Prima parte (pdf)

Lezioni di Architettura degli elaboratori – O. D’antona
Le funzioni booleane
Funzione booleana
La funzione booleana è un’applicazione dall’insieme dei numeri le cui cifre sono composte da 0 e 1
all’insieme contenente le cifre 0 e 1.
F : { 0, 1 } n { 0, 1 }
Notiamo quindi che abbiamo un insieme numeroso ma finito di possibilità.
Quante sono le combinazioni possibili n cifre che possono assumere i valori 0 e 1 ?
Le combinazioni possibili sono 2 n.
Quante sono le funzioni booleane di 2 variabili ?
Facciamo un esempio con una variabile sola.
x f1 f2 f3 f4
0 0 0 1 1
1 0 1 0 1
Osservando questa tabella possiamo scrivere queste funzioni booleane di una variabile:
f1(x) = 0, f2(x) = x, f3(x) =⎯x, f4(x) = 1 (⎯x si può scrivere anche 1 – x )
Le funzioni booleane di una variabile sono quindi 4, ovvero 2 elevato al numero di combinazioni possibili con
una variabile: 2 1 . Con 2 variabili booleane otteniamo che il numero delle funzioni booleane di 2 variabili è 2
elevato alla 2 2 .
Generalizzando ancora otteniamo che il numero delle funzioni booleane di N variabili è 2 elevato alla 2 n .
Operazioni booleane
Le operazioni booleane principali sono descritte dalle seguenti tabelle di verità.
Somma logica OR Prodotto logico AND Negazione logica NOT
x y x + y x y x • y x ⎯x
0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0 1
1 0 1 1 0 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1
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Quali sono le principali proprietà degli operatori booleani AND, OR, NOT ?
Le proprietà principali di questi operatori logici sono:
Formula Proprietà Note
x + x = x Idempotenza
x • x = x Idempotenza
x negato 2 volte = x Idempotenza
x + 0 = x Tautologia - 0 è l’elemento neutro
della somma logica
x • 1 = x Tautologia - 1 è l’elemento neutro
del prodotto logico
Principio di dualità
x + 1 = 1 Assorbimento Principio di dualità
x * 0 = 0 Assorbimento
x +⎯x = 1 Assorbimento Principio di dualità
x •⎯x = 0 Assorbimento
x1 + ( x2 + x3 ) = ( x1 + x2 ) + x3
x1 • ( x2 • x3 ) = ( x1 • x2 ) • x3
x • ( y + z ) = x • y + x • z Prop. distributiva del prodotto
rispetto alla somma
x + ( y • z ) = ( x + y ) • ( x + z ) Prop. distributiva della somma
rispetto al prodotto
x + y = Neg(⎯x •⎯z ) Legge di De Morgan
Neg( x + y ) =⎯x •⎯z Legge di De Morgan
E’ necessario utilizzare le parentesi per specificare la precedenza degli operatori.
Dimostriamo che vale la proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto cona la tabella della verità.
x y z x + y x + z y • z x + ( y • z ) ( x + y ) • ( x + z )
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Le ultime due colonne sono uguali: la proprietà è dimostrata.
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Circuiti Combinatori
I Circuiti combinatori sono circuiti in cui i segnali di uscita dipendono direttamente da quelli di ingresso.
La rappresentazione grafica delle operazioni logiche elementari OR, AND e NOT è la seguente:
Combinando queste porte logiche possiamo ottenere circuiti complessi.
Multiplexer o Selettore
Il Multiplexer è un circuito combinatorio cha ha la funzione di selezionare in uscita (Z) uno solo di n ingressi
(a, b), in base ad un segnale di selezione (S).
Più segnali di ingresso ci sono più segnali di selezione saranno necessari per scegliere il segnale da
mandare in uscita. Nell’esempio sotto riportato abbiamo un Multiplexer a 2 vie, con simbolo grafico.
