –2 –1 0
1-li cxrilis saSualebiT SevadginoT p Sesabamisobis cxrili.
sxvaoba –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
albaToba
1
36
2
36
3
36
6 – |m|
6 – |m|
p : m → , anu p(m) = , m ∈ {–5; –4; –3; ...; 4; 5}
36 36
p(–2) = 4 1 5
36 = 9 ; p(1) =
36 .
p Sesabamisoba funqciaa. avagoT am funqciis grafiki.
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36

funqciis mniSvnelobaTa simravlea E(p) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
36 36 36 36 36 36}
miRebuli grafikidan kidev sxva Tvisebebis amokiTxvac SegviZlia.
rogor icvleba mosuli ricxvebis sxvaobis albaToba,
roca m izrdeba: a) –5-dan 0-mde? b) 0-dan 5-mde?
rogoria m-is da –m-is mosvlis albaToba?
aqvs Tu ara p funqcias simetriis RerZi? simetriis centri?
CamoayalibeT areze mocemuli winadadebis sawinaaRmdego
winadadeba.
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. X da Y simravleebs Soris Sesabamisobas, roca X simravlis
nebismier elements Seesabameba Y simravlis ? funqcia ewodeba.
2.
a elements b elementis ? ewodeba, b elements ki a elementis
? .
3. CasviT gamotovebul adgilas niSnebi
; = naxazze mocemuli y=f(x)
funqciisTvis:
f(–3) ? 0; f(2) ? 0;
f(3) ? f(–1); f(–1) ? 0.
b
4. f funqciisTvis D(f) = ? ; E(f) = ? .
5. marTkuTxa sakoordinato sibrtyis yvela im wertilTa simravles,
romelTa koordinatebi akmayofilebs y=f(x) gantolebas,
y=f(x) funqciis ? ewodeba.
6. mocemuli y=x 2 –1 funqciisTvis, roca argumentis mniSvneloba
udris 3-s, maSin funqciis mniSvneloba tolia ? , xolo roca
funqciismniSvnelobaa3-istoli,maSinargumentismniSvneloba
udris ? .
yuradReba!
y 2
x y 1
2
y2 f wiri
ar aris funqcia
f – funqciaa
sakoordinato
sibrtyeSi mocemuli
wiri aris funqcia,
Tu y RerZis
paraleluri
nebismieri wrfe
wirs kveTs
araumetes erT
wertilSi.
11

I
Tavi
–4
12
4
a)
savarjiSoebi:
1 ricxviT simravleebs Soris davamyaroT Semdegi Sesabamisoba:
a) yovel ricxvs SevusabamoT am ricxvis kvadrati.
b) yovel arauaryofiT ricxvs SevusabamoT is ricxvi, romlis
kvadratic mocemuli ricxvia.
aris Tu ara ganxiluli Sesabamisoba funqcia?
2 naxazze mocemuli wirebidan romelia raime funqciis grafiki?
a) b) g) d) e)
3 mocemulia f(x)=2x 2 –3 funqcia. ipoveT: a) f(–2); f(0); f(1,5);
b) ipoveT x-is is mniSvnelobani, romelTaTvisac f(x)=1; f(x) = –2;
f(x)=5.
4 aris Tu ara x da y cvladebs Soris cxrilSi mocemuli Sesabamisoba
funqcia?
x 1 –1 1
b)
x –2 –1 1
g)
x –2 –1 0 1
y 3 2 1 y –7 –2 2 y 5 2 1 2
5 naxazze mocemulia y=f(x) funqciis grafiki:
a) dawereT funqciis gansazRvris are; mniSvnelobaTa are;
b) SeadareT erTmaneTs f(–3) da f(2);
g) ipoveT Sualedebi, sadac f(x) Rebulobs dadebiT,
uaryofiT mniSvnelobebs.
6 erTi burTi 8 lari Rirs. 1 Tojina _ 12 lari. unda SeiZinon
sul 15 saTamaSo. dawereT funqcia f : burTebis raodenoba →
gadaxdili Tanxa. ipoveT am funqciis gansazRvris are. ipoveT
funqciis udidesi da umciresi mniSvneloba.
7 dawereT y=f(x) funqcia da ipoveT f(4), f(–3), f(0), Tu x ricxvs
Seusabames:
a) gasamkecebul am ricxvs damatebuli xuTi;
b) am ricxvis moduls damatebuli am ricxvis Sebrunebuli
ricxvi;
g) Sebrunebul am ricxvs damatebuli TviT es ricxvi;
d) am ricxvs damatebuli misi mopirdapire ricxvi.

8 mdebareobs Tu ara y = x 2 –5 funqciis grafikze wertilebi A(3;4);
B(–7;40); C(–5;20); D(0;–5).
9 naxazze mocemulia ianvris TveSi temperaturis droze damokidebulebis
grafiki. upasuxeT Semdeg kiTxvebs:
4
t°
1 10 20 31
dReebi
a) ianvris romel dReebSi iyo temperatura 0°-ze naklebi? meti?
b) risi toli iyo temperatura 5 ricxvSi; 15 ricxvSi; 25 ricxvSi?
g) iyo Tu ara temperatura ianvris romelime ricxvSi –6°; +6°;
0°. Tu iyo, romel ricxvSi?
d) rodis iyo temperatura yvelaze maRali, dabali? ramdeni
gradusi iyo temperatura am dros?
aris Tu ara mocemuli damokidebuleba funqcia?
10. turistTa jgufi gaemgzavra istoriuli Zeglis sanaxavad.
naxazze mocemulia turistTa jgufis sawyisi punqtidan
daSorebis droze damokidebulebis grafiki. grafikis
mixedviT upasuxeT Semdeg SekiTxvebs:
km
240
210
180
150
120
90
60
30
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 sT
1)moZraobisdawyebidanramanZilzeimyofebodnenturistebi
t sT-is Semdeg, Tu t = 1; 1,5; 3; 9?
2) romel saaTze dabrundnen turistebi ukan, Tu isini
gavidnen dilis 8sT-ze?
3) gasvlis adgilidan ra manZilze imyofeboda istoriuli
Zegli da ramden saaTs gaCerdnen turistebi iq?
13

I
Tavi
14
4) rodis moawyves turistebma Sesveneba da ramdeni xniT?
ra iyo maTi siCqare Sesvenebamde, Sesvenebis Semdeg istoriul
Zeglamde da ra siCqariT moZraobdnen isini ukan
dabrunebisas?
5) ra iqneboda turistebis saSualo siCqare, maT rom es man-
Zili Seusveneblad gaevloT?
11 Tu f(x)=5x+3, ipoveT f(0); f(1); f(4) da f(–3) ricxvebis saSualo
ariTmetikuli.
12 CawereT mocemul funqciaTa gansazRvris are da mniSvnelobaTa
simravle:
a) y
b) y g) y
x
x x
13 naxazze mocemulia [–5;8] Sualedze gansazRvruli y=f(x)
funqcia. ramden gansxvavebul mTel mniSvnelobas Rebulobs
es funqcia?
y
5,2
–5,2
14 marTkuTxa paralelepipedis fuZis erTi gverdis sigrZe
meoreze 2 sm-iT metia, xolo simaRle fuZis orive gverdis
jamis tolia. dawereT paralelepipedis moculobis gamosaTvleli
formula da iangariSeT misi mniSvneloba, Tu
paralelepipedis simaRle 14 sm-ia.
15 Tavisuflad vardnili sxeulis mier gavlili manZili gamoiTvleba
S = gt2
2
formuliT. sxeuli vardeba H m simaRlidan.
ipoveT funqciis gansazRvris are.
x

16 ipoveT funqciis gansazRvris are:
a) y = 4x 2 – 7x + 1; b) y = ; g) y = ;
d) y = ; e) y = ; v) y = .
17 dawereT funqcia, romlis gansazRvris area:
a) R; b) [2;∞); g) R\{1;–1}; d) R\{–3}.
18 SeiZleba Tu ara 1 m fuZis mqone samkuTxedis farTobi iyos
10 6 m 2 -is toli? dawereT funqcia
f: samkuTxedis simaRle → samkuTxedis farTobi.
amocana damoukidebeli kvlevisTvis:
1. SeadgineT funqcia, romelic aRwers wylis Tanabari gamodinebis
SemTxvevaSi wylis moculobis damokidebulebas droze.
xelsawyoebi: 10-litriani danayofebiani WurWeli (bijiT 0,1 l) da
saaTi.
2. SeadgineT funqcia, romelic aRwers cilindris moculobis missave
simaRleze damokidebulebas. xelsawyoebi: ramdenime cilindruli
WurWeli (danayofebiani), santimetri.
kvadrati zomiT 8×8 daWrilia nawilebad ise, rogorc nax. a)-zea da miRebuli
nawilebisagan Sedgenilia marTkuTxedi (nax. b).
?
64 = 65
S=5·13=65
S=8·8=64
a) b)
15

I
Tavi
16
2 amovicnoT wrfivi funqcia
1. Caatares cda: wyliT savse kolba dadges spirtquraze. drois
aTvla daiwyes im momentidan, roca wylis temperaturam miaRwia
60°-s. cxrilSi mocemulia wylis temperaturis damokidebuleba
droze.
dro wuTebSi 0 2 4 6 8 10
wylis temperatura 60° 68° 76° 84° 92° 100°
a) rogoria cxrilSi mocemuli damokidebuleba?
b) dawereT funqcia f : dro → wylis temperatura da aageT
Sesabamisi grafiki;
g) grafikis saSualebiT ipoveT wylis temperatura gacxelebidan
7 wuTis Semdeg.
d) ramden wuTSi miaRwevs wylis temperatura 80°-s?
e) ipoveT miRebuli funqciis gansazRvris are (spirtqura wylis
aduRebisTanave gamorTes).
e.i.
cxrilis mixedviT, rogor mimdevrobas qmnis argumentis mniSvnelobebi?
funqciis mniSvnelobebi?
iqneba Tu aracxriliT mocemuli damokidebuleba wrfivi?
rogor funqcias ewodeba wrfivi funqcia?
x 1
x 2 = x 1 + a
x 3 = x 2 + a = x 1 + 2a
......................................
x k = x k–1 + a = x 1 + (k–1)a
......................................
gavixsenoT: Tu wrfivi funqciis argumentis
mniSvnelobebs erTi da imave a erTeuliT gavzrdiT,
maSin funqciis Sesabamisi mniSvnelobebi
erTi da imave ka erTeuliT Seicvleba (gaizrdeba,
Tu k>0 da Semcirdeba, Tu k

davweroT (x 1 , y 1 ) da (x 2 , y 2 ) wertilebze gamavali wrfis gantoleba.
– y1 = kx + b 1
y = kx + b
y = 1
2 2 c a x1 + b ⇒ b = y1 – c a x1 aqedan
___________
c = ak y = c a x + y1 – c a x1 da
k = c a
saZiebeli wrfis gantoleba iqneba y = c a (x – x1 ) + y1 .
vaCvenoT, rom am wrfeze mdebareobs nebismieri (x ; y ) wertilic.
k k
y = k c a (xk –x1 )+y1 , aqedan y1 + (k–1)c = c a (k – 1)a + y , miviReT 0 = 0.
1
e. i. aseTi Tvisebis mqone y=f(x) funqcia wrfivi funqciaa.
ra geometriul figuras qmnis yvela im wertilis
simravle, romelTa ordinata nebismieria, xolo
abscisa a-s tolia? (pasuxi daasabuTeT).
imedia, sworad mixvdiT, saZiebeli geometriuli figura
aris y RerZis paraleluri wrfe, romelic x RerZs kveTs (a;0)
wertilSi.
aris Tu ara mocemuli wrfe raime funqciis grafiki?
e .i . sakoordinato sibrtyeSi mocemuli nebismieri wrfe
moicema y = kx+b an x = a gantolebiT .
ukve advilad SevZlebT pasuxi gavceT paragrafis dasawyisSi
mocemul amocanaSi dasmul SekiTxvebs.
amoxsna:
a-b) cxrilidan Cans, rom argumentis mniSvnelobebi izrdeba 2-iT,
xolo Sesabamis funqciis mniSvnelobaTa nazrdi 8-is tolia, e.i.
mudmivia. aseTi funqcia wrfivi funqciaa. wrfis gantolebis
dasawerad y = kx + b gantolebaSi CavsvaT romelime ori wertilis,
magaliTad, (0;60) da (2;68) wertilTa koordinatebi. miviRebT
60 = 0·k + b
, e.i. wrfis gantolebaa y = 4x + 60.
68 = 2·k + b
g) Tu x=7, maSin y=88,
e.i. 7 wuTis Semdeg temperatura 88°C iqneba;
d) y=4x+60 gantolebaSi y-is nacvlad CavsvaT 80.
80=4x+60
x=5.
5 wuTSi.
e) funqciis gansazRvris area [0;10] Sualedi.
x 2 –x 1 – argumentis nazrdi;
y 2 –y 1 – funqciis nazrdi.
ΔABM=ΔBCN ⇒∠BAM=∠CBN
C∈AB wrfes.
x=a
17

