Stati semplici di tensione e comportamento dei materiali

UNIVERSITA’ DEGLI STUDIO DI PADOVA
Facoltà di Agraria Collegio dei Geometri
CORSO DI AGGIORNAMENTO PROFESSIONALE
DI PROGETTAZIONE COSTRUTTIVA
LEZIONE 4
STATI SEMPLICI DI TENSIONE E COMPORTAMENTO DEI MATERIALI:
1. Le sollecitazioni elementari.
2. Solidi caricati di punta e materiali non resistenti a trazione.
GIORGIO SIMIONI INGEGNERE
Stradella del Tezzon 15b - 35013 Cittadella PD
giorgiosimioni@libero.it - tel fax 0495971962
Immagini tratte da: Di Pasquale, Messina, Paolini, Furiozzi, CORSO DI COSTRUZIONI
Firenze, 2003

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Argomenti e idee da sviluppare
La resistenza di una struttura in funzione del materiale utilizzato
per la realizzazione.
Conoscenza del comportamento meccanico dei materiali in
relazione al tipo di sollecitazione impressa.
Relazione esistente tra sollecitazione e variazione dimensionale
delle sezioni di un materiale.
Le sollecitazioni semplici: la forza normale N. Il progetto e la
verifica.
Le sollecitazioni semplici: la flessione semplice e deviata M. Il
progetto e la verifica.
Le sollecitazioni semplici: Il taglio T e la torsione Mt . Il progetto e
la verifica.
Le sollecitazioni composte e la flessione deviata.
Il carico di punta.
Solidi non resistenti a trazione.

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Parte 1
Le sollecitazioni elementari.
La forza normale
La flessione semplice retta
Il taglio puro
La torsione semplice
La flessione deviata
Il taglio nella flessione
Applicazioni

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La forza normale.
Il risultante delle forze, agenti a destra o a sinistra della sezione, ha
direzione perpendicolare al piano della sezione.

La forza normale.
Per ipotesi di equilibrio:
Σσ∆A=N
Per ipotesi di elasticità:
σ=Eε l
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La forza normale.
Deformazioni costanti a
esclusione di una zona
vicina al punto di
applicazione della forza N.
εl= ∆l/l=Cost
A deformazioni costanti
corrispondono tensioni
costanti:
σ=Eεl=Cost

La forza normale.
Per ipotesi di
conservazione delle
sezioni piane:
(∆l=Cost ; σ=Cost)
Σσ∆A=N
σΣ∆A=N
σA=N
σ=N/A
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La tensione σ è il rapporto
tra una forza e un’area
[daN/m 2 ]

La forza normale.
Con il metodo delle tensioni
ammissibili:
σ adm =σ limite
Verifica:
σ=N/AN/σ adm=A min
Collaudo:
N

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La flessione semplice retta.
Il risultante dei momenti, agenti a destra e a sinistra della sezione è
nullo (situazione equilibrata).
Il momento produce una rotazione della sezione (che per ipotesi si
mantiene piana) con conseguente allungamento delle fibre tese e
accorciamento di quelle compresse.

La flessione semplice retta.
Per ipotesi di
conservazione delle
sezioni piane:
∆l=Ky
Per ipotesi di elasticità:
σ x =Eε x
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La flessione semplice retta.
Deformazioni variabili con
legge lineare direttamente
proporzionale alla distanza
dall’asse baricentrico della
sezione piana.
εx= ∆l/x=y∆α/R∆α=y/R
A deformazioni variabili
corrispondono tensioni
variabili con la stessa legge:
σx =Eεx =Ey/R

La flessione semplice retta.
Per ipotesi di equilibrio:
(S=0)
S=Σσ xb∆y=0
σ x =0
M=Cost
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M=Σσ xby∆y=EJ z/R
σ x=Ey/R=My/J z
La tensione σ è
direttamente proporzionale
a M, y e inversamente a J z
[daN/m 2 ]

La flessione semplice retta.
Si definisce modulo di resistenza:
W z=J z/y max=0
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σ x =My/J z =M/W x
La tensione massima σ max è direttamente proporzionale a
M, e inversamente a W z [daN/m 2 ]

La flessione semplice retta.
Con il metodo delle tensioni
ammissibili:
σ adm =σ limite
Verifica:
σ max=M/W minM/σ adm
Collaudo:
M

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Il taglio puro.
Il risultante delle forze, agenti a destra o a sinistra della sezione, ha
direzione parallela al piano della sezione.