Tabella della verità del circuito Multiplexer e riduzione algebrica.
a b S Z
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Z =⎯a b⎯S + a⎯b S + a b⎯S + a b S
Z = ( a + ⎯a ) b⎯S + a S ( b +⎯b )
Z = a S + b⎯S
quando S = 1, Z = a, quando S = 0, Z = b
if S then a else b
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Ritardo di commutazione
Bisogna sempre ricordare che i segnali impiegano un certo tempo per attraversare le porte logiche che
attraversano. Vedi l’esempio sotto riportato:
Multiplexer a 3 vie
Il multiplexer a 3 vie può essere realizzato concettualmente in due modi: il primo replicando in cascata il
circuito già mostrato, il secondo mantenendo un livello solo ma complicando la circuiteria delle porte logiche:
1° forma (stratificata)
2° forma
Nella 1° forma c’è un tempo di propagazione crescente,
una stratificazione dei circuiti, mentre nella 2° forma c’è
una complessità crescente.
E’ fondamentale durante la progettazione dei circuiti
booleani tenere in debito conto il problema della
profondità dei circuiti booleani, cioè più i circuiti sono
stratificati, più i tempi di propagazione aumentano e i
segnali veicolati potrebbero arrivare troppo tardi per
adempiere alla loro funzione.
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Il Decoder
Il Decoder è un componente che converte un numero booleano di n cifre in input in 2 n uscite in cui solo
l’uscita che rappresenta il numero di ingresso è ad 1. Nell’esempio sotto riportato abbiamo un Decoder con
simbolo grafico e tabella della verità.
E’ possibile realizzare un Multiplexer con un decoder.
S1 S2 U0 U1 U2 U3
0 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1
S0
S1
Dec
U0
U1
U2
U3
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Il Demultiplexer
Il Demultiplexer è un circuito combinatorio che utilizza n segnali di selezione per incanalare un segnale di
ingresso verso una delle 2 n uscite.
Nell’esempio sotto riportato abbiamo un Demultiplexer con relativo simbolo grafico.
Esempio di utilizzo di un Multiplexer accoppiato ad un Demultiplexer
Un esempio di tale utilizzo lo possiamo trovare in una connessione remota, per diminuire i costi di
trasmissione consentendo a più soggetti di condividere la banda.
I due segnali S di selezione del dato d’ingresso, a o b, devono essere sincronizzati per commutare in modo
fasato l’uscita del canale.
Nell’ipotesi che i due componenti siano collocati presso Milano e Torino, sappiamo che:
• la distanza tra Milano e Torino è di circa 130 Km
• la velocità del segnale nel cavo conduttore è 2/3 la velocità della luce: 200.000 km/h
• La velocità di trasferimento dei dati sul canale è di 10 Mbps
• Il file da trasferire è di 15 kbyte
Possiamo calcolare:
1) Il tempo che impiegherà un segnale che viaggia nel cabo conduttore a raggiungere la località opposta
2) Il tempo di trasferimento di un file di 15Kb
V = S / T = 130 km / 200.000 km/sec = 0,65 ms
T = S / V = 15 kbyte / 10 Mbps = 15 * 8 * 10 3 bit / 10 * 10 6 bit/sec = 120 / 10 * 10 -3 = 12 ms
Notiamo che il tempo di trasferimento di un segnale è molto inferiore rispetto al tempo di scrittura di tale
segnale sul cavo di connessione. In generale i circuiti che scrivono e leggono sul canale conduttore sono
complessi e introducono dei ritardi significativi.
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I Mintermini
Teorema delle Somme di Prodotti Completi (SPC) – 1° Forma Canonica
Qualunque funzione booleana può essere espressa come Somma di Prodotti Completi e tale scrittura è
unica. In simboli:
∀ F( x1, x2, …, xn ) = Σ j = 1.. m ( Π i = 1.. n xi ± )
L’indice j cicla tra tutte le combinazioni degli ingressi che come risultato in uscita danno 1, tra tutte le
combinazioni possibili di n variabili: 2 n .
L’indice i rappresenta la posizione della singola variabile d’ingresso del circuito e varia da 1 a n.
In altre parole, ogni termine che sommiamo logicamente (OR) è sempre composto dal prodotto logico (AND)
di tutte le variabili d’ingresso, asserite o negate (1, 0).