I
Tavi
18
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. Tu y = 3x + 5 funqciisTvis arguments mivaniWebT mniSvnelobebs
bijiT1, maSinSesabamisifunqciismniSvnelobebierTmaneTisagan
? gansxvavdeba.
2. TuargumentismudmivinazrdisSemTxvevaSifunqciisSesabamisi
nazrdebi tolia, maSin es funqcia ? funqciaa.
3. Tu y = –2x + 3 funqciis mniSvnelobaTa mimdevrobis yoveli wevri
winaze 4-iT naklebia, maSin argumentis Sesabamisi mniSvnelobebi
erTmaneTisagan ? -iT gansxvavdeba.
savarjiSoebi:
1 m ricxvis 5-ze gayofisas miiReba ganayofi k da naSTi 3. dawereT
Sesabamisi formula. ra damokidebulaa k-sa da m-s Soris? aris
Tu ara es damokidebuleba wrfivi funqcia. ipoveT m, roca
gamyofi tolia 4; 5; 6. dawereT funqciis gansazRvris are;
mniSvnelobaTa simravle.
2 mgzavri pirvel saaTSi gadis 3km-s da yovel Semdeg sT-Si 2kmiT
mets. SeadgineT mgzavris mier pirvel 10sT-Si gavlili
manZilebis cxrili. aageT Sesabamisi grafiki. aris Tu ara
mocemuli damokidebuleba wrfivi funqcia? dawereT Sesabamisi
damokidebulebis formula.
3 bavSvTa sacurao auzis gaxsnis pirvel dRes 14 bavSvi movida,
xolo yovel Semdeg dRes 3 bavSviT meti modioda. gaxsnidan
romel dRes miva auzze 44 bavSvi,32 bavSvi,26 bavSvi. iqnebaTu ara
romelime dRes 22 bavSvi? SeadgineT cxrili: dReebi → im dRes
bavSvebis raodenoba. aris Tu ara aRniSnuli damokidebuleba
wrfivi funqcia?
4 gaarkvieT aris Tu ara cxrilSi mocemuli damokidebuleba
wrfivi funqcia: dadebiTi pasuxis SemTxvevaSi dawereT Sesabamisi
formula.
a) x –5 –2 1 4 7
b) x –4 –2 0 2 4
y 4 3 2 0 –1 y 6 3 0 –3 –6
g) x –3 –2 –1 0 1 2
d) x –4 –3 –2 –1 1 2
y –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 y 5 4 3 2 1 0

5. cnobilia, rom x da y cvladebs Soris arsebobs wrfivi
damokidebuleba. SeavseT carieli ujrebi:
a) x 0 1 2 3 4 5
b) x –2 0 2 4 6 8
y –3 0 y –5 1
6. N pirovnebam isesxa 1000 lari im pirobiT, rom yovelTviurad
mevalisaTvis dasabrunebeli Tanxa gaizrdeboda nasesxebi
Tanxis (1000 laris) 5%-iT.
SeadgineT cxrili Tveebi → dasabrunebeli Tanxa. rogori
damokidebuleba arsebobs dasabrunebel Tanxasa da Tveebis
raodenobas Soris? dawereT Sesabamisi formula (miRebul
formulas martivi procentis formula ewodeba).
7. urnidan, romelSic 5 TeTri da 8 wiTeli birTvia, iReben or birTvs.
ipoveT imis albaToba, rom orive birTvi wiTeli ferisaa.
8. miwis nakveTis gegmas aqvs paralelogramis forma. ipoveT nakveTis
farTobi, Tu gegmaze paralelogramis maxvili kuTxea
30°, gverdebi ki 21 sm da 8 sm-ia. cnobilia, rom gegma Sesrulebulia
1 : 100 000 masStabiT.
9. glexi Wyint yvels 6 larad yidis, xolo Semagrebuls _ 6,5
larad. cnobilia, rom transportirebisas Wyinti yvelis
yovel kilograms gasdis 100 gr/wyali. ra ufro momgebiania
movaWrisTvis, iyidos 20kg Wyinti Tu Semagrebuli yveli?
10. romel sakoordinato meoTxedebSi gaivlis y=kx+b funqciis
grafiki, Tu:
a) k>0; b0; b>0;
e) k

I
Tavi
20
proeqti:
gazomvebidan funqciebamde
1 onkanidan danayofebian cilindrul WiqaSi wveTavs wyali
(nax. 1).
a) daadgineT dagrovili wylis moculobis damokidebuleba
wveTebis raodenobaze. rogoria es damokidebuleba?
SeavseT Sesabamisi cxrili:
wveTebisraodenoba 50 100 150 200 250
moculoba
amocana damoukidebeli kvlevisTvis:
14. mocemulia y=kx+bfunqcia.vTqvaTx 1 , x 2 , . . ., x n . . . argumentismudmivinazrdis
mqone mimdevrobaa, sadac Δx=x k –x k–1 =m. funqciis Sesabamisi mniSvnelobebi
iyos y 1 , y 2 , . . . , y n , . . . Sesabamisi Δy=n nazrdiT. ipoveT k koeficienti.
15. aCveneT,romcxriliTmocemulidamokidebuleba
wrfivia da pirveli amocanis mixedviT ipoveT k
koeficienti.
b) dawereT funqcia f : wveTebis raodenoba → moculoba sm 3 .
g) miRebuli formulis saSualebiT ipoveT moculoba, Tu
wveTebis raodenobaa: 500, 2000, 5000.
2 aiReT WanWiki (nax. 2). gamoikvlieT funqcia
f : qanCis datrialebis ricxvi → d manZili.
a) daatrialeT qanCi bolomde da gazomeT d
sigrZe. Semdeg daatrialeT TandaTanobiT qanCi
ukan da Sesabamisad gazomeT d manZilis ramdenime
mniSvneloba;
b) dawereT f funqcia me-3 nax.-is mixedviT;
g) me-3 nax.-is mixedviT gansazRvre AM-is sigrZe.
ipoveT ra manZilze iwevs qanCi erTi sruli
brunvisas.
x –3 –1 1 3 5
y 0 3 6 9 12
nax.1
nax. 2
3 SeadgineT denis Zalis (I) Zabvaze (V) damokidebulebis
funqcia.
miTiTeba: cdis Casatareblad aiReT nebismieri zomis gamtari da SeadgineT
wredi. Semdeg cvaleT Zabva da gazomeT Sesabamisad rogorc Zabvis, ise denis
sidide. monacemebi CaiwereT cxrilSi. cxrilis saSualebiT aageT grafiki. Semdeg
SecvaleT gamtari da gaimeoreT igive procesi Tavidan. daakvirdiT miRebul
Sedegebs da gamoitaneT gonivruli daskvna.
d

3 f: x→x 2 funqcia
dawereT funqciuri damokidebuleba:
kvadratis gverdis sigrZe → kvadratis
farTobi.
avagoT f : x →x 2 funqciis grafiki, risTvisac Seva dginoT Sesabamisi
cxrili da miRebuli wertilebi mo vniSnoT marTkuTxa sako ordinato
sistemaSi.
x x 2
–2 4
–1,5 2,25
–1 1
–0,5 0,25
0 0
0,5 0,25
1 1
1,5 2,25
2 4
Tu miRebul wertilebs SevaerTebT, miviRebT wirs, romelic warmoadgens
f : x →x 2 funqciis grafiks.
f : x →x 2 funqciis grafiks parabola ewodeba .
f : x →x 2 funqciis Tvisebebi parabolis Tvisebebi
1. y=x 2 funqciis mniSvnelobebi
arauaryofiTia.
2. x-is nebismieri mniSvnelobisa
Tvis sruldeba: f(x) = f(–x).
3. funqciisumciresimniSvnelo -
baa 0. f(0)=0.
magaliTi 1.
(-a;b)
2 2
b=(-a) =a
-3
-a -1 0
1. parabola moTavsebuliax-Rer-
Zis zeda naxevarsibrtyeSi.
2. simetriulia y-RerZis mimarT.
3. M(0,0) wertili parabolis `uRrme
si~ wertilia. mas parabolis
wvero ewodeba.
mdebareobs Tu ara y=x 2 formuliT mocemul funqciis grafikze
wertili: a) M(–2 ,12), b) N(3,1; 9,51).
-2
y
4
3
b
2
1
nax. 2
1 a
(a;b), b=a 2
2
3
x
nax. 1
daamzadeT parabolis
Sabloni da
gamoiyeneT SemdgomSi
dasaxazad.
f(x) = x 2
f(–x) = (–x) 2 = x 2
funqcias, romlis
grafiki simetriulia
y RerZis mimarT,
luw funqcias uwodeben,
e.i. y=x2 luwi
funqciaa.
21

I
Tavi
22
y
10
-3 -2 -1 0 1 2 3
9
8
7
6
5
4
3
2
1
nax. 1
amoxsna:
a) y=x 2 gantolebaSi x-is nacvlad CavsvaT M wertilis abscisa.
miviRebT y = (–2 ) 2 = 4 · 3 = 12.
e.i. M(–2 ,12) mdebareobs y=x 2 funqciis grafikze.
b) y = (3,1) 2 = (3 + 0,1) 2 = 9 + 2·3·0,1 + 0,01 = 9,61.
e.i. N(3,1; 9,51) ar mdebareobs y=x 2 funqciis grafikze.
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. y = x 2 funqciis grafiki ? .
2. y = x 2 funqciis mniSvnelobebi x-is nebismieri mniSvnelobis-
Tvis ? .
3. parabolis wveroa M ( ? ; ? ).
4. y = x 2 funqciis umciresi mniSvnelobaa y = ? .
5. Tu 0

3 ujredebiani rveulis furcelze SabloniT aageT
y = x2 formuliT mocemuli funqciis grafiki. grafikis
mixedviT ipoveT:
a) x-is mniSvneloba, Tu y(x) = 9; 3,2; 8.
b) f(–3); f(0); f(2,7); f(3).
g) rogori mniSvnelobebis miReba SeuZlia x-s — daadgineT
y = x 2 funqciis gansazRvris are.
d)rogoricvlebafunqciismniSvnelobebi,Tuxizrdeba:
1) –∞-dan 0-mde; 2) 0-dan +∞-mde?
4 mocemulia f : x→x 2 funqcia. SeavseT cxrilSi carieli ujrebi
ise, rom pirvel striqonSi x-is mniSvnelobebi zrdis mixedviT
iyos dalagebuli.
x –4 0 1 3
f(x) 9 4 4
5 mdebareobs Tu ara f(x)=x 2 funqciis grafikze wertilebi:
A(–1,5; 2,25); B(2,3; 4,29); C(1,3; 1,6); D(–0,2; 0,04).
6 mTamsvleli A mwvervalis dalaSqvris Semdeg
gaemarTa B mwvervalis dasap y robad. wiri,
romelzec unda imoZraos mTa msvlelma, parabolaa.
ipoveT xeobis siR r me, Tu mwver valebs
Soris manZili 80 m-ia (mwvervalebis simaRle
zRvis donidan to lia).
7 erTsa da imave marTkuTxa sakoordinato
sistemaSi daxazeT f : x →x 2 (SabloniT) da
g : x → x + 3 funqciaTa grafikebi. abscisaTa
RerZze (wiTlad SeaferadeT) is wertilebi,
romelTaTvisac sruldeba:
a) x 2 = x + 3; b) x 2 < x + 3; g) x 2 ≥ x + 3.
x
1
1
8 x sm sigrZis gverdis mqone kvadratis
kuTxeebSi amoWres 1 sm sigrZis gverdis
mqone patara kvadratebi (nax. 1). dawereT
funqcia, romelic Tavdapirveli
kvadratis gverdis sigrZes uTanadebs
miRebuli figuris (cisferi) farTobs;
9 F wertili mdebareobs y = x 2 +C funqciis grafikze. ipoveT C
ricxvi, Tu:
a) F(0;2); b) F(11;0); g) F(1;12); d) F(4;28).
10* cnobilia, rom y=x 2 funqciis grafikze mdebareobs wertili
A( m;27). mdebareobs Tu ara imave grafikze:
a) M(5; 8|m|+1) wertili; b) M(2m; m 2 – 1) wertili.
A
6
5
4
3
2
1
y
0
parabolis Sabloni
80 m
h
B
x
gasaxseneblad!
Tu wertili mdebareobs
grafikze,
maSin misi koordinatebi
akmayofilebs
grafikis Sesabamis
gantolebas.
23