Il taglio puro.
Per ipotesi di equilibrio:
Στ∆A=T
Per ipotesi di uniforme
distribuzione della tensione
tangenziale: (∆l=0 ; τ=Cost)
Στ∆A=T
τΣ∆A=T
τA=T
τ=T/A
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La tensione τ per taglio puro è il
rapporto tra una forza e un’area
[daN/m 2 ]

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La torsione semplice.
Si verifica quando l’unica componente di sollecitazione si riduce alla
coppia, di momento Mx, contenuta nel piano della sezione.

La torsione semplice.
Per ipotesi di sezione
circolare:
τ=Kr
Per ipotesi di equilibrio:
Στ∆Ar=M x
KΣr 2 ∆A=M x;
KJ G=M x; K=M x/J G
τ=M xr/J G
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La tensione τ per torsione
semplice è direttamente
proporzionale a M x, r e
inversamente a J G
[daN/m 2 ]

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La flessione deviata.
Il piano contenente le forze seca la generica sezione secondo una
direzione che non coincide con uno degli assi principali d’inerzia
(arcarecci di copertura).

La flessione deviata.
Il carico viene scomposto
nelle due direzioni
contenenti gli assi
principali d’inerzia:
Pz=Psinα P y=Pcosα
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La flessione deviata.
Ciascuna componente di
carico produrrà una
sollecitazione di tipo M e
una conseguente tensione
di tipo σ x :
σ xy =+M y y/J z =+M y /W x
σ xz=+M zz/J y=+M z/W y

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La flessione deviata.
Per ipotesi di
sovrapposizione degli
effetti:
σ x=+M yy/J z+M zz/J y
σ x=+M y/W x +M z/W y

La flessione deviata.
La posizione dell’asse neutro
non dipende dal carico ma
dal valore dell’angolo α e dei
due momenti d’inerzia.
Con il metodo delle tensioni
ammissibili:
σ adm =σ limite
Verifica:
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σ max= =+M y/W x +M z/W y

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Il taglio nella flessione.
Il risultante delle forze, agenti a destra o a sinistra della sezione, ha
direzione parallela al piano della sezione.

Il taglio nella flessione.
Per ipotesi di equilibrio:
Στ∆A=P
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Il taglio nella flessione.

Il taglio nella flessione.
Per ipotesi di equilibrio:
T 1 =T+∆T
M 1 =M+∆M
τ xy =τ yx
τ xy=TS z/J zb
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τ xy=TS z/J zb
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Il taglio nella flessione.

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Il taglio nella flessione.

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Applicazioni:
Progettare e verificare un pilastro in mattoni pieni
(σ adm =1,5 N/mm 2 ) a sezione rettangolare soggetto al
carico centrato N=200 kN.

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Applicazioni:
Verificare gli elementi della capriata di figura costituita da
puntoni in legno (σ adm =8 N/mm 2 ) e tirante in acciaio
(σ adm=160 N/mm 2 ).

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Applicazioni:
Progettare e verificare a flessione e taglio una trave in
legno (σ adm =8,2 N/mm 2 ), a sezione rettangolare, di luce
l=4,50 m, su due appoggi, uniformemente caricata con
q=8000 N/m.

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Applicazioni:
Verificare gli arcarecci di una copertura con inclinazione
25° sull’orizzontale. Lo schema statico è di trave
appoggiata su luce 3 m con carico uniforme verticale
q=5kN/m. L’arcareccio sia in legno (σ adm=8,7 N/mm 2 ), con
sezione 16x22 cm.

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Applicazioni:
Progettare e verificare una trave in acciaio Fe360, con
sbalzo di luce 2,5 m, sezione tipo IPE, uniformemente
caricata con q=12000 N/m.

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Applicazioni:
Determinare il massimo carico, ripartito uniformemente su
tutta la lunghezza, sopportabile da una trave in legno
lamellare incollato (σ adm=11,2 N/mm 2 ), su schema statico
di semplice appoggio, con sezione rettangolare 16x80 cm.

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Applicazioni:
Dimensionare la sezione di una trave in legno composta
da due sezioni quadrate. Lo schema statico è di trave
appoggiata su luce 4 m e carico concentrato in mezzeria
P=10 kN. Verificare le forze che dovranno essere
assorbite dai collegamenti tipo biette.

