Definizioni di limite - Operazioni sui limiti - Galdi Biondina

Scheda elaborata dalla prof.ssa Galdi Biondina – Docente di Matematica
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Limite finito per una funzione in un punto
Si dice che la funzione y = f(x), per x tendente a c, ha per limite il numero l, e si scrive
x→c lim f(x) = l
quando, in corrispondenza di un ε positivo, piccolo a piacere, si può sempre determinare un intorno
completo I del punto c, tale che la disequazione f(x) − l < ε risulti soddisfatta per tutte le x di I,
escluso eventualmente c.
In pratica volendo verificare se un dato numero l è o no il limite di una data funzione , al tendere di x
verso c, si dovrà procedere nel modo seguente:
⎧f(x)
< l + ε
f(x) − l < ε ⇒ l − ε < f(x) < l + ε ⇒ ⎨
a. si trovano le soluzioni della disequazione
⎩f(x)
> l − ε
b. se le soluzioni formano, indipendentemente dal valore di ε, un intorno completo di c, escluso al
più c, si potrà asserire che l è il limite della funzione per x tendente a c
c. se invece la disequazione non ammette soluzioni, oppure se ne ammette ma queste non formano
un intorno completo di c, allora si dirà che l NON è il limite della funzione per x tendente a c.
Limite infinito per una funzione in un punto
Si dice che la funzione y = f(x), per x tendente a c, ha per limite +∞, e si scrive
x→c lim f(x) = +∞
quando, in corrispondenza di un M positivo, grande a piacere, si può sempre determinare un intorno
completo I del punto c, tale che la disequazione f(x) > M risulti soddisfatta per tutte le x di I,
escluso eventualmente c.
In pratica volendo verificare se +∞ è o no il limite di una data funzione , al tendere di x verso c, si
dovrà procedere nel modo seguente:
a. si trovano le soluzioni della disequazione f(x) > M
b. se le soluzioni formano, indipendentemente dal valore di M, un intorno completo di c, escluso al
più c, si potrà asserire che +∞ è il limite della funzione per x tendente a c
c. se invece la disequazione non ammette soluzioni, oppure se ne ammette ma queste non formano
un intorno completo di c, allora si dirà che+∞ NON è il limite della funzione per x tendente a c.
Si dice che la funzione y = f(x), per x tendente a c, ha per limite -∞, e si scrive lim f(x) = −∞
x→c quando, in corrispondenza di un M positivo, grande a piacere, si può sempre determinare un intorno
completo I del punto c, tale che la disequazione f(x) < − M risulti soddisfatta per tutte le x di I,
escluso eventualmente c.
In pratica volendo verificare se -∞ è o no il limite di una data funzione , al tendere di x verso c, si
dovrà procedere nel modo seguente:
d. si trovano le soluzioni della disequazione f(x) < − M
e. se le soluzioni formano, indipendentemente dal valore di M, un intorno completo di c, escluso al
più c, si potrà asserire che -∞ è il limite della funzione per x tendente a c
f. se invece la disequazione non ammette soluzioni, oppure se ne ammette ma queste non formano
un intorno completo di c, allora si dirà che -∞ NON è il limite della funzione per x tendente a c.

Scheda elaborata dalla prof.ssa Galdi Biondina – Docente di Matematica
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Limite finito per una funzione all’infinito
Si dice che la funzione y = f(x), per x tendente a +∞, ha per limite il numero l, e si scrive
lim f(x) = l
x→+∞
quando, in corrispondenza di un ε positivo, piccolo a piacere, si può determinare un numero N>0, tale
che , per ogni x>N, si abbia f(x) − l < ε
In pratica volendo verificare se un dato numero l è o no il limite di una data funzione , al tendere di x
verso +∞, si dovrà procedere nel modo seguente:
⎧f(x)
< l + ε
f(x) − l < ε ⇒ l − ε < f(x) < l + ε ⇒ ⎨
a. si trovano le soluzioni della disequazione
⎩f(x)
> l − ε
b. se le soluzioni della disequazione sono maggiori di un numero N positivo, allora si potrà asserire
che è l il limite della funzione per x tendente a +∞
c. se invece la disequazione non ammette soluzioni, oppure se ne ammette ma queste non sono
maggiori di un numero positivo N, allora si dirà che l NON è il limite della funzione per x tendente
a +∞.
Si dice che la funzione y = f(x), per x tendente a -∞, ha per limite il numero l, e si scrive
lim f(x) = l
x→−∞
quando, in corrispondenza di un ε positivo, piccolo a piacere, si può determinare un numero N>0, tale
che , per ogni x − ε
a. si trovano le soluzioni della disequazione
⎩f(x)
l
b. se le soluzioni della disequazione sono minori di un numero -N negativo, allora si potrà asserire
che è l il limite della funzione per x tendente a -∞
c. se invece la disequazione non ammette soluzioni, oppure se ne ammette ma queste non sono
minori di un numero -N, allora si dirà che l NON è il limite della funzione per x tendente a -∞.
Limite infinito per una funzione all’infinito
Si dice che la funzione y = f(x), per x tendente a +∞, ha per limite +∞ (oppure -∞), e si scrive
lim f(x) = +∞ oppure lim f(x) = −∞
x
x→+∞
→+∞
quando, in corrispondenza di un M positivo, grande a piacere, si può sempre determinare un numero
N>0, tale che, per ogni x>N, risulta f(x)>M (oppure, f(x)M ( oppure f(x) 0, tale che, per ogni xM (oppure, f(x)

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a. si trovano le soluzioni della disequazione f(x)>M ( oppure f(x) 0
⎨
⎩K
< 0
= +∞ e lim g(x) = m
x→c allora
⎧lim
Kf(x) = +∞
⎪x→c
⎨
⎪⎩
lim Kf(x) = −∞
x→c ⎧lim ⎡f(x) ⋅ g(x) ⎤ = +∞
⎧m
> 0
⎪ ⎣ ⎦
x→c con ⎨
allora ⎨
⎩m
< 0
⎪lim ⎡f(x) ⋅ g(x) ⎤ = −∞
⎩ ⎣ ⎦
x→c ⎧+∞
⎧+∞
⎧+∞
⎪
= ⎨−∞
e
⎪
lim g(x) = ⎨−∞
allora
⎪
lim ⎡⎣ f(x) ⋅ g(x) ⎤⎦ = ⎨+∞
x→c x→c ⎪
⎩+∞
⎪
⎩−∞
⎪
⎩−∞
1
= ±∞ allora lim = 0
x→c f(x)
= e
x→c f(x)
lim g(x) = ±∞ allora lim =
0
x→c g(x)

Scheda elaborata dalla prof.ssa Galdi Biondina – Docente di Matematica
Se lim f(x)
x→c f(x)
= ±∞ e lim g(x) = l ( ≥ 0) allora lim = ±∞
x→c x→c g(x)
Forme indeterminate o di indecisione
1 Nulla si può dire, in generale,
sul lim ⎡⎣ f(x) ± g(x) ⎤⎦
x→c quando è lim f(x)
x→c 2 sul lim ⎡⎣ f(x) ⋅ g(x) ⎤⎦
x→c quando è lim f(x) = 0 e
x→c x→c 3
4
sul
x→c sul
x→c f(x)
lim
g(x)
f(x)
lim
g(x)
= +∞ e lim g(x) = −∞
x→c lim g(x) = ∞
quando è lim f(x) = 0 e lim g(x) = 0
x→c x→c quando è lim f(x)
x→c = ∞ e lim g(x) = ∞
x→c