I
Tavi
24
15%
1,5 < n ≤ 2
20%
1 < n ≤ 1,5
11 SeamCnieT kanonzomiereba da dawereT mimdevrobis kidev sami
wevri:
a) − ; 2 ; −4 ; ... b) 4; 12; 36; ...
g) 2 − ; 1; 2 + ; ... d) 1; 1+ ; 1+ 2 ; ...
12 rogorc viciT, saaTze wuTebis 60 danayofia. didi isari
1 saaTSi gadis 60 danayofs, patara ki _ 5 danayofs. amasTan,
didi isari erT saaTSi asrulebs 360°-ian bruns.
a) gamosaxeT danayofebiT: 1°, 30°, 45°, 90°, 180°;
b) gamosaxeT gradusebiT: 1; 5; 10; 30 danayofi;
g) gamosaxeT danayof-saaTebiT (dan/sT) saaTis didi da patara
isrebis siCqareebi.
A
35%
0 < n ≤ 0,5
30%
0,5 < n ≤ 1
B
D
C
E
13 ramdeni gradusia naxatze gamosaxul saa-
Tis isrebs Soris?
14 Svidis 10 wuTze ramdeni gradusia saaTis
isrebs Soris?
15 Tu axla 2 saaTia, ramdeni saaTis Semdeg
iqneba pirvelad saaTis isrebs Soris
kuTxe 90 gradusi?
16 skolaSi, romelSic 1200 moswavle swavlobs,
Caatares gamokiTxva – saSualod
ramden saaTs (n) uTmobs moswavle kompiuterul
TamaSebs. kiTxvas ar upasuxa
100-ma moswavlem, danarCen moswavleTa pasuxebi
mocemulia wriul diagramaze.
a) ramdeni moswavle uTmobs kompiuterul
TamaSebs 0,5 sT-ze mets?
b) ramdeni moswavle uTmobs kompiuterul
TamaSebs 1 sT-ze naklebs?
17 naxazze Sefardebulia wris 1
; ∠B=25°.
4
ipoveT CDE kuTxis gradusuli zoma.

4 kvadratuli
gantolebis grafikuli
amoxsna
1. kvadratuli formis yvavilnars 1m siganis zoli
miuerTes. miRebuli nakveTis farTobi 6 m 2 -ia.
ipoveT Tavdapirveli nakveTis gverdis sigrZe.
amoxsna:
vTqvaT, Tavdapirveli nakveTis gverdis sigrZe x m
iyo, maSin miRebuli marTkuTxa nakveTis farTobi
iqneba x(x+1). miviReT gantoleba:
x(x + 1) = 6
x 2 + x – 6 = 0
miRebul gantolebas kvadratul gantolebas uwodeben.
ax 2 +bx+c=0 saxis gantolebas, sadac a,b,c∈R, a≠0, xolo x
ucnobia, kvadratuli gantoleba ewodeba .
a-s kvadratuli gantolebis pirvel koeficients uwodeben,
b-s _ meore koeficients, xolo c-s _ mesame koeficients
(Tavisufal wevrs).
amovxsnaT grafikulad ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 (1) gantoleba.
I. (1) gantolebas mivceT x2 = kx + m saxe.
(ax2 + bx + c = 0) ⇔ |:a
(x2 + b c
x +
a a = 0) ⇔ (x2 = – b c
x –
a a )
Tu – b c
≡ k da – ≡ m,
a a
maSin miviRebT x2 = kx + m.
II. erTsa da imave marTkuTxa
sakoordinato sistemaSi avagoT
y = x 2 da y = kx + m funqciaTa
grafikebi.
magaliTad,
x 2 = _0,5x + 1,5
(x 2 = –0,5x +1,5) ⇔
x = –1,5
x =1
III. grafikebis gadakveTis
wertilTa abscisebi iqneba (1)
gantolebis amonaxsnebi.
ramdeni saerTo wertili
SesaZlebelia hqondes
wrfesa da parabolas?
parabolas wrfesTan
SesaZlebelia hqondes:
I. ori saerTo
wertili
II. erTi saerTo
wertili
III. arc erTi saerTo
wertili
25

I
Tavi
26
nax. 1
kvadratul gantolebas SesaZlebelia hqondes erTi
amonaxseni, ori amonaxseni an arc erTi amonaxseni.
amovxsnaT paragrafis dasawyisSi dasmuli amocanis
Sesabamisi gantoleba:
x 2 + x – 6 = 0
gantolebas mivceT saxe: x 2 = –x + 6
avagoT y = x 2 da y = –x + 6 funqciaTa grafikebi.
radgan sigrZe arauaryofiTi ricxviT gamoisaxeba,
amitom amocanis amonaxseni iqneba A wertilis abscisa.
e. i. x = 2.
maSasadame, Tavdapirveli kvadratis gverdis sigrZe
2 m-ia.
magaliTi 1
amoxseniT grafikulad x 2 = m (1) gantoleba.
amoxsna:
avagoT y = x2 da y = m funqciaTa grafikebi. Tu
davakvirdebiT 1-el naxazs, advilad davaskvniT, rom
erTi amonaxseni, roca m = 0
x 2 = m gantolebas aqvs ori amonaxseni, roca m > 0
arc erTi amonaxseni, roca m < 0
kerZod, Tu m = 0, maSin (1) gantolebis amonaxseni iqneba x = 0.
xolo, roca m > 0, maSin (1) gantolebis amonaxsnebi iqneba x = 1
da x = − (axseniT, ratom?).
2
amrigad,
m0
x∈∅ x∈{0} x∈{ ; − }
magaliTi 2
amoxseniT grafikulad Semdegi gantoleba: 2x2 – 3x + 5 = 0.
amoxsna:
b) (2x2 – 3x + 5 = 0) ⇔ (x2 + 3 5
x +
2 2 = 0) ⇔ (x2 = 3 5
x –
2 2 )
avagoT y = x2 da y = 3 5
x – funqciaTa grafikebi. radgan
2 2
miRebul grafikebs saerTo wertili ara aqvs, maSasadame
gantolebas amonaxseni ar eqneba. e.i. amonaxsenTa
simravle iqneba ∅ .

magaliTi 3
amoxseniT gantolebebi: a) x 2 – 5 = 0; b) 3x 2 + 2 = 0; g) (x – 7) 2 = 10.
amoxsna:
a) (x2 − 5 = 0) ⇔ (x2 = 5) ⇔ (x = ± );
b) (3x2 + 2 = 0) ⇔ (x2 = – 2
3 ) ⇔ (x ∈ ∅);
g) ((x − 7) 2 x – 7 = x = 7 +
= 10) ⇔
x – 7 = – ) ⇔
x = 7 –
e.i. x = 7 + 1 ; x = 7 − 2 .
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. x 2 – 2x – 3 = 0 gantolebis pirveli koeficientia ? , meore
_ ? , mesame _ ? .
2. Tu y = x2 da y = kx + b wrfes aqvs a) erTi saerTo wertili;
b) ori saerTo wertili; g) arc erTi saerTo wertili
Sesabamisad, x2 – kx – b = 0 gantolebas eqneba a) ? amonaxseni;
b) ? amonaxseni; g) ? amonaxseni.
3. a) Tu x 2 = 3, maSin x = ? ; b) Tu x 2 = –5, maSin x = ? ; g) Tu x 2 = 16,
maSin x = ? .
4. f : x → x2 da g: x → – 1
x – 7 funqciaTa gadakveTis wertilebis
2
abscisebi aris ? = 0 gantolebis amonaxsnebi.
savarjiSoebi:
1 gantoleba amoxseniT grafikulad:
a) x2 + 3x + 2 = 0; b) x2 + 5x + 4 = 0; g) x2 + 2x + 4 = 0;
d) x2 = 1; e) 0,1x2 – 2 = 0; v) 5,4x2 + 3 = 0;
z) x2 + 4x + 4 = 0; T) x2 + 3x + 5 = 0; i) 2x2 – 2 = –3x.
2 amoxseniT gantoleba:
a) x2 = 36; b) x2 = 0; g) x2 = –4;
d) x2 = 0,64; e) x2 = 5 ; v) –3x2 = –48;
z) 0,2x2 + 3 = 0; T) 2x2 = 40; i) x2 = ;
k) x2 + 3 = 12; l) x2 – 0,69 = 1; m) 2 – x2 = 9;
n) (x2 – 5) 2 = 49; o) (2x + 1) 2 = 17; p) (1 – 3x) 2 = 18;
J) (x+2)(x–2)=12; r) (2x – 7)(2x + 7) = 11; s) (3x + 2) 2 – 12x + 21 = 0;
t) (x+1) 2 + x = 3x–1; u) 4x2 –(2–5x2 ) = 1
2 x2 ; f) 3x2 – 5x = 6(5x2 – 2) – 5x.
)
Tu m>0, maSin
(x2 = m) ⇔
⇔ x =
x = – )
aseve,
((x + a) 2 = m) ⇔
⇔
x + a =
x + a = –
)
yuradReba!
gantolebis grafikulad
amoxsnisas
vRebulobT
mis miaxloebiT
amonaxsens!
27

I
Tavi
28
3 dawereT kvadratuli gantoleba, romlis grafikuli amoxsna
naxazzea mocemuli.
a) b)
4 dawereT kvadratuli gantoleba, romlis grafikuli amoxsna
mocemulia naxazze.
a) b) g)
gasaxseneblad!
x=a-s y=f(x)
funqciis nuli
ewodeba, Tu f(a)=0.
5 ipoveT naxazze mocemul funqciaTa nulebi.