Parte 2
Solidi caricati di punta e materiali non
resistenti a trazione.
Solidi caricati di punta
Pressoflessione e tensoflessione
Applicazioni
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I solidi caricati di punta.
Quando le dimensioni della sezione dell’asta caricata assialmente
sono molto piccole rispetto alla sua lunghezza, è necessario
distinguere fra le sollecitazione di compressione e quella di trazione.
I tipi di equilibrio: stabile, indifferente, instabile

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I solidi caricati di punta.
Asta tesa:
L’equilibrio è di tipo stabile. Una volta “spostata” dalla configurazione
di equilibrio vi ritornerà spontaneamente.
Asta compressa:
L’equilibrio può essere di tipo stabile o instabile. L’asta, una volta
“spostata” dalla configurazione di equilibrio potrà ritornarvi
spontaneamente, grazie all’elasticità del materiale, oppure non
ritornarvi.

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I solidi caricati di punta.
Asta compressa:
L’equilibrio può essere di tipo indifferente. L’asta, una volta “spostata”
dalla configurazione di equilibrio, sottoposta ad un carico P crit rimarrà
deformata. Tale carico è definito carico critico Euleriano.
P crit =π 2 EJ min /L 2

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I solidi caricati di punta.
Formula di Eulero:
P crit =π 2 EJ min /L 0 2
L 0 è la lunghezza libera di inflessione.
λ=L 0 /ρ min è la snellezza
P crit =π 2 EAρ 2 min /L 0 2 = π 2 EA/λ 2
σ crit =π 2 E/λ 2
σ crit =π 2 E/λ 2

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I solidi caricati di punta.
Il metodo ω:
Il coefficiente ω è un numero puro calcolato come rapporto tra la tensione
ammissibile propria del materiale e la tensione critica propria
dell’elemento ridotta da un coefficiente di sicurezza proprio del materiale.
Il coefficiente ω tiene conto della teoria di Eulero, dei relativi coefficienti di
sicurezza e del valore della snellezza.
Il coefficiente ω è tabulato in funzione della snellezza per i diversi
materiali.
L0 >>> ρmin >>> λ >>> Tab-materiale >>> Tab-tipo sezione >>> ω
σ adm =σ limite
Verifica:
σ=ωN/AωN/σ adm =A min
Collaudo:
N

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I solidi
caricati
di
punta.

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La presso-flessione.
E’ una sollecitazione composta da N e M.
Poiché trascurare una delle due componenti di questa sollecitazione
composta può portare a gravi errori progettuali, è molto importante
saper riconoscere quali elementi, all’interno di un organismo
strutturale, sono impegnati da pressoflessione e in che misura.

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La presso-flessione.
σ x=+P/A+Pe yy/J z +Pe zz/J y

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La presso-flessione.
Se una sola eccentricità è
diversa da zero.
σ x =+P/A+Pe y y/J z
σ x =-P/A(1+e y y/ρ 2 z)
Sezione rettangolare:
ρ 2 =h 2 /12
σ max; σ min
σ x =-P/A(1+6e y/h)

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La presso-flessione.
La posizione dell’asse neutro varia al variare del
punto C di applicazione della forza, detto centro di
pressione.
La corrispondenza tra centro di pressione e asse
neutro è regolata dall’ellisse centrale d’inerzia e dal
suo nocciolo.

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La flessione semplice retta.
Deformazioni variabili con
legge lineare direttamente
proporzionale alla distanza
dall’asse baricentrico della
sezione piana.
εx = ∆l/x=y∆α/R∆α=y/R
A deformazioni variabili
corrispondono tensioni
variabili con la stessa legge:
σx=Eεx=Ey/R

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La flessione semplice retta.
Per ipotesi di equilibrio:
(S=0)
S=Σσ xb∆y=0
σ x =0
M=Cost
M=Σσ xby∆y=EJ z/R
σ x=Ey/R=My/J z
La tensione σ è
direttamente
proporzionale a M, y e
inversamente a J z
[daN/m 2 ]

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La flessione semplice retta.
Si definisce modulo di resistenza:
W z =J z /y max =0
σ x=My/J z=M/W x
La tensione massima σ max è direttamente
proporzionale a M, e inversamente a W z
[daN/m 2 ]

La flessione
semplice
retta.
Con il metodo delle
tensioni ammissibili:
σ adm =σ limite
Verifica:
σ max=M/W minM/σ adm
Collaudo:
M

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Applicazioni:
Verificare mediante il metodo ω un palo verticale in
acciaio Fe360 a sezione circolare cava con diametro
esterno pari a 127 mm, spessore 4 mm con carico assiale
di 30 kN, incastrato al piede, di lunghezza 4 m.