Strutture di sostegno: pali e diaframmi - Geoplanning

SOLUZIONE DI SISTEMI NON LINEARI
Molti problemi strutturali di tipo non lineare possono essere formulati sotto forma di sistema di
equazioni non lineari : L(u) = P
La risoluzione di questi problemi può essere ottenuta con il metodo di Newton che permette di
trovare la soluzione come limite di una successione convergente di problemi lineari.
Definita la funzione r(u) = L(u)-P il problema iniziale è equivalente a risolvere :
r(u) = 0 dove r(u) è la funzione che descrive lo squilibrio (resto) ai nodi della struttura.
Sviluppando in serie la funzione si può scrivere :
r(u+h)= r(u) + [∂ r(u) / ∂ u]*h
Kt(u) = [∂ r(u) / ∂u] =[∂ L(u) / ∂ u] +[∂ P / ∂ u] = [ L(u) / u];
Kt(u) è quindi il gradiente della funzione L(u) ed ha il significato di essere la matrice
tangente della struttura;
r(u+h) = r(u)+Kt(u)*h=0
h = -Kt -1 *r(u) = Kt(u) -1 *(P-L(u)) dove h è la correzione da apportare alla soluzione
corrente
Lo schema di iterazione sarà quindi:
uo = Kt(0) -1 *P
ui+1 = ui + Kt(ui ) -1 *(P-L(ui))
Fig. 36 Soluzione di una equazione non lineare
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