6 ipoveT wris radiusi, Tu misi
farTobi 2 sm sigrZis gverdis mqone
kvadratis farTobis tolia.
7 Tu axla 3 saaTia, ramden saaTSi iqneba pirvelad saaTis isrebi
erT wrfeze?
8 Tu axla 4-is 10 wuTia, ramden saaTSi iqneba pirvelad saaTis isrebs
Soris kuTxe: a) 30°, b) 90°?
9 naxazze samkuTxed ABC-Si
gavlebuli BH simaRle yofs
ABC samkuTxeds or samkuTxedad.
miuTiTeT miRebul samkuTxedebSi
simaRleTa gadakveTis
wertilebi. ramdeni
wertili miiReba?
A
N
B
S wr = S kv
S
M
2 sm
11 naxazis mixedviT ipoveT
BD, Tu AB=5 sm.
C
H
10 M da N wertilebi SABC piramidis,
Sesabamisad, SC da AB wiboebis Suawertilebia.
daasaxeleT monakveTebi
da Sesabamisi samkuTxedebi, romelTa
medianebsac es minakveTebi warmoadgenen.
A
A
C B
60°
B
F
C
D
wris farTobi
gamoiTvleba
formuliT
S = πR 2
29

I
Tavi
davazustoT!
roca D = 0,
kvadratul
gantoleba aqvs ori
erTmaneTis toli
amonaxseni.
x 1 = x 2 = – b
2a
30
5 kvadratuli gantolebis amoxsna
amocana 1
fotografiul suraTs, zomiT 12sm × 18sm, erTnairi
siganis CarCo aqvs. gansazRvreT CarCos sigane,
Tu misi farTobi suraTis farTobis tolia.
upirveles yovlisa SevniSnoT, rom CarCoiani
suraTis farTobi (ABCD marTkuTxedis farTobi)
toli iqneba CarCos da suraTis farTobebis
jamisa.
amoxsna:
vTqvaT, CarCos sigane x sm-ia, maSin CarCoiani
suraTis zomebi iqneba: AB=18+2x da AD=12+2x,
xolo farTobi ki – S =(18+2x)(12+2x). a.p.T.
ABCD
CarCos farTobi suraTis farTobis tolia,
amitom vwerT gantolebas:
(18 + 2x)(12 + 2x) = 2 · 12 · 18.
((18 + 2x)(12 + 2x) = 2 · 12 · 18) ⇔ (2(9 + x)2(6 + x) – 2 · 12 · 18 = 0) ⇔ |:4
⇔ ((9 + x)(6 + x) – 2 · 3 · 18 = 0) ⇔ (x 2 + 15x + 54 – 108 = 0) ⇔
⇔ (x 2 + 15x – 54 = 0)
miviReT kvadratuli gantoleba, romlis grafikuli amoxsnac,
rogorc viciT, sazogadod, gantolebis miaxloebiT amonaxsens
gvaZlevs. gavecnoT kvadratuli gantolebis amoxsnis analizur
xerxs.
ganvixiloT ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 (1) sruli kvadratuli gantoleba.
(ax 2 + bx + c = 0) ⇔ |· 4a
⇔ (4a 2 x 2 + 4abx +4ac =0) ⇔ |–4ac
⇔ (4a 2 x 2 + 4abx = –4ac) ⇔ |+b 2
⇔ (4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 – 4ac) | tolobis marcxena mxare sruli kvadratia
⇔ ((2ax + b) 2 = b 2 – 4ac) (2) | miviReT x 2 =m saxis gantoleba. amovxsnaT:
a) Tu b 2 –4ac

g) Tu b 2 – 4ac > 0, maSin
((2ax+b) 2 = b 2 – 4ac) ⇔
e.i. (1) gantolebas aqvs ori gansxvavebuli amonaxseni.
fesvqveSa gamosaxulebas – (b 2 – 4ac)-s diskriminants uwodeben.
igi D asoTi aRiniSneba.
D = b 2 – 4ac.
amrigad, ax 2 + bx + c =0, a≠0 kvadratul gantolebas, Tu:
a) D>0, aqvs ori gansxvavebuli amonaxseni:
x 1 = , x 2 = . (3)
b) D=0 _ erTi amonaxseni: x = – b ufro zustad, ori erTmaneTis
2a
.
toli amonaxseni x = x = –
1 2 b
2a
g) D

I
Tavi
32
amovxsnaT
formuliT
(3x 2 – 7x = 0) ⇔
⇔ (3x 2 – 7x + 0 = 0)
x =
7 + 7
x = 1 6
7 – 7
x = 2 6
= 7
3
= 0
sruli kvadratuli
gantolebis
amoxsnisas
sasurvelia b da
c koeficientebi
iyos mTeli
ricxvebi, xolo a _
naturaluri ricxvi.
e.i. CarCos sigane 3 sm-ia (x = –18 amocanis amonaxsenad ar gamogvadgeba,
radgan sigrZe yovelTvis arauaryofiTi ricxviT
gamoisaxeba).
magaliTi 1
ramdeni amonaxseni aqvs kvadratul gantolebas?
a) 5x2 – 7x – 1 = 0; b) 2x2 + 3x + 9 = 0.
amoxsna:
a) a = 5; b = –7; c = –1. b) a=2; b=3; c=9.
D = (–7) 2 – 4·5(–1) = 49 + 20 > 0 D = 32 – 4·2·9 = 9–72 < 0
gantolebas aqvs ori gansxvavebuli gantolebas amonaxseni
amonaxseni; ara aqvs.
magaliTi 2
amoxseniT gantoleba:
a) 3x2 =7x; b) 0,7x2 - 1,3x - 2 = 0; g) 3x2 - 4x - 4 = 0.
amoxsna:
a) (3x2 = 7x) ⇔ (3x2 x = 0 x = 0
-7x=0) ⇔ (x(3x-7)=0) ⇔
3x – 7 = 0 ) ⇔
x = 7 ). x∈{0;21
3
3 }
b) (0,7x2 -1,3x - 2 = 0 |⋅10) ⇔ (7x2 - 13x - 20 = 0)
a = 7; b = -13; c = -20.
D=(–13) 2 - 4·7·(–20) = 169 + 560 = 729
x =
13 ±
14
13 + 27
x = = 1 14
20
7 ; x 13 – 27
= = –1. x∈{2 2 14
6
7 ;–1}
g) a=3; b=-4; c=-4. radgan b luwi ricxvia, amitom visargebloT (4)
formuliT:
D
4 = (– 4
2 ) 2
– 3(–4) = 4+12 = 16.
2 ±
x =
3
2 + 4
x = 1 3 = 2; x 2 – 4
= 2 3
amocana 3
= – 2 . x∈{2;– 2
3 3 }
wyalsadenis avzi ori miliT 2 sT 55 wuTSi ivseba. calke pirveli
mili mas 2 saaTiT ufro swrafad avsebs, vidre calke meore mili.
ra dro dasWirdeba TiToeul mils cal-calke avzis asavsebad?
amoxsna:
2 sT 55 wT = 255 sT = 211
60 12 sT.
vTqvaT, marto pirveli mili avzs x saaTSi avsebs, maSin marto
meore mili avzs (x+2) saaTSi aavsebs. 1 saaTSi pirveli mili aavsebs
avzis 1
x
nawils, xolo meore mili – 1
x+2
nawils. orive mili 211
12

saaTSi aavsebs avzis 211 12 ( 1 + 1
x x+2 ) nawils. a.p.T. orive miliT 211
12
saaTSi mTlianad aivso avzi. vwerT gantolebas:
211 12 ( 1 + 1
x x+2 ) = 1 (mTeli avzi 1 erTeulia).
35
12 ( 1 + 1
x x+2 )
= 1; x + 2 + x
x(x + 2)
= 12
35 ;
35x + 35 = 6x 2 + 12x; 6x 2 – 23x – 35 = 0;
23 ±
x =
12
, x 1 = 5; x 2 = – 7
6 .
x + 1
x(x + 2)
= 6
35 ;
pirveli mili avzs avsebs 5 saaTSi, xolo meore _ 7 saaTSi.
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. b 2 – 4ac-s ? ewodeba.
2. mocemulia ax 2 + bx + c = 0 (1) gantoleba, Tu D>0, maSin (1)
gantoleba aqvs ? amonaxsens Tu D0.
3 amoxseniT kvadratuli gantoleba:
a) x 2 - x - 20 = 0 ; b) 2x 2 - 11x - 6 = 0 ; g) x 2 - x - 56 = 0;
d) 3z 2 - z - 4 = 0 ; e) 2t 2 + 9t + 7 = 0 ; v) 3z 2 -11z +10 = 0 .
z) x 2 + 6x + 5 = 0 ; T) x 2 - 2x - 35 = 0 ; i) 3x 2 - 4x - 5 = 0;
k) 3x 2 -10x + 9 = 0 ; l) 15x 2 - 34x +15 = 0; m) 3x 2 - 8x + 9 = 0 .
n) 84 − 3y 2 − 9y = 0 ; o) 5x − 9 = 4x 2 ; p) 49 − 28x = −4x 2 .
4 amoxseniT gantoleba:
a) 0,2x 2 − 0,1x + 0,012 = 0; b) 0,5t 2 + 0,2t + 0,52 = 0;
g) 2y 2 = 0,18 −1,6y; d) m 2 + 4 m− 2 = 0;
e*) z 2 + 2( +1)z + 2 = 0; v*) 4( −1)t 2 − 6t + ( +1) = 0.
33

I
Tavi
34
z) 10x 2 −120 + 6x = 98x − 3x 2 − 24; T) 25x 2 −3x+8=3x 2 +25x+3+7x 2 ;
i) x(3x − 7) = (x + 2) 2 + x − 4; k) (x +1)(2x + 3) = 4x 2 − 22.
5* amoxseniT gantoleba:
a) x 3 + 8x 2 + 9x = 0; b) x 3 - x 2 -56x = 0 ;
g) (x 2 + 2x +1) + 3x(x +1) 2 = 0; d) 2x 3 - 5x 2 - 42x = 0;
e) (16x 2 + 8x +1) + 5x(4x +1) 2 = 0; v) (7x 2 +14x + 7) = 24x(x +1) 2 ;
z) (25x 2 + 30x + 9) + (5 − 8x)(5x + 3) 2 = 0; T) x 2 -1- 7x(x -1)(x +1) = 0 .
6 amoxseniT gantoleba:
a) ; b) ;
g) ; d) 9 – ;
e) ; v) ; z) ;
T) . i) ; k) ;
l) ; m) ;
n) ; o) .
7* ipoveT amonaxsenTa simravle:
a) 5x 2 + 6|x| + 1 = 0; b) 5x 2 –7|x| + 2 = 0.
8 ipoveT k-s mniSvneloba, romlisTvisac gantolebis amonaxsnebia:
3; –2; 7; –1.
a) kx 2 – 2x = 0; b) 5x 2 = kx; g) 35x – kx 2 = 0.
9 dawereT mocemuli kvadratuli gantolebis pirveli, meore,
mesame koeficientebi:
a) ax 2 + (2a – 1)x + 5 = 0; b) (a – 1)x 2 – (a + 1)x + 2a = 0;
10 a-s ra mniSvnelobisaTvis aqvs kvadratul gantolebas erTi
amonaxseni:
a) 2x 2 - 3ax +1= 0 ; b) x 2 - 4ax - 5a = 0; g) (a - 1)x 2 - 2x + a +1= 0.
11 a-s ra mniSvnelobisaTvis aqvs kvadratul gantolebas ori
gansxvavebuli amonaxseni:
a) 4x 2 + 3x + a = 0; b) - 4x 2 + ax +8 = 0; g) ax 2 + 3x + 7 = 0 .
12 a-s ra mniSvnelobisaTvis ara aqvs gantolebas amonaxseni:
a) 3x 2 - 2x - a = 0; b) - 7x 2 + ax +1= 0; g) (a – 1)x 2 + 2x +1= 0 .
13* amoxseniT kvadratuli gantoleba:
a) x 2 + 2kx - 3 = 0 ; b) 4x 2 - 2(k - 2)x - 2k = 0.
14 ricxvis namravli missave mesamedze 108-is tolia. ipoveT es
ricxvi.
15 ori momdevno ricxvis namravli 55-iT metia maTsave jamze.
ipoveT es ricxvebi.