Esempio. La funzione booleana che rappresentava il Multiplexer è stata ridotta algebricamente alla forma:
Z = a S + b⎯S,
partiva però da una tabella di verità dalla quale abbiamo preso solo i termini per cui l’uscita era uguale a 1:
Z =⎯a b⎯S + a⎯b S + a b⎯S + a b S
Possiamo notare che ogni termine sommato è composto dal prodotto di tutti gli ingressi, asseriti o negati,
pertanto la funzione Z ( a, b, S ) è stata espressa come Somma di Prodotti Completi.
Definizione di mintermine.
I mintermini sono funzioni booleane che assumono il valore 1 (vero, asserito) in corrispondenza di un’unica
configurazione di ingressi.
Notiamo anche che tutti i termini sommati della Z ( a, b, S ) contengono solo le configurazioni di ingressi che
portano ad 1 l’uscita. Possiamo quindi definire che:
Ogni funzione booleana può essere espressa univocamente come somma di mintermini.
Definizione di Insieme funzionalmente completo
L’esistenza del teorema SPC o 1° forma canonica è una dimostrazione che le funzioni AND, OR e NOT
costituiscono insieme funzionalmente completo, ovvero ciascuna funzione booleana può essere scritta in
una forma algebrica utilizzando solo questi tre operatori.
Osservando poi che per la legge di De Morgan: x + y = Neg(⎯x •⎯z ), si può concludere che anche AND e
NOT sono un insieme funzionalmente completo ma anche minimale. Minimale significa che l’insieme non
perde le sue proprietà se si toglie un elemento.
Le uniche porte logiche che costituiscono da sole un insieme funzionalmente completo e minimo sono le
porte NAND e NOR. Minimo perché non è possibile togliere altri elementi dell’insieme senza che non sia più
funzionalmente completo.
Accenno alla 2° Forma Canonica
Analoghe considerazioni si possono fare per il teorema del Prodotto di Somme o 2° forma canonica che è
definito in simboli da:
Definizione di maxtermine.
∀ F( x1, x2, …, xn ) = Π j = 1.. m ( Σ i = 1.. n xi ± )
I maxtermini sono funzioni booleane che assumono il valore 0 (falso, negato) in corrispondenza di un’unica
configurazione di ingressi.
Ogni funzione booleana può essere espressa univocamente come prodotto di maxtermini.
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Programmable Logica Array – PLA
Sfruttando la caratteristica delle funzioni booleane che consente loro di essere rappresentate come somme
di mintermini, si sono creati dei componenti, chiamati PLA – Programmable Logical Array, che
opportunamente programmati possono realizzare una qualsiasi funzione booleana complessa.
Un componente PLA internamente è
composto da una griglia di ingressi
affermati e negati, incrociati con i
segnali di ingresso ad una serie di
porte AND, la cui uscita confluisce in
un’unica porta OR di somma logica.
Per utilizzarla basterà
“programmare” (saldare)
l’intersezione tra i segnali d’ingresso
e le porte AND secondo la funzione
booleana da implementatare.
Le PLA hanno tempi di
propagazione bassi e sono quindi
l’ideale per costruire logiche
combinatorie complesse e veloci.
L’esempio riportato in figura si
riferisce alla tabella di verità del
Multiplexer a 2 vie descritto nelle
precedenti pagine:
Z =⎯a b⎯S + a⎯b S + a b⎯S + a b S
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Circuito combinatorio per costruire un Sommatore Completo
Questo circuito combinatorio riceve in input due bit (a, b) da sommare con il riporto (C) ricevuto da una
precedente somma in cascata e resituisce la somma (S) + l’eventuale riporto (R) dell’operazione.
S(a, b, c) = ⎯a⎯b c +⎯a b⎯c + a⎯b⎯c + a b c
= ( a⎯b + a b ) c + (⎯a b + a⎯b )⎯c
R(a, b, c) = ⎯a b c + a⎯b c + a b⎯c + a b c
= ⎯a b c + a b c + a⎯b c + a b c + a b⎯c + a b c Proprietà di idempotenza
= b c (⎯a + a ) + a c (⎯b + b ) + a b (⎯c + c ) (⎯a + a ) = 1
= a b + a c + b c
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