16 ricxvis namravli missave mexuTedze 80-is tolia. ipoveT es
ricxvi.
17 gasammagebuli ricxvis namravli mis mecxredze 108-is tolia.
ipoveT es ricxvi.
18 oTxi momdevno naturaluri ricxvis kvadratebis jami 446-is
tolia. ipoveT es ricxvebi.
19 Tu kvadratis TiToeuli gverdis sigrZes 1sm-iT gavzrdiT,
maSin miRebuli kvadratis farTobi 3-jer meti aRmoCndeba
Tavdapirveli kvadratis farTobze. ipoveT Tavdapirveli
kvadratis gverdi.
20 kvadratis formis muyaos furcels 5 sm siganis zoli
CamoaWres. furclis darCenili nawilis farTobi 36sm 2 -ia.
ipoveT muyaos furclis Tavdapirveli zomebi.
21 kvadratis formis Tunuqis furcelze gakeTebulia
naxvretebi ise, rogorc es naxazzea.
a) ramdeni naxvreti iqneba sul, Tu pirvel rig-
Si n naxvretia?
b) saWiroa gakeTdes 113 naxvreti. ramdeni naxvreti
unda iyos pirvel rigSi? (nax. 1).
nax. 2
nax. 4
22 ra sigrZisaa marTkuTxedis (nax.2)
gverdebi, Tu b gverdis sigrZe a gverdis
sigrZis 3 -ia, xolo diagonalze 8 sm-iT na-
4
klebia.
23 me-3 naxazis mixedviT
aRadgineT amocana da ipoveT
wrewiris radiusi.
24 ipoveT tolferda samkuTxedis
fuZis sigrZe (nax.4),
Tu ferdis sigrZe a-s tolia,
xolo simaRle ferdis naxevaria.
25 me-5 naxazis mixedviT
aRadgineT amocana da a gverdi
gamosaxeT h-is saSualebiT.
nax. 1
nax. 3
nax. 5
35

I
Tavi
navis sakuTari
siCqarea navis siCqare
mdgar wyalSi.
36
26 naxazis mixedviT aRadgineT amocana da ipoveT
CK-s sigrZe.
27 wiladis mniSvneli 4-iT metia mricxvelze,
Tu am wiladis mricxvelsac da mniSvnelsac
3-iT gavzrdiT, maSin wiladi 1 -iT gadiddeba.
9
ipoveT Tavdapirveli wiladi.
28 400 km sigrZis manZili Cqarma matarebelma gaiara 1 saaTiT
ufro swrafad, vidre sabargom. ras udris TiToeuli matareblis
moZraobis siCqare, Tu sabargo 1 saaTSi gadioda 20 kmiT
nakleb manZils, vidre Cqari matarebeli?
29 Tu matareblis siCqares 10km/sT-iT gavzrdiT, maSin igi 720kmis
gavlas 1 saaTiT nakleb dros moandomebs. ipoveT matareblis
Tavdapirveli siCqare.
30 manZili or navsadgurs Soris mdinariT 48 km-ia. gemi am manZilis
gavlas iqeT-aqeT 5 sT-s andomebs. ipoveT gemis siCqare
mdgar wyalSi, Tu mdinaris dinebis siCqare 4km/sT-ia.
31 navma mdinaris dinebis sawinaaRmdego mimarTulebiT 221 2 kilometri
gaiara, xolo dinebis mimarTulebiT – 281 2 kilometri.
sul am mgzavrobas 8 saaTi dasWirda. ipoveT navis saku-
Tari siCqare, Tu mdinaris dinebis siCqare 21 2 km/sT-ia.
32 or qalaqs Soris manZili 840km-ia. am qalaqebidan gamosuli
matareblebi erTmaneTs Sua gzaSi Sexvdnen. ipoveT TiToeuli
matareblis siCqare, Tu cnobilia, rom meore gamovida
40 wuTiT adre da misi siCqare 7km/sT-iT naklebia pirveli
matareblis siCqareze.
33 15 tona bostneulis gadasazidad saWiro iyo gansazRvruli
tvirTmzidaobis ramdenime sabarguli. aseTi tvirTmzidaobis
sabargulebis uqonlobis gamo garaJma 1 toniT naklebi
2
tvirTmzidaobis, magram erTiT meti sabarguli gagzavna.
ramden tona bostneuls itevda TiToeuli sabarguli?
34 18 tona Rvino garkveuli tevadobis kasrebSi unda CaesxaT,
magram aseTi kasrebis uqonlobis gamo Rvino 0,3t-iT meti
tevadobis kasrebSi gaanawiles, risTvisac 5 kasriT naklebi
dasWirdaT. ramden kasrSi gaanawiles Rvino?
35 qsovilis fasma imdeni procentiT daiklo, ramdeni laric
Rirda fasebis daklebamde. ramdeni procentiT gaiafda qsovili,
Tu 1 m-is fasi 16 lari gaxda?

36 likam da Takom yvavilebis dargva nakveTSi 4 saaTSi daam-
Tavres. ramdeni saaTi dasWirdeboda TiToeuls cal-calke
am yvavilnaris gasaSeneblad, Tu marto likas SeeZlo
yvavilebis dargva 6 saaTiT adre daesrulebina, vidre marto
Takos?
37 orma glexma simindis yana 6 dReSi gaToxna. ramdeni dRe das-
Wirdeboda TiToeuls cal-calke am yanis gasaToxnad, Tu
erTs damoukideblad SeeZlo mTeli samuSaos Sesruleba 5
dRiT nakleb droSi, vidre meores?
38 Tu axla saaTis isrebs Soris kuTxe 18 gradusia, ramden saa-
TSi iqneba pirvelad maT Soris kuTxe 66°?
39 ipoveT naxatze gamosaxul saaTis isrebs Soris
kuTxis gradusuli zoma.
40 sakoordinato sibrtyeze moniSneT yvela is
P(x;y) wertili, romlisTvisac gamosaxulebas
azri aqvs:
a) ; b) + ; g) + ; d) ; e) .
41* a ricxvis ra mniSvnelobebisaTvis ar eqneba (x − a)( +1)= 0
gantolebas amonaxseni?
42 ipoveT n, Tu m 5–n = 4 da m 3+n = 64.
43 ipoveT y = |x – 4| funqciis udidesi da umciresi mniSvnelobebi
[1;6] intervalSi.
44 sad mdebareobs y=x 2 +bx+c parabolas wvero, Tu
a) b>0; c>0; D>0; b) b0; D0; c0
(daxazeT Sesabamisi sqematuri naxazebi)
amocana damoukidebeli kvlevisTvis:
11
12
1
10 2
9 3
8 4
7
6
5
45 a-s ra mniSvnelobE
BebisTvis aqvs gantolebas mxolod erTi
amonaxseni?
a) ax 2 – 12x + 3a – 3 = 0; b) (a – 3)x 2 + 5x + a + 3 = 0.
37

I
Tavi
38
6 amovxsnaT
jgufuri mecadineoba
kvadratuli utoloba
1. amovxsnaT utoloba x 2 – 4 > 0.
davSaloT mamravlebad utolobis marcxena mxare: (x – 2)(x + 2) > 0 .
ra SemTxvevaSi iqneba ori
ricxvis namravli dadebiTi?
(1) ricxviT wrfeze aRniSnulia x–2>0
(wiTlad) da x–20 (wiTlad) x+2 0) ⇔ (x ∈ (–∞;–2) (2;∞)).
2. amovxsnaT x 2 – 3 ≤ 0 utoloba.
(x 2 – 3 ≤ 0) ⇔ ((x − )(x + ) ≤ 0).
rogori ori ricxvis namravli
iqneba uaryofiTi?
savarjiSoebi:
1 amoxseniT utoloba:
a) (x–2)(x+5)>0; b) x(x+3)≥0; g) (2x–3,5)(x+3,5)≥0;
d) (x+1)(x+4)0; v) (5x–1)(x+2)≤0;
z) (x–5)(3x+1) x + 2) ⇔ x∈(−∞;–1) (2;∞))
>
>

7 vietas Teorema
1 SeadgineT dayvanili kvadratuli gantoleba, Tu cnobilia,
rom misi fesvebia: x 1 =2, x 2 =3.
vietis Teorema:
Tu ax2 + bx + c = 0 kvadratuli gantolebis diskriminanti D≥0,
maSin misi fesvebis jami – b
­s, xolo fesvebis namravli
c
a
­s tolia .
a
damtkiceba:
rogorc cnobilia, roca D≥0 kvadratul gantolebas aqvs ori
amonaxseni (an gansxvavebuli an toli).
x 1 = , x 2 =
x + x = 1 2 +
− b +
=
2
b − 4ac − b −
2a
2
b − 4ac
=
= –2b b
= –
2a a .
xolo x ·x = 1 2 ·
2
2 2
( − b) + b − 4ac
= 2
4a
= c
a .
amrigad,
roca D≥0
x + x = – 1 2 b
a , x1 ·x c
= 2 a .
marTebulia vietis Teoremis Sebrunebuli Teoremac:
mocemuli x 1 da x 2 ricxvebi iseTi x 2 +px+q=0 gantolebis amonaxsnebia,
sadac p=–(x 1 +x 2 ) da q=x 1 x 2 .
magaliTi 1
amoxseniT gantoleba vietis Teoremis gamoyenebiT:
a) x 2 –x–12=0; b) x 2 +8x+15=0.
amoxsna:
a) –12 davSaloT mamravlebad:
–12=1·(–12)=(–1)·12=2·(–6)=(–2)·6=(–3)·4=3·(–4). vietis Teoremis Tanaxmad
miRebuli Tanamamravlebidan gantolebis amonaxsnebi
iqnebian isini, romelTa jamic 1-is tolia: –3+4=1.
e.i. x =–3, x =4.
1 2
fransua vieta
(1540-1603)
!Tu 2 x +bx+c=0, gantolebas
(a=1; b;c∉Z)
aqvs racionaluri
fesvebi, maSin
isini aucileblad
mTeli ricxvebia.
39

I
Tavi
x 1 da x 2 ricxvebi
arian
x 2 –(x 1 +x 2 )x+x 1 x 2 =0
gantolebis
amonaxsnebi
40
b) 15=1·15=(–1)(–15)=3·5=(–3)(–5)
1+15=16; –1–15=–16; 3+5=8; –3–5=–8.
radgan (–3)(–5)=15 da –3–5=–8, amitom x 2 +8x+15=0 gantolebis amonaxsnebia:
x 1 = –3, x 2 = –5.
magaliTi 2
SeadgineT kvadratuli gantoleba, Tu misi fesvebia –1 da 5.
amoxsna:
vietis Teoremis Sebrunebuli Teoremis mixedviT SesaZlebelia
SevadginoT dayvanili x2 +px+q=0 gantoleba, sadac p=–(x +x ) da
1 2
q = x x . 1 2
e.i. p = –4 da q = –5.
saZiebeli gantolebaa x2 – 4x – 5 = 0.
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1 x 2 +5x–7=0 gantolebisTvis x 1 +x 2 = ? da x 1 x 2 = ? .
2 x 2 –7x–1=0 gantolebisTvis x 1 +x 2 = ? da x 1 x 2 = ? .
3 1 da –1 arian x 2 – ? x+ ? =0 gantolebis fesvebi.
4 x 2 +2x–5=0 gantolebis fesvebi ? niSnianebia.
savarjiSoebi:
1 gantolebis amouxsnelad ipoveT misi fesvebis jami da namravli
(Tuki isini arseboben).
a) x 2 –12x+16=0; b) 5x 2 –7x+2=0; g) 3x 2 –2x–1=0;
d) 3x 2 +51x–12=0; e) –1,5x 2 –2x+2=0; v) 4x 2 –7=0;
z) 7x 2 – 7 x=0; T) ( 3 +1)x 2 –2=0; i) ( 2 –1)x 2 –2x=0.
2 vietis Teoremis gamoyenebiT SeamowmeT aris Tu ara mocemuli
simravle Sesabamisi kvadratuli gantolebis amonaxsenTa simravle:
a) x2 +7x+12=0 {3;4}; b) m2 g) 8t
+3m+2=0 {–2;–1};
2 –10t+3=0 { 1 3
;
2 4 }; d) 4x2 +8x–5=0 { 1 5
; –
2 2 }.
3 SeadgineT kvadratuli gantoleba, romlis amonaxsnebia x da x :
1 2
a) x =1, x =–3; 1 2
d) x = 1
b) x =2, x =4; 1 2 g) x =0,3, x =1,5;
1 2 1
2 , x2 =2
5 ; e) x1 = x2 = – 2
3 ; v) x1 = 3, x 2
= 2 3 ;
z) x =2– 1 5, x =2+ 2 5; T) x =x =3 5 –1; 1 2 i) x =1– 1 2 , x =2+ 2 2 .

4 SeadgineT kvadratuli gantoleba, Tu misi fesvebis saSualo
ariTmetikuli A-s, xolo saSualo geometriuli G-s tolia:
a) A=4, G=2; b) A=16, G=12; g) A=100, G=100.
5 amoxseniT kvadratuli gantoleba vietis Teoremis gamoyenebiT:
a) x 2 +5x+6=0; b) x 2 –10x+16=0; g) t 2 +4t–21=0;
d) x 2 –3x+2=0; e) x 2 –2x–3=0; v) y 2 –9y+14=0.
6 ipoveT ricxvTa yvela wyvili, romelTa a) jamia 8, xolo namravli
15; b) jamia 7, namravli ki — 10.
7 ipoveT p ricxvi, Tu gantolebis erT-erTi amonaxseni mocemuli
ricxvia:
a) x 2 –3x+p=0, x 1 =2; b) x 2 +px+4=0, x 1 =–2;
g) 2x 2 +px–1=0, x 1 =1; d) x 2 –px+15=0, x 1 =3.
8 gantolebis amouxsnelad daadgineT misi amonaxsnebis niSnebi:
a) 3x 2 –2x–1=0; b) 2x 2 +5x+1=0; g) x 2 –4x+3=0;
d) y 2 –7x–11=0; e) 0,5y 2 –12y+4=0; v) 5m 2 +8m+1=0.
9 gansazRvreT 5x 2 –4x–7=0 gantolebis fesvebis niSnebi. daadgineT,
romeli fesvis modulia meti.
10* m-is ra mniSvnelobebisTvis eqneba gantolebas sxvadasxva
niSniani fesvebi? gansazRvreT im fesvis niSani, romlis modulic
metia:
a) x 2 –7x+m=0; b) x 2 +3x+m=0.
11* x2 –15x+26=0 gantolebis amouxsnelad ipoveT 1
+
x1 1
, sadac x
x 1
2
da x mocemuli gantolebis fesvebia.
2
12* SeadgineT kvadratuli gantoleba, romlis fesvebi 3-jer metia
15x 2 –7x–3=0 gantolebis fesvebze (gantolebis amouxsnelad).
13* q-s ra mniSvnelobisaTvis iqneba x 2 –6x+q=0 gantolebis fesvebis
sxvaoba 2-is toli.
14 p-s ra mniSvnelobisaTvis iqneba x 2 +2px–12=0 gantolebis fesvebis
Sefardeba –3-is toli.
15 daamtkiceT, rom ax 2 +bx+c=0 gantolebis fesvi, roca c≠0 ar
SeiZleba iyos ricxvi 0.
16* daamtkiceT, rom ax 2 +bx+a=0 gantolebis fesvebi (Tuki arseboben)
urTierTSebrunebuli ricxvebia.
41

I
Tavi
42
17 amoxseniT gantoleba:
a) 2y2 + 11y + 10 = 0; b) 3z2 – 4z – 2 = 0;
3
g)
x2 –9 +
1 3
2 =
(3–x) 2x2 ;
+6x
x+2 x+3
d) +
x+1 x–2 =
29
(x+1)(x–2)
18 soflidan qalaqSi mimavali avtobusi Sua gzaze 10 wuTiT
SeaCeres. qalaqSi rom droze Casuliyo mZRolma siCqare
12 km/sT-iT gazarda. ipoveT avtobusis Tavdapirveli siCqare,
Tu qalaqamde manZili 80 km-ia.
19 daamtkiceT, rom oTxkuTxedi rombia, Tu misi wveroebi warmoadgens
a) marTkuTxedis, b) tolferda trapeciis gverdebis
Suawertilebs.
20 ABCD paralelogramis AC diagonalis sigrZea 18sm.
AB gverdis M Suawertili SeerTebulia D wverosTan. ipoveT
monakveTebi, romlebadac AC diagonali iyofa DM
monakveTiT.
21 xis simaRlis gasazomad SeiZleba gamoviyenoT sarke
ise, rogorc naxatzea naCvenebi. sinaTlis sxivi FD, sarkidan
airekleba D wertilSi da xvdeba adamians TvalSi
(B wertilSi). daadgineT xis simaRle, Tu AB=165sm;
AD=12sm, DE=4,8m (cxadia ∠1=∠2).
22 naxazze AP mxebia. Semdeg winadadebebidanromeliSeiZlebaiyosmcdari?
a) AB·BC=AM·MK; g) AP 2 =AM·AK;
b) KN·NM=CN·NP; d) AM·AK=AB·AC.
amocana damoukidebeli kvlevisTvis:
23 ipoveT a-s yvela is mniSvneloba, romelTaTvisac
(x 2 +5x+a)(4x 2 –7x+a)=0 gantolebis yvela fesvis namravli
1-is tolia.
C
K
N
B
.
M
P
A

8 kvadratuli
samwevris daSla
mamravlebad
daSaleT mamravlebad:
a) x 2 –64x; b) 16x 2 –25; g) x 2 –5x+6; d) x 2 –x–6.
ax 2 +bx+c saxis mravalwevrs, sadac a, b, c∈R da a≠0, xolo x
cvladia, kvadratuli samwevri ewodeba .
x 2 –2x+3 da –3x 2 –0,5x+1 kvadratuli samwevrebia. cxadia, kvadratuli
samwevris mniSvneloba damokidebulia cvladis mniSvnelobaze.
magaliTad, Tu x=1, maSin 2x 2 –3x+5=4, xolo Tu x=0, ma-
Sin 2x 2 –3x+5=5 da a.S.
cvladis im mniSvnelobas, romlisTvisac kvadratuli
samwevris mniSvneloba nulis tolia, kvadratuli samwevris
fesvi ewodeba .
Tu ax 2 +bx+c samwevris fesvebia x 1 da x 2 , maSin risi toli
iqneba ax 2 +bx+c=0 gantolebis fesvebi? (pasuxi daasabuTeT)
cxadia, kvadratuli samwevris fesvebis raodenoba iseve, rogorc
kvadratuli gantolebis amonaxsenTa raodenoba damokidebulia
diskriminantze:
Tu D>0, kvadratul samwevrs eqneba ori gansxvavebuli fesvi,
Tu D=0, kvadratul samwevrs eqneba erTi fesvi (ori toli fesvi),
Tu D

I
Tavi
44
yuradReba: Tu D=0, maSin, rogorc cnobilia,
x 1 =x 2 , amitom ax 2 +bx+c=a(x–x 1 ) 2
Tu D

savarjiSoebi:
1 SesaZlebelia Tu ara, rom sxvadasxva kvadratul samwevrs
hqondes erTi da igive fesvebi?
2 SesaZlebelia Tu ara, rom sxvadasxva kvadratul funqciebs
hqondeT erTi da igive nulebi? dadebiTi pasuxis SemTxvevaSi
aCveneT, ra aqvT saerTo da riT gansxvavdebian maTi grafikebi
erTmaneTisgan.
3 rogor iqnebian ganlagebulni erTmaneTis mimarT kvadratul
funqciaTa grafikebi, romelTa
a) fesvebis jami erTmaneTis tolia;
b) fesvebis namravli erTmaneTis tolia.
4 ipoveT kvadratuli samwevris fesvebi:
a) x 2 –8x+15; b) y 2 –7y+6; g) x 2 +15x+56;
d) 0,3x 2 +1,5x–0,9; e) 0,2m 2 +3m–20; v) 3x 2 –3x+1.
5 SeamowmeT, aqvs Tu ara kvadratul samwevrs fesvebi. dadebiTi
pasuxis SemTxvevaSi ipoveT maTi jami da namravli:
a) 3x 2 –2x–5; b) 2t 2 –t+5; g) 3,4x 2 –14x+1;
d) 5m 2 –12m+2; e) 5m 2 –12m–2; v) 0,3x 2 –2x–1.
6 kvadratuli samwevri daSaleT mamravlebad:
a) x2 –2x–15; b) x2 –5x–14; g) x2 –x–20; d) 2x2 –x–3;
e) 8t2 –6t+1; v) 25t2 –20t+4; z) 4z2 –12z+9; T) –7x2 +22x–3;
i) –2x2 +5x+7; k) –35x2 +19x–2; l) –3x2 +38x–120; m) –3x2 +6x+9;
n) x2 – 3 1
x+
4 8 ; o) x2 +2x+ 3
;
4
1
p)
4 a2 –2a+4; J) – 2
3 a2 –4a–6.
7 SekveceT wiladi:
a)
x2 –5x+6
x2 +4x–12
; b)
d)
2t2 –6t–8
–3t2 –4t–1
; e)
7m2 +m–8
7m–7
x2 –16
x2 –x–12
8 amoxseniT gantoleba:
a)
x2 +7x+10
x2 –x–6
=0; b)
g)
13
2x2 +x–21 +
1
2x+7 =
6
x2 ;
–9
d)
; g)
; v)
2x 2 –3x–2
a+110–a 2
a2 –22–9a
2x2 –3x–2
8x2 –2
6x 2 +5x+1 =0;
3
x+2
+ 2x–1
x+1 =
9 ageT y = x2 –2x–8
da y = x + 2 funqciaTa grafikebi.
x–4
riT gansxvavdeba es grafikebi erTmaneTisagan?
;
.
2x–1
x 2 +3x+2 .
45

I
Tavi
gavixsenoT!
x = a, maSin a 2 = x.
46
10* amoxseniT gantoleba:
a) x − 2 = x–4; b) 3x + 1 = x–1.
11 velosipedistma 20 km sigrZis aRmarTi da 60 km sigrZis swori
gza 6 saaTSi gaiara. ra siCqariT moZraobda velosipedisti
gzis TiToeul ubanze, Tu misi siCqare aRmarTze 50 km/sT-iT
naklebia, vidre swor gzaze?
12 Tu 5 katas 5 Tagvis dasaWerad sWirdeba 5 wuTi, ramdeni kataa
saWiro imisTvis, rom 100 wuTSi daiWiron 100 Tagvi?
13 sferos zedapirze aRebulia nebismieri
3 wertili. ra aris albaToba imisa,
rom es wertilebi aRmoCndeba erT
naxevarsferoze?
A B
14 sami adamiani A, B da C iTvlidnen 4 feris burTulebs, amasTan
yoveli maTgani sworad arCevda 2 fers, xolo danarCeni ori
SeiZleba areoda. erTi ver arCevda wiTels da forToxlisfers.
meore forToxlisfers da yviTels, mesame yviTels da
mwvanes. ramdeni da ra feris burTula iyo, Tu daTvlis Sedegebi
moyvanilia cxrilSi.
wiTeli forToxlisferi yviTeli mwvane
A 2 5 7 9
B 2 4 9 8
C 4 2 8 9
amocana damoukidebeli kvlevisTvis:
15 daSaleT mravalwevri mamravlebad:
a) 3x 2 –5xy–2y 2 ; b) y 4 –xy 3 –xy+x 2 .
C

Seamowme Seni codna:
1 Tu f(x)=x 2 funqciis grafikze
mdebareobs (a;b) wertili, maSin
amave grafikis wertilia:
a) (–a;–b); b) (a;–b);
g) (–a;b); d) (–a;a+1).
2 y = x 2 da y = –5 wirebs aqvT:
a) erTi saerTo wertili;
b) arc erTi saerTo wertili;
g) ori saerTo wertili;
d) sami saerTo wertili.
3 2x2 – 3x – 7 = 0 gantolebis amonaxsnebi
aris f da g funqciaTa grafikebis
gadakveTis wertilTa
abscisebi, sadac:
a) f : x → x2 b) f : x → x2 g : x → 1
x–7.
2
3
g : x →
2 x+7.
g) f : x → x2 d) f : x → x2 g : x → 3 7
x+ .
2 2
g : x → 3x+7.
4 x 2 =b–1 gantolebas aqvs ori gansxvavebuli
amonaxseni, Tu:
a) b>0; b) b≥0; g) b1.
5 kvadratul gantolebas ara aqvs
amonaxseni mxolod maSin, roca:
a) D0; g) D≥0; d) D≤0.
6 ax 2 +bx+c=0 kvadratul gantolebas
aqvs ara umetes erTi amonaxseni
mxolod maSin, roca
a) D≤0; b) D0.
7 Tu x 2 +kx+15=0 gantolebis fesvia
5, maSin k=
a) 5; b) -8; g) 8; d) 10.
8 Tu (x+5)(x-8)≥0, maSin x∈
a) (-5;8); b) (–∞;–5) (8;∞);
g) x∈[8;∞); d) [–∞;–5) [8;∞).
9 y =
area:
2
4 − x funqciis gansazRvris
a) x

I
Tavi
48
I Tavis damatebiTi savarjiSoebi:
1 aageT A da B wertilebis simetriuli wertilebi x da y RerZebis mimarT,
Tu
a) A( – 2;3), B(1; – 2); b) A( – 3; – 5), B(1;4).
2 aageT y = 2x – 1, x∈[1;3] monakveTis simetriuli monakveTebi rogorc x,
aseve y RerZis mimarT.
4 amoxseniT grafikulad:
a) x2 + x – 6 = 0; b) 1,7x2 + 1,7x – 10,2 = 0; g) 3x2 + 15x + 12 = 0;
d) 5x2 = 12; e) 0,2x2 = 1,2; v) 2x2 = 5x;
z) 4x2 + 11x = 0; T) 2,3x2 + 5 = 0; i) x2 + 4x + 5 = 0.
5 amoxseniT gantoleba:
a) 5x2 – 7x = 0; b) 0,3x = 7,2x2 ; g) 8x2 = 5,12;
d) (2x + 5) 2 = 13; e) 12x2 – 9x = 3(1 – 3x); v) (3 – 4x) 2 – 17 = 0;
z) x2 – 3x – 28 = 0; T) 8x2 + x – 75 = 0; i) 3x2 + 11x – 34 = 0;
k) 16x2 – 18x + 5 = 0; l) 2t2 – 4t + 3 = 0; m) 2m2 – 9m + 4 = 0;
n) x2 – 2 3x – 72 = 0; o) x2 – 5 2x + 12 = 0; p) 5x2 – 3x + 2 7 = 0.
6 amoxseniT gantoleba:
a) 12x2 + 2x = 9x2 + 9x – 2; b) 8y2 + 20 + 4y = 11y2 – 7y;
g) 2m(3m – 4) + 4 = 5m – 3; d) 2(x + 1) – 8x2 = 9x – 11x2 ;
e) 7x2 + 4x – 10 = 10x2 – 7x; v) 3(5 – 2z) = z(12z – 2) + 10 – 4z;
7 amoxseniT gantoleba:
a) (x + 2) 2 + x – 4 = x(3x – 7); b) (3p + 5) 2 – p(7p – 3) = 29p + 25;
g) (4t + 5) 2 – (2t + 9) 2 = (t + 2) 2 ; d) (4x – 5) 2 = (3x – 1) 2 – (7x – 6) 2 ;
e) 2(3x – 1) 2 = (6x + 1) 2 – 6x + 1; v) (12y – 5) 2 = (6y – 4) 2 – 9(y – 1).
8 ipoveT gantolebis amonaxsenTa miaxloebiTi mniSvneloba 0,1-mde sizustiT.
a) x2 – 2x – 2 = 0; b) 2x2 – 3x – 1 = 0; g) x2 – 7x + 5 = 0;
d) 2x2 + 15x + 5 = 0; e) 3x2 + 14x + 4 = 0; v) 4x2 + 3x – 2 = 0.
9 ipoveT gantolebis amonaxsenTa simravle:
a) 19t3 – 7t2 = 16t3 + 4t2 + 20t; b) (3 + 2x)(5 – x) = 0;
g) 3x4 + 2x3 + 5x2 = x2 – 3x3; d) x(3 + 4x)(2 – 5x)(8x – 1) = 0;
e) x(x – 2) – 5(x – 2) = 0; v) (5 – x)(x – 2) – 4(x – 5) = 0.
10*. ipoveT gantolebis amonaxsenTa simravle:
a) (x2 – 5) 2 + 4(x2 – 5) – 5 = 0; b) (x2 + 3) 2 + 84 = 19(x2 + 3).

12 ipoveT gantolebis amonaxsenTa simravle:
2x
3 4x
7
a) 7;
2x
−3
2x
− 4
b) ;
g) ; d) .
13* ipoveT gantolebis amonaxsenTa simravle:
a) ; b) ;
g) ; d) ;
e)
z)
32
1 1
1 1
1
; v)
0;
3 2
2
3 2
x − 2x
− x 2 ( x −1)(
x − 2)
x 1
3(
x − 4)
2(
x 3)
x − 4x
3x
−12
x
x
3
3 −
2 x
2 x
3 −
3
2
2
3x
10x
2 −
1−
y 5 1
y 5 9y
; T) . 2
2
1
y 5 1−
y 5 1−
5y
15 ipoveT Semdeg funqciaTa grafikebis gadakveTis wertilebis koordinatebi:
6
7
a) y da y=3x+8; b) y=5x+6 da y .
5x
−1
2x
9
16 a-s ra mniSvnelobisaTvis aris gantolebis erT-erTi fesvi 2-is
toli:
a) 5a = 2x2 ; b) 0,5ax – 3x2 = 0; g) ax2 = 21;
d) 0,75ax2 = 1,5; e) ax2 – 4x + 1 = 0; v) (2a – 1)x2 – 5ax – 1 = 0?
17 daamtkiceT, rom Tu a + b + c = 0, maSin ax 2 + bx + c = 0 gantolebis erTerTi
fesvi 1-is tolia.
18 daamtkiceT, rom Tu x 0 aris ax 2 + bx + c = 0 gantolebis fesvi, maSin x 1 =
ax 0 iqneba x 2 + bx + ac = 0 gantolebis fesvi.
19* ipoveT a-s is mniSvneloba, romlisTvisac gantolebas eqneba erTi
amonaxseni:
a) 2x2 – (3a – 1)x + a – 1 = 0; b) ax2 = 4ax + a – 7;
g) x2 + ax(x + 1) = a(x – 1) – x; d) – 3x2 + x + (a – 1) 2 = 0.
20 a-s ra mniSvnelobisaTvis eqneba gantolebas 1) ara umetes erTi fesvi,
2) aranakleb erTi fesvi:
a) 4x 2 + 3x + a – 2 = 0; b) – 2x 2 + 8x + 3a = 0; g) (2a – 1)x 2 – 3x + 5 = 0.
22* amoxseniT gantoleba:
a) 2x2 − 5x − 2 = 0 ; b) x − 3(x − 4) = x2 − 7x + 12 ;
g) 3x2 − 8 x − 3 = 0 ; d) 3x2 − x − 3 = 9x − 2 .
49

I
Tavi
50
K
y = x 2
A B
–3 –2 –1
K
23 1-el naxazze mocemul y = x 2 funqciis grafikze aRebuli
A, B, da O wertilebi tolgverda samkuTxedis wveroebia.
ipoveT A da B wertilebis koordinatebi, Tu A da B
simetriuli wertilebia y RerZis mimarT da O(0;0).
24 wrfes, romelic gadis 1) A(3;0), 2) A(0;4) wertilze,
y = x 2 parabolasTan aqvs erTi saerTo wertili. ipoveT:
a) am wrfis daxris koeficienti;
b) wrfisa da parabolis saerTo wertilis koordinatebi.
25 students gamocdis Casabareblad unda gaemeorebina wignis 360
gverdi. avadmyofobis gamo pirvel sam dRes man ver SeZlo mecadineoba
da amitom darCenili dReebis ganmavlobaSi igi yoveldRiurad
imeorebda 20 gverdiT mets, vidre dagegmili hqonda. ramden dReSi
gaimeora studentma sagani?
26 wiladis mricxveli 11-iT metia mniSvnelze. Tu am wiladis mricxvels
davumatebT 5-s, xolo mniSvnels ki – 12-s, miviRebT wilads, romelic
samjer naklebi iqneba mocemul wiladze. ipoveT Tavdapirveli
wiladi.
27 katerma 12km mdinaris dinebis sawinaaRmdego mimarTulebiT da 5km
mdinaris dinebis mimarTulebiT gaiara imave droSi, rac mas tbaze
18km-is gasavlelad dasWirdeboda. ipoveT kateris sakuTari siCqare,
Tu mdinaris dinebis siCqare 3km/sT-ia.
28 SeadgineT geometriuli Sinaarsis amocana, romelic amoixsneba Semdegi
gantolebis saSualebiT:
M
0 1 2 3
nax. 1
a) x(x – 2) = 36; b) (x – 2)(x + 2) = 12.
B C
A D
M
B C
A D
29. marTkuTxedis formis muyaos furclisgan,
romlis sigrZe 1,5-jer metia
siganeze, unda daamzadon TavRia
yuTi, amisTvis muyaos furcels
kuTxeebSi 8sm sigrZis gverdis mqone
kvadratebi amoaWres. ipoveT Tavdapirveli
muyaos furclis sigrZe
da sigane, Tu dasamzadebeli yuTis
moculoba 6080 sm 3 unda iyos.

30 A qalaqidan B qalaqisken ori avtomobili gaemgzavra. pirvelis siCqare
10km/sT-iT metia meoris siCqareze da amitomac igi 2 saaTiT
adre Cavida B qalaqSi, vidre meore. ipoveT TiToeuli avtomobilis
siCqare, Tu qalaqebs Soris manZili 600km-ia.
31 A punqtidan mdinaris dinebis mimarTulebiT tivi gagzavnes. 5sT da
20 wT-is Semdeg imave punqtidan tivs motoriani navi daedevna da gaiara
ra 20km, daewia tivs. ipoveT tivis siCqare, Tu motoriani navi saa-
TSi 12km-iT met manZils gadis, vidre tivi.
32 matarebeli gzaSi 6 wT-iT SeaCeres. memanqanem es dagvianeba 20km-ian
gadasarbenze aanazRaura, romelic 10km/sT-iT meti siCqariT gaiara,
vidre ganrigiT iyo dadgenili. gansazRvreT matareblis ganrigiT
gaTvaliswinebuli siCqare.
33 600 km sigrZis gadasarbenis 1/4 nawilis gavlis Semdeg matarebeli
SeaCeres 1 sT 30 wT-iT. daniSnulebis adgilze droze rom Casuliyo,
memanqanem siCqare 15 km/sT-iT gazarda, ra dro moandoma matarebelma
mTeli gzis gavlas?
34 A-dan B-mde 240 km manZili avtomanqanam gansazRvrul droSi gaiara.
ukan dabrunebisas man Sua gzamde iara imave siCqariT, xolo Semdeg
10 km/sT-iT gazarda siCqare, amitom ukan dabrunebas 2/5 sT-iT
naklebi dro moandoma. ipoveT avtomobilis Tavdapirveli siCqare.
35 A-dan B-mde 400 km manZili matarebelma gansazRvruli siCqariT
gaiara. ukan dabrunebisas, gzis 2/5-ze midioda imave siCqariT, xolo
Semdeg 20 km/sT-iT Seamcira siCqare. ipoveT matareblis siCqare gzis
bolo monakveTze, Tu mTeli gzis gavlas man 11 sT moandoma.
36 matarebels 840km unda gaevlo. Sua gzaze igi 30 wT-iT SeaCeres da
daniSnul adgilze droze rom misuliyo, siCqare 2km/sT-iT gazarda.
ra droSi gaiara matarebelma mTeli gza?
37 motorianma navma mdinaris dinebis sawinaaRmdego mimarTulebiT
gaiara 35 km, Semdeg gaagrZela gza mdinaris SenakadSi da gaiara kidev
18 km, amasTan mTeli gzis gavlas 8 saaTi moandoma. mdinaris dinebis
siCqare 1 km/sT-iT naklebia Senakadis dinebis siCqareze. ipoveT
mdinaris dinebis siCqare, Tu navis siCqare mdgar wyalSi 10 km/sT-ia.
38 N punqtidan mebaduri naviT mdinaris dinebis sawinaaRmdego
mimarTulebiTgaemgzavra.6km-isgacurvisSemdegxeligauSvaniCbebs
da mdinaris dinebam 4 sT 30 wuTis Semdeg igi kvlav N punqtSi miiyvana.
ipoveT mdinaris dinebis siCqare, Tu navis siCqare mdgar wyalSi
90 m/wT-ia.
51

I
Tavi
52
39 A punqtidan B punqtisaken gaemarTa tivi. 2 sT 40 wT-is Semdeg mis
Sesaxvedrad B punqtidan gamovida kateri, romelic Sexvda tivs
B punqtidan 27 km-is daSorebiT. ipoveT tivis siCqare, Tu kateris
siCqare mdgar wyalSi aris 12 km/sT da manZili A da B punqtebs Soris
44 km-ia.
40 avtoturistma A da B punqtebs Soris manZili, romelic 400 km-ia,
raRac saSualo siCqariT gaiara. ukan dabrunebisas 2 saaTis
ganmavlobaSiigiimavesiCqariTmidioda,SemdegkisiCqare10km/sT-iT
gazarda, ris gamoc A punqtSi dabrunebaze 40 wuTiT naklebi dro
daxarja,vidreA-danB-SiCasvlaze.radrodauxarjavsavtoturists
B-dan A-Si dabrunebaze?
41 motociklistma erTi qalaqidan meoreSi Casvlas 4 sT moandoma. ukan
dabrunebisas pirveli 100 km gaiara imave siCqariT, Semdeg siCqare
Seamcira 10 km/sT-iT da amitom ukan dabrunebas moandoma 30 wuTiT
meti dro. ipoveT manZili qalaqebs Soris.
42 A da B qalaqebidan erTdroulad, erTmaneTis Sesaxvedrad gamosuli
ori avtomanqana erTmaneTs Sexvda 5 saaTis Semdeg.
A-dan gamosuli avtomanqanis siCqare 10 km/sT-iT naklebia meore avtomanqanis
siCqareze. pirveli avtomanqana A-dan 4 sT 30 wT-iT adre
rom gamosuliyo, maSin isini Sexvdebodnen erTmaneTs B-dan 150 km-is
daSorebiT. ipoveT manZili A da B qalaqebs Soris.
43 M navsadguridan N navsadguramde manZils mdinaris dinebis
mimarTulebiT kateri gadis 6 saaTSi. erTxel M sadguridan
gamosuli kateri, roca N navsadguramde 40 km iyo darCenili, isev
ukan M navsadgurSi dabrunda, am gzis gavlas ki 9 saaTi moandoma.
ipoveT kateris siCqare mdgar wyalSi, Tu mdinaris dinebis siCqare
2 km/sT-ia.
44 navi 9 saaTze gavida A punqtidan mdinaris dinebis sawinaaRmdego
mimarTulebiT da mivida B punqtSi. 2 saaTis Semdeg navi
ukan gamobrunda da A punqtSi dabrunda 19sT da 20wT-ze. romel
saaTze mivida navi B punqtSi, Tu manZili A da B punqtebs Soris
60km-ia, mdinaris dinebis siCqare ki 3km/sT-ia.
45 ori velosipedisti erTdroulad gamodis erTmaneTis Sesaxvedrad
ori A da B punqtidan, romelTa Soris manZili 28 km-ia da erTi saa-
Tis Semdeg xvdebian erTmaneTs. isini SeuCereblad ganagrZoben gzas
imave siCqariT da pirveli B punqtSi midis 35 wT-iT ufro adre, vidre
meore A punqtSi. ipoveT TiToeuli velosipedistis siCqare.
46 ori A da B punqtidan, romelTa Soris manZili 24 km-ia, erTsa da imave
dros erTmaneTis Sesaxvedrad ori avtomobili gaigzavna. maTi Sexvedris
Semdeg A-dan gamosuli avtomobili B punqtSi midis 16 wT-Si,

xolo meore avtomobili 4 wuTSi midis A punqtSi. ipoveT TiToeuli
avtomobilis siCqare.
47 aerodromidan erTdroulad ori TviTmfrinavi gafrinda: erTi
samxreTis mimarTulebiT 192 km/sT siCqariT, meore – aRmosavleTis
mimarTulebiT 256 km/sT siCqariT. ra manZilze iqnebian erTmaneTisagan
TviTmfrinavebi 3 saaTis Semdeg?
48 ori gemi erTdroulad gavida navsadguridan: erTi CrdiloeTiT,
meore aRmosavleTiT. ori saaTis Semdeg maT Soris manZili 60 km aRmoCnda.
ipoveT TiToeuli gemis siCqare, Tu cnobilia, rom erTis
siCqare 6 km/sT-iT metia meorisaze.
49 klubis darbazSi 320 adgilia. imis Semdeg, rac TiToeul rigSi adgilebis
ricxvi 4-iT gaadides da kidev erTi rigi daumates, darbazSi
420 adgili gaxda. ramdeni rigia axla klubis darbazSi?
50 mamam 36 vaSli xuT Svils gauyo. naxevari vaJebs misca, maT igi Tanasworad
gainawiles. meore naxevari qaliSvilebs ergoT. ganawileba
maT Sorisac Tanabrad moxda. aRmoCnda, rom TiToeulma qaliSvilma
miiRo 3 vaSliT meti, vidre TiToeulma vaJma. ramdeni vaJi hyavda mamas?
51 oTxi dRis erTad muSaobiT sxvadasxva simZlavris orma traqtorma
sakolmeurneo farTobis 2/3 nawili moxna. ramden dReSi moxnavda
mTel farTobs TiToeuli traqtori cal – calke, Tu pirvel
traqtors SeuZlia mTeli farTobis 5 dRiT swrafad moxvna, vidre
meores?
52 erTi da imave procentuli maCvenebliT fasebis orjer daklebis
Semdeg fotoaparatis fasi 90 laridan 72,2 laramde daeca. ramdeni
procentiT klebulobda TiToeul SemTxvevaSi fotoaparatis fasi?
53 qalaqis mosaxleoba 2 wlis ganmavlobaSi 800000 kacidan 832320
kacamde gaizarda. ipoveT mosaxleobis zrdis yovelwliuri saSualo
procenti.
54 fexburTSi moswavleTa Soris qalaqis pirvelobaze 66 matCi Catarda.
ramdeni gundi monawileobda gaTamaSebaSi, Tu cnobilia, rom
TiToeulma gundma danarCen gundebTan mxolod TiTo matCi Caatara?
55 amozneqil mravalkuTxedSi yvela SesaZlo diagonalebis ricxvi
54-ia. ramdeni gverdi aqvs mravalkuTxeds?
56 gamosaSvebi klasis moswavleebma erTmaneTs samaxsovrod suvenirebi
dauriges. ramdeni moswavle yofila klasSi, Tu gacvla-gamocvlisaTvis
saWiroa 870 suveniri?
53

I
Tavi
narevSi gaxsnili
nivTierebis masis
Sefardebas xsnaris
raodenobasTan am
nivTierebis masuri
wili ewodeba.
nivTierebis masuri
wili gamravlebuli
100%-ze
aris am nivTierebis
procentuli
koncentracia.
54
57 erT kolbaSi 2kg-iT meti wyalia, vidre meoreSi. wylis
TiToeuli masis gaTbobaze daixarja 96kkal. siTbo. aRmoCnda
rom wylis meti masa 4°-iT nakleb temperaturamde
gaTba, vidre naklebi. gansazRvreT TiToeul kolbaSi mo-
Tavsebuli wylis masa.
58 xsnars, romelic 40gr marils Seicavda, daumates 200gr
wyali, ris Sedegadac misi koncentracia 10%-iT Semcirda.
ramden wyals Seicavda xsnari da rogori iyo misi procentuli
koncentracia?
Zveli induri amocana:
59 or partiad dayofilni 12 ki sufTa haers
erTobodnen maimunni, ayruebda JriamuliT;
maTi mervedi kvadratSi axla miTxar Tu WalaSi
laRad ancobda WalaSi; ramdenia maimuni?
60 lotosos yvavili amoweulia guburis zedapiridan 4futis simaRleze.
qaris mowolis gamo misi Rero daimala wyalqveS 16 futis man-
Zilze im adgilidan, sadac igi wyals zeviT iyo amoweuli. ra siRrmis
yofila gubura?
61 (magnickis ariTmetikidan (1703 w.). erT kacs kedelze kibe unda miedga.
kedlis simaRle 117 terfi iyo. man iSova 125 terfi sigrZis kibe. unda
gavigoT, ramdeni terfiT unda daSordes kedels kibis qveda bolo?
62 amoxseniT utoloba:
a) (x + 5)(3 – x)

66 SeadgineT kvadratuli gantoleba, romelsac mxolod erTi, miTiTebuli
fesvi aqvs:
a) 5; b) ; g) –2 ; d) 1
7 .
67. daSaleT mamravlebad Semdegi samwevri:
a) x2 +5a+6a 2 ; b) –x 2 –6x–9; g) x2 –6x–7;
d) x2 +6x–91; e) x2 –ax–2a 2 ; v) 2x 2 +8x–90.
68. SekveceT wiladi:
a) b2 + 6b – 91
b2 ; b)
+ 8b – 105
3a 2 – 3x – 6
12a 2 – 36a + 24 ;
g) x2 – 9xy + 14y 2
x 2 – xy – 2y 2 ; d) 6x2 – 7x – 3
2x 2 – x – 3 .
69 x 2 +4x+q=0 gantolebis fesvebis sxvaoba 6-is tolia. ipoveT q.
70 x da x x 1 2 2 –3x+1=0 gantolebis fesvebia. ipoveT:
a) 5
x
+
1
5
x
;
2
b) 5
2 x1 + 5
2 x
;
2
g) 5
3 x1 + 5
3 x
.
2
71 Tu x da x aris 3x 1 2 2 +45x+16=0 gantolebis fesvebi. ipoveT 5 5
+
3|x | 3|x | 1 2 .
72 SeadgineT kvadratuli gantoleba, romlis fesvebi 2-jer meti iqneba
x 2 –5x–1=0 gantolebis fesvebze.
73 SeadgineT axali kvadratuli gantoleba, romlis TiToeuli fesvi
2-iT meti iqneba x2 +3x–2=0 gantolebis fesvebze.
74 gansazRvreT a-s mniSvneloba, romlisaTvisac a2 +a(x–1)=2+ 7
2x gantolebas
aqvs moduliT toli da niSniT gansxvavebuli fesvebi.
75 ipoveT a-s mniSvneloba, romlisaTvisac 7x 2 –a(x–1)=7 gantolebis
2 2 fesvebi akmayofilebs pirobas: x + x = x + x2 .
1 2 1
76 x 2 +px+35=0 gantolebis fesvebis jami fesvebis namravlze 23-iT naklebia.
ipoveT p da gantolebis fesvebi.
77 ipoveT 3x2 +
1+x1 3x1 , Tu x da x aris x
1+x 1 2
2
2 –3x+1=0 gantolebis fesvebi.
55

56
I TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva
● f : x →x 2 funqciis grafiks parabola ewodeba .
f : x →x 2 funqciis Tvisebebi parabolis Tvisebebi
1. y = x 2 funqciis mniSvnelobebi arauaryofiTia.
2. x-is nebismieri mniSvnelo bisa Tvis
sruldeba: f(x) = f(–x).
3. funqciis umciresi mniSvnelo baa 0.
f(0)=0.
m0
A=∅ A={0} A={ ; − }
1. parabola moTavsebulia x-Rer Zis zeda
naxevarsibrtyeSi.
2. simetriulia y-RerZis mimarT.
3. M(0,0) wertili parabolis `uR rme si~
wertilia. mas parabo lis wvero ewodeba.
ax 2 +bx+c=0
kvadratuli gantoleba
sruli
arasruli
ax 2 +bx=0 ax 2 +c=0 ax 2 =0
ax 2 +bx+c=0 saxis gantolebas, sadac a,b,c∈R, a≠0, xolo x ucnobia, kvadratuli gantoleba
ewodeba.
b2 – 4ac gamosaxulebas diskriminanti ewodeba – D = b2 – 4ac.
ax 2 +bx+c=0, a≠0 kvadratul gantolebas Tu:
b b ac
a) D>0, aqvs ori gansxvavebuli amonaxseni: x =
a
− ± −
2
4
.
2
b) D=0 _ erTi amonaxseni: x = – b
2a
(ori erTmaneTis toli amonaxseni).
